平面向量与三角形中的“四心”问题六种常考题型（学生版）-高一数学

牛面的■易三鲁彬中的冏41念笄*考救型

题型归纳

题型一:重心问题

题型二:外心问题

题型三:内心问题

题型四：金心问题

题型五:三角彩中的“四心”问题的标合

题型六:弁她定理与三角彩的“四心”

魔型专练

题型一,重心问题

1.在△力BC中，G为△ABC的重心，瑟=i闻+依可.则i+y=（）

A.1B.一《C.。D.一禹

ooo

2.已知△4Z?C的重心为O,若|用+0回=|晶一刀|,且|用|=3|Og|=3,则|（53|=（）

A.2V3B.VioC.3D.272

3.已知△ABC所在平面内的动点M满足疝=/记+痴瓦且实数%,y形成的向量4=1%—/,协与日

二（—1⑵向量共线，则动点M的轨迹必经过△在石。的（）

A.垂心B.内心C.外心D.重心

4.已知O是平面上一定点，ABC是平面上不共线的三点，动点P满足OP=OA+A{AB^AC）,则点P

的轨迹一定通过△力3。的（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

1・I>>

5.若。是平面内一定点，4,8,C是平面内不共线的三点，若点尸满足和=色与军+4和a6（0,

乙

+8）），则点。的轨迹一定通过AABC的（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

6.（多选）△人白。的重心为点G,点O,P是△AHS•所在平面内两个不同的点，满足司=晶+无+5方，

则（）

A.O,P,G三点共线B.OP=2OG

C.2OP=AP^BP-^CPD.点尸在氏7的内部

7.（多选）如图，在△45。中，D,E,F分别是BC,C4A3的中点，。是AD与BE的交点，则（）

A

E

--------1---------

A.OA+OB=OC

B.对于任意一点P,都有万i+而+历=3历

C.对于任意一点P,都有"+产疗+。方=Pi5+P商+Pa

D.BC-AD^CA-BE^AB-CF=O

8.如图，已知4片=2,位?=庆是中线，G为重心，则瓦5=；AG=.（用向量4、厂表示）

9.已知点O是△ABC的重心，OA=2,OB=3,00=3,则5bo疗+3X・〃+oX・〃=.

10.已知△力及7中，60=2,初.酢=3,而+无+五=6,则|而|=.

11.如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与边AB.AC交于M.N两点（点M、N与点

B、。不重合），设病=2戒，AC=yAN.

（1）求刀+寸的值；

⑵求—+3的最小值，并求此时c,g的值.

X—1y—i

...........»

题型二,外心问题

12.已知。是△ABC所在平面上一点，若。42=无2=元，则。是448。的（）

A.重心B.外心C.内心D.垂心

13.0是△AHC所在平面上一点，若（。4+O砌•荏=（阮+<53）•比=（方+5诵）•前=0,则。是

△4Z5C的（）

A.重心B.外心C.内心D.垂心

14.已知点O为△48。所在平面内一点，若存一荏2=2AO，则点O的轨迹必通过AABC的

（）

A.内心B.外心C.垂心D.重心

15.已知三角形在BC的外心为O,泰，而=0,cosN49C=4，则戏在后方上的投影向量为（）

A.B.~^B5C.^-BCD.-^-BS

JJJJ

16.（多选）已知。为△AZ?C的外心，石+而=々5,则（）

A.与/方不共线B.05与方垂直

C.COSNOAC=4D.cos/B9C=4

44

17.（多选）已知点。是的外心，点T是边EG的中点，则二列结论中正确的是（）

A.（OF+OG）-FS=0B.OE-EF=~EF2

乙

C.dS+O?+OG=0D.EF,+<2OE=2OT-i-GE

18.已知。是平面上一定点，/、6、。是平面上不共线的三个点，动点尸满足丽=况+丽

r+

+①

"wH,则尸的轨迹一定经过ZVIB。的（从“重心”，“外心”，“内

\CB\cosB

心”，“垂心”中选择一个填写）

19.在△ABC中，48=4,47=3,4=等，点0为4力8。的外心，若其3=求行+/方"、〃6人则4=

20.已知点O为△ABC的外心，且向量兵3=义初+（1—冷而"ER,若向量明在向量以方上的投影向

最为看贰则8sB的值为一.

J8型三i内心问题

21.已知△/BC,若点P满足的=义，其中XGR,则点P的轨迹一定通过△ABC的

福

()

A.夕卜心B.内心C.垂心D.重心

22.已知△ABC所在的平面上的动点，满足#=|荏|怒十|前|岳，则直线4P一定经过AABC的

（）

A.重心B.外心C.内心D.垂心

23.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为Q,b,c,P是△力BC所在平面上的一点，回i•「百=

:历•历+红千两2=£~国•历+生工•屈2,则点尸是△4BC的（）

bbaa

A.重心B.外心C.内心D.垂心

汨+Q5+C历

24.己知。是△A6。所在平面JL的一点，角A、6、C所对的边分别为Q,b,c,若用=

a+b+c

中P是△45。所在平面内任意一点），则。点是△ABC的（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

25.设G为△43。的内心，AB=AC=5,BC=6,AG=mAB-1-nBC,W]m=,n=.

26.设。为△ABC的内心，AB=AC=5tBC=8,而5=皿而+九成（项,九€尺），则根+九=

27.已知点。是小8。的内心，若；0=1•无§+5而,则cos"/。=（）

JK型四,垂心问题

28.设。是AABC的外心，点P满足力（+O行+=。7,则P是AABC的（）

A.内心B.任意一点C.垂心D.重心

29.设。是平面上一定点，4,B,C是平面上不共线的三点，动点尸满足0巨=54+

je[o,+8）,则点。的轨迹经过△力6。的)

\AB\cosB\AC\cosC

A.内心B.外心C.垂心D.重心

30.已知点。为△ABC所在平面内一点，且OA2+BC2=OB2+CA2=5方?+存2,则O一定为△ABC的

()

A.外心B.内心C.垂心D.重心

31.已知△43C,P为三角形所在平面上的动点，且满足两•户方=巨4•方=丽•户则尸为三角形的

（）.

A.外心B.内心C.重心D.垂心

32.在4ABe中，=AC,点。为4ABe的垂心，且满足AO=xAB+yAC,cosNB4C=。，则，+沙=

（）

A.-JB.-1C.JD.J

33.设“是△A3。的垂心，且3山+4崩+5方方=6,则cos/BHC的值为（）

A._噜B.-#C.-#D.—印

105614

34.若。为△力6。的垂心，+3OB+5（9C=6,则学也=，cos/BOC=

b、AOC

35.已知〃为△AB。的垂心（三角形的三条高线的交点），若彳乃=\ABI之/，则sinNR4C=.

35------

题型五:三角形中的“四心”问题的综合

36.已知△ABC,向量为，加，正满足条件方+（55+03=6,|3X|=|9|=|五卜则△ABC是

（）

A.等腰直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.直角三角形

37.已知点O、N、尸在所在平面内,_R.\OA\=\OB\=\OC\,NA^NB^NC=Z,PA-PB=PB'

记•⑸，则点O、N、尸依次是△力8C的（）

A.外心、重心、垂心B.重心、外心、垂心C.重心、外心、内心D.外心、重心、内心

38.数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中提出以下定理:三角形的重心、垂心和外心共线,

这条线称为三角形的欧拉线.已知点G,H,O分别为△/次7的重心，垂心，外心，。为AB的中点，则

（）

A.CH=ODB.CH=2ODC.CH='.SODD.CH=4OD

39.（多选）设河是△A6C所在平面内一点,则下列说法正确的是（）

A.若•法=义■法+*丞?，则M是边的中点

B.若AM=M3=MC,则M是△力3c的垂心

C.若位=一旎一加，则M是△ABC的重心

•D.若询）,则动点A〃过△43。的内心

B............二：一

40.（多选）已知三角形满足43=3,47=4,则下列结论正确的是（）

A.若点。为△48。的重心，则劭=4恁死，

OO

B.若点。为△ABC的外心，则刀•]二[■

C.若点。为△ABC的垂心，则与5=+§■而，

55

D.若点O为A46C的内心，则=J佶荏+[4方）.

41.（多选）在等腰448。中，已知46=4,。4=。8=8,若"、W、G、/分别为AABC的垂心、外心、重心

和内心，则下列四种说法正确的有（）

A.AH-BC=0B.AW-BC=24C.AG-BC=WD.AI-BC=A2

42.（多选）对于给定的△43C,其外心为O,重心为G,垂心为H,内心为Q,则下列结论正确的是（）

A.AC-AO=^\AC\

B.HA-HB=HA-HC=HB-HC

C.AG+BG+CG=0

D.若4、尸、Q三点共线，则存在实数4使通=«或/+点^

43.在&4BC中，已知AB=LAC=3,点G为4ABC的外心，点。为A4BC重心，则5s•历=.

题型六，弃Ifc定理与三角形的“四心”

44.设点。是△A3C所在平面内一点,则下列说法错误的是（）

A.若5N+1+53=6,则。为△力石。的重心；

B.若（刀+而）•通=（。5+。5）♦后方=0,则。为△48。的垂心；

C.若（害•后方=0,-^.-^=春，则△ABC为等边三角形：

V\AB\MCI>\BA\\BC\2

D.若方+2OB+3OC=6,则△BOC与A4BC的面积之比为S△欣）°:S­°=1:6.

45.（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔城”轿车的标志

很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：己知。是△ADC内一点，△3OC,A4OC,ZL4OZ?

的面积分别为SA，S°,S.则S,A•刊+SB•西+S,•（55=6.设。是丛ABC内一点，△ABC的三个

内角分别为？C,△8OC,A4OC,A4O8的面积分别为S/,SB，S。,若3列+4尻+5。方=6,则,

以下命题正确的有（）：

.............6

A

A.SA:SD:SC=3:4:5

B.O有可能是△ABC的重心

C.若。为ZXAB。的外心，则sinA:sinB:sinC=3:4:5

D.若。为△力的内心，则为直角三角形

46.（多选）己知点。为△43。所在平面内一点，满足53+4协+〃方=6,（其中九（）

A.当2=〃时，直线OC过边的中点

B.若4=2,〃=3时，XAOB与△力OC的面积之比为2:3

C.若|刊|=|3§|=|五|=1,且4=〃=1,则罚.彳§=得

J

D.若用•砺=0,且|刀|=|屈|=|历|=1,则九”满足/+〃2=1

47.（多选）平面向量中有一个优美的结论，有趣的是，这个结论对应的图形与“奔驰”轿车的logo非常相似,

该结论如下：如图，已知O是A4BC内部一点，将△BOC,A4OC,A4OB的面积分别记为S.,SB,S0,

则SrOX+Ss•。芯+Sc•。3=6.根据上述结论,下列命题中正确的有（）

A.若2词+31+4元=6,则SA：SB：S0=4:3:2

B.若丞5=春刀+|■灰，则S人:SB：SC=2：1：2

C.若。为△48。的内心，且504+12OB+13OC=1则NACB=与

D.若O为△48。的垂心，则tanABAC-OA+tanNABOOB+tanZ^CB-OC=0

48.（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理

与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是△48。内一点，

△BMC,AAMC,的面积分别为SA,S//S0,且S,•加+•笳+S,•祝=I以下命题正确

的有（）

A

A