二次函数的面积问题-浙教版九（上）数学知识点训练（含答案）

二次函数的面积问题一浙教版数学九（上）知识点训练

一、选择题

1.已知点M是抛物线y=x2—2mx+7n2+m—l（m为常数）的顶点，直线y=%+3与坐标轴分别交于

48两点，则△力8M的面积为（）

A.6或B.6C.4D.3或

2.如图，抛物线+bx+cgwO）与X轴只有一个公共点4（2,0）,与y轴交于点8（0,4）,虚线为其对

称轴，若将抛物线向下平移4个单位长度得抛物线“，则图中两个阴影部分的面积和为（）

3.已知等腰直角△4BC的斜边48=4或，正方形D"G的边长为鱼，把△/1BC和正方形DEFG如图放置，点

B与点E重合，边48与E”在同一条直线上，将△4BC沿AB方向以每秒四个单位的速度匀速平行移动，当点力

与点E重合时停止移动.在移动过程中，AABC与正方形DEFG重叠部分的面积S与移动时间t（s）的函数图象

大致是（）

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4.如图，已知A(1,1),B(3,9)是抛物线y=%2上的两点，在y轴上有一动点P,当4PAB的周长最小

时，则此时APAB的面积为.

5.如图，在平面直角坐标系中，已知点4(8,0),点8(0,6),点C为线段48中点，点。为线段。.4上一动点，将

线段CD绕点C顺时针旋转90。得到线段CE,连接OE,则△OE。面积的最大值为.

6.已知抛物线y="+人工-3(b是常数)经过点4(2,-3).

(1)求该抛物线的表达式；

(2)点A关于抛物线的对称轴的对称点为4,求抛物线顶点P与点A、/所围成的三角形的面积.

(2)求△4BD的面积.

8.如图，已知抛物线y=Q/+以+C与x轴的一个交点为4(3,0),与y轴的交点为B(0,3),其顶点为C,

对称轴为直线x=1.

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(1)求抛物线的解析式;

(2)判断△ABC的形状;

(3)已知点M为线段AB上方抛物线上的一个动点，请写出A/BM面积关系式，并求出当△48M面积最

大时点M的坐标.

9.已知二次函数＞=%2+/?%+6；9H0)的图象与“轴的交于/1、B(1,O)两点，与y轴交于点。(0,-3).

(1)求二次函数的表达式及A点坐标；

(2)D是二次函数图象上位于第三象限内的点，求△ACD面积的最大值及此时点。的坐标；

(3)M是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N.使以M、N、R、。为顶点的四边

形是平行四边形？若有，请求出点N的坐标.

10.如图，抛物线y=。。-1)(、一3)与*轴交于人，B两点，与y轴的正半轴交于点C,其顶点为D.

(1)写出C,D两点的坐标(用含a的式子表示)；

(2)设SABCD：S4ABD=k,求k的值;

(3)当ARCD是直角二角形时，求对应抛物线的解析式.

11.如图，抛物线y=a/+bx+C(Q工0)与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C.4C=VIU,08=

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OC=30A.

（2）在第二象限内的抛物线上确定一点P,使的面积最大，求出点P的坐标；

（3）在（2）的结论下，点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q,使点P,B,M,Q为顶点的

四边形是平行四边形，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

12.己知抛物线y=a/+b%+c（aw0）经过点和可仅一；）两点，且抛物线与x轴交于A、B两点

（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.

“Av

M*J

~X

・N

备用图

（1）若点M是抛物线y=ax2+bx+。的顶点，求抛物线解析式及A、B、C坐标；

（2）在（1）的条件下，若点P是A、C之间抛物线上一点，求四边形4PCN面积的最大值及此时点P的

坐标；

（3）若8（m,0）,且14m43,求a的取值范围.

13.在四边形ABCD中，AD=BC=1,AB=CD=2,BD=遥.点E为线段BD上一动点（不与点B,D重

合），连结AE,过E作CE的垂线交边AB于点F.

（1）求证：四边形ABCD是矩形.

（2）设DE=x,求△AEF的面积S关于x的函数表达式.

（3）在点E运动过程，当△AEF的某一个内角等于NBDC时，求所有满足条件的AF的长.

14.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=乂2+6*+（:与*轴交于点人（一1,0）,B（3,0）,与y轴交于点C,

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作直线BC,点P是抛物线在第四象限上一个动点(点P不与点B,C重合)，连结PB,PC,以PB,PC为边作

□CPBD,点P的横坐标为m.

(I)求抛物线对应的函数表达式；

(2)当口CPBD有两个顶点在X轴上时，则点P的坐标为

(3)当口CPBD是菱形时,求m的值.

(4)当m为何值时，oCPBD的面积有最大值？

15.“距离”是数学研究的重要对象，如我们所熟悉的两点间的距离.现在我们定义一种新的距离：已知P

(a,b),Q(c,d)是平面直角坐标系内的两点，我们将|a-c|+|b-d|称作P,Q间的“L型距离”，记作L(P,

Q),即L(P,Q)=|a-c|+|b-d|.已知二次函数yi的图像经过平面直角坐标系内的A,B,C三点，其中A,B

两点的坐标为A(-1,0),B(0,3),点C在直线x=2上运动，且满足L(B,C)<BC.

(D求L(A,B)；

(2)求抛物线yi的表达式：

(3)已知yz=2ix+1是该坐标系内的一彳、一次函数.

①若D,E是y2=2lx+l图像上的两个动点，且DE=5,求^CDE面积的最大值;

②当t<x<t+3时，若函数y=yi+y2的最大值与最小值之和为8：求实数t的值.

(补充两点间距离公式：平面直角坐标中两点A(xi.yi),B(X2.ya),则AB：j每一m产+(为-为)))

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答案解析部分

1.【答案】B

【解析】【解答】解：；y=/一2mx+Tn?+m-1=(%-m)2+m-1»

・••点M的坐标为(m，m-1),

・••点M在直线y=工一1上.

♦・,直线y=乃+3与坐标轴分别交于点A、B两点,

・•・点4的坐标为(-3,0),点B的坐标(0,3).

•・•点4的坐标为(-3,0),点B的坐标(0,3),

:.OA=3,OB=3,

AB=>JOA2+OB2=3或，

13厂

OErAB=5五.

乙乙

同理，可求出：OF=ga,

:.EF=OE+OF=2vL

[1

•••Sf8M=5乙43,EF=5乙x3\/2x2\[2—6,

故答案为：B.

【分析】先将原抛物线由一般式化为顶点式，得到顶点M的坐标，根据坐标特征可以判断M在直线y=x-

1上，再求出直线y=x+3与坐标轴的两个交点A、B的坐标，根据一次函数图象及性质，得到

直线y=%-1与直线y=%十3平行，结合图象过点O作OE，直线y=x+2于点E,延长E。交直线y=x-1

于点凡利用勾股定理及等腰直角三角形的性质可以求出高E尸的长度，再利用三角形的面积公式即可求出△

48M的面积.

2.【答案】D

【解析】【解答】解：设平移后的抛物线与对称轴所在的直线交于点M,连接48,0M.

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w

tir

由题意可知，AM=OB,

:4(1,0),8(0,2)

：.OA=2,OB=AM=4,

•・•抛物线是轴对称图形，

・•・图中两个阴影部分的面积和即为四边形4B0M的面机

*：AM||OB,AM=OB,

・•・四边形4B0M为平行四边形，

:・S四选形ABOM=OB.04=4x2=8.

故答案为：D.

【分析】先求出04=2,08=4M=4,再结合AM||。8,AM=0B,证出四边形480M为平行四边形，最

后利用平行四边形的面积公式列出算式求解即可.

3.【答案】C

【解析】【解答】解：①当。<t<1时，S=鼻历.@=£2,

函数图象为开口方向向上的抛物线；・・・B选项不符合题意

设BC交FG于H,则FH=BF=&t-M

则GH=42-BF=2y[2-V2t，

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S=S^^DEFG-S^HMG=(V2)2-1(2V2-V2t)2=-t2+4t-2,

函数图象为开口方向向下的抛物线；

③当2V£43时，，S=2；.'A选项不符合题意

④当3V£工4时，同理可得S=2-1(V2t-3V2)2=-t2+6-7,

函数图象为开口方向向下的抛物线；・・・D选项不符合题意；

故只有选项C符合题意.

故答案为：C.

【分析】根据题意在△力BC移动的过程中，需要分为四段，分别是OVtWl,l<tW2,2<t<3,3<

t<4,依据运动特点，分别求出对应的函数关系式，根据函数关系式对函数图象进行判断即可.

4.【答案】6

【解析】【解答】解：如图所示，作出B关于y轴的对称点8‘，则B8'J_y轴于点H,连接力夕交y轴于P,

则点P就是使△PAB的周长最小时的位置.

•・,抛物线y=%2的对称轴是y轴，B、8,关于y轴对称，

，点P在抛物线y=/上，且PB=P"，

：.PA-VPB=PA+PB1=ABr,

・•・此时△PAB的周长最小，

VB(3,9),

：.B'(-3,9),

：.BB'=6,点H的坐标是(0,9),

VA(I,1),

・•・点A到8夕的距离为9-1=8,

设直线AB'的直线方程为y=kx+b,把点A和点8’的坐标代入后得到,

.(-3k+b=9

,,Ik+b=1，

解得摩了,

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，直线AB'的解析式为y=-2x+3,

"'|x=0时，y=3,

・・・P点的坐标为（0,3）,

.*.PH=OH-OP=6,

此时S.B=S“BB'-S&PBB'=Jx6x8-ix6x6=6,

即aPAB的面积为6,

故答案为：6.

【分析】作出B关于y轴的对称点B',则B8'_Ly轴于点H,连接力夕交y轴于P,先求出直线A4的解析式

为y=-2x+3,再求出点P的坐标，可得PH=OH-OP=6,最后利用三角形的面积公式及割补法求出答案

即可.

5.【答案】等

【解析】【解答】解：如图所示，过点。作CGJ.X轴于点G,过点E作CG的垂线，交GC延长线于点F,

•・•点C为线段48中点，点4(8,0),点B(0,6),

•••C(4,3),

:.OG=4,CG=3,

设点。的坐标为。(m,0)(0VmV8),则。0=m,

:.DG=OG—OD=4—m,

由旋转的性质可知，CD=ECjDCE=90。,

•••Z-DCG+乙ECF=90°,

YCG「轴，

•••乙DCG+乙CDG=90°,

:.乙ECF=Z.CDG,

在△EC/7和△COG中，

(乙CFE=乙DGC=90°

乙ECF=Z.CDG

EC=CD

.^ECF=£iCDG(AAS),

第9页

；.CF=DG=4-m,EF=CG=3,

.-.Z?(4-3,4-771+3),即E(l,7-力t),

2

*'-△OED的面积为:m(7—m)=—,(m—彳)+竽,

由二次函数的性质可知，在0Vm<8内，当rn="时，△0E0的面积取得最大值，最大值为鲁，

Lo

故答案为：挈.

【分析】过点C作CG_Lx轴于点G,过点E作CG的垂线，交GC延长线于点F,设点。的坐标为

0(m,0)(0Vm<8),则0。=m,则DG=0G—0。=4-m,再利用“AAS”证出△ECF三△COG,可得

CF=DG=4—m,EF=CG=3,再利用三角形的面积公式可得八。£7)的面积为4m(7-m)=

2

-i(m-J)+整最后利用二次函数的性质分析求解即可.

6.【答案】(1)解：・・,抛物线y=4+b%-3(b是常数)经过点4(2,—3)

A-3=22+2b-3,

解得：b=-2,

抛物线的表达式为y=%2-2%-3；

故答案为：y=x2-2x-3.

(2)解：•••抛物线y=X2-2X-3=(X-1)2-4,

••・抛物线的对称轴为％=1,顶点坐标P(l,-4),

•・•点A关于抛物线的对称轴的对称点为4,4(2,-3)

•••4(0,-3),

AAA'=2,AAAP的高为1,如图所示：

.,点P与点A、1所围成的三角形的面积为1,

故答案为：1.

【解析】【分析】(1)将点A的坐标代入y=%2+母；一3求出6的值即可；

(2)先利用配方法将二次函数的一般式化为顶点式可得对称轴和点P的坐标，再求出AA・2,4AAP的高

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为1,最后利用三角形的面积公式求解即可.

(1)辉：将4(2,-3)代入y二尢2十》元一3,得：-3=22+2/?-3,

解得：b=—2,

二抛物线的表达式为y=X2-2X-3；

(2)解:如图，

•••••>•••

•:•…占$・・—::•

••・抛物线y=x2-2x-3=(x-I)2-4

••・抛物线的对称轴为x=1,顶点坐标尸(1,一4),

SA“P=2X2X1=1,

•・•点P与点A、1所围成的三角形的面积为1.

7.【答案】(1)解：•••二次函数y=^+b%+c的图象与％轴交于,4(一1,o),B(3,0)两点,

:.y=(%4-l)(x-3)=x2—2%-3,

••・二次函数的解析式为y=X2-2X-3.

故答案为：y=x2-2%-3；

(2)解：y=产—2x—3=(%-1)2—4,

•・•点O的坐标为(1,-4),

•・•点。到的距离为4,

•••力(-1,0),8(3,0),

:.AB-4,

S△.so=]X4x4=8.

故答案为：8.

【解析】【分析】(I)利用两点式待定系数法求出二次函数解析式即可；

(2)先将二次函数的一般式化为顶点式可得点D的坐标，再求出AB的长,最后利用三角形的面积公式求

解即可.

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(1)解：•••二次函数y=/+bx+c的图象与％轴交于力(一1,0),8(3,0)两点，

•••y=(x4-l)(x-3)=x2—2%—3,

•••此二次函数的解析式为y=X2-2X-3.

(2)解：y=%2—2%—3=(x-l)2—4,

•・・点。的坐标为(1，-4),

点。到4B的距离为4,

•••4(1,0),5(3,0)，

:.AB=4,

•*,SMBD=]X4X4=8.

8.【答案】(1)解：•・•抛物线、=。/+取：+(：与*轴的一个交点为4(3,0),对称轴为直线x=l.

・••与x轴的另外一个交点为(-1,0)

可设y=a(x+l)(x-3).

•・•与y轴的交点为8(0,3),

.*.3=(-3)a,

解得：a=-l,

・•・抛物线的解析式为y=-(x+l)(z-3)=一/+2x4-3.

(2)解：Vy=-x2+2x+3,

当x=l时，y=-l+2+3=4,

・•・顶点C(l,4),

F(3,0),8(0,3),

'/IB=3y[2,AC=V(3-l)2+(0-4)2=2烟,BC=或，

*：BC2+用=2+18=20,AC2=20

-'-BC2+AB2=AC2,

：.Z-ABC=90°,

；・△ABC是直角三角形.

⑶解:•・•过点A(3,0),B(0,3),

・•・线段AB所在直线的解析式为:y=-x+3,(0<x<3).

将直线AB向上平移a个单位，使经过点M,则y=-x+3+a,

记平移后的直线为MD,点D为平移后的直线与x轴的交点，故D(3+a,0),

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.OB_AE

••近;而

'：OA=OB=3,AB=y/OA2+OB2=3&，AD=a

.3_AE

..575=H'

乙

,,SAABM=；x4BxAE=；x3^2x—

联立y=-%+34-Q和y=-x2+2x+3得x2-3x+a=0,

△b2

9

-<-

4.

39

<-X-=2_7

-248

即当Q=1时，面积的最大值为善.

4o

此时/—3%+?=0，x=1.

故点M坐标(|,竽).

【解析】【分析】(1)根据题意确定与x的另一交点(-1,0),设解析式为交点式，代入点B坐标求解即可.

(2)通过计算证明：BC2+AB2=AC2,利用勾股定理的逆定理即可判断；

(3)先求出直线AB的解析式y=-x+3,再得到直线AB平移经过点M时的解析式MD为y=-x+3+a,得与x

轴的交点D(3+a,0),过点A作AE_LMD于点E,构造△AOBs/\DEA,求出力E=孕，可得=鼻

48乂4£=学联立解析式得%2-3%+。=0,得△=9一4。工0,确定a的取值范围，代入即可得到面积的最

大值以及此时点M的坐标.

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(9Q+3b+c=0

(1)解：由题意得：［-A=i,

(c=3

a=—1

解该方程组得：b=2,

c=3

・•・抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.

(2)解：Vy=-x2+2x+3=—{x—l)2+4,

・•・顶点C(l,4),

•・Z(3,0),8(0,3),

：-AB=3或=2®BC=

'：BC2+AB?=2+18=20,AC2=20

-9-BC2+AB2=AC2,

：.^ABC=90°,

△4BC是直角三角形.

(3)解：如图，设M(m,-m2+2m+3)»连接。M、MB、MA.

YSUBM=S^OAM+SAOBM~SMOB，

2

••S&AEM=4x3x(-m2+2m+3)+^x3x?n-^x3x3-=x3x(m-m24-2m)=—(m—^)+*，'

a

<o,o<?n<3»

・・・m=9时，△48M面积的最大值为条此时点M坐标停，竽).

9.【答案】(1)解：把8(1,0)，。(0,—3)代入、=/+力:+。得，

fl+b+c=0

tc=-3，

解心3

，二次函数的表达式为y=%2+2x-3,

当y=0时，x24-2x-3=0,

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解得必=1,x2=-3,

・・・A(-3,0)；

(2)解：连接A。、CD，

456X

设直线AC的表达式为y=kx+n,把4(一3,0)、C(0,—3)代入得,

(0=-3k+n

I-3=n'

解得

；•直线AC的表达式为y=—x—3,

过点。作x轴的垂线，交AC于点、G,

则S"CD=S^ADG+S“DG=^DG-OA=^DGx3=,DG，

・••当OG取最大值时，△ACD的面积最大，

设。(m,巾2+2m—3),则G(m,—m—3),

•・•点。位于第三象限，

.*.—3<m<0,DG=-m—3—(jn2+2m-3)=—m2—3m,

・"△48=|(-m2-3m)=-1(巾+1)+条

・,•当m=—同时，△ACO的面积最大，最大值为《，

Zo

此时，点。的坐标为(_9,一呈)

(3)解:75(1,0),

：.OB=1,

由y=/+2x-3得，抛物线的对称轴为直线x=-1,

•・•以M、N、B、。为顶点的四边形是平行四边形,

①当。8为平行四边形的边时，MN=OB=1,

设点N的横坐标为£,

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•；MN||x轴，

・'・忖-(-1)1=1，

解得£=0或£=一2,

•・•点N在抛物线上，

・••点N的坐标为(-2,-3)或(0,-3)；

②当。8为平行四边形的对角线时，

则孚=2+1,

解得t=2,

・••点N的坐标为(2,5)；

综.上，点村的坐标为(-2,-3)或(0,-3)或(2,5).

【解析】【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数的几何应用.

(1)将B,C两点的坐标代入二次函数的解析式可列出方程组，解方程组可求出b,c的值，再求出当y=0

时，可列出一元二次方程，解方程可求出点4坐标；

(2)连接AD、CD,设直线AC的表达式为y=kx+a将点A和C的坐标代入表达式可求出直线AC的表达

式，过点。作x轴的垂线，交AC于点G,利用三角形的面积公式进行计算可得：Sgcc=%G,据此可知当。G

取最大值时，△4CD的面积最大，设O(m,m2+2m-3),则G(m,-m-3),可得一3<<0,DG=

2

-m2-3m,进而可得5例0=_|仙+|)+等最后利用二次函数的性质可求出三角形的面积最大值，并

求出n:的值和D点的坐标；

(3)先求出OB的长及二次函数的对称轴，再分两种情况讨论，①当。8为平行四边形的边时，MN=OB=

1,②当。8为平行四边形的对角线时，分别根据平行四边形的性质列出方程，解方程可求出点N的坐标.

(1)解：把8(1,0),C(0,—3)代入y=/+bx+c得，

fl+b+c=0

Ic=-3

.｛昌

，二次函数的表达式为y=x2+2x-3,

当y=0时，x2+2%-3=0,

解得％I=1»%2=-3,

・・・4(-3,0)；

(2)解:连接A。、CD,

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6?

设直线AC的表达式为y=kx+n,把力(一3,0)、C(0,—3)代入得,

[0=-3k+n

t-3=n，

解得忆4

；・直线4c的表达式为y=—x—3,

过点。作x轴的垂线，交4c于点G,

3

则SAACD=SMOG+S^CDG=qDG-OA=qDGx3弓。G，

・•・当。G取最大值时，△4C0的面积最大,

设。(加,巾2+2m—3),则G(m,—m-3),

•・•点。位于第三象限，

—3<m<0,DG=-m—3—(m2+2m-3)=—m2—3m,

•s_3

,•S&ACD~2

・,•当m=—微时，△AC。的面积最大，最大值为瞥，

此时，点。的坐标为(号-竽)；

(3)解：V5(l,0),

：.OB=1,

由y=x2+2x-3得，抛物线的对称轴为直线x=-1,

♦・•以M、N、B、。为顶点的四边形是平行四边形,

当OB为平行四边形的边时，MN=0B=1,

设点N的横坐标为3

〈MNII第轴，

小一(-1)1=1，

解得£=0或£=-2,

•・•点N在抛物线上，

第17页

・••点N的坐标为(-2,-3)或(0,-3)；

当03为平行四边形的对角线时，

则当=字

解得32,

・••点N的坐标为(2,5)；

综上，点N的坐标为(-2,-3)或(0,-或或(2,5).

10.【答案】⑴解:令x=0,y=3a,AC(0,3a).

Vy=a(x—l)(x—3)=a(x—2)2—a,

AD(2,-a)：

(2)解：令y=0,有研1)(%-3)=0,

解得:x=l或x=3,

・・・4(l,0),5(3,0),

：.AB=3-1=2,

1

X

-22XQ=Q.

设直线CD交x轴于点E,如图所示,

设直线CD解析式为y=lx+b,

把C、D的坐标代入可得

(b=3a

12t+b=­a

解得｛k酉

・•・直线CD解析式为y=-2ax+3a,

令y=0可解得：x=I，

・・・BE=3++，

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•13,

xx

•♦SRBCD=SWEC+SWED=22©Q+Q)=3Q，

:・SABCD：S^ABD=(3a):a=3,

・・・k=3；

(3)解:VZBCD<ZBCO<90°,

・•・△BCD为直角三角形时，只能有NCBD=90。或NCDB=90。两种情况.

•・・B(3,0),C(0,3a),0(2,-a),ABC2=32+(3a)2=9+9a2,CD2=22+(-a-3a)2=4+16a2,

BD2=(3—2)2+a2=1+a2.

①当NCBD=90。时，则有Be?+BD2=CD2,

即9+9a2+i+Q2=4+16a2,

解得：a=-1(舍去)或a=l,

此时抛物线解析式为y=/-4x+3；

②当NCDB=90。时,则有。。2+B〃2=BC2,

即4+16a2+1+a?=9+9a2,

解得:a=_孝(舍去)或a哆

此时抛物线解析式为y=挈/-2y/2x+蜉；

综上可知：当△BCD是直角三角形时，抛物线的解析式为丫=炉一4无+3或、=q％2_2&*+孥.

【解析】【分析】(1)先求C点坐标，化为顶点式可求得D点坐标；

(2)令尸0可求A、B的坐标，结合D点坐标可求△ABD的面积，利用待定系数法可求直线CD的解析

式，则可求得E点坐标，从而可表示出△BCD的面积，可求得k的值；

(3)分NCBD=90。和NCDB=90。两种情况，分别利用勾股定理可得到关于a的方程，求得a的值，则可求

得抛物线的解析式.

(1)解：在、=Q(X—1)(%—3)中；

令x=0可得:y=3a,

AC(0,3a).

Vy=a(%—1)(%—3)=a(x2—4%4-3)=a(x—2)2—a,

・・・D(2,—a)；

(2)解：在丫=。(％—1)(%—3)中，

令y=0可解得：x=l或x=3,

・M(1,O),8(3,0),

：.AR=^-1=2.

•1

**SAARD=oX2xa=a.

第19页

如图，设直线CD交x轴于点E,

设直线CD解析式为y=tx+b,

把C、D的坐标代入可得：L,

t2t4-D=-a

解得：｛；=-2a，

(b=3Q

・•・直线CD解析式为y=-2ax+3a,

令y=0可解得：x=|,

・・・E&0),

:・BE==

•13,

••SAHCD=SRBEC+S^BED=2x2x(3a+Q)=3Q，

,♦S&BCD：S“BD=(3a):a=3»

r.k=3；

(3)解：・・・B(3,0),C(0,3a),0(2,-a),

：.BC2=32+(3a)2=9+9a2,CD2=22+(-a-3a)2=4+16a2,BD2=(3-2)2+a2=1+a2.

VZBCD<ZBCO<90°,

・••△BCD为直角三角形时，只能有/CBD=90。或NCDB=90。两种情况.

①当/CBD=90。时，则有8c2+BD2=CD2,

即9十9a2十1十Q?=4十16a2,

解得：Q=-1(舍去)或a=l,

此时抛物线解析式为y=/-4x+3；

②当NCDB=90。时，则有CD2+BD2=BC2,

即44-16a2+1+a?=9+9a2,

解得：a=_孝(舍去)或a*,

此时抛物线解析式为y=乌/_2V2x+平：

乙乙

第20页

综上可知：当△BCD是直角三角形时，抛物线的解析式为、=%2一4%+3或丫=孝/_2或.丫+挈.

11.【答案】(1)解：:OB=0C=3。4，AC=国,AC2=0A2+0C2,

**-(VT0)2=M24-(3O71)2,

：.0A=1(负值舍去)，

：.0B=0C=30A=3,

・・・力(1,0),B(—3,0),C(0,3),

设抛物线解析式为y=aG+3)G-l),将C(0,3)代入,得:-3Q=3,

解得：Q=-1,

・••抛物线解析式为y=-(x+3)(%-1)=-x2-2x+3；

故答案为：y=-x2-2x+3.

(2)解：过点P作PK||y轴交8C于点K,如图I所示：

图I

设直线8c解析式为丫=kx+〃，将B(—3,0),C(0,3)代入，

得：｛-3口=0,

解得：『二，

・•.直线BC解析式为y=x+3,

设「也一户一21+3),则K(t"+3),

•••PK=一户―2t+3—(£+3)=-t2-33

•*,S&PBC=S“BK+SgcK

11

=7^PK•(t+3)+5PK-(0-t)

乙乙

3

=^PK

=?(-t2-3t),

乙

_3/27

=―4£+力+丁

第21页

...当t=_|时，4PCB的面积最大,此时点p的坐标为（号竽）;

故答案为:（_*，¥）•

・・・P与Q纵坐标相等，

-%22%+3=

解得：一,（舍去）,

%1=-/，%2=

•••Qi（W竽7

②当点Q在％轴下方时，如图所示:

，PQ、BM的中点坐标相同,即它们的中点的纵坐标为0,

・•・P与Q纵坐标互为相反数,

-X2-2%+3=一半

解得：均=一驾±1外=驾工，

1LLL

••《（-空’-朗啊（牛，-竽），

综上所述，Q点的坐标为（T，竽）或卜旦署，一竽网理二，一竽）.

故答案为：（4,学网一苧，一半）或（手，一殍

第22页

【解析】【分析】(1)利用勾股定理可得4c2=0炉+0C2,再将数据代入可得(VI可2=0不+(304)2,求

出OA的值，即可得到点A、B、C的坐标，最后利用待定系数法求出函数解析式即可；

(2)过点P作PK||y轴交8C于点K,先求出直线BC的解析式y=%+3,设P(£,-d一2t+3),则

KQ"+3),利用割补法求出S“BC=S：+S3CK=一会+当+条最后利用二次函数的性质求解即

可；

(3)分类讨论：①当点Q在x轴上方时，②当点Q在x轴下方时，再分别画出图象并求解即可.

⑴解：'：0B=0C=30A,AC=AC2=0A2+0C2,

，(同)2=0储+(304)2,

A0A=1(负值舍去),

：.0B=0C=30A=3,

A/l(l,0),B(—3,0),C(0,3),

设抛物线解析式为y=Q(x+3)。一1),将C(0,3)代入，得：—3Q=3,

解得：Q=-1,

；・抛物线解析式为y=-(%+3)(%-1)=—x2—2x+3；

(2)解：如图1,过点P作PKlly轴交BC于点K,

图1

设直线BC解析式为y=忆％+九，将8(—3,0),C(0,3)代入,

得：一i=。，

In=3

解得：

•,・直线BC解析式为y=%+3,

设P(£,-£2-2£+3),则K(£,£+3),

PK=-d-2£+3-Q+3)=-t2-33

S“BC—S“BK+S&PCK

11

=7TPK,(t+3)-b7TPK,lv0—t)

第23页

3

=5乙PK

=|（"f2-3t），

=一部++，

JX1)¥

.._3

.2,<

.•.当£二一|时，△PC8的面积最大，止匕时点P的坐标为（一|,均:

（3）解：存在.分两种情况：点。在“轴上方或点。在％轴下方.

①当点Q在％轴上方时，・・・PQI|BM,

・・・P与Q纵坐标相等，

解得：与=一/，X2=—1（舍去），

•■•Qi（一：'苧）’

②当点Q在％轴下方时，,:PQ、为对角线,

:・PQ、8M的中点坐标相同，即它们的中点的纵坐标为0,

・・・P与Q纵坐标互为相反数,

:,—X2-2%+3=-竽

解得：/=—驾±1

,.Q（宇，山或出（宇，_打

综上所述，Q点的坐标为（T，豹或卜驾N,—竽）或（鹫N,—竽）.

第24页

・•・可设抛物线解析式为y=a(x+2产+I，

=Q(2++

解得：Q=—，

・•・抛物线的解析式为y=-1(X+2)24-^=-1X2-2X+1，

乙乙乙乙

当y=0时，-I%2-2%+1=0»

乙乙

解得％=-5或1,

・・・4(-5,0),8(1,0),

当％=0时，y=

・"(向；

(2)解:设P(£,—%—2£+5)，设直线4c的解析式为丫=依+/

把4(一5,0)代入得：0=一5上+费

解得k=i,

・•・直线AC的解析式为y=/+£

过P点作PG||y轴交4c于点G,如图所示：

第25页

15

2

--

22

,SNAC=4（一匆一汨x5=—防+1）+警

当£=一割寸，△P4C的面积有最大值笠，此时产（一|,豹，

设直线CN的解析式为y=k'x+1

=2k'+'，

解得k=—3,

・,・直线CN的解析式为y=-3x+

・・・直线CN与x轴的交点为像,0）,

+5+=,

'S&ACN=2（I）XGI）T

・•・四边形力PCN面积的最大俏为芸+学=攀：

1OL16

（3）解：将M（-2,浙川（2,一分两点代入,=Q/+6X+C,

9

-

I4a-2匕+c=2

7

14a+2b+c=•

b=-2

解得，1

9=2-4a

，y=ax2—2x+2—4a,

当m=l时，a-2+1-4a=0,解得：Q=—2，

当?n=3时，9Q-6+/-4Q=0，解得Q=m，

•**a<-*或。

9

-

【解析】【分析】（1）利用待定系数法设抛物线解析式为y=a（x+2不2再将点N代入解析式求出a的

值，从而确定函数的解析式，再根据抛物线与纵坐标交点坐标特点求出点A、B、C的坐标即可;

第26页

(2)根据点的坐标与图形性质可设产-2亡+?),利用待定系数法求出直线AC的解析式为y=

+可得G©,£+券利用“铝锤法”求出屋叽司(一犯一为X5=_孤+3+罂可得当」=

一轴，△PAC的面积有最大值密,此时P(-9,善),再求出S3N=；G+5)XG+|)=^,最后相加即

可；

(3)先将点M、N代入解析式求出旷=。/一24+9-4°,再分类讨论：①当m=l时，求出。=一劣，②

当m=3时，求出Q=1J,即可得到或QN奈

(1)解：••,点M是抛物线y=ax2+Z)x+c的顶点，

9

-

・♦・可设抛物线解析式为y2

•・•抛物线过点N(2,—0,

=Q(2+2尸+搭

解得：Q=—£，

・・・抛物线的解析式为y=-1(x+2)2+|=-1x2-2x+i

当y=0时，一/2+£=0，

乙乙

解得％=-5或1,

.\71(-5,0),5(1,0),

当x=0时，y=

."(0,分

(2)解:设p(£,一#一2七+罚，

设直线〃1的解析式为y=匕+1

把4(一5,0)代入得：0=—5k+9

乙

解得k=5，

15

・・・直线AC的解析式为y-X+

2J2

过P点作PG||y轴交AC于点G,

1

G-£+

2

151515

22

pG=-t2t十--r-=-t-

-2-2-2v2-2-2

第27页

•"△PAC=乂一匆一为x5=++警

当"一割寸，的面积有最大值玲，此时P（一去引,

i殳直线CN的解析式为y=k'x+I，

・•・一：=2《+擀，

解得k=-3»

・,・直线CN的解析式为y=-3x+f»

・,・直线CN与x轴的交点为G，0）,

17

/5一

-+5X-+-325

2V62

・••四边形力PCN面积的最大值为耍+学=嘤；

loZlb

(3)解：将M(―2最)和N(2,—(两点代入、=、/+b%+c,

(4a-2b+c=Z(b=-2

・•・2解得i

(4a+2b4-c=-J卜=2-4a

••y=ax2-2%4-1-4Q，

当m=l时，a-2+l-4a=0,解得：a=-i»

当m=3时，9a-6+1-4a=0>解得Q=奇，

•**aW—*或Q-

13.【答案】(1)VAD=BC,AB=CD,

・•・四边形ABCD是平行四边形，

VAD=1,AB=2,BD=V5,

.\AD2+AB2=BD2,

.\ZDAB=90°,

，四边形ABCD是矩形：

第28页

(2)过点E作EJ_LAB于点J,交CD于点K.

•・,四边形ABCD是矩形，

・•・ZDAJ=ZADK=ZAJK=90°,

・•・四边形ADKJ是矩形，

/.AJ=DK,AD=JK,AD/7JK/7BC,

.DE__EK__DK_

一两一两'

.x_EK_DK

・・吞=丁=方，

・・・EK=争，DK=^§x,

・・・EJ=JK=EK=l_^x,