人教版高中数学选择性必修第三册 二项分布【原卷+答案】

07

学习单元4二项分布与超几何分布

7.4.1二项分布

A级必备知识基础练

1.(多选题)若随机变量X服从二项分布8(制)厕下列结论正确的有()

A.P(X=1)=P(X=3)

B.P(X=2)=3P(X=1)

C.P(X=4)=2P(X=0)

D.P(X=3)=4P(X=1)

2.已知X〜仇〃夕),E(X)=8,O(X)=1.6,则n与p的值分别为()

A.100和0.08B.20和0.4

C.10和0.2D.I0和0.8

3.某同学上学路上要经过3个路口，在每个路口遇到红灯的概率都是，且在各路口是否遇到红灯是相

互独立的，记X为遇到红灯的次数，若y=3x+5,则y的标准差为()

A.巡B.3C.WD.2

4.唐代诗人张若虚在《春江花月夜》中曾写道:“春江潮水连海平，海上明月共潮生.”潮水的潴落和月

亮的公转运行有直接的关系，这是一种自然现象根据历史数据，己知沿海某地在某个季节中每天出现

大潮的概率均为|,则该地在该季口连续二天内，至少有两天出现大潮的概率为()

A208813

'亏C.万D.五

5.甲、乙两人进行羽毛球比赛,比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局比赛都结束，假定甲每局比

赛获胜的概率均为|,则甲以3：I的比分获胜的概率为()

A.《B.MC.iD.|

278199

6.(多选题汜知随机变量X~8(l(),p),随机变量丫~仅10,1-〃),〃£卜)用,则下列说法正确的有()

A.当启时,P(XW1)=+

BJ)(X)+O(y)的最大值为5

C.当〃=决寸，尸(X二口取最大值时k=5

D.[P(X=M)-P(r=M)](jt-6)<0

7.在4次独立重复试验中，事件A发生的概率相同,若事件4至少发生1次的概率为案，则在I次试验

ol

中事件A发生的概率为.

8.小明参加社区组织的射击比赛活动，已知小明射击一次，击中区域甲的概率是最击中区域乙的概率是

"击中区域丙的概率是右区域日、乙、丙均没有重复的部分.这次射击比赛获奖规则是:若击中区域甲

则获一等奖;若击中区域乙则有一半的机会获得二等奖，有一工的机会获得三等奖;若击中区域丙则获

得三等奖;若击中上述三个区域以外的区域则不获奖.获得一等奖和二等奖的选手被评为“优秀射击

手”称号.

(1)求小明射击1次获得“优秀射击手”称号的概率；

(2)小明在比赛中射击4次，每次射击的结果相互独立，设获三等奖的次数为X,求X的分布列和数学期

望.

B级关键能力提升练

9.在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A

在一次试验中发生的概率〃的取值范围是()

A.[0.4,DB.(0,0.4]

C.(0,0.61D.[0.6,l)

10.(多选题)若随机变量X~8(5』,则ax=k)最大时A的值可以为()

A.lB.2C.3D.4

11.某同学共投篮12次，每次投篮命中的概率为0.8,假设每次投篮相互独立，记他投篮命中的次数为随

机变量X,则D(2X)=，该同学投篮最有可能命中次.

12.用三种不同的手势分别表示石头、剪刀、布,两个玩家同时出示各自手势1次记为1次游戏,“石

头，，胜“剪刀，，」剪刀,，胜“布，，，”布，，胜"石头，，双方出示的手势相同时，不分胜负现假设玩家甲、乙双方

在游戏时出示三种手势是等可能的.

(1)求在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率；

(2)若玩家甲、乙双方共进行了3次游戏，其中玩家甲胜玩家乙的次数记作随机变量X,求X的分布列.

13.为了调查某地市民对中医药文化的了解程度，某学习小组随机向该地100位不同年龄段的市民发

放了有关中医药文化的调查问卷，得到的数据如下表所示：

成绩

年龄段

10.20)120.40)[40,60)[60,80)180,100)

31岁―40岁481396

41岁~50岁28102218

规定成绩在区间［0,60)内代表对中医药文化了解程度低，成绩在区间［60,100］内代表对中医药文化了

解程度高.

(1)从这100位市民中随机抽取I人,求抽到对中医药文化了解程度高的市民的频率；

(2)将频率视为概率，现从该地41岁~50岁年龄段的市民中随机抽取3人，记X为对中医药文化了解程

度高的人数，求X的分布列和期望.

参考答案

学习单元4二项分布与超几何分布

7.4.1二项分布

1.BD由题意.X的分布列为P(X=k)=C^(；)勺(1?4U=0.1.2.3.4.

则P(X=O)=C$x(p°x(l-|)4=J-,

5aol

P(X=l)=C；x(|)/(l-|)3哈

P(X=2)=Cix(|)2x(l-|)2=^,

丝—3)一(：“(①(1.？嚼

尸(X=4)=C：X(|)，X(1-|)D=^,

因此尸(X=2)=3P(X=l),P(X=3)=4P(X=l),P(X=4)=16P(X=0).故选BD.

2D因为X如⑼，所以需泻j=",

解得［:款

3.A因为该同学经过每个路口时，是否遇到红灯互不影响，所以可看成3重伯努利试验，即X〜B

3,9,则X的方差O(X)=3xgx(1-)=1,

所以y的方差D(r)=32D(X)=9x^=6,

所以y的标准差为向竹二VS.

4.A该地在该季节连续二天内,至少有两天出现大潮包括两天或二天出现大潮，

有两天出现大潮的概,率为鬣x(22x：=，，

J*JJ

有三天出现大潮的概率为0x(?3=3

J4/

所以至少有两天出现大潮的概率为1+2=需

S.A当甲以3：1的比分获胜时，说明甲、乙两人在前三场比赛中，甲只赢了两局，乙赢了一局，第

四局甲嬴，所以甲以3:1的比分获胜的概率为X(?2X(11)X|=3X：X；X；=2故选

A.

6.BCD对于A,当p=；时/(在l)=P(X=O)+P(X=l)=C?o(l-p严+储0〃(1-〃)9=恶，故A错误.对于

■■

BQ(X)+Z)⑺=20〃(l-p£20x1号以上=5,当且仅当〃乏时，等号成立，故B正确.对于C,当p=1

时,P(X二女尸C，o(?J?""二怨’由二项式系数的性质可知当k=5时,P(X=2)取得最大值，故C正

确.对于D,P(X=k-l)-P(y=hl)=C针/产(l-p)g-C钳(1-p严pi",当k<6时,P(X=Jl)・P(y=h

1)=C务产(1-〃产[(1产因为〃巳(oj,所以(].〃产2A/2-”>o,则『(X二七[>p(y=k-\)](k-

2,2

6)v0;当Q6时,P(X=hl)-尸(y=hl)=Cf”Xl-p)"炯N2_(1_p严丁因为pg(()£,所以p*--(|-

p产i2<o所以[p(x=hl)-P(y=hl)](h6)<0;当k=6时,[P(X=hl)-P(y=hl)J(h6)=0.综上所述,D正

确.故选BCD.

7.1设在一次试脸中,事件力发生的概率为p,

由题意知,1・(1叩)4=||,所以(1.〃产端故p=l

O1O1J

8.解(1)记射击一次获得“优秀射击手”称号为事件A,射击一次获得一等奖为事件及射击一次获

得二等奖为事件c；则有A=8UC/3)W/(C)WX|=1,

所以P(A)=P(BUC)=P(8)+«O=；+1=^.

3824

⑵记“获得三等奖”为事件。，

所以尸(。)三+"；；.

获得三等奖的次数为X,显然X~B(壮).则X的分布列为HX=Q=Cff(P«(?4^=0.1.23.4.

4144

所以P(X=0)=C?X(?%(；)、黑，

P(X=l)=C*x(»x(，3埸

52Mx(小伙嗜噜

P(X.3)-Clx(l)^x(p--^=A

P(X=4)=C?x(2x(，=短.

计算的具体结果为

X01234

81272731

P

25664128642S6

E(X)=4xi=l.

4

9.A由题意得,黑•〃(1・〃)34c即2(1少)2,

•*-4(1-p)<6p.

VO<p<l,

/.0.4<p<l.

10.AB依题意得P(X=k)=Cl(；)4?

攵=0,123,4,5.

则P(X=°)二条，P(X=D=券，

P(X=2)=果,P(X=3)=券

P(X=4)啜,P(X=5)嗡.

故当％=1或k=2时,P(X=A)最大.

11.7.681()由二项分布的定义可知,X~8(12,0.8),

故D(2X)=22D(X)=4X12x0.8x(1-0.8)=7.68.

设该同学投篮最有可能命中次，

「(X=m)>P(X=m+1),

=m)>P(X=m-l1

R/C投0.8血0.212加>C2+1。8血+10.211加，

P(C投0.8叼.212加>Cm-l08m-i0213-m5

解得?<m<

因为m为正整数，所以7/i=10,

当m=10时,C投XO.8,OXO.22=4.I25XO.8,2.

,212

又当m=0Bt,C?2X0.8°X0.2=0.2,

当m=12时,C抵X0.8,2X0.2°=0.812,

所以该同学投篮最有可能命中10次.

12.解(1)用分别表示玩家甲、乙双方在1次游戏中出示的手势，则可用(X]K2)表示玩家甲、

乙双方在1次游戏中出示手势的可能结果，则样本空间。={(石头，石头),(石头，剪刀),(石头，

布),(剪刀，石头),(剪刀，剪刀),(剪刀，布),(布，石头),(布，剪刀),(布,布)｝，共有9个样本点.玩家甲胜玩

家乙的样本点分别是(石头，剪刀),(剪刀，布),(布,石头)，共有3个.

所以在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率

(2)X的可能取值分别为0』,2,3,X~8(3,§,

则P(X=O)=C?x(|)3=捺

丽1)=韵xG),0V，

叱2Kxe)4(1)V

3

P(X=3)=Cjx(-)=-.

所以X的分布列为

X0123

8421

P

2799