2025-2026学年山东青岛市崂山区一模九年级数学试题（试卷+解析）

九年级数学试题

（考试时间：120分钟；满分：120分）

说明:

1.本试题分第I卷和第n卷两部分，共25题，第I卷为选择题，共9小题，27分；第n卷

为填空题、作图题、解答题，共16小题，93分.

2.所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效.

第I卷（共27分）

一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分）

1.一2026的绝对值是（）

A.2026B.-2026C.」一

2026

2.下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

3.青岛胶东国际机场于2021年8月12日正式通航.2026年春运期间（2月2日至3月13日），该机场旅

客吞吐最达到3060000人次.将3060000用科学记数法表示为（）

A.306xIO4B.30.6xlO5C.3.06xGD.3.06xlO6

4.若一种机器零部件如图所示，则该零部件的左视图是（）

W面

5.下列运算中，正确的是()

A.(-x3y2)2=-x6y4B.x2(l-x2)=1-x4

C.(x+2)(x—3)=x2—x—5D.2x-4A2=

6.如图，在矩形片中，AB=\,力。=2，2是上的动点，P/W_L4c于点BVJ_4。于

点N,则PM+RV的值为（）

A.y/3B.y/5c.|百D.然

7.在直角坐标系中，将点力。,1）浇原点按顺时针方向旋转45。到4,则4的坐标是（）

A.(1,0)B.(0.1)c.(V2,o)D.(0,扬

8.如图，48是。。的直径，ZC,E。是。。的弦，连接若乙4c。=60°,则N3ED的度数是

()

A.30°B.20°C.25°D.35°

9.如图，将矩形纸片ABCD沿边G"折叠，使点力落在边4c的中点"处.若4。=3,<4=2,则GM

的长为（）

第n卷（共93分）

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

10.计算而的结果是

11.“双减”政策实施后，某校为了解学生课后服务参与情况，演机抽取了5名同学，记录他们一周内（周

一至周五，每天最多参加1次）参加课后服务的次数（单位：次），数据如下：3,4,4,4,5,则这组数

据的方差为

Q

12.如图，点4是双曲线〉=一2上一点，过点/分别作454X轴，/C_Ly轴，垂足分别为8,。两

x

点，4伉4。与双曲线歹=X分别交于。，E两点，若四边形4D0E的面积为5,则左=

13.如图，一个正六边形48CDEP的边长为3,连接对角线力C,BD,交于点尸，则力的值为

PC

14.如图，某模具是大半圆内部挖去小半圆而成.为了求该模具的面积，在图中作一条平行于大半圆直径且

与小半圆相切的切线，分别交大半圆于力，B两点,已知48=7cm,则图中阴影部分的面积为

_______cm2•

O

15.抛物线yuaf+bx+c的顶点是。（T,2）,与x轴的一个交点力在点（一3,0）和（-2,0）之间，其部分图

象如图，则以下结论：

①abc>0:

②3〃+c>0；

③对于任意实数总有不等式a/+h/+c<a+h+c；

④若方程Q—+bx+c=0的两个根为X，Z，则2<上一/|<4.

其中正确的是（只写序号）.

三、作图题（本大题满分4分）

16.用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹.

已知：线段a.

求作：矩形力3CQ,使它的对角线NC,3。交于点。，且3。=。，ZAOD=\20°.

四、解答题（本大题共9小题，共71分）

17.按要求完成下列计算:

x-3(X-1)<1

（1）解不等式组2x+7>-l:

3

（2）化简急a

a-2

18.某中学开展“生态青岛”知识竞答，准备了3张完全相同的卡片，正面主题分别为：A无废城市建设:

B美丽海湾保护：C青岛蓝天行动,竞答时选手要先将卡片背面朝上搅匀，随机抽取1张记录后不放回，再

抽取第2张，抽到的两个主题均要作答.

（1）第一次抽到“B美丽海湾保护”的概率为________;

（2）请用列表或画树状图的方法表示所有可能出现的结果，求独到的两张卡片中有“A无废城市建设”

的概率.

19.随着航空技术的发展，飞机已成为人们出行的重要交通工具.在某次飞机降落过程中，垂直下降的距离

与水平距离之比一直保持1:20（即每垂直下降1米，水平向前飞行20米）.小明先后两次观测山顶：第一

次观测时，飞机在点尸处，测得山顶力的俯角为23。；第二次观测时，飞机降落到点。处，测得山顶力的

俯角为37。，此时飞机飞行的水平距离8c为2000米.求第二次观测飞机到山顶的垂直距离

334

QB.(tan370%—,sin37°»-,cos37°«—,tan23°«0.4,sin23°«0.4,cos23°«0.9)

455

20.为科学预防近视，引导学生爱护视力，某校组织开展“科学用眼”知识竞赛.现从七年级、八年级参赛

学生中各随机抽取50名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析，将学生竞赛成绩（用x表示）分为四个等

级0（工<60为“不合格”，60Vx<80为“合格”，80Kx<90为“良好”，90WXW100为“优秀”.下

面给出了部分信息：

七年级被抽取学生的竞赛成绩在“良好”等级的有：82,83,84,84,84,84,85,86,87,88.

八年级被抽取学生的竞赛成绩在“合格”等级的有：72,74,75,77,78.

抽取的七年级学生竞赛抽取的八年级学生竞

学生平均数中位数众数

七年级82a84

八年级828789

根据以上信息，解答下列问题：

（1）填空：a=________,m=________；

（2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）；

（3）该校七、八年级各有40（）人参赛，请估计该校七、八年级参赛学生中成绩为“优秀”

（90<x<100）的总共有多少人？

21.如图，在口力3co中，BC14C,点"为的中点，连接力M并延长，交的延长线于点£,

连接。E.

(1)求证：BE=2AD；

（2）当48_L/1E时，四边形4CEQ是形，请证明.

22.问题某种简易房屋在整体运谕前需用钢丝绳进行加固处理，在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之

改变，但需始终保持上端到屋顶和下端到墙角的距离相等，钢丝绳长度的最小值为多少米？

小明收集了该简易房屋的相关数据，将该问题转化为数学问题：如图②，屋顶是等腰三角形，墙是矩形，

其中/5=/C=CO=2米，ZACB=30°,点M在力C上，点N在DE上,钢丝绳始终保持

AM=DN.求MV的最小值.

（I）小明决定从简单情形出发试试看：如图③，在等边三角形中，48=3,点/，N分别在44C,

BC上,且AM=CN,求MV的最小值.请你在下面小明思路的基础上完成.

解：过点C,M分别作MN,的平行线，并交于点尸，作射线力尸，

•・•四边形MNCP是平行四边形，

:.PM=NC,MN=PC；

经证明当CPJL/P时，CP最小，此时A/N最小.

请你求出MV的最小值，写出求解过程.

解决：

（2）请你借助小明的探究解决问题，直接写出图②中钢丝绳/MV的最小值.

23.2026年马年春节联欢晚会中《武BOT》《奶奶的最爱》等机器人表演节目火爆全网，让机器人成为新春

热点.某文化演艺公司计划采购A,B两种型号的表演机器人，用于各类文艺演出的舞台呈现.据了解.，A

型机器人的单价比B型机器人的单价低3000元，用580000元购买A型机器人的数量和用640000元购买B

型机器人的数量相同.

（1）求A,B两种型号表演机器人的单价各是多少元；

（2）该文化演艺公司计划购买A,B两种型号的表演机器人共25台，且A型机器人的购买数量不超过B

型机器人购买数量的3倍，购买A型机器人多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？

24.学校的洗手台上放了一瓶抑茵洗手液（如图1）,按住顶部下压，洗手液瞬间从喷口/点喷出（如图

2）.以吸液管底为原点，吸液管所在直线为y轴，建立如图3所示的平面直角坐标系，已知喷口4点到台

面高度48为18cm,08为4c*喷出的一滴洗手液轨迹呈抛物线形，其关系式为y=+队+上，这

滴洗手液在水平方向喷出3cm时，到台面高度为15cm.

（1）求这滴洗手液轨迹的函数关系式;

（2）当这滴洗手液落到台面上时，落点禽喷口4点的水平距离是多少？

（3）小明洗手时手心向上平行于台面接洗手液，他的手心MV约为4cm,现在点M到喷口/点的水平距

离为3cm.若小明恰好能接到这滴洗手液，求手心A/N到台面的高度〃的取值范围.

25.如图，在△8C。中，NBCD=90。,NC为边30上的高，NC=12cm,CZ)=15cm.YABC沿

CE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，沿CO方向匀速运动，速度为1cm/s,分别得到

△48G，△42。2。2・如图②，连接44,A2D,AyA2.设运动时间为/（秒）（04Y15）.

（1）请用含，的代数式表示下列线段的长度：,C?D=；

（2）连接4G，当/为何值时，点G在4c2的垂直平分线上？

（3）是否存在某一时刻，使得NB44与互余？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明

理由：

（4）若五边形CG44G的面积为S,求出S关于，的函数关系式，并说明是否存在某一时刻/,使得

S=-S^.

2BCD

九年级数学试题

（考试时间：120分钟；满分：120分）

说明：

1.本试题分第I卷和第H卷两部分，共25题，第I卷为选择题,共9小题，27分；第H卷

为填空题、作图题、解答题，共16小题，93分.

2.所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效.

第I卷（共27分）

一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分）

1.一2026的绝对值是（）

A.2026B.-2026C.」一1

D.------

20262026

【答案】A

【解析】

【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，进行计算即可.

【详解】解：；负数的绝对值等子它的相反数，且-2026<0,

|-2026|=2026.

【解析】

【分析】把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做

中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形,

据此分析判断即可.

【详解】解：A、是轴对•称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；

B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；

C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；

D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意.

3.青岛胶东国际机场于2021年8月12日正式通航.2026年春运期间（2月2日至3月13日），该机场旅

客吞吐量达到3060000人次.将3060000用科学记数法表示为（）

A.306xlO4B.30.6xlO5C.3.06xl05D.3.06xlO6

【答案】D

【解析】

【详解】解：3060000=3.06x106.

4.若一种机器零部件如图所示，则该零部件的左视图是（）

W面

【答案】A

【解析】

【分析】根据左视图是从左面看到的图形，进行求解即可.

【详解】解：该零部件的左视图为：

A.(-x'V)=—x6y4B.x2(l-x2)=1—x4

C.(x+2)(x-3)=x2-x-5D.2x-4.x2=8x3

【答案】D

【解析】

【详解】解：A、(一工3y2)2=(_i)2.(炉)2.。2)2="6丫4,原计算错误；

B、x2(l—x2)=x2•1—x2•%2=x2—x4,原计算错误；

C.(x+2)(x-3)=x2-3.r+2x-6=x2-x-6,原计算错误；

D、2x-4x2=(2x4)-x1+2=8x3,正确.

6.如图，在矩形Z8CO中，AB=\,/iD=2,尸是月8上的动点，尸M_LZC于点M,PN工BD于

点N,则PM+RV的值为（）

A.y/3B.y/sC.—V5D.—>/5

【答案】C

【解析】

【分析】设4C、相交于点。，连接。尸，可得AC=BD=dAB2+AD2=5即得

a=03=立，再利用△NOB解答即可求解.

2

【详解】解：如图，设力C、8。相交于点。，连接。尸，

•・•四边形Z8CQ是矩形，

AABAD=90°,AC=BD,OA=-AC,OB=-BD,

22

•UI,40=2,

・•・AC=BD=>jAB2+AD2=5/l2+22=5

：,OA=OB=—>

2

•・・PA/_L4c于点M,PN1BD于点、N,

AOR=S+

•••△s/IUDA/IC//IOPASDCR//OP=2-OAP2M+-OBP2N=-PN)PN>

又,SjOB=WS矩形/8(7)=ZX2X1=5

+PN)=5,

・•.PM+PN=三亚.

7.在直角坐标系中，将点月(U)烧原点按顺时针方向旋转45。到H,则H的坐标是()

A.(1,0)B.(0,1)C.(V2,0)D.(0,后)

【答案】C

【解析】

【分析】过点/作45工x轴于点“，可得V4O8是等腰直角三角形，C4=dcR?+4R2=&,又根据

旋转得。4=。4=&，点H落在x轴的正半轴上，进而即可求解.

【详解】解：如图，过点力作48sx轴于点8,则/43。=90。，

/:

/!

/J

/:

---O--------_B•A->，x

V.4(1,1),

:.OB=AB=1,

・・・v力。4是等腰直角三角形，OA=qOB、AB2=Jl?+[2=6,

：./AOB=45°,

•・•将点4(1,1)绕原点按顺时针方向旋转45。到H,

：•OA'=OA—y/2,，点H'落在工釉的正半轴上，

”(隹0).

8.如图，48是。O的直径，4CEQ是。O的弦，连接CR8E,若/ZCQ=60°,则N8EO的度数是

()

A.30°B.20°C.25°D.35°

【答案】A

【解析】

【分析】连接力D4。，根据圆周角定理进行求解即可.

【详解】解：连接力0,8。，则乙45Q=N4CQ=60。，ABED=ABAD,

•••48是OO的直径,

ZADB=90°,

."BED=NBAD=90°-ZABD=30°.

9.如图，将矩形纸片为沿边GH折叠，使点力落在边6。的中点M处.若力。=3,46=2,则

的长为（）

3252535

A.-B.—C.—D.—

2121316

【发】B

【解析】

【分析】过点G作GN_L8C于点N,则NGNM=NGNC=90。，根据矩形的判定和性质、折叠的性

13

质、中点的定义得到GD=CN,CD=GN=2,8W=CA/=eBC=5,设GM=4G=x,在

RaMNG中，进一步利用勾股定理进行解答即可.

【详解】解：如图，过点G作GN_L8C于点N,则/GNM=NGNC=90。,

AGD

・•・ZP=ZC=ZJ=90°,AD=BC=3,AB=CD=2,

・•・四边形GNCO是矩形,

：.GD=CN,CD=GN=2,

•・•将矩形纸片ABCD沿边GH折叠，使点A落在边BC的中点〃处.

13

・•.BM=CM=—BC=—

22

设GM=/lG=jt,则G。=NC=3一八，

.*.Af/V=CM-/VC=1-(3-x)

在Rt^A/NG中，GM?=MN〜GN?，即+

25

解得x=：

12

25

即GM的长为—.

12

第D卷（共93分）

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

|的结果是.

10.计算而-

【答案】

【解析】

【分析】先分别化简二次根式，再合并同类二次根式即可.

【详解】解：亚-Jg

=275一V5

5

=衿

故答案为：三辨.

此题考查了二次根式的加减法，正确掌握二次根式的化简及加减法计算法则是解题的关键.

II.“双减”政策实施后，某校为了解学生课后服务参与情况，随机抽取了5名同学，记录他们一周内(周

一至周五，每天最多参加1次)参加课后服务的次数(单位：次)，数据如下：3,4,4,4,5,则这组数

据的方差为.

【答案】0.4

【解析】

【分析】先计算这组数据的平均数，再根据方差的计算公式代入计算即可得到结果.

【洋解】解：土=3+4+:4+5=4,

=1[(3-4)2+3X(4-4)24-(5-4)2]=0.4.

Q

12.如图，点4是双曲线丁=一一上一点，过点/分别作工x轴，轴，垂足分别为8,。两

x

点，力以力C与双曲线;；=《分别交于。，E两点，若四边形4。。石的面积为5,则女=.

【答案】-3

【解析】

【分析】由反比例函数的几何意义得4，S.℃E=_；k,S矩形9”=8,再根据

S海形ABOC-S&OBD-S^ocE=S四边照即可求出k的值•

k

【详解】解：：。，£在反比例函数y二一的图像上且图像在第二象限，

x

・•・HOD=-OBBD=--kS,,.=-OCCE=--k,

Ar>Cz/J22yA€/(./1)c22

Q

•・•点力是双曲线歹=一2上一点，且图像在第二象限，

x

••・5矩形"a=03℃=一％=8，

-c

•“矩形/80CQ^OBD64OCE一。四边形，

_；a)=5,解得：k=-3.

AD

13.如图，一个正六边形/8CDE0的边长为3,连接对角线力C,BD,交于点尸，则丁;的值为

PC

【答案】2

【解^5］

［分析］由正六边形的性质得AB=BC=CD=3,/ABC=/BCD=12/,可得

3

ABAC=ABCA=ZCBD=ZCDB=30°,PPJPB=PC,过点8作8〃_L4C于点〃，求得BII=一,

2

AH=—,ZABH=60°,可得NHPB=30。，求出尸B=JJ=PC，力尸=2即可得出结论.

2

【详解】解：•・•六边形48CQE尸是正六边形，

AAB=BC=CD=3,N4BC=NBCD=12。。,

1CAO_120。

ABAC=ZBCA=ZCBD=ZCDB=--------------=30°,

2

・•・PB=PC,

过点、B作BH工AC于点H,如图,

A3H=-AB=~,AH7AB2-BH?二地,48〃=90。—30。=60。，

222

:.AC=2AH=3日4HBp=120°-30°-60°=30°,

设PH=x,则8P=2x,

由勾股定理得/+2=（2x）-f

12,

解得X=»

2

・•・BP=2X=6

・•・PC=5

・•・,”=4C-PC=36-6=26，

・AP_26“

PCV3

14.如图，某模具是大半圆内部挖去小半圆而成.为了求该模具的面积，在图中作一条平行于大半圆直径且

与小半圆相切的切线，分别交大半圆于4,8两点，已知45=7cm,则图中阴影部分的面积为

【解析】

【分析】用大半圆的面积减去小半圆的面积进行求解即可.

17

【详解】解：作0d8,连接。力，则-44=—cm,

22

设小半圆的圆心为£,作后尸工才^,

*：AB//0E.与小半圆相切，

:・EF=0C,Eb为小半圆的半径，

设大半圆的半径为R,小半圆的半径为广，则。1=R,OC=尸,

4Q

：.OA2-OC2=R2-r2=AC2=—cm2,

4

“口目―…一“180兀180兀4949，

，阴影部分的面积为三―x（//nT2-厂）=:二二乂丁二七求!!!-.

360,736048

OE

15.抛物线yuaf+bx+c的顶点是。(_i,2),与工轴的一个交点力在点(—3,0)和(-2,0)之间，其部分图

象如图，则以下结论：

①abe>0；

②3〃+c>0：

③对于任意实数，，总有不等式a/+ht+c<a+b+c^

④若方程。二2+4丫+。=0的两个根为不，X2，则2<卜]一切<4.

其中正确的是(只写序号).

]—1------>

7^2-IOx

【答案】①④㈱©©

【解析】

【分析】根据图象判断①，对称轴和特殊点判断②，最值判断③，对称性判断④即可.

【详解】解：由图象可知，抛物线的开口向下，

二Q<0,

♦.,抛物线的顶点是。(—1,2),

•••对称轴为直线工二一二二一1,

;b=2a<0

•••抛物线与x轴的一个交点A在点(-3,0)和(-2,0)之间,

••・抛物线与x轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间,

抛物线与V轴的交点在x轴的上方,

•,­c>0,

.•.。儿〉0；故①正确;

•••抛物线与X轴的另一个交点在点（0,0）和（1。之间,

则当x=l时，y=a+b+cv0,

b=2a<0

•,-a+b+c=a+2a+c=3a+c<0f故②错误；

♦.・抛物线的开口向下，顶点是。（-1,2）,

.••兰1二一1时，函数有最大值为。一方+。=2,

二对于任意实数总有不等式QJ+Z?/+CW4-6+C；故③错误；

•••抛物线与x轴的一个交点力在点（-3,0）和（-2,0）之间，与x轴的另一个交点在点（0,0）和（1,0）之间,

二方程ax2++。=0的两个根在一3cx<-2和0cx<1之间，

.•.2<,72|<4.故④正确；

综上：正确的是①④.

三、作图题（本大题满分4分）

16.用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹.

已知：线段a.

求作：矩形/BCO,使它的对角线力C,BD交于点、O,且BD=a,ZAOD=\20°.

【答案】见解析

【解析】

【分析】根据矩形的性质，结合//。。=120。，得到A4OB为等边三角形，作线段。的中点，作线段

BD=a,以优。为圆心，ga为半径画圆，确定点O,再以O为圆心，为半径画圆，与。B,。。的

交点，确定点力，点C,连接48,4。,。,力。,4C,根据对角线互相平分且相等的四边形为矩形，即可

得到矩形48CO.

【详解】解：如图，矩形48CO却为所求：

X

四、解答题(本大题共9小题，共71分)

17.按要求完成下列计算：

<1

(1)解不等式组(2x+7।：

--------2-1

3

,,…4。a

(2)化简-----------

a--4a-2

【答案】(1)x>l

a

(2)

7+2

【解析】

【分析】(1)求出每•个不等式的解集，找到它们的公共部分即可:

(2)通分，化为同分母，再进行计算即可.

【小问I详解】

住一3(》一1)41①

解:1驾」1②

由①，得xN1；

由②，得xN—5；

・•・不等式组的解集为：xNl；

【小问2详解】

4aa(a+2)

解：原式二(〃+2)(〃_2)_("2)(52)

4a-a2-2a

(a+2)(a-2)

2a-a2

(q+2)("2)

a\2-a)

(Q+2)(Q-2)

a

=~a+2*

18.某中学开展“生态青岛”知识竞答，准备了3张完全相同的卡片，正面主题分别为：A无废城市建设;

B美丽海湾保护：C青岛蓝天行动.竞答时选手要先将卡片背面朝上搅匀，随机抽取1张记录后不放回，再

抽取第2张，抽到的两个主题均要作答.

（1）第一次抽到“B美丽海湾保护”的概率为________；

（2）请用列表或画树状图的方法表示所有可能出现的结果，求抽到的两张卡片中有“A无废城市建设”

的概率.

【答案】（1）

3

3

【解析】

【分析】（1）直接利用概率公式进行计算即可：

（2）画出表格，利用概率公式进行计算即可.

【小问1详解】

解：第一次抽到“B美丽海湾保护”的概率为2;

3

【小问2详解】

解：由题意，列表如下:

第；索--一第2张ABC

AA,BA,C

BB,AB,C

CC,AC,B

共有6种等可能的结果，其中有A卡片的结果有4种,

19.随着航空技术的发展，飞机已成为人们出行的重要交通工具.在某次飞机降落过程中，垂直下降的距离

与水平距离之比一直保持1:20（即每垂直下降1米，水平向前飞行20米）.小明先后两次观测山顶：笫一

次观测时，飞机在点P处，测得山顶4的俯角为23。；第二次观测时，飞机降落到点0处，测得山顶力的

俯角为37。，此时飞机飞行的水平距离BC为2000米.求第二次观测飞机到山顶的垂直距离

334

QB.（tan37°«—,sin37°«-,cos37°«—,tan23°«0.4,sin23°r0.4,cos23°«0.9）

455

【答案】1500m

【解析】

【分析】延长8。交?石于点。，则PC=80,根据垂直下降的距离与水平距离之比一直保持1:2(),求

出。。的长，设45=x,解直角三角形45。和直角三角形力。尸，进行求解即可.

【详解】解：延长8。交PE于点D,由题意可知：/-BAQ=31°,/.CAP=23°,BC=2000,四边形PC8。

为矩形，翌=1:20,

：.PC=BD=BQ+DQ,DQ=2000x^-=100,

4u

设,48=x,则/。=48+BC=2000+x,

在Rt△力BQ中，BQ=AB-tan37°^^,

3

:.PC=BD=BQ+DQ=^x+100,

在Rta/CQ中，CP=ACtan23。，即%+100七0.4(2000+x),

解得x=2000,

...BQ=21500；

答：第二次观测飞机到山顶的垂直距离。6的长为1500米.

20.为科学预防近视，引导学生爱护视力，某校组织开展“科学用眼”知识竞赛.现从七年级、八年级参赛

学生中各随机抽取50名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析：将学生竞赛成绩(用x表示)分为四个等

级0Wx<60为“不合格”，60Wx<80为“合格”，80Wx<90为“良好”，90WxK100为“优秀”.下

面给出了部分信息：

七年级被抽取学生的竞赛成绩在“良好”等级的有：82,83,84,84,84,84,85,86,87,88.

八年级被抽取学生的竞赛成绩在“合格”等级的有:72,74,75,77,78.

抽取的七年级学生竞赛抽取的八年级学生竞

成绩频数分布直方图赛成绩扇形统计图

6

4

2

0

8

6

4

2

0

两组数据的平均数、中位数、众数:

学生平均数中位数众数

之年级82a84

八年级828789

根据以上信息，解答下列问题：

(1)填空：a=,m=；

(2)根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由(一条理由即可);

(3)该校七、八年级各有400人参赛，请估计该校七、八年级参赛学生中成绩为“优秀”

(90(x4100)的总共有多少人？

【答案】(1)82.5,26

(2)八年级的成绩更好,见解析

(3)232人

【解析】

【分析】(1)根据中位数的确定方法求出根据扇形图中各部分的百分比之和为1,求出用的值：

(2)根据中位数和众数作决策即可；

(3)利用样本估计总体的思想进行求解即可.

【小问1详解】

解：16<25,16+10=26>25,

故七年级成绩的中位数落在良好等级，将数据从大到小排序后，第25和第26个数据分别为83,82,

.-.a=1(83+82)=82.5：

八年级被抽取学生的竞赛成绩在“合格”等级的百分比为exl00%=10%,

50

•••m%=1-60%—10%—4%=26%,

〃;二26：

【小问2详解】

解：八年级的成绩更好，理由如下：

两个年级竞赛成绩的平均数相同，但是八年级成绩的中位数和众数均比七年级的大，故八年级的成绩更

好；

【小问3详解】

解：400x+400X26%=232（人）；

答：估计该校七、八年级参赛学生中成绩为“优秀”（90VXW100）的总共有232人.

21.如图，在口48CQ中，BC14C,点M为。。的中点，连接4W并延长，交8C的延长线于点E

连接。E.

（1）求证：BE=2AD；

（2）当力3_L4上时，四边形/CEQ是________形，请证明.

【答案】（1）见解析（2）正方，见解析

【解析】

【分析】（1）平行四边形的性质，得到力0=3。证明△/OMg^ECM（AAS）,得到力。二CE,根据

BE=BC+CE,等量代换，即可得出结论；

（2）先证明四边形是平行四边形，斜边上的中线得到4C=CE,进而得到四边形/CEO是菱

形，再根据3C1AC,即可得到四边形4CEO是正方形.

【小问1详解】

证明：•••四边形/8CQ是平行四边形，

:,AD=BC,AD\\BCt

£ADC=/ECD,

•••点M是CD的中点，

:.MC=MD,

在“DW和中，

NADC=/ECD

，ZAMD=/EMC,

MD=MC

.•.△/QM%ECM（AAS）,

/.AD-CE»

BC=CE,

：.BE=BC+CE=AD+AD=2AD；

【小问2详解】

解：当力时，四边形/CEO是正方形.

证明：由（1）知，AD=CE,

XvAD\\CEt

一.四边形片CEO是平行四边形，

VAB1AE

•••△力8后是直角三角形，NB4E=90。

由（1）可知，BC=CE,

:.AC=-BE=CE,

2

四边形4CEO是菱形，

,：BC1AC,

.•.N4C8=90。，

Z/1CE=180°-90°=90°,

•••菱形NCEQ是正方形.

22.问题：某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之

改变，但需始终保持上端到屋顶和下端到墙角的距离相等，钢丝绳长度的最小值为多少米？

小明收集了该简易房屋的相关数据，将该问题转化为数学问题：如图②，屋顶是等腰三角形，墙是矩形,

其中力8=%。=。。=2米，ZACB=30°,点M在4C上，点N在。石上，钢丝绳MN始终保持

AM=DN.求MV的最小值.

（1）小明决定从简单情形出发试试看：如图③，在等边三角形中，44=3,点M,N分别在心力C,

BC上,且/历=CN,求MN的最小值.请你在下面小明思路的基础上完成.

解：过点C,M分别作MN,4。的平行线，并交于点P,作射线45,

•・•四边形MVCP是平行四边形，

:,PM=NC,MN=PC；

经证明当CP_L40时，CP最小，此时"N最小.

请你求出MV的最小值，写出求解过程.

解决：

（2）请你借助小明的探究解决问题，直接写出图②中钢丝绳A/M的最小值.

【答案】⑴-

2

（2）逐米

【解析】

【分析】（1）先证明/。。=/必4二』＞60。=30。，得出点。在射线力。上，根据垂线段最短，得出

2

13

当。尸1/OH寸，CP最小，根据直角三角形性质得出C0二一3二一；

22

（2）过点。、"分别作用N、七。的平行线，并交于点〃，作射线力”，连接力。，求出/。力"=45。,

得出点”总是射线力〃上，说明当QH_L4〃时，DH最小,此时最小，作CH_L40于点心根据

直角三角形的性质和勾股定理，求出结果即可.

【小问1详解】

解:过点C,M分别作〃N,8C的平行线，并交于点P,作射线力2，

•・•四边形MVCP是平行四边形，

PM=NC,MN=PC、

AM=NC,

・•・AM=PM,

・•・/CAD=AMPA,

在等边V力4c中，4cB=60。,

♦;MP〃CN

・•・/PMC=/ACB=60°,

•・•/PMC=Z.CAD+NMPA,

・•.ACAD=/MPA=1x60°=30°，

2

・••点P在射线力。上，

•・•垂线段最短，

・•・当。尸"L4O时，。尸最小，

•在Rt^/C尸中，4c=3,E)C/P=30°,

R.VC

解：过点。、"分别作MN、EO的平行线，并交于点〃，作射线力”，连接40,如图所示:

二.四边形MNDH是平行四边形，

\ND=MH,MN=DH,MH〃ED,

AM=ND,

AM=MH,

・•・AMAH=ZAHM,

•••四边形BCOE是矩形，

\BC〃EDQBCD=90°,

\BC//MH,

\DACB=DCMll=30°,

・•・/MAH+ZAHM=ZCMH=30°，

\DMAH=15°,

-AC=CD,DACD=DACB+BBCD=120°,

ALDAC=/.ADC=|x（180°-120°）=30°,

ADAH=45°,

・••点〃总是射线/〃上，

••・当。〃，4〃时，最小，此时MN最小，

作CR1/1D于点、R,

在RS/1CR中，/C=2米，ZCAR=30°,

/.CR=—x2=1（米），

2

：.AR=yl22-\2=73（米），

/./f£>=24R=2VJ米，

在Rt△力。，中，NDAH=45。,

・・・力QH为等腰直角三角形，

DH=AH=—x2y/3=>/6（米），

2

••・线段/MV长度的最小值为Jd米.

23.2026年马年春节联欢晚会中《武BOT》《奶奶的最爱》等机器人表演节目火爆全网，让机器人成为新春

热点.某文化演艺公司计划采购A,B两种型号的表演机器人，用于各类文艺演出的舞台呈现.据了解，A

型机器人的单价比B型机器人的单价低3000元，用580000元购买A型机器人的数量和用640000元购买B

型机器人的数量相同.

（1）求A,B两种型号表演机器人的单价各是多少元：

（2）该文化演艺公司计划购买A,B两种型号的表演机器人共25台，且A型机器人的购买数量不超过B

型机器人购买数量的3倍，购买A型机器人多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？

【答案】（1）A型机器人的价格为29000元，则B型机器人的价格为32000元

（2）故购买A型机器人18台，购买B型机器人7台时，费用最低，最低费用746000元

【解析】

【分析】（1）设A型机器人的价格为x元，则B型机器人的价格为（X+3000）元，根据用580000元购买

A型机器人的数量和用640000元购买B型机器人的数量相同，列出方程进行求解即可；

（2）根据题意，A型机器人买了。台，采购费用为卬，根据题意，列出不等式求出。的范围，列出一次

函数的解析式，利用一次函数的性质，求最值即可.

【小问1详解】

解：设A型机器人的价格为x元，则B型机器人的价格为"+30（）0）元,

580000640000

根据题意，得=x+3000

解得x=29000,

经检验，x=29000是原方程的根且符合题意,

此时％+3000=32000,

答：A型机器人的价格为29000元,则B型机器人的价格为32000元.

【小问2详解】

解：根据题意，A型机器人买了。台，则购买B型机器人的数量为（25-。）台,

根据题意，得a43（25—a）,解得aW?,

采购费”,=32000（25一a）+29000a=一3000a+800000,

由A=-3000<0得w随a的增大而减小，

•.Z为整数，故当4=18时，的取得最小值，最小值为w