期中压轴题百练通关（期中专项训练）原卷版-八年级数学上学期（北师大版）

专题11期中真题压轴题百练通关

真题实战•百炼通关

选填小压轴解答压轴

题型1图象问题题型4勾股定理验证及应用问题

题型2多解问题题型5勾股定理中折叠压轴问题

题型3规律问题题型6二次根式中规律探究问题

题型7一次函数与几何综合问题

题型一图象问题（共3小题）

I.（24-25八年级下•福建福州•期中）如图，“漏壶”是一种古代计时器，在它内部盛一定量的水，水从壶

下的小孔漏出，壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间.用X表示漏水时间，V表示壶底到水

面的高度.不考虑水量变化对压力的影响，下面适合表示V与X的对应关系的图象是（）

2.（24-25八年级下•河南驻马店•期中）如图1,中，4CB=90。，点。是边4C上一点，过点

。作。ES4C交力〃于点E,动点。从点。出发，以每秒1个单位长度的速度，按QfEf8—C的路

径匀速运动.设点P的运动时间为信，△PC。的面积为S,S关于/的函数图象如图2所示，则OE的长

为（）

3.（24-25八年级下•河北秦皇岛•期末）随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚.如图1是某餐

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厅的机器人聪聪和慧慧，他们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变；

慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍.设聪聪行走的时间为x（s），聪聪和慈慧行走的路程分别为

乂（cm）,%（cm）,为为与x的函数图象如图2所示，则下列说法正确的个数是：（）

①客人距离厨房门口450cm：②慧慧比聪聪晚出发15s；③〃=?31,〃=45：④聪聪的速度为15cm/s；⑤从

聪聪出发直至送餐结束，聪聪和覆慧最远相距150cm：

A.5个B.4个C.3个D.2个

题型二多解问题（共3小题）

4.（23-24九年级下•安徽阜阳•期中）如图，在V月8。中，乙1二90。，点。是力。上一点，将沿着8。

折叠得到△8EO.

（I）若。E2/C,则4BDE的度数为；

（2）设“与4C交于点厂，若丁）即是直角三角形，AB=5,AC=\2,则CO的长为.

4

5.在平面直角坐标系中，直线y=§x-8与x轴，y轴分别交于点力，B.M是y轴上一点.若将△力8M

沿折叠，点8恰好落在坐标地上，则点〃的坐标为.

6.（23-24七年级下•江西宜春・期中）如图所示，在长方形018。中，点。是平面直角坐标系的原点，B

点坐标为（4,6）,有一动点。从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着Of的路线移动，

到4点停止运动.在点P移动的过程中，当三角形082的面积是8时，则尸点运动的时间为秒.

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题型三规律问题（共3小题）

7.（24-25七年级下•全国,期中）如图，一个机器人从。点出发，向正东方向走3m,到达4点，再向正

北走6m到达4点,再向正西走9m到达4点,再向正南走12m,到达4t点，再向正东方向走15m到达4点,

按如此规律走下去，当机器人走到4点时，4点的坐标是.

8.（24-25七年级下•广东珠海州中）如图，在平面直角坐标系中，点/从原点。出发，按图中箭头所示

的方向运动，第1次从原点运动到点M（L石），第2次接着运动到点“2（2,0），第3次接着运动到点

M[2,-2）,第4次接着运动到点收4（4「2）,第5次接着运动到点“s（4,0）,第6次接着运动到点

M,（5,追）……按这样的运动规律，经过2025次运动后，点A八必的坐标是

9.（23-24八年级下•四川眉山・期中）如图，在平面直角坐标系中，第一次将△0/4变换成△。4名，第二

次将△。44变换成△。4打，第三次将层变换成

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(1)观察每次变换前后的三角形的变化规律，若将")4层变换成△。4名,则4的坐标

是,2的坐标是

(2)若按第(1)题找到的规律将△048进行〃次变换，得到△。44，比较每次变换中三角形顶点坐标

有何变化，找出规律，推测4的坐标是,4的坐标是

题型四勾股定理验证及应用问题(共3小题)

10.(24-25八年级上•江苏徐州,期中)用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题,

这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题：

⑴如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请验证勾股定理：c2=a2+b^

(2)如图2,在Rt△48c中，ZJC^=90°,CO是边上的高，AC=8,BC=6,求CO的长度.

11.(25-26八年级上•全国•期中)综合与实践.

如羽①是“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理，思路是大正方形的面积

有两种求法，一种是等于°2,另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即g/x4+(b-0)2,

从市得到等式c2=3/x4+3-a)2,化简便得结论/+62=。2.这里用两种求法来表示同一个量从而得到

等式或方程的方法，我们称之为“双求法”.

【知识迁移】

(I)把两个全等的v力网?和△。口如图②放置，其三边长分别为dbc44。=ADEA=90°，显然8C_L,

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用a,b,c分别表示出四边形力BOC、梯形力EQC、\14。£的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，验

证勾股定理/+/=■

【方法运用】

（2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图③，网格中小正方形的边长均为1,连接其中三个格点，可得

VABC,则48边上的高为；

【柘展延伸】

（3）如图④，在V49C中，［。是8C边上的高，AB=4,AC=5,BC=6,设8O=x,请直接写出x的

值.

图①

12.（24-25八年级下•内蒙古鄂尔多斯♦期中）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角

边长都为。，较小的直角边长都为6,斜边长都为c），由此推导出直角三角形的三边关系：如果直角三

角形两条直角边长为。，b,斜边长为c,则/+/=《2.

图①

（1）如图②，Rt△力QE与RtA£8C按如图所示位置放置，连接CO,其中=N3=NOEC=90,请你利用

图②推导勾股定理.

（2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A,B,其中力6=,4C,由于某

种原因，由。到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点〃（A、〃、"条

直线上），并新修一条路CH,且C7/_L/8.测得CH=6千米，HB=4千米,求原路C4长多少千米？

题型五勾股定理中折叠压轴问题（共3小题）

13.（23・24八年级下•北京东城•期中）阅读材料，回答问题：

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Si

图2

(1)中国古代数学著作《周髀算经》有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五”.这句话的意思是：“如

果直角三角形两直角边为3和4时，那么斜边的长为5.”上述记载表明了：在中，如果/C=90。，

BC=a,AC=btAB=c,那么a,b,。三者之间的数量关系是：一，利用此数量关系解决以下问题；

(2成国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道撅目“今有立木，系索其末，委地三尺.引索却行，去

本八尺而索尽.问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺

木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽.问绳索长

是多少？'‘示意图如图1所示，设绳索44的长为x尺，根据题意，可列方程为

(3)如图2,把矩形折叠，使点。与点4重合，折痕为EF,如果/3=4,BC=8,求朋的长.

14.(24-25八年级上•四川成都•期中)在矩形纸片力中，相=12,8c=16.

图①图②图③

(1)如图①，将矩形纸片沿4M折叠，点8落在对角线力。上的点K处，求〃N的长：

(2)如图②，点〃为48上一点，将△ACM沿CM翻折至用£与/。相交于点G,CE与力。相交

丁点尸、且MG=G产，求6A7的长：

(3)如图③，将矩形纸片48C。折叠，使顶点8落在力。边上的点E处，折痕所在直线同时经过BC(包

括端点)，请直接写出OE的最大值和最小值.

15.(23-24八年级下•山东淄博•期中)在四边形力8C。中，

/DAB=NB=NC=ND=9/，AB=CD=10,BC=4D=8.

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EC

ABABAB

图①图②备用图

(1)若。为边4。上一点，如图①将“4P沿直线/尸翻折至△/£尸的位置，当点8落在。。边二点E处时，

求P4的长；

(2)如图②，点。为射线。C上的一个动点，将△力。。沿力。翻折，点。恰好落在直线8。上的点以处，求

。。的长.

题型六二次根式中规律探究问题(共3小题)

16.(24-25八年级下•安徽合肥•期中)观察下列式子：

1V3-1

第1个式子:

百+1-2

1V5-V3

第2个式子:

1_y/l-y/5

第3个式子:

行+下--2-

根据上述规律，回答卜.列问题:

⑴计算：7TTT79

(2)如果〃为正整数，按此规律第〃个式子可表示为:

(3)利用这一规律计算：病+麻+屈+扃+麻+底卜…+而而23.

17.(24-25八年级下•广西南宁期中)小明根据学习“数与式”枳累的经验，通过由“特殊到•般”的方法,

发现二次根式有以下的运算规律.

下面是小明的探究过程，请补充完整.

(1)具体运算，发现规律

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特洌3：

特洌4：（请写一个符合上述运算特征的例子）

（2）观察、归纳，得出猜想

如果〃为正整数之1）,用含〃的等式表示上述的运算规律为

2024+—!—

（3）应用运算规律化简:xV4052

2026

18.（24-25八年级下•山东泰安・期中）在学习二次根式运算时，同学们根据学习有理数运算积累的活动经

验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整:

先观察下列等式，再回答下列问题:

（1）请你根据上面三个等式提供的信息，猜想小+。+"的结果，并验证；

（2）请你按照上面各等式反映的规律，写出笫〃个等式（〃为正整数）：

⑶【应用规律】计算：++身…卜壶+#

题型七一次函数与几何综合问题（共3小题）

19.（24-25七年级下•湖北咸宁•期中）定义：点力到x轴、歹轴距离的较大值称为点4的“长距”，当点尸

的“长距”等于点。的“长距”时，称P,。两点为“等距点”.

（1）已知点力的坐标为（4,-3）.

①则点4的“长距”是;

②若点8的坐标为（-2,〃?-6）,旦48两点为“等距点”，求机的值.

⑵若彳（2,-03）,7；（4,4"3）两点为“等距点”,求A的值.

20.（24・25七年级下•北京大兴•期中）在平面直角坐标系X。），中，对于P,。两点给出如下定义：若点P

到两条坐标轴的距离之和等于点。到两条坐标轴的距离之和，则称尸，。两点为轴距等点.例如，图中的

P，。两点即为轴距等点.

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八

5-

4■

3

2

1

12345x

备用图

⑴已知点力(5,-1),在点3(-3,2：|,。(-1,-3)中，点A的轴距等点是

(2)若点E在第三象限，点E与点氏(-4,2)为轴距等点

①点E的坐标可以是(写出一个即可)；

②将点£向右平移5个单位得到点若点£与点/?仍为轴距等点，则点£的坐标是

(3)已知点尸(4,0),点G(0,-4),连接尸G.

①点M(xj)为线段FG上一点且满足x-y=4,经过点“(4,0)且垂直于x轴的直线记作直线！，若在直线

/上存在点N,使得"，N两点为轴距等点，则。的最小值是；

②将线段EG平移得到线段UG'(尸G'与/G不重合)，若线段F'G'上的任意一点与点7(2,2)为轴距等点,

线段可以由线段FG经过怎样的平移得到？

21.(24-25七年级下•北京•期中)在平面直角坐标系xOv中，对于A,B,C三点给出如下定义：

力(修，必),8(》2，n)，记(8=卜1一司+|必-%|，若%8=%c+d“，则称A,B,。三点满足“和距关系”.已

知点川(4,4).

(1)已知，4《,0),4(0,5).

①%w=_；

②O,M,A三点一“和距关系”；O,M>8三点一“和距关系”(填写“满足”或“不满足”)；

(2)已知，

①点尸位于第三象限，证明：O,M,P三点满足“和距关系”；

②点尸位于第一象限，且O,M,。三点满足“和距关系”，直接写出机，〃的取值范围.

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22.（24・25八年级下,四川成都,期中）如图1,在平面直角坐标系中，直线产/3与x轴，V轴分别交

于点4B.

⑴求V408的面积：

（2）如图2,点C为工轴上一动点〔点C在点A的左侧），将点8绕点C逆时针旋转90。至点。，连接D4并

延长与N轴交于点E，当点C在移动过程中，点上的坐标是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化,

请求出点七的小标；

（3）如图3,点P①6）为直线片/3上一动点.已知"（4,2）,必-2,5）,若M,N,P三点在某长方形的内

部或边上，该长方形的一条边与坐标轴平行.求点P在移动过程中该长方形的面积最小值及此时。的取值

范围.

23.（24-25八年级下•上海•期中）定义｛。也c｝为函数y="2+瓜的，，特征数”.如：函数卜=/-2.丫+3

的“特征数”是｛g2,3｝,函数―的“特征数”是｛0,2,3｝,函数尸r的“特征数”是｛0,7,0｝

（1港“特征数”是｛0,-2,8｝的函数图像向下平移5个单位，得到一个新函数，求这个新函数的解析式.

（2）在（1）中，平移前的函数分另J与x轴、y轴交于4、8两点，平移后的函数与y轴交于。点，D、。两

点关于平移前的函数对称，若四边形OCE尸是正方形，求。、£的坐标.

⑶若“特征数”是｛0,0,1｝的函数与y轴交于从“特征数”是｛0,-2,8｝的函数与“特征数”是｛0,2,0｝的函数的交

点点G在x轴上，历在“特征数”是｛0,-2,8｝的函数图像上，小尸、G、M为顶点的四边形是平行四边

形，直接写出M坐标.

24.（24-25八年级上•贵州黔东南•期中）（1）【问题解决】

①如图①，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=；x+l与戈轴交于点儿与y轴交于点8,以为腰

在第二象限作等腰直角V"C,/84C=90。，点48的坐标分别为4,B.

②求①中点C的坐标.

小明同学为了解决这个问题，提出了以下想法：过点。向x轴作垂线交k轴于点。.请借助小明的思路，

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求出点。的坐标；

（2）【类比探究】

数学老师表扬了小明同学的方法，然后提出了一个新的问题，如图②，在平面直角坐标系xOy中，点/1坐

标（0,-7）,点8坐标（8,0）,过点8作X轴垂线/,点尸是/上一动点，点。是一次函数y=-2x+2图象上

一动点，若△4PO是以点。为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点。与点尸的坐标：

考题猜想•高分必国

一、单选题

1.（24-25八年级下♦山西长治•期中）骑自行车是一种健康自然的运动旅游方式，长期坚持骑自行车可增

强心血管功能，提高人体新陈代谢和免疫力.如图是骑行爱好者老刘某天骑自行车行驶的路程（km）与

时间（h）的函数关系图象，观察图象得到下列信息，其中正确的是（）

A.点尸表示老刘出发5h,他一共骑行80km

B.老刘实际骑行时间为5h

C.0〜2h老刘的骑行速度为20km/h

D.老刘的骑行在0~2h的速度和3〜5h的速度相等

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2.（24-25七年级下•北京西城•期中）如图，在平面直角坐标系xOp中，已知点

加11）,4（-1,1）,-2）.现把一条长为2025个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）

的一端固定在点4处，并按CT。-4-8……的规律紧绕在四边形48C'。的边上，则细线另

一端所在位置的点的坐标是（）

A.(-1,-2)B.(-1,-1)C.(0,-2)D.(1,-2)

二、填空题

3.（20・21八年级上•江西萍乡•期中）如图直线y=-2x+4分别交x轴、y轴于点力、4,点。为坐标原点,

若以点P,O,8为顶点的三角形与V4O8全等，（点尸不与点力重合）则点。的坐标为.

O

4.（24-25八年级下•甘肃白银•期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点4（-1,1）在直线歹=x+〃上，过

点4作44_Lx轴于点片，作等腰直角三角形力£为（4与原点。重合），再以4鸟为腰作等腰直角三

角形44%，以4员为腰作等腰直角三角形乩与鸟；按照这样的规律进行下去，那么4（磔的坐标为

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三、解答题

5.(24-25八年级下•浙江杭州•期中)定义：若两个二次根式。，b满足。b=c,且。是有理数，则称。与

b是关于c的共规二次根式.

(1)若3拒与及是关于c的共挽二次根式，则；

(2)若。与石-百是关于4的共扰二次根式，求。的值：

(3)若3+省与6+石川是关于12的共规二次根式，求〃?的值.

6.(24-25八年级下•安徽马鞍山•期中)我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的

三角形叫作奇异三角形.例如，某三角形的三边长分别是2,26和后，因为2?+(2及y=12=2x(^,

所以这个三角形是奇异三角形.

(1)若V/BC的三边长分别是3,5和叔，判断此三角形是不是奇异三角形，说明理由.

(2)若V48C是奇异三角形，且其中有两条边长分别为3、4,求出第三条边长.

7.(23-24八年级上•江苏苏州•期中)阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题

化笥：(Vl-3xj-|l-x|.

解：隐含条件L,解得：工若，/.l-x>0.

/.J^5^=(l-3x)-(l-x)=l-3x-l+x=-2.r.

【启发应用】

(I)按照上面的解法，试化简：".3)2—(7^7)2；

【类比迁移】

(2)实数%在数轴上的位置如图所示，化简：而+J(〃+b)2_怜一4；

--------------1_।------>

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（3）已知a,b,c为V/8C的三边长.化简：yl（a+b+c）2+/a-b-c7.

8.（24-25八年级上•宁夏中卫・期中）阅读下列材料，然后解答下列问题：在进行代数式化简时，我们有

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时会碰.匕如w京；这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简:

R

（一）耳5:5x不75丁5/

22x（75-1）2（V3-1）

（二）百…

2_3-1（百+1）（百-1）

（三）=4）-1：

&+16+1一6+1

（1）请用不同的方法化简瓦二百：

①参照（二）式化简—:石

2

②参照（三）式化简石+7

…11I1

（2讹间京,百丁■而■丁+T6r

9.（24-25八年级下•安徽亳州・期中）【背景介绍】千百年来，人们对勾股定理的证明乐此不疲，其中有

著名的数学家，也有业余数学爱好者.向常春构造发现了一个新的证法：把两个全等的RtZ\4?C和Rt△以切

按如图1方式放置，其三边长分别为a,b,c,NBAC=NDEA=900.

（1）请你利用图1证明勾股定理;

（2）如图2,在V/出。中，BC=a,AC=h,AB=c,Rc>b>a,当V"C是钝角三角形时，猜想/+/与

T之间的关系，并说明理由;

（3）己知RIA48C的三边为〃，b,c（c为斜边），其中a,人满足（/+〃）（/+/—4）=5,求Rt△48c的

斜边的长.

4

10.（24-25八年级下•广东广州•期中）如图，在平面直角坐标系中，己知一次函数y=-§x+4的图象分

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别与X轴、y轴交于点4、8两点.

（1）点力的坐标是，点B的坐标是

（2）点。在直线上（。不与4重合），当△40。的面积等于V404的面积时，求出点。的坐标;

⑶点E是y轴上一动点，把线段4〃沿着直线4E翻折，使点4恰好落在x轴上，请直接写出满足条件的E

点坐标.

II.（23-24八年级上•辽宁沈阳•期末）探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探

究.

【初步感知】

⑴如图1,在三角形纸片48C中，ZC=90°,JC=18,将沿OE折叠，使点力与点8重合，折痕和

4c交于点E，EC=5,求BC的长；

【深入探究】

（2）如图2,将长方形纸片ABCD沿着对角线8。折直，使点C落在。'处，8C'交力。于E,若48=4,8C=8,

求力£的长（注：长方形的对边平行且相等）；

【拓展延伸】

（3）如图3,在长方形纸片48。力中，AB=5,8C=8,点E为射线力。上一个动点，把““沿直线"折

叠，当点力的对应点“刚好落在线段8c的垂直平分线上时，求力E•的长（注：氏方形的对边平行且相等）.

12.（24-25七年级下•广东惠州•期中）如图I,在平面直角坐标系中，40,。）,8（^0）,且（a-4『+病无=0,

过44两点分别作y轴，工轴的垂线交于。点.

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(1)请直接写出4B,C三点的坐标.

(2『，。为两动点，P,。同时出发，其中点P从C点出发，在线段C8,80上以3个单位长度每秒的速

度沿着CT5T。运动，到达。点。停止运动；点。从〃点出发以1个单位长度每秒速度沿着线段80向

。点运动，到。点。停止运动，设运动时间为3当尸在30上时，/取何值时，P,Q,C三点构成的三

角形面积为2?

(3)如图2,连接力8,点在线段"上，且加，〃满足加-川=7,A/到x轴的距离为1,点N在y

轴负半轴上，连接MN交x轴于K点，记M,B,K三点构成的三角形面积为记N,0,K三点构成的

三角形面积分别记为S?,若$=豆，请直接写出N点的坐标.

13.(21-22八年级上•浙江宁波・期中)如图，已知直线y=-x+4与轴交于点A,与x轴交于点八过

点C(l,0)作CO_Lx轴交直线AB于点。.点P是x轴上的一个动点，点七是8。的中点，在&PEF

中(三顶点顺时针排列)，NPEF=90°,PE=EF.

(1)则4B、。三点的坐标分别为：力_；B_；D_.

(2)如图，当点P在线段圆上时，若CP=2BP,求点E的坐标.

(3)当点尸在射线C8上运动，连接AF.若S.AEF=5S.PBE，求点P的坐标.

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**S.AEF=5SdPBE，

FMAE5BEPN

=,

2---------2

FM5BE,

------=-------=3,

PNAE

①当尸在8,。之间时，

•.2FEM+NPEN-/PEN+NEPN-

:"FEM=4EPN,

•:乙FME=/ENP,EF=EP,

:.“EFM%PEN（AAS）,

:.MF=EN,

;.EN=3PN,

v^OBA=45°,/P