正比例函数（讲）-八年级数学下学期重要考点复习（人教版）解析版

1921正比例函数

题型1：正比例函数的概念题型5:正比例函数的性质-函数增减性

题型2:正比例函数的概念与含参问题题型61正比例函数的性质-含参问题

正比例函数

题型3:正比例函数的图象-作图题型7:求正比例函数值或点坐标

题型4:正比例函数的图象•象限问器题型8:待定系数法求正比例函数解析式

正比例函数的定义

1、正比例函数的定义

一般的，形如），=依（左为常数，且女工0）的函数，叫做正比例函数.其中Z叫做

比例系数.

2、正比例函数的等价形式

（1）、y是x的正比例函数；

（2）、y=kx（Z为常数且ZRO）；

（3）、若），与工成正比例；

（4）、』=&（2为常数且ZW0）.

x

题型正比例函数的概念

咽1.下列问题中，两个变量之间成正比例关系的是（）

A.圆的面积S（M*）与它的半径广（。〃）之间的关系

B.某水池有水15〃孔现打开进水管进水，进水速度为5m3〃?，人力后这个水池有水

加，

C.三角形面积一定时，它的底边a（cm）和底边上的面/?（an）之间的关系

D.汽车以60M?〃?的速度匀速行驶，行驶路程y与行驶时间工之间的关系

【分析】分别列出每个选项的解析式，根据正比例函数的定义判断即可.

【解答】解：A选项，S=m2,故该选项不符合题意；

8选项，y=15+5x,这是一次函数，故该选项不符合题意；

C选项，;Lh=S,

2

・,.a=2S,故该选项不符合题意；

h

。选项，y=60x,故该选项符合题意；

故选：D.

【点评】本题考杳了正比例函数的定义，掌握形如）=匕（4#0）的函数是正比例函数

是解题的关键.

【变式17】下列函数中，属于正比例函数的是（）

A.y=.P+2B.y=-2x+1C.y——D.y=—

x"5

【分析】根据正比例函数的定义逐个判断即可.

【解答】解.：A.是二次函数，不是正比例函数，故本选项不符合题意；

从是一次函数，但不是正比例函数，故本选项不符合题意；

C.是反比例函数，不是正比例函数，故本选项不符合题意；

D.是正比例函数，故本选项符合题意：

故选：

【点评】本题考查了正比例函数的定义，能熟记正比例函数的定义是解此题的关键，

注意：形如y=E+0a、b为常数,AWO）的函数，叫一次函数，当。=0时，），=依也

叫正比例函数.

【变式1-2］下列问题中，两个变量成正比例的是（）

A.圆的面积S与它的半径r

B.三角形面积一定时，某一边。和该边上的高力

C.正方形的周长。与它的边长a

D.周长不变的反方形的长。与宽〃

【分析】根据正比例函数的定义计算.

【解答】解：人、圆的面积=irX半径2,不是正比例函数，故此选项不符合题意；

B、三角形面积S一定时，它的底边4和底边上的高人的关系5=工九不是正比例函

2

数，故此选项不符合题意；

C、正方形的周长C=边长X4=4a,是正比例函数，故此选项符合题意；

D.设周长为C,则依题意得C=2（〃+/，），则〃与/，不是正比例关系，故此选项不符

合题意.

故选：C.

【点评】本题考杳正比例函数的定义.解题的关键是掌握正比例函数的定义：一般地,

两个变量X,V之间的关系式可以表示成形如丁=丘a为常数，且ZW0）的函数，那

么y就叫做X的正比例函数.

【变式1-3］下面各组变量中，成正比例关系的是（F

A.人的身高h与年龄t

B.正方形的面积S与它的边长a

C.当平行四边形一条边长一定时。，平行四边形的面积S和这条边上的高h

D.汽车从甲地到乙地，所用时间t与行驶速度v

【答案】C

【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对

应的乘积一定：如果是比值一定，就成正比例：如果是乘积一定，则成反比例.

【解答】解：A、人的身高h与年龄t不成比例，故选项不合题意；

B、正方形的面积S与它的边长a成二次函数关系，故选项不合题意；

C、当平行四边形一条边长一定时，平行四边形的面积S和这条边上的高h成正比例

关系，故选项符合题意；

D、汽车从甲地到乙地，所用时间I与行驶速度v成反比例关系，故选项不合题意；

故选：C.

题型2~：正比例函数的概念与含参问题

咽2.若函数），=%+攵-2是正比例函数，则k的值是（）

A.6B.4C.2D.-2

【分析】根据正比例函数的定义得出2=0,再求出A即可.

【解答】解：•・•函数y=x+%-2是正比例函数，

"-2=0,

解得：&=2,

故选：C.

【点评】本题考查了正比例函数的定义，能熟记正比例函数的定义是解此题的关键，

注意：形如），=履+匕4、〃为常数，KW0）的函数，叫一次函数，当方=0时，函数y

=kx+b叫正比例函数.

【变式2二1］已知函数;2%27是正比例函数，贝|jq=（一一；

A.1B.±1C.3D.3或1

【分析】利用正比例函数定义可得|=0,且心2|=1,再解即可.

【解答】解：由题意得：«2-1=0,且

解得：4=1,

故选：A.

【点评】此题主要考查了正比例函数定义，关键是掌握形如『=履a”是常数，2关0）

的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.

5.

【变式2-2］若函数y=（2〃计6）x+//-9是关于x的正比例函数，则〃?的值为（）

A.3B.-3C.±3D.0

【分析】直接利用正比例函数的定义进而得出答案.

【解答】解：•・•函数y=（2m+6）x+/・9是关于/的正比例函数，

・"2-9=0,2〃?+6#0,

解得：加=3.

故选:A.

【点评】此题主要考查了正比例函数的定义，正确把握定义是解题关键.

【变式2-3】当m=-2时,函数），=（〃L2）x"1?7是正比例函数.

【分析】根据正比例函数的定义列出关于，〃的不等式组，求出机的值即可.

【解答】解：•・•函数y=（m-2）是正比例函数,

m-2^0

9，解得〃，=-2.

m-3=1

故答案为：-2.

【点评】本题考查的是正比例函数的定义，即一般地，形如），=质a是常数，kwo）

的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.

段正比例函数的图象与性质

正比例函数丁二丘（A是常数，AWO）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为

直线＞:依.当女＞0时，直线y=依经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x的增

大了也增大；当左＜0时，直线y=区经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x的增

大）'反而减小.

题型3:正比例函数的图象■作图

咽3.画出正比例函数y=2x的图象.

【分析】根据直线的解析式知其图象过原点，再令x=l求出y的值，描出各点，根据

两点确定一条直线画出函数图象.

【解答】解：如图所示：

【点评】本题考查了正比例函数的图象，解答此题的关键找出该直线k任意两点的坐

标.

［^3-1］在同一平面苗花巫标系上画由函数二百五；五云二3；?=2x+3两囱反:瓦括

【分析】利用描点法画出图象即可解决问题.

【解答】解:函数y=2x,y=2x・3,y=2x+3的图象如图所示,

从解析式上看A相同，从图象上看是平行的.

【点评】本题考套正比例函数的图象、一次函数的图象等知识，解题的关键是熟练掌握描

点法画图，记住结论：左相同两直线平行.

【变式3-2］在同一平面直角坐标系上画出函数,，=2匕），=-L,y=-06t•的图象.

【分析】分别在每个函数图象上找出两点，画出图象，根据函数图象的特点进行解答

即可.

【解答】解:

【点评】本题考查了画函数的图象，考查的是用描点法画函数的图象，解答此题的关键是

描出各点，画出函数图象，再根据函数图象找出规律.

题型4:正比例函数的图象-象限问题

【分析】根据正比例函数的图象是经过原点的直线解答即可.

【解答】解：A、不是正比例函数图象，故此选项错误；

B、是正比例函数图象，故此选项正确；

C、不是正比例函数图象，故此选项错误；

。、不是正比例函数图象，故此选项错误；

故选:B.

【点评】此题主要考杳了正比例函数的图象，关键是掌握正比例函数的性质.

【变式47】一次函数y=-x的图象平分（F

A.第一、三象限B.第一、二象限

C.第二、三象限D.第二、四象限

【分析】根据正比例函数的性质判断出正比例函数y=-x的图象所经过的象限，进而

可得出答案.

【解答】解：・・z=-ivo,

・••一次函数y=-x的图象经过二、四象限，

工一次函数y=-x的图象平分二、四象限.

故选:D.

【点评】本题考杳的是一次函数的图象，熟知一次函数的性质是解答此题的关键.

【灰式4-2】如囱，三个正正例函数的图象分别对应表达式：①②③y=cx,

将a,4c从小到大排列为（）

①7②

A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.c<b<a

【分析】根据直线所过象限可得aVO,b>0,c>0,再根据直线陡的情况可判断出。

>c,进而得到答案.

【解答】解:根据三个函数图象所在象限可得4<0,b>0,C>（）,

再根据直线越陡，|川越大，则〃〉a

则a<c<b,

故选:B.

【点评】此题主要考查了正比例函数图象，关键是掌握：当女>0时，图象经过一、三

象限，y随x的增大而增大；当ZVO时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小.同

时注意直线越陡，则M越大

【变式4-3］正比例函数），=（/J+i）x的图象经过的象限是（）

A.第一、三象限B.第二、四象限

C.第一、四象限D.第二、三象限

【分析】判断用2+1的符号即可得到答案.

【解答】解：・・“220,

・,•加2+1>0,

而正比例函数），=6当k>0时图象经过一、三象限，

・•・正比例函数y=（〃P+1）x的图象经过一、三象限，

故选:A.

【点评】本题考查正比例函数图象，关键是判断〃P+1的符号.

题型5:正比例函数的性质-函数增减性

归国5.下列正比例函数中，），的值随x值的增大而减小是（）

A.y=8xB.y=0.6xC.y=y[5xD.y=（V2_

V3）x

【分析】根据正比例函数的增减性确定正确的选项即可.

【解答】解：•・•丁=心中，），随着x的增大而减小，

.”V0,

・•・只有。选项符合题意，

故选：D.

【点评】本题考查的是正比例函数的性质，熟知正比例函数的增减性是解答问题的关

键.

[feUHJ百口定比碗函教），=（庠5yI,1y施勺嘀天而藏不T■丽&而而宿蔻雨息

（）

A.k>5B.k<5C.k>-5D.k<-5

【分析】根据正比例函数图象的特点可直接解答.

【解答】解：•・•正比例函数），=a+5）工中若_>，随/的增大而减小，

工上+5V0.

:・k<-5,

故选：D.

【点评】此题比较简单，考查的是正比例函数（AWO）图象的特点：

当女>0时，），随x的漕大而增大；

当&V0时，y随x的港大而减小.

【变式5-2]己知正比例函数），=（〃?-1）x的图象上两点八（加，户），万（。，户），当

xiVx2时，有）“>”，那么阳的取值范围是（）

A.m<.1B.m>1C.w<2D./〃>0

【分析】据正比例函数的增减性可得出（机-1）的范围，继而可得出，〃的取值范围.

【解答】解：根据题意，知：），随X的增大而减小，则“L1V0,即〃2Vl.

故选:A.

【点评】能够根据两点坐标之间的大小关系，判断变化规律，再进一步根据正比例函

数图象的性质：当&>0时，），随x的增大而增大；当&V0时，），随x的增大而减小.列

不等式求解集.

【变式5-3】已知正比例函数尸—当-24W2时，函数有最大值3,则我的值为

【分析】根据函数的增减性，再由x的取值范围得出x=-2时，），=3或x=2时，），=

3,分别代入代入函数解析式得出k的值即可.

【解答】解：当2>0时,，函数），随x的增大而增大，

当x=2时，y=3,

，2攵=3,解得2=3：

2

当&V0时，函数了随文的增大而减小，

，当x=-2时，y=3,

，-2A=3,解得k=-2.

2

的值为2或-2，

22

故答案为旦或-1.

22

【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键.

【变式5-4］已知函数y=（〃L1）xm?-3是正比例函数.

（I）若函数关系式中y随x的增大而减小，求机的值：

（2）若函数的图象过第一、三象限，求〃?的值.

【分析】利用正比例函数的定义，可得出关于，〃的一元一次不等式及一元二次方程，

解之即可得出〃，的值；

<1）由函数关系式中），随X的增大而减小，利用正比例函数的性质可得出"L1VO,

解之即可得出机的取值范围，进而可确定〃?的值；

（2）由函数的图象过第一、三象限，利用正比例函数的性质可得出〃7-1>0,解之即

可得出〃?的取值范围，进而可确定机的值.

【解答】解：•・•函数y=（/??-1）xm?T是正比例函数，

m-1^0

…-3=1'

解得：〃?i=・2,，〃2=2.

(1)•・•函数关系式中y随x的增大而减小，

：,m-1<0,

・,./”=-2.

(2)•・•函数的图象过第一、三象限，

rn-1>0,

・・・加>1,

/•in=2.

【点评】本题考查了正比例函数的性质以及正比例函数的定义，牢记“当k>0时，y

随工的增大而增大，且函数图象经过第一、三象限；当"V0时，y随x的增大而减小，

且函数图象经过第二'四象限”是解题的关键.

题型6:正比例函数的性质■含参问题

咽6.已知正比例函数y=(2k-3)x,若y随x增大而减小，则人的值可能是()

A.IB.2C.3D.4

【分析】由)，随x增大而减小，利用正比例函数的性质可得出关于女的一元一次不等

式，解之即可得出结论.

【解答】解：•・•正比例函数y=(2Z-3)x的y值随x值的增大而减小，

工24・3V0,

:.k<3.

2

故选：A.

【点评】本题考杳了正比例的性质，牢记“女>0时，y随x的增大而增大；当4Vo时,

5随x的增大而减小”是解题的关键.

［菱天百1)豆如正正碗函虹擀晟W目变薮而面由天3而「函教值派不4「厕攵而面

为()

A.-AB.AC.-SD.3

3344

【分析】由于自变量x增加3,y的值减小4,则y-4=k(x+3),然后把y=履代入

可求出女的值.

【解答】解：根据题意得y-4=A(x+3),

即y-4=kx+3k,

而y=k.x,

所以h-4=Zr+3攵，

3k=-4

解得：k=■生

3

故选:A.

【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式：设正比例函数解析式为)，=履

a#o),然后把一组对应值代入求出女即可.得到正比例函数解析式.

【变式6-2］在正比例函数)，=冽7中，若了随x的增大而减小，则m=」

2.

【分析】x的次数为1且％的系数为负.

【解答】解：・・・m-l=l,

5=±2,

又•・•)，随x的增大而减小，

A/w+l<0.

/.m=~2.

故答案为：-2.

【点评】本题考查一次函数的概念与性质，解题关键是熟练掌握一次函数的性质.

【变式6-3】已知直线)=心经过第二、四象限，且j2k+3在实数范围内有意义，求k的

取值范围.

【分析】根据y=依经过第二、四象限，可得k<0,再由二次根式有意义的条件，即

可得出k的取值范围.

【解答】解：•・•据y=米经过第二、四象限，

:・k<0,

•・W2k+3在实数范围内有意义,

工2k+320,

・・.4-3,

2

综上可得：-3"vo.

2

【点评】本题考查了正比例函数的性质，注意二次根式有意义的条件：被开方数为非

负数.

［^6-4］已知正比例函数y=(m+2)x中，1y的值随。的增大而增大，而正比例函数

)，=(2^-3)x,y的值随x的增大而减小，且加为整数，你能求出，〃的可能值吗？为

什么？

【分析】先根据正比例函数y=(〃?+2)%中，y的值随力的增大而增大,得出m+2>

0,解得〃?>-2.再由正比例函数y=(2w-3)x,y的值随x的增大而减小，得出2小

-3<0,解得小v2.又切为整数，即可求出所的可能值.

2

【解答】解：〃7的可能值为-I，0,1.理由如下：

•・•正比例函数丁=(〃汁2)x中，y的值随x的增大而增大，

・・・加+2>0,

解得m>-2.

•・•正比例函数y=(27/-3)x,y的值随x的增大而减小，

3V0,

解得〃?v2.

2

•・•加为整数，

・・・加的可能值为・1,0,1.

【点评】本题考查的是正比例函数的性质，熟知正比例函数)，=匕awo)中，当心>

0时，y随工的增大而增大：当&V0时，y随X的增大而减小是解答此题的关键.

题型7:求正比例函数值或点坐标

咽7.在直线y=2x上到x轴距离为2的点的坐标为

【分析】根据直线y=2x上的点到x轴距离是2,故丫=+2,求出x的值即可得出结论.

［解答］解：:直线y=2x上的点到x轴距离是2,

y=±2,

当y=2时，即2x=2,解得x=l；

当y=-2时，即2x=2解得x=-l.

，符合条件的点的坐标为：(1，2)或(-1,-2).

故答案为：(1,2)或(-1,-2).

【寂百］薮y=2x；Wx=i面方双y的藤)

A.2B.-2C.-0.5D.0.5

【答案】B

【分析】根据函数值的求法，直接将x=-l代入函数关系式得山即可.

【解答】解：对于正比例函数y=2x,

当x=-l时，函数值y=-2x］=-2.

故选:B.

【变式7-2】已知，点公方:2),若A：B两点关于x一知对称，则力点的坐标为第

点(3,n)在函数y="2x的图象上，则n=

【分析】平面直角坐标系中任意一点P（X,y）,关于x轴的对称点的坐标是（x,-y）,将

点（3,n）代入函数即可求得n的值.

【解答】解：TA,B两点关于x轴对称，

・・・B点的坐标为（1,2）；

若点（3,n）在函数y=-2x的图象上，

则n=-6.

故答案为：（1,2）,-6.

【莪713】函函而歹赭痂y=kx一确豪「塞E晟MT214厂

（I）推出y的值与x值的变化情况；

（2）画出这个函数的图象.

【分析】（1）先把点M（-2,4）代入正比例函数丫=1^,求出k的值，根据k的符号即

可得出结论；

（2）在坐标系内描出点M（-2,4）,过原点与点M（-2,4）作直线即可得出函数图

象.

【解答】解：（1）•・•正比例函数y=kx的图象，经过点M（-y

2,4）,\.......

A4=-2k,解得k=2V0,

・・・y随x的增大而减小;

（2）如图所示

口三待定系数法求正比例函数的解析式

由于正比例函数》二依（攵为常数，k/。）中只有一个待定系数攵，故只要有一对

x,），的值或一个非原点的点，就可以求得左值.

题型8；待定系数法求正比例函数解析式

<|）求此正比例函数的解析式；

（2）点（2,-2）是否在此函数图象上？请说明理由.

【分析】（1）设正比例函数解析式为>=依，把已知点坐标代入求出火的值，即可确

定出解析式；

（2）把x=2代入解析式计算求出），的值，即可作出判断.

【解答】解：（1）设正比例函数解析式为），=履（AWO）,

把（-1,2）代入得：2=-k,

解得：k=-2,

则正比例函数解析式为＞，=-2x；

（2）把K=2代入y=-2x得：y=-4,

•・•・4W・2,

・••点（2,-2）不在函数），=-2x图象上.

【点评】此题考查了待定系数法求正比例函数解析式，以及一次函数图象上点的坐标

特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键.

【变式87】已知正比例函数），=履的图象经过点A（2,*2）,求这个函数解析式并画

出这个函数的图象.

【分析】（1）点A（2,&+2）代入解析式即可得到上的值，从而求出函数解析式；

（2）根据解析式求出函数图象上的两个点即可画出函数图象.

【解答】解：（1）将点4（2,k+2）代入）=依得：A+2=2k,

解得&=2,

；・函数解析式为y=2x；

【点评】本题考查了正比例函数的图象和一次函数图象上点的坐标特征，熟悉待定系

数法和1F比例函数的性质是解题的关键.

【变式8-2］己知y=yi+y2,y\与x成正比例，”与x-3成正比例，当了=-1时，y=

4；当x=l时，），=8,求），与x之间的函数关系式.

【分析】根据题意设w=kwy2=k2（x・3）,从而可得了=匕1+七（x-3）,然后把

x=-1,y=4和x=l,），=8代入联立方程组，进行计算即可解答.

【解答】解：设yi=h%