2026年高考数学总复习突破：空间向量与空间角

微专题15空间向量与空间角

［考情分析］以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点.空间向量是将空间几何问题坐标化的工

具，利用空间向量求异面直线的所成的角、平面与平面的夹角或线面角是高考热点，通常以解答题的形式

出现，难度中等.

微点一异面直线所成的角

1.(2025•六安模拟)在正方体43czM由CA中,M是4。的中点，N是的中点,则异面直线

与。M所成角的余弦值为()

琮

答案D

解析如图，以。为坐标原点，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2,

则0(0,0,0),M(l,0,0),刑(0,0,2),MO，1，2),

所以嬴=(1,0,-2),而=(0,1,2),

设异面直线AM与DN所成的角为仇

贝IcosQ|cos(DiM,D/V)叫一.4

\DiM\\DN\v5xV55

2.(2025•全国I卷)如图，在四棱锥P-48co中，P/_L底面力BCD,ABLAD,BC//AD.

(1)证明：平而245_1_平面〃1。：

⑵若BC=2,AD=\+\3,且点RB,C,。均在球。的球面上.

(1)证明：点0在平面48。。内；

(ii)求直线AC与PO所成角的余弦值.

⑴证明在四棱锥尸-48CQ中，P4上底币4BCD,"u底面42CQ,

：.APLABy

'：ABLAD,4P,力Qu平面210,APC\AD=At

平面PAD,

••ZBu平面PAB,

・二平面平面PAD.

⑵(i)证明方法一以力为坐标原点，孙力D,"所在直线分别为x,八z轴,

建立空间直角坐标系，如图1所示，

・・・8(、20,0),C(V2,2,0),。(0,1+V3,0),P(0,0,V2),

若P,B,C,。在同一个球面上，

贝ijOP=OB=OC=OD,

在力盯平面中，如图2所示，

40,0),8(6，0),C(V2,2),Z)(0,1+V3),作线段CO的垂直平分线，分别交y轴，CD于点、E,

・••线段CQ的中点尸的坐标为俘，号")，

直线CQ的斜率左」法2一年,

・•・线段CQ的垂直平分线小的斜率卜喜阳产,

V3-14

・,•直线川的方程为户用粤M-孝)，

即三粤即-孝)夸，

又线段BC的垂直平分线的方程为尸1,

则将产1代入直线所的方程得，

1上用(工—少夸解得尸0,

・・・在依y平面中,△8CO外接圆的圆心坐标为(0,1),

故可设在上述空间直角坐标系中，0(0,1,Z),

则由可得J02+12+(z-«)2=J(一夜)2+12+z2,解得手。，即Q0,1,0),

・•・点。在平面ABCD内.

方法二同方法一，建立空间直角坐标系，设球心O(x,y,z),由08=00。。=。。，可得

02=(y2)2,

<(x—V2)+y2+z2=x2+(y—\/3—1)+z2.

V(x-V2)4-y2+z2=x2+y2+(z—V2),

解得E；：=0,显然点QO,1,0)在平面内.

方法三VP,B,C,。在同一个球面上，

，球心到四个点的距离相等,

在△8C。中，到三角形三个顶点距离相等的点是该三角形的外心,

作出BC和CQ的垂直平分线，如图3所示，设8c的垂直平分浅交力。于点

由几何知识得，

O\E=AB=G.,BE=CE=AO}=GO]=^BC=\,O}D=AD-AO}=y/3,

80产CO|=、12+(V2)2=V3,

••0{l^BO\=C0\,

・••点。|是△BCO的外心，

如图4,在RtZXXOiP中，APLA()],AP=&,4。=1,

由勾践定理得,

POMAP2+A0：=J(&)2+12=五

.•・00]=801=。0尸。|。=逐，

，点。|即为球心o,

此时点O在线段力。上，4Z)u平面4BCZ),

工点。在平面4BCD内.

(ii)解方法一建立如图5所示的空间直角坐标系，由(2)(7)得，AC=(V2,2,0),P0=(0.1,-V2),

图5

设直线AC与20所成的角为仇

|4CP0|_|0+2'巳+0|V2

cosg

I向J(迎胃+22+oxJo+l2+(-V2)2T

方法二由Q)(i)得P0=百,

'：ABLAD,BC//AD,：.AB±BC,

在Rt△48C中，AB=y/2,BC=2,由勾股定理得，

AC7AB2+BC2=J(&y+

22=A/6,

如图6,过点O作力C的平行线，交3C的延长线于点G，连接力G，PG，

p

CG

图6

则CCr=OA=],直线力。与PO所成的角即为NPOG或其补角.

・.・0/1_1平面/38,/Qu平面49C。，

C.PALACy,

在Rt△月8G中，AB=&,8G=8C+CG=2+1=3,由勾股定理得,

AC、'AB?+BC；=J(衣＞+32=VT1,

在Rt△力尸G中，PA=y/2t由勾股定理得，

PG7PA2+A第)2+(V1T)2=V13,

在△POG中，由余弦定理得，

PCI=PO2+OCl-2POOC1cosNP0G，

即(V13)2=(V3)2+(V6)2-2V3X限osNPOG,

解得cosZP(?C|=-^y,

・•・直线/与尸。所成角的余弦值为尸

C|cosZOG|o

微点二直线与平面所成的角

3.(2023•全国甲卷)如图，在三棱柱J8C・/i&G中，4C_L平面/8C.ZACB=90°,AAX=2,4到平面

8CG8的距离为1.

(1)证明：A}C=ACx

(2)已知AA｝与BBi的距离为2,求力囱与平面BCGBi所成角的正弦值.

⑴证明如图，过小作4OLCG，垂足为。，

•・7CJ_平面力BC,BCu平面4BC,

・・・4C_L8C,

又/幺C8=90。，：,ACLBC,

;小。，4Cu平面4CC41,且力|CTUC=C,

・・・3C_L平面ACCyA^

•.”Ou平面ACCiAit

：.BC±A}D,

又CC|,8Cu平面8CCS，ACC^BC=C,

，40J_平面BCCWi，

：.AXD=\.

由已知条件易证△OiG是直角三角形,

又CC[=44]=2,小£)=1,

:・D为CG的中点，

又4|D_LCC],A।C=A।C\*

又在三棱柱48C-m81G中，4C=4C，

：.AXC=AC,

(2)解如图，连接4B,

由(1)易证小8=481,

故取B当的中点凡

连接小尸,

24与5道的距离为2,

・・・4尸=2,

又AA\=2且A}C=AC,

AiC=A\C\=AC=V2,4B=4B=相,

BC=®

建立空间直角坐标系如图所示，

则C(0,0,0),J(V2,0,0),B(0,V3,0),5|(-V2,依V2),^(-72,0,V2),

・,•丽=(0,V3,0),a\=(-V2,0,V2),

4/={-2衣，V3,V2),

设平囱8CG8的法向量为〃=(x,j,z),

„,fn-CF=0,(V3y=0,

''(n-CCi=0,w即r1[-y[2x+V2z=0,

取尸1,则尸0,z=\,

・•・平面8CG&的一个法向量为〃=(1,0,1).

设与平面8CG8所成的角为巴

则siigcos</»,丽〉|一网吧-、巴

同团8/*

・•・力济与平面8CG8所成角的正弦值为晋.

4.(2025•福州模拟)如图，在四棱锥Pd8c。中，8_L平面4。，PAA.AD.

(1)证明：尸4_L平面力4CZ)；

(2)若底面NACO是正方形，PA=AB=2,E为PB中点、，点F在棱PD上,且异面直线力尸与〜夕所成的

角为60。.

①求P/7的长度；

②平面4E尸交PC于点G,点M在线段P8上，求EG与平面A/4O所成角的正弦值的取值范围.

⑴证明因为CZ>_L平面。W,Hu平面P月。，

所以CDLPA,

又因为尸彳_L4。，AD,COu平面N8CQ,ADC\CD=D,

所以P4J_平面ABCD.

(2)①解由(1)可知尸力1.平面45CD,且底面48C。是正方形，

所以,44,AD,4P两两垂直，

故以.4为原点，以力B,4。,力尸所在直线分别为x轴、y轴、z轴,

建立如图所示的空间直角坐标系，

依题意可得力(0,0,0),。(0,2,0),尸(0,0,2),E(l,0,1),BQ,0,0),C(2,2,0),

所以而=(0,0,2),PD=(0,2,-2),而=(2,0,-2),

设方=%而=(0,2Z,-22)(OW/W1),

则而=而十而=(0,22,2-2/1),

因为异面直线4尸与PA所成的角为60。,

所以cos600加覆函1嘴心H'

解得，14，所以PF=^PD=&.

②解设而=〃丽(0<〃<1),且丽=(2,2,-2),

贝|」刀=而+而=而+〃无=(0,0,2)+〃(2,2,-2)=(24，2〃，2-2//),

又通=(1,0,1),而=(0,1,1),

设平面力所的法向量为〃=(x,y,z),

则糜:轲花片0,

0,

取x=-l,y=-\,z=l,得〃=(-1,-1,1),

因为"_LAG,所以〃XG=0,即-24-2“+(2-2〃)=0,解得4=1,

所以G(|,|,9,所以前=(—1).

因为以在线段。6上，

所以设丽=/丽=(2八0,-21)(0<fWl),

则MQt,0,2-2。，而=(0,2,0),AM=(2tt0,2-2。，

设平面区4。的法向量7"=(X1，为，Z1),

^.(m-AD=0,,(yi=0,

则bn,丽=0,即ar+(1-t)zi=0,

取Xi=f・l,凹=0,21=/,得/〃=(//,0,Z),

设EG与平面助力。所成的角为仇

则SB3而，初嚅对沈盘"2、”心)

由于i£[0,I],所以。一^丫弓金匕，且，

所以sinJ七怪，y],

即EG与平面M4O所成角的正弦值的取值范围为陷同.

微点三平面与平面的夹角

5.(2024・全国甲卷改编)如图，在以力，B,C,D,E,E为顶点的五面体中，四边形力8。。与四边形

/。所均为等腰梯形，BC//AD,EF//AD,40=4,AB=BC=EF=2,ED=V10,FB=2a,必为力。的中

点.

(1)证明：氏W〃平面COE；

(2)求平面依A/与平面8A/E夹角的正弦值.

(1)证明因为BC〃4。，BC=2,

AD=4,M为力。的中点，

所以BC//MD,BC=MD,

所以四边形8CQM为平行四边形，

所以BM〃CD,

又因为BMW平面CDE,CDu平面CDE,

所以〃平面CDE.

(2)解如图所示，作8O_L4。交/。于O,连接O凡

因为四边形力BCO为等腰梯形，BC//ADfAD=4,

AB=BC=2,所以。。=2,

结合(1)可知四边形8CDW为平行四边形，

可得BM=C£>=2,又/M=2,

所以△力阴0为等边三角形，

O为血/的中点，所以。8=百，

又因为四边形力。律为等腰梯形，

M为,4。的中点，EF=2,

所以EF//MD,

所以四边形E尸也为平行四边形，

FM=ED=AF=国,

所以为等腰三角形，

△48W与△4BW底边上中点O重合，

则。尸J_4M,OF=\/AF2-A02=3,

因为。¥+。尸="?2,所以O8J_。尸,

所以08,OD,OE两两垂直，

以。为坐标原点，砺的方向为X轴正方向，砺的方向为)，轴正方向，砺的方向为Z轴正方向，建立空间

直角坐标系，

则尸(0,0,3),B(V3,0,0),MO,1,0),E(0,2,3),

丽=(-怎1,0),FF=(-V3,0,3),

BE=(-y/3,2,3),

设平面FBA/的法向量为m=S，必，Z|),

平面BME的法向量为n=(x2,yi,为，

=0,—叵X、+%=0,

l;ImBF=0,时

—\[3x1+3zi=0,

令两=百，得乃=3,z)=l,

即〃尸(逐，3,1),

n,BM=0,—V3%2+丫2=0，

则nBE=0,即

—\/3%2+2y2+3Z2=°，

令必=旧，得竺=3,Z2=l,

即”=(行3,-1),

mn1111

所以COS〈〃1,/!)

\m\\n\^13.5/13135

贝Isin</«,w)=4^,

故平面用河与平面BME夹角的正弦值为喑.

6.如图，在四棱锥P-49C。中，四边形48CO是边长为6的正方形，PBA.PD.

⑴当四棱锥尸-48c。的体积取得最大值厂时.

①求/的值；

②证明：平面a4C_L平面。8。；

⑵若乃=6,求平面758c与平面PC。夹角的正弦值的最小值.

(1)①解由四边形力从》是边长为6的正方形，可得BD7BG+。。2一6七

记80与力。交于点O,易知点O为8。的中点，

故由PBtPD可知pgBD=3五、

记点P到平面ABCD的距离为d,则dW尸0=3在，

故V口梭较p-ABCi^^dSEJL,48a)W36x/^,当且仅当尸。_1_平EJABCD时等号成立,

故々36立.

②证明显然AC_L6。，由尸。_L3面月6C。，4Cu平面/1SC。，可知ZC_LFO,

而尸0,BDu平面PBD,POC\BD=O,故力C_L平面尸8。，

而力Cu平面P4C,故平面尸4C_L平面尸HQ.

(2)解以力为坐标原点，AB,片。所在直线分别为x,y轴，过点力作平面片8c。的垂线为z轴，建立如图

所示的空间直角坐标系，

则力(0,0,0),8(6,0,0),C(6,6,0),0(0,6,0),不妨设P(x,y,z),z>0,

则就=(0,6,0),DC=(6,0,0),丽=(x-6,y,z),DP=(xty-6,z),

由尸B_LPO,可知丽•丽=0,

即x(A-6)+j,(y-6)4-z2=0,①

由P4=6,可知/4T2+z2=36,②

②-①得6x+6v=36,即j=6-.r,且x2+>,2+z2=36=(x+>^)2,

得z2=2xy=2jc(6-x)>0,故x£(0,6).

设平面ABC,平面PGD的法向量分别为〃i=(xi，y]t与)，"2=(勺,y2.z2),

n^-BC=0,

则n^BP=0,

艮喘L6)%1+yyi+ZZ1=0,可取〃尸(z0,x-6),

n2'PC=0,

同理可得n2,DP=0,

=0,

+(y-6)y2+ZZ2=0,

可取〃2=(0，-z,y-6),

记平面P8C与平面PCD的夹角为仇夕£0,7

L/」

g6)(y-6)|x(6r)

则COS族|cos〈〃],〃2〉H

222222

In111%I>/(x-6)+z-V(y-6)+z7(x-6)+2x(6-x)y/x+2x(6-x)

_____.(6_~x)_____一广］一.广—一厂］工日06)

同r)(6+x)(12与胎件居奇加岛'，，

而x(6」)W(考二)2=9,

当且仅当x=6-x,即x=3时，等号成立,

故o<coseWj72?

于是sin—cos20^^^,

«3

取等号时点p的坐标为(3,3,3&),

综上，平而与平面PC。夹角的正弦值的最小值为平.

［总结提升］

在解决空间角的计算问题上，常用的方法有定义法和向量法.在向量法中，求解时注意角的取值范围，异面

直线所成角的范围为(0,寸，直线与平面所成的角、两个平面夹角的范围为|o,1，所以公式中要加绝对

值.

专题突破练

［分值：64分］

1.(15分)如图所示的几何体是圆锥的一部分，其中PO是圆锥的高，43是圆锥底面的一条直径,

尸0=2,04=1,C是通的中点.

(1)求直线3c与P4所成角的余弦值；(7分)

(2)求直线PA与平面PAC所成角的正弦值.(8分)

解(1)以。为原点，OC,0B,而的方向分别为x,y,Z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系,

则/(0,-1,0),从0,1,0),

p(o,0,2),c(l,0,0),

所以刀=(0,-1,一2),fiC=(l,-1,0).

设直线8C与24所成的角为仇

则侬斗。，画画I图』B

即直线4C与左所成角的余弦值是笔.

⑵由(1)知m=(o,-1,-2),由=(1,-1,0),PC=(1,0,-2),

设平面P8c的法向量为〃=(X,y,Z),贝C二：一；二1

取z=l,得％=尸2,所以平面P8C妁一个法向量为〃=(2,2,1).

设直线尸力与平面P4C所成的角为«,

贝ijsina=cos<n,耳5)|岛西|4=4代

同府3X-7515

即直线PA与平面P8C所成角的正弦值为华.

JLO

2.(15分)(2025•秦皇岛模拟)如图，在四棱锥3c。中，平面/4CQ,底面四边形N5CQ为直角

梯形，AB//DC,N4BC=60。,PA=4B=2DC=2,M是PB的中点,N是0C上的一点.

(1)证明：平面4A/Z)_L平面"8C；(6分)

(2)若异面直线NA和PB垂直，求平面4V7/V与平面AMC夹角的正弦值.(9分)

(1)证明由题知，ABLAD.

因为，%_L平面48CZ),4)u平面48CO,

所以P4上4D,

因为P4平面PAC\AB=At

所以,40J_平面PAB,

又PBu平面P/iB,所以/力_1_尸8,

又P4=4B,M是PB的中点、,

所以出“_1_尸&

XAM.力Ou平面4MO,4MfUD=A,

所以P8_L平面4W。，

又PBu平面PBC,

所以平面4W£>_L平面PBC.

(2)解由题知，以力为原点，4B,AD,力2所在直线分别为x,%n轴，

建立空间直角坐标系，如图所示，

过C蚱CEJ_<8,垂足为E,

因为N/l8c=60。，

所以C£=V3,

则力(0,0,0),M(l,0,1),C(l,V3,0),P(0,0,2),3(2,0,0),设N(mb,c),

则P84N=(2,0,-2>(Q,byc)=2a-2c=0,即a=c9

设丽=万千，即(a,b,c-2)=/l(l,A/3,-2),

所以口=4,Z>=V32,c-2=-2z,

所以iZ=C=1,6=^,

即魔,竽,5)-

则丽=(1,0,1),丽=(|,竽，I),AC=(\yV3,0),

设平面AMN的法向量为〃i=(xi,M,21),

平面4WC的法向量为n=（x2,yi,z2），

m=+Zi=0,

则m=%]+速y]+%i=0，取引=1，可得片(-1，0，1)，

333

n=x+z=0,

又22

n=x2+V3y2—°,

取应=＞四，可得〃=（、8,-1,-、四）,

令平面4wv与平面Ave的夹角为&ew[o,

\m-n\_2x/3

则cos外|cos(m,加

|m||n|向、行7

所以sin6^1—cos20=^,

即平面4WN与平面4WC夹角的正弦值为苧

3.（17分）（2025•广州模拟）“阳马”是我国古代数学名著《九章算术》中《商功》章节研究的一种几何

体，其底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在四棱锥SdAC。中，四边形,"CQ是边长

为3的正方形，SAA.AB,SCA.BC,SA=SC=3\[2.

（1）证明：四棱锥S-44CO是一个“阳马”：（7分）

（2）已知点E在线段力C上，且荏=人前，若平面S4E与平面SDE夹角的余弦值为噜，求直线SE与底面

AI3CD所成角的正切值.（10分）

⑴证明•・•四边形力88是正方形，・・・/18_L/l。，

'：SALAB,SAC\AD=A,SA,力。u平面S4O,

平面SAD,

•・・5。仁平面54。，：.SD±ABt

•・•四边形力8c。是正方形，：.BC1CD,

•:SC1BC,CDC\SC=C,CD,SCu平面SCQ.

，8CL平面SCD,

•・・SQu平面SCO,：・SDLBC,

•:BCAAB=B,BC,<Bu平面4BCD,

••・5。_1_平面48。。，

/.四棱锥S-ABCD是一个“阳马”.

(2)解由(1)得SO_L平面彳ACO,：.SO_L4。，

♦：SA=3a,AD=3,；・SD=3,

以点。为原点，DA,DC,0s所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

由题意可得0(0,0,0),

4(3,0,0),8(3,3,0),

C(0,3,0),5(0,0,3),

：.AC=(-3,3,0),SA=(3t0,-3),

SD=(0,0,-3),

设反工，y,0),，通=(x-3,y,0),反=(-x,3-y,0),

■・•荏二赤

(x-3,yt0)=z(-x,3-yf0),A>0,

•••E岛，言'°)>砺=(含，瑞'0)>

设平面S4E的法向量是/w=8，yitZ]),

温7n，族，,(-3不+3yl=0,

叫ml打，-13%I-3ZI=0,

令zi=l,贝W；；=,1,1),

设平面SDE的法向量是〃=(、2，力，Z2),

n1SD,.—3Z2=0,

则3,3A

nLDE；'.石产2+而y2=on,

令”=-1»贝4；•〃=(2，-1，°),

|ntn|R-l|V30