第15章 概率-2026苏教版高中数学必修第二册章节练（含解析）

2026苏教版高中数学必修第二册

第15章概率

&全卷满分150分含考试用时120分钟

一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一

项是符合题目要求的)

1.袋内装有8个红球、2个白球，从中任取2个球，下列是互斥而不对立事件的是()

A.至少TT一个白球与全部都是红球

B.至少有一个白球与至少有一个红球

C.恰有一个白球与恰有一个红球

D.恰有一个白球与全部都是红球

2.已知事件A,B满足P(A)=().5,P(B)=0.2,则下列说法正确的是()

A.若BUA,则P(AB)=0.5

B.若A与B互斥，则P(A+B)=0.7

C.若A与B相互独立，则P(A访=0.1

D.若P(B)+P(C)=1,则C与B相互对立

3.已知甲袋中有4个白球、x个红球，乙袋中有2个白球、4个红球，各个球的大小与质地

相同.现从甲、乙两袋中依次不放回地各取2个球，若从甲袋中取出的2个球的颜色不相同

与从乙袋中取出的2个球的颜色不相同的概率相等，则x=()

A.2B.4C.6或2D.8或4

4.一个电路如图所示,A、B,C,D,E,F为6个开关，其闭合的概率均为;，且是相互独立的，则灯亮

的概率是()

5.张益唐是著名的华人数学家,他在数论研究方面取得了巨大成就,2013年张益唐证明了

挛生素数猜想的一个弱化形式,李生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一,

可以这样描述:存在无穷多个素数p,使得p+2是素数，素数对(p,p+2)称为挛生素数.在不超

过12的素数中，随机选取两个不同的数，能够组成李牛素数的概率是()

6.在5件产品中，有3件一级品和2件一级品，从中任取2件，下列事件中概率为看的是()

A.2件都是一级品B.2件都是二级品

C.一级品和二级品各1件D.至少有I件二级品

7.为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了20名工人某天生产该产品

的数量(单位:个)产品数量的分组区间为[10,15)口5,20),[20,25),[25,30),[30,35],频率分布直

方图如图所示.工厂规定从生产低于2()个产品的工人中随机选取2名进行培训，则这2名

工人不在同一组内的概率是()

频率/组距

0.06

0.05

().(M

0.03

0.02

20253035产品数量/个

8.我们所说的ABO血型系统是由A,B,O三个等位基因决定的，每个人的基因型由这三个

等位基因中的任意两个组合在一起构成，且两个等位基因分别来自父亲和母亲，其中

AA,AO为A型血,BB,BO为B型血,AB为AB型血,00为O型血.比如:父亲和母亲的基

因型分别为AO,AB,则孩子的基因型等可能地出现AA,AB,AO,BO四种结果.已知小明的

爷爷、奶奶和母亲的血型均为AB型，不考虑基因突变，则小明是A型血的概率为()

二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得()分)

9.已知事件A,B,C满足P(A)>0,P(B)>0,P(C)>0,则下列说法正确的是()

A.若AGB,则P(A)<P(B)

B.若P(A)£P(B),贝ijACB

C.若AB=0，则P(AUB)=P(A)+P(B)

D.若AB=0，则A,B不独立

10.在一个密闭的盒子中放有大小和形状都相同的4张卡牌，编号分别为123,4,现从中依

次不放回地摸出两张卡牌,记事件A="第一次摸出的卡牌的编号为奇数“，事件B="摸出的

两张卡牌的编号之和为5",事件C="摸出的两张卡牌的编号之和为6”,则()

A.事件B与事件C为互斥事件B.P(C)=；

C.事件A与事件B相互独立D.P（A+B尸:

11.四支足球队进行单循环比赛（任两支足球队恰进行一场比赛），任两支足球队之间获胜的

概率都是?.单循环比赛结束后，以获胜的场次数作为该队的成绩，按成绩从大到小排名次,

成绩相同则名次相同.下列结论中正确的是（）

A.四支足球队并列第一名为不可能事件

B.有可能出现恰有三支足球队并列第一名的情况

c.恰有两支足球队并列第一名的概率为:

D.只有一支足球队是第一名的概率为:

三、填空题（本题共3小题,每小题5分，共15分）

12.如图，小王一次买了两串冰糖葫芦,其中一串有两颗山楂，另一串有三颗山楂.若小王每

次随机选择其中一串吃一颗（只能从上往下依次吃），则只有两颗山楂的这串先吃完的概率

为.

13.某商场开展20周年店庆购物抽奖活动（1（）（）%中奖），凡购物满500元的顾客均可参加该

活动,活动方式是在电脑上设置一个包含12345,6的6个数字编号的滚动盘，按下启动键

后，滚动盘上的数字开始滚动，当停止时滚动盘上出现一个数字，若该数字是大于5的数，则

获得一等奖,奖金为150元;若该数字是小于4的奇数，则获得二等奖,奖金为100元;若该数

字出现其他情况，则获得三等奖,奖金为50元.现某顾客依次操作两次，则该顾客奖金之和

为200元的概率为.

14.甲、乙两人进行射击游戏，目标靶上有三个区域,分别涂有红、黄、蓝三色，已知甲击中

红、黄、蓝三个区域的概率依次是I，；1,乙击中红、黄、蓝三个区域的概率依次是:

555o24

甲、乙两人射击情况互不影响,若甲、乙各射击一次，则两人击中同色区域的概率

为，两人击中不同色区域的概率为.

四、解答题（本题共5小题洪77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15.（本小题满分13分）2024年5月底，各省教育厅陆续开始了2024年高中数学联赛的相关

工作.若某市经过初次选拔后有甲、乙、丙三名同学成功进入决赛，在决赛环节中这三名同

学同时解答一道有关组合数论的试题.已知甲同学成功解出这道题的概率是,甲、闪两名

同学都解答错误的概率是《乙、丙两名同学都成功解出的概率是:，且这三名同学能否成功

解出该题相互独立.

(1)求乙、丙两名同学各自成功解出这道题的概率；

(2)求这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题的概率.

16.(本小题满分15分)多项选择题是高考数学中的一种题型，其规则如下:有多项符合题目

要求,全部选对的得6分，有选错的得0分,部分选对的得部分分(若某小题的正确选项为两

个，则漏选一个正确选项得3分;若某小题的正确选项为三个，则漏选一个正确选项得4分,

漏选两个正确选项得2分).现高二某同学正在进行第二学期开学考试，做到多项选择题的

第10题和11题时发现自己只能全凭运气，在这两个多项选择题中，他选择一个选项的概率

是;，选择两个选项的概率是:，选择三个选项的概率是《已知该同学做题时题目与题目之间

236

互不影响且第10题正确答案是两个选项，第11题正确答案是三个选项.

⑴求该同学第10题得6分的概率；

(2)求该同学两个题总得分不小于10分的概率.

17.(本小题满分15分)为进一步巩固提升全国文明城市，加速推行垃圾分类制度，某市推出

了两套方案，并分别在A,B两个大型居民小区内试行.

方案一:进行广泛宣传活动、向小区居民和社会各界宣传垃圾分类的意义，讲解分类垃圾桶

的使用方式、垃圾投放时间等，定期召开垃圾分类会议和知识宣传教育活动；

方案二:在小区内设立智能化分类垃圾桶，该垃圾桶操作简单，居民可以通过手机进行自动

登录、称重、积分等一系列操作.该市建立激励机制，比如，垃圾分类换积分兑换礼品等，以

激发居民参与垃圾分类的热情.

经过一段时间试行之后，在这两个小区内各随机抽取了100名居民进行问卷调查，记录他

们对试行方案的满意度评分(满分100分)，将数据分成6组:[40,50),[50,60),...,[90,100],并整

理得到如下频率分布直方图：

[频率［频率

赢而

0.032---

().0311-------1----------)6

。1

T

o.儒

O.

0405060708090100满意度评分/分。405060708090100满意度评分/分

A小区方案一满意度评分B小区方案二满意度评分

(1)分别估计两种方案满意度评分的平均值，并判断哪种方案的垃圾分类推行措施更受居

民欢迎(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

(2)以频率估计概率,若满意度评分不低于70分，则认为居民赞成推行此方案,若低于70分,

则认为居民不赞成推行此方案,规定小区居民赞成率不低于7()%才可在该小区继续推行

该方案，判断哪个小区可继续推行方案；

(3)根据(2)中的结果，从可继续推行方案的小区中抽取100人,再按居民态度是否赞成从这

100人中分层抽取一个8人代表团，从代表团中选取2人进行汇总发言，求至少有一个不赞

成的居民被选到发言的概率.

18.(本小题满分17分)甲、乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下:每胜1局得1分,

负1局或平同都不得分，积分先达到2分者获胜;若第四局结束，没有人积分达到2分，则积

分多的一方获胜;若第四局结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平.假设在

每局比赛中，甲获胜的概率为"负的概率为(且每局比赛之间的胜负相互独立.

(1)求第三局结束乙获胜的概率；

(2)求甲获胜的概率.

19.(本小题满分17分)袋中装有质地均匀、大小相同的红球和白球共10个,现进行摸球游

戏.

⑴若采取有放回的方式从袋中每次摸出1个球，共摸球两次，至少有一次摸出白球的概率

是蓝,求袋中红球的个数；

(2)已知袋中有红球5个，从袋中每次摸出1个球,若是红球则放回袋中，若是白球则不放回

袋中，求摸球三次共取出两个白球的概率；

⑶采取不放回的方式从袋中每次摸出1个球，若连续两次摸到红球则停止摸球，否则继续

摸球直至第六次摸球后结束.若第三次摸球后停止摸球的概率大于第五次摸球后停止摸

球的概率,求袋中红球个数的所有可能取值.

答案全解全析

1.D对于A,事件“至少有一个白球”包含“2个白球”“1红1白”，与事件“全部都是红球“不

可能同时发生，但必有一个发生，故为对立事件,不符合题意；

对于B,事件“至少有一个红球”包含“2个红球”“1红1白”,结合A知两个事件的交事件为力

红1白”,不是互斥事件，不符合题意；

对于C两事件均为“1红1白”，为同一事件,不符合题意；

对于D,两事件不可能同时发生，但可能同时不发生，即“2个白球”，是互斥而不对立事件，符

合题意.

2.B对于A,若BGA,则P(AB)=P(B)=0.2,A错误；

对■于B,若A与B互斥，则P(A+B户P(A)+P(B)=0.7,B正确；

对于C,若A与B相互独立，则A与否相互独立，故P(A^)=P(A)P(^)=0.5x().8=0.4,C错误；

对于D,若P(B)+P(C)=1,因为不确定C与B是否互斥所以无法确定两事件是否对立,D错

误.

3.C设事件A为“从甲袋中取出的2个球的颜色不相同”，事件B为“从乙袋中取出的2个

球的颜色不相同"，则p(A尸器T#，P(B尸管="，

所以』喂解得x=2或x=6.

4.B设A与B中至少有一个不闭合为事件T,E与F中至少有一个不闭合为事件R,C,D

闭合的事件分别为G,H,则P(T)=P(R)=1-=3所以灯亮的概率

―――13115s

P=1.P(T)P(R)P(G)P(切=1丁；中广深

5.B不超过12的素数有2,3,5,7,11,共5个，从中任取两个数的样本空间

Q={(2,3),(2,5),(2,7),(2,11),(3,5),(3,7%(3,11),(5,7),(5,11),(7,11)},共10个样本点，其中是李生

素数的有(3,5),(5,7),共2个,故所求概率为卷=；.

6.D记3件一级品分别为AI,A2,A3,2件二级品分别为BI,B2,

任取2件，则样本空间

Q={(Al,A2),(Al,A3),(A2,A3),(AlB),(Al,B2),(A2B),(A2,B2),(A3B),(A3,B2),(Bl,B2)},共10个

样本点，

记事件A为“2件都是一级品二则A={(A\A2),(AI,A3),(A2,A3)}洪3个样本点，则P(A尸余

记事件B为“2件都是二级品”,则B={(BI,B2))洪I个样本点，则P®4.

记事件C为“一级品和二级品各1件''，则

C={(AIB),(AI,B2),(A2,BI)<A2,B2),(A3B),(A3,B2)},共6个样木点，则P(C)得=|.

易知BUC表示事件“至少有1件二级品”，因为事件B,C为互斥事件，所以

P(B)+P(C)=P(BUC)系故D符合条件.

7.C根据题中频率分布直方图可知,生产产品数量(单位:个)在［10/5)」15,20)内的人数分

别为5x0.02x20=2,5x0.04x20=4.设生产产品数量在［10,15)内的2人分别是人上,在［15,20)

内的4人分别为C,D,E,F,则从这6人中随机选取2名工人的样本点有

(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F),

共15个，且这15个样本点出现的可能性相等，其中2名工人不在同一组内的样本点有

(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),共8个，则选取的2名工人不在同一组内的

概率为2

8.C因为小明的爷爷、奶奶的血型均为AB型，所以小明父亲的基因型可能是AA,AB,BB,

它们对应的概率分别为d.

424

当小明父亲的基因型是AA时，因为小明母亲的血型为AB型，所以小明的基因型可能是

AA,AB,它们对应的概率均为;，则小明是A型血的概率为卜;

当小明父亲的基因型是AB时，因为小明母亲的血型为AB型，所以小明的基因型可能是

AA,AB,BB,它们对应的概率分别为岛J则小明是A型血的概率为:x：=；；

当小明父亲的基因型是BB时，因为小明母亲的血型为AB型，所以小明的血型不可能是A

型.

综上,小明是A型血的概率为"

884

9.ACD对于A,若AEB,则P(A£P(B),故A正确；

对于B,例如掷一次骰子，事件A表示得到1点或2点，事件B表示得到2点或3点或4点,

则P(A)4P(B月,P(A)WP(B),此时ACB不成立，故B错误;

对于C,若AB=0，则P(AB)=0,则P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B),故C正确；

对于D,若AB=。，则P(AB)=O,因为P(A)>0,P(B)>0,所以P(A)P(B)/O,则P(A)P(B)^P(AB),A,B

不独立，故D正确.

10.ACD从中依次不放回地摸出两张卡牌，样本空间

Q={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}洪12个样本点.

对于A,事件B={(1,4),(2,3),(3,2),(4』)}洪4个样本点，

事件C={(2,4),(4,2)},共2个样本点，因为BOC=0，所以事件B与C为互斥事件，故A正确;

对于B,P(C)4=I故B错误；

12o

对于C,事件A={(1,2),(1,3),(1,4),(3,1),(3,2),(3,4)},共6个样本点，则P(A)*总由A知

41

P⑻廿，

因为AB={(1,4),(3,2)},共2个样本点，所以P(AB)q=g因为P(AB)=P(A)P(B)=:，所以事件A

与事件B相互独立，故C正确；

对于D,由C知事件A与B相互独立，则P(A+B尸P(A)+P(B)-P(AB)W+：—故D正确.

2363

I1.ABD设四支足球队分别为a,b,c,d,则四支足球队进行单循环比赛的情况有

(a,b),(b,c),(c,d),(a,d),(a,c),(b,d),共6种，比赛的结果共有26=64种.

对于A,这6场比赛中，若四支足球队在前4场比赛中各赢1场，则剩下的2场比赛中必然

有两支或一支足球队获胜,那么所得成绩不可能都一样，故四支足球队并列第一名是不可

能事件，故A正确.

对于B,在6场比赛中，依次获胜的可以是a,b,c,a,c,b,此时三支足球队所获成绩相同,并列第

一名，故B正确.

对于C,在6场比赛中，恰有两支足球队并列第一名有6种可能，若为a,b,则第一类:a赢b,

有2种情况，分别是a,b,c,d,a,b和a,b,d,a,c,b,同理，第二类:b赢a,也有2种情况，故恰有两支

足球队并列第一名的概率为等=；，故C错误.

64S

对于D,四支足球队中一支足球队为第一名有4种可能，此时这支足球队比赛的3场都胜,

另外3场比赛有23=8种结果，故只有一支足球队是第一名的概率为］x4=1,故D正确.

642

12.答案g

In

解析将有两颗山楂的冰糖葫芦从上到下依次编号为1,2,有三颗山楂的冰糖葫声从上到

下依次编号为3,4,5,吃每颗山楂的概率均为;.

则只有两颗山楂的这串先吃完有以下情况：

I

-•

按照1-2顺序吃，概率为£49

按照3—1-2或1一3一2顺序吃，概率为2xixlxl=l；

2224

按照3—1—4—2或1—3—4-2或3一4一1一2顺序吃，概率为3xlxixlxl=A

222216

综上，符合题意的概率为=9

441616

13.答案得

解析易知抽奖两次滚动盘上出现数字的情况有36种，

两次抽奖奖金之和为200元包括三种情况：

①两次都中二等奖，其包含的情况为(1,3),(3,1),(1,1),(3,3),概率PiW=1;

Joy

②第一次中一等奖悌二次中三等奖，其包含的情况为(6,5),(6,4),(6,2),概率P2=1=5；

Jo12

③第一次中三等奖，第二次中一等奖，其包含的情况为(5,6),(4,6),(2,6),概率P3=W=L

所以该顾客两次抽奖后获得奖金之和为200元的概率P=P|+P2+P34.

1O

]4答案—­—

1个口木60520

解析设甲击中红、黄、蓝三个区域的事件分别为Al,A2,A3,乙击中红、黄、蓝三个区域

的事件分别为BI,B2,B3,

则P(Ai)=iP(A)=；,P(A)=iP(Bi)=iP(B)=1,P(B)=；.

3253502234

・・•甲、乙两人射击情况互不影响，

，甲、乙两人击中同色区域的概率为

X7+7XI+7X7=^

P(A1B1+A2B2+A3B3)=P(A1)P(B1)+P(A2)P(B2)+P(A3)P(B3)=1

3652546。

甲、乙两人击中不同色区域的概率为

P(AiB2+A।B3+AiBi+A2B3+A3B1+A3B2)=P(A1)P(B2)+P(A1)P(B3)+P(A2)P(B1)+P(A2)P(B3)+P(

A\,n/A।,11,212111119

A.3)P(BI)+P(AS)P(B2)=_X-+-X-+-X-+-X-+-X-+-X-=—.

)\\‘52545654565220

15.解析(1)记甲成功解出这道题为事件A,乙成功解出这道题为事件B,丙成功解出这道

题为事件C,

尸⑷W，

则由题知。(否=[1-P(A)][1-P(C)]=，,(3分)

⑻

P(BC)-Ppg-go,

解得P出尸沁C)=g,

即乙、闪两名同学各自成功解出这道题的概率分别为分)

⑵记这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题为事件D,

则P(D尸P(lBC)+P(A万C)+P(AB心+P(ABC)(9分)

=P(J)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)

2\31.2(.3\1,23(.1\,23117

\37423\4/234\2/34224*

即这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题的概率为揄(13分)

16.解析(1)第10题得6分需满足选两个选项且选对，选两个选项共有6种情

况:AB,AC,AD,BC,BD,CD,只有一种情况是正确答案，此时选对的概率为;，(3分)

6

所以该同学第1()题得6分的概率P=14=i(6分)

361o

⑵总得分不低于10分共2种情况:第10题得6分且第11题得4分;第10题得6分且第

11题得6分,(9分)

记事件A为第10题得6分,满足选了两个选项且选对;事件Bi为第11题得4分，满足选了

两个选项且选对;事件B2为第11题得6分,满足选了三个选项且选对.

则P(A)=^,P(Bi)=^xl=l,P(B2)=卜卜5(12分)

Io3ZOO424

故所求概率为p(ABi)+P(AB2)=5x；+5x：=W-(15分)

IXoIK24432

17.解析(1)设A小区方案一满意度评分的平均分为五

则工=(45x0.006+55x0.014+65x0.018+75x0.031+85x0.021+95x0.010)x1072.7(分).(2分)

设B小区方案二满意度评分的平均分为其

贝匹二(45x0.005+55x0.010+65x0.010+75x0.020+85x0.032+95x0.023)x10=78.3(分).(4分)

V72.7<78.3,

・・・方案二的垃圾分类推行措施更受居民欢迎.(5分)

(2)A小区方案一的满意度评分不低于70分的频率为(0.031+0021+0.010)x10=0.62,由频率

估计概率知赞成率为62%;

B小区方案二的满意度评分不低于70分的频率为(0.020+0.032+0.023)x10=0.75,由频率估

计概率知赞成率为75%,(9分)

AB小区可继续推行方案二.(10分)

(3)由(2)知,B小区不赞成的有25%,故8人代表团中不赞成的有8x25%=2(人)，分别记为a,b.

赞成的有8x75%=6（人），分别记为123,4,5,6.（12分）

从中任选2人有以下情

况:ab,aI,a2,a3,a4,a5,a6,bLb2,b3,b4,b5,b6,12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56,共28

种,（13分）

其中至少有一个不赞成有以下情况:ab,al,a2,a3,a4,a5,a6,bl,b2,b3,b4,b5,b6^13种,（14分）

故所求概率P=S（15分）

18.解析（1）设事件A为“第三局结束乙获胜”，

由题意知，乙每局获胜的概率为：，不获胜的概率为：.（2分）

若第三局结束乙获胜，则乙第三局必定获胜,总共有2种情况:（胜，不胜，胜）,（不胜，胜,胜）.

故P（A）Wxgx"gxgx；=J（5分）

（2）设事件B为“甲获胜”.

若第二局结束甲获胜，则甲两局连胜，此时的概率分）

若第三局结束甲获胜，则甲第三局必定获胜,总共有2种情况:（胜，不胜，胜）,（不胜，胜,胜），

此时的概率P2=1xixl+lxlxl=l（9分）

若第四局结束甲以积分（2分）获胜，则甲第四局必定获胜，前三局为1胜2平或1胜1平1

负，总共有以下9种情况:（胜，平，平，胜）,（平，胜，平，胜）,（平，平，胜，胜）,（胜，平，负，胜）,（胜，负，平,

胜）,（平，胜，负，胜）,（平，负，胜，胜）,（负，胜，平，胜）,（负，平，胜,胜），

易得每局比赛中甲平局的概率为=?

236

则此时的概率P3=；x；x；x；x3+；x；x：x；乂6=3（13分）

2662263248

若第四局结束甲以积分（1分）获胜,则乙的积分为0