2026高考数学二轮复习-空间角、距离的计算（几何法、向量法）

微专题26空间角、距离的计算（几何法、向■法）

高考定位1.以空间几何体为载体考查空间角（以线而角、面面角为主）是高考命题

的重点，常与空间线面位置关系的证明相结合，热点为空间角的求解，常以解答

题的形式进行考查.高考注重利用向量方法解次空间角问题，但也可利用几何法来

求解；2.空间距离（特别是点到面的距离）也是高考题中的常见题型，多以解答题

的形式出现，难度中等.

【真题体验】

1.（2024・新高考H卷）已知正三棱台ABC-ABG的体积为不，AB=6,A出=2,

则A/与平面ABC所成角的正切值为（）

A.；B,1

C.2D.3

答案B

解析设正三棱台ABC—43a的高为〃，三条侧棱延长后交于一点P,

作PO_L平面ABC于点。，。。交平面4SG于点Oi,

连接OA,O\A\,如图所示.

由AB=3AiB\,

I3

可得POi=5〃，PO=]h,

22

又SA/iIfi1c1=1x2X^=^/3,X6X^=9^3,

i3i

所以正三棱台ABC-A\B\C\的体积V=VP-ABC-VP-A^C1X973X73

x5=52

T

解得仁斗故P0=%?=2小.

由正三棱台的性质可知，。为底面的中心，

22

贝4OA=jxy/6-3=2y[3t

因为尸。_L平面A8C,

所以/外。是4A与平面ABC所成的角，

PO

在Rt△%。中，tanN以0=万7=1,故选B.

Cz/1

2.(2024・天津卷)如图，已知直四棱柱ABCO—AIBCOI中，ADLAB,AB//CD,

A4i=2,AB=24O=2,DC=1,N是的中点，M是。》的中点.

⑴求证：。N〃平面CBiM；

(2)求平面CBiM与平面8BGC夹角的余弦值：

⑶求点B到平面CBiM的距离.

⑴证明以A为坐标原点，以A8,AQ,A4i所在直线分别为x轴、y轴、z轴建

立如图所示的空间直角坐标系，

依题意得，8(2,0,0),C(l,1,0),。(0,1,0),Bi(2,0,2),Ci(l,1,2),

Z)i(0,1,2),

则M(0,1,1),

所以说V=g,-1,o],CB1=(1,-1,2),CM=(-1,0,

设平面CBiM的一个法向量为〃=(笛，yi,zi),

/iC5i=(),[xi—yi+2zi=(),

则即1_八

tvCM=0,1一为+zi=(),

得

取-n-33

99

zlyl

l33

-/13\=---

\(199z)2-29

2?

所以。N_L〃，显然OWQ平面CBM,

所以DiN〃平面CBiM.

(2)解易知而i=(l,-1,2),比=(—1,1,0),

设平面881cle的一个法向量为机=(X2,丁2,Z2),

X2—y2+2z2=0,

则-即彳

tw-BC=0,X2+p=0,

取X2=l,得"=1,Z2=0,则加=(1,1,0).

设平面C8M与平面的夹角为仇

、|〃・6|42\/^

则cos8=|cos〃，曲尸|〃||词=后而乃=H

所以平面CBM与平面8BGC夹角的余弦值为喈.

(3)解易知丽1=(0,0,2).

设点B到平面CBiM的距离为d,

则公血=嗝=血

川4l〃lVH11，

所以点8到平面CBM的距离为斗.

【热点突破】

热点一异面直线所成的角

核心归纳

求异面直线所成角的方法

法一（几何法）步骤为：①利用定义构造角，可固定一条直线，平移另一条直线，

或将两条直线同时平移到某个特殊的位置；②证明找到（或作出）的角即为所求角；

③通过解三角形来求角.

法二（向量法）步骤为：①求出直线力的方向向量，分别记为〃2,②计算COS

〃〉=号台；③利用cos9=|cos〈也加|,以及。0（0,5,求出角6.

例1（2024•丹东模拟）直三棱柱A6C-A1办&中，AB=AC=AA\fZ^4C=120°,

则异面直线B4与ACi所成角的余弦值为（）

A，B逗

C近D近

J44

答案A

解析法一如图所示，

次BF,G,〃分别是线段A3,AAi,Ai。的中点.

连接EF,FH,HG,EH,FG,易知FG%BA\,GH*AG,

故/FGH或其补角是异面直线BA\与AG所成的角.

设A8=AC=A4i=2,由于N8AC=120。，

所以8G=2小，EH=小,EF=2,

则FH=d（旧））十2，=干,

又FG=gBAi=j,GH=^ACi=y[2,

JJ

在△尸G”中，由余弦定理得

（啦）2+（地）2一（巾）23

cosZFGH=

2X6Xg4,

3

所以异面直线84与ACi所成角的余弦值为京

法二取BC中点。,

连接A。，因为A6=AC,

所以DALDC,

以。为原点，DA,OC所在直线分别为x,)，轴，过点。且垂直于平面区4C的直

线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

S1

不妨设A8=AC=A41=1,而N84C=120。，所以BD=OC=方AD=T,

乙乙

所以电，一坐,o),A00,1),A&0,0),Cifo,坐，I)，

所以异面直线BAx与AG所成角的余弦值为

_|而「亿|__3

|cosAC\)

\BA\[\AC\\AAA+4+14

易错提醒1.利用几何法求异面直线所成的角时，通过平移直线所得的角不一定

就是两异面直线所成的角，也可能是其补角.

2.用向量法求异面直线所成的角时，要注意向量夹角与异面直线所成角的范围不

同.

训练1(1)(2024・绵阳模拟)三棱柱48C-A出G,底面边长和侧棱长都相等.NBA4

=NCA4i=60。，则异面直线AS与所成角的余弦值为()

A坐B.1

C坐D.小

(2)如图，己知圆柱01。2的轴截面ABC。是边长为2的正方形，E为下底面圆周

上一点，满足病=2@，则异面直线AE与所成角的余弦值为()

I)0

E

A亚B近

A.5D.]0

CmD或

JoU,1O

答案(1)D(2)B

解析(1)设油=a,AC=bt筋i=c,M|=|A|=|c|=l,

同—

由题意〈〃，b)=(b,c)=〈c,a)=60°,癌i=〃+c,比i=—〃+b+c,

\AB\\=^/a2+c2+2a-c=yj1+14-21-1-cos60°二小,

13Gl=y/a2-hb2-hc2—lab—2ac+2bc=啦,

又A8I・6C'I=(a+c>(—〃+0+。)=6。+6。+。2—a2=^+^H-1—1=1,

设异面直线AB与BCi所成角为仇

贝?]cos9=|cos<ABi,BC\}|=11啦=*.

(2)法一如图，连接ES并延长，交底面圆于点尺连接FOi,FB,易知AEHBF

且AE=BF,所以NFBOi为异面直线AE与BOi所成的角或其补角.

因为版=2检，则乙4。七=6()。，

所以44七。为正三角形，故AE=BF=1.

由圆柱的性质知OIF=OIB=7BC2+OC=事,

所以在等腰aBFOi中，

cosZFBO\=~^=JQ.

法二以A为原点，AB,AO所在直线分别为y轴、z轴，过点A的48的垂线所

在直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系,则4(0.0.0)./?(().2.0).

01(0,1,2),《杀；,())，

所以能=惇，0),励=(0,-1,2),

所以异面直线AE与所成角的余弦值为

血质i|

|cos<AE,B0\)|=141V5

油的|IX小10,

故选B.

热点二直线与平面所成的角

I核心归纳

求直线与平面所成角的方法

法一(几何法)步骤为：◎找出直线/在平面。上的射影；②证明所找的角就是所求

的角；③把这个角置于一个三角形中，通过解三角形来求角.

法二(向量法)步骤为：①求出平面。的法向量〃与直线A8的方向向量能；②计

—L一

算cos(AB,n)=---；③利用sinO=|cos〈彳^,〃〉|,以及夕60,5,求出

的同L」

角0.

例2(2024•宁波模拟)在菱形A8CO中，AB=2,/8AO=60。，以A3为轴将菱形

A3CO翻折到菱形A8。。，使得平面A8CQ_L平面A8CD,点E为边8cl的中

点，连接CE,DD\.

⑴求证：CE〃平面AODi；

(2)求直线CE与平面BDDi所成角的正弦值.

(1)证明'：BE//AD［fBE。平面AQQi,4Du平面A。。］，JBE〃平面AOD.

同理可得BC〃平面AOOi.

又・.・BECBC=B,BE,BCu平面BCE,

・•・平面BCE〃平面ADD\.

•・•CEu平面BCE,：.CE//平面AODi.

⑵解法一取49中点O,易知O/)_LAB,ODi±A/3.

・・•平面ABCDJL平面ABGOi,平面ABCQA平面ABGOi=AB,

又。Du平面A8GQ1,0Qi_LA8,

・・・OQ」平面ABCD

如图，建立空间直角坐标系，则A(0,1,0),8(0,-1,0),D他,0,0),C(小,

-2,0),Di(0,0,®Ci(0,-2,73).

从而E^0,—I，乎），得丽=卜小，I，坐j.

又动一(十,1,0),仍一(一4，0,小),

设平面8OQ1的法向量〃=(x,y,z),

［访).〃=0,,J小x+y=0,

［防.〃=0,〔一/工+4z=0,

y=一小x,

解得

z=xt

取z=l,可得平面BOD1的一个法向量为〃=（1,一小，1）,

设直线CE与平面8。口所成角为仇

则sin灯cos〈走，而尸出二卜小茗tfL=：

|CE1.|川牛+鸿71+3+1

所以直线CK与平面BDD,所成角的正弦值为需.

法二取AOi中点£则EFQC是平行四边形，所以CE〃DF.

从而CE与平面8。"所成角即为。尸与平面8。"所成角，设为夕

过D\作D\G±AB交AB于G,过G作GH1BD交8。于〃，

过G作GKVD\H交D\H于K.

因为平面AZ?CD_L平面ABGOi,平面A3CQA平面AZ?Ci£）i=A5,

又OiGu平面ABGOi,DiG±AB,

所以OiG_L平面A3CD

又5Ou平面ABCO,麻以。iG_L3O,

又GH1BD,OiGAG〃=G,D\G,G”u平面09〃，从而8Q_L平面QiGH,

因为GKu平面OiG”，所以BO_LGK,

又GK1D\H,BDCD、H=H,BD,DiHu平面BDDi,从而GK_L平面BDOi.

所以GK的长即为G到平面BDDi的距离.

由OIG=<5,GH=哗,可得GK="^3.

乙J

又GF〃BD\,所以尸到平面BDD\的距离设为h即为G到平面BDDi的距离，

即〃=GK=/^.

又DiG=DG=小,可得。Q尸#.

在△AOOi中，DDi=#,AD=AD\=2t所以4。尸+AO彳=204。2+。。彳），得。尸

=2.

所以sin。=洋=噜，所以直线CE与平面BDD1所成角的正弦值为喏.

规律方法1.几何法求线面角的关键是找出线面角（重点是找垂线与射影），然后在

三角形中应用余弦定理（或勾股定理）求解；

2.向量法求线面角时要注意：线面角。与直线的方向向量〃和平面的法向量〃所

成的角〈〃，加的关系是⑶加或Q,〃〉一。=令所以应用向量法求

的是线面角的正弦值，而不是余弦值.

训练2（2024•北京门头沟模拟）如图,在四棱锥产一A3CD中,平面ABC。，

ABLAD,AD//BC,BC=）。，PA=AB=2,E为棱尸。的中点.

（1）求证：£C〃平面以B；

⑵当PC=3时，求直线PC与平面8CE所成角的正弦值.

⑴证明取以中点为M,连接ME,MB,如图所示.

在△以。中，因为M,E分别为鬼,尸。的中点,

故八口,“七二工。：

又AO〃BC,8C=%。，

WME//BC,ME=BC,

则四边形MBCE为平行四边形，EC//MB.

又MBu平面PAB.平面PAB,

故EC〃平面PAB.

(2)解法一由题意建立空间直角坐标系，如图所示.

由%=48=2,PC=3,

得4。=小，8C=1,AD=2f

所以P(0,0,2),0(0,2,0),E(0,1,1),BQ,0,0),C(2,1,0),

则正=(2,1,—2),够=(2,-1,-1),比=(2,0,-1),

设平面E8C的法向量为〃=(x,y9z),

IECn=2x—z=0,

叫-

[EBn=2x—y—z=0,

令z=2,可得平面EBC的一个法向量为〃=(1,0,2),

设直线PC与平面8CE所成的角为仇则

.n_1(Be\]I市川|2+。-4|2必

sinc/—|cos\PCn)|—^——~r=—

因.同3弋515

即直线PC与平面BCE所成角的正弦值为*.

JLJ

法二过点P作3M延长线的垂线，垂足为N,连接NC,如图所示.

由(1)可知，EC〃BM,

故平面BCE也即平面NMBCE.

因为BC//AD,贝U8C_LA8.

又以_L平面ABC。，3Cu平面A8CD故3C_LRL

又M,ABu面%8,故3C_L平面MB.

又PNu平面PAB,则PN1BC,又PNLBN.

BCCBN=B,BC,BNu平面BCE,

故PALL平面BCE,

则/PCN即为PC与平面BCE的夹角.

在△ABM中，因为A8=2,AM=3%=1,

则BM=-\JAB2-1-AM2=y[5,sinZAMB=~^~.

J

在丛PMN中，因为1,/AMB=4PMN,则PN=sh\/PMNXPM=辛.

乙J

2^5

PN52、后

又PC=3,sinNPCN=P°一~3~=]5，

即直线PC与平面BCE所成角的正弦值为笠.

热点三平面与平面的夹角

I核心归纳

求平面与平面的夹角方法

法一（几何法）步躲为：①找出二面角的平面角（以二面角的棱上任意一点为端点，

在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面

角）；②证明所找的角就是要求的角；③把这个平面角置于一个三角形中，通过解

三角形来求角.求二面角的平面角的口诀：点在棱上，边在面内，垂直于棱，大小

确定.

法二（向量法）步-骤为：①求两个平面a,4的法向量"2,〃；②计算cos〃〉

=濡.卷;③设两个平面的夹角为e,则cos9=|cosn>|.

例3（2024•深圳模拟）如图，在三棱柱ABC-A\B\C\中，侧面68C]CJ_底面ABC,

且A8=AC,A\B=A\C.

(1)证明：A4_L平面ABC；

(2)若A4i=3C=2,NBAC=90。，求平面43c与平面43。夹角的余弦值.

⑴证明取BC的中点M,连接MA,M4i.

因为AB=AC,A\B=A\C,

所以BC_LAM,BC±A\M,

由于AM,4Mu平面4MA,且AMA4M=M,

所以8C_L平面4M4,AiAu平面4M4,所以BC_L4A,

又因为田，所以〃归_L8C,

因为平面GC_L平面ABC,平面GCn平面ABC=BC,且平面BBiGC,

所以BB_L平面ABC,

因为AA〃Bi8,所以44_L平面ABC.

⑵解法一因为/BAC=90。，且BC=2,

所以A8=AC=Vi

以A6,AC,AA所在直线分别为x轴，)，轴，z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,

fc

AX

则4(0,0,2),8(啦,0,0),C(0,®0),Ci(0,也，2).

所以府=(啦，0,-2),疵=(0,®一2),X]C1=(O,也，0).

设平面48。的法向量为〃z=(xi,yi,zi),

m-A?B=0t[y[2x\—2z]=0,

则可得厂

7n/GC=0,”2)“一2zi=0,

令Z1=1,可得平面A1BC的一个法向量为6=（/,啦，1）,

设平面AiBCi的法向量为〃=（也，yi,Z2）,

〃•府=0,[V2r2-2z2=0,

则可得厂

.庆尸0,1啦”=（），

令Z2=l,可得平面48cl的一个法向量为〃=（/，0,1）,

设平面Ai5c与邛面4GG夹角为仇

mi，、依川3{13

»川|川45又寸35

所以平面A山。与平面AIBCI夹角的余弦值为艰

法二将直三棱柱ABC-A\B\C\补成长方体ABDC-A\B\D\C\.

连接GO,过点。作CPJ_CO,垂足为P,再过P作PQ_L4&垂足为Q,连接

CQ,

因为3O_L平面COQiG,且CPu平面CODiG,所以3O_LCP,

又因为CPJ_GO,由于B。，GOu平面4山。。，且BDGCiD=D,所以CPJ•平

面4BOG,则△CPQ为直角三角形，

由于AiBu平面48OG,所以4B_LCP,

因为CP,PQu平面CPQ,且CPCPQ=P,

所以48_L平面CPQ,

因为CQu平面CP。，所以CQJ_4B,

则NCQP为平面4BC与平面A\BC\的夹角或补角，

在△4BC中，由等面积法可得CQ=^,

因为PQ=AC=也,

所以COS/CQP=5^=^,

因此平面A山C与平面AiBCi夹角的余弦值为军

规律方法1.用几何法求解二面角的关键是：先找（或作）出二面角的平面角，再在

三角形中求解此角.

2.利用法向量的依据是两个半平面的法向量所成的角和二面角的平面角相等或互

补，在求二面角的大小时，一定要判断出二面角的平面角是锐角还是钝角，否则

解法是小严谨的.

训练3（2024.泰安模拟）如图，在底面为菱形的直四棱柱ABCD-A\B\C\D\中，

2

/胡。=不兀，AA\=AB=2,E,凡G分别为CCi,的中点.

⑴求证：A\E//GC\

（2）求平面A\EF与平面A3CO夹角的大小.

2

⑴证明取中点H,连接AH,因为底面ABC。为菱形，铲，所以

AHLAD,以A为原点，AHfAD,A4所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如

图所示的空间直角坐标系，

则4(0,0,2),E(小,-1,1),G(0,2,1),C4,1,0),F(^,1,1),ME

=(小，-1,-1),GC=(V3,-1,-1),：.A?E//GC,：.A}E//GC.

⑵解法一设平面4M的法向量为〃=(x,y,z),

—\n-A?E=0,

又EF=(0,2,0),所以j

[nEF=0,

ylf3x—y—z=0,

即1

2y=0,

令x=l,可得平面AiET7的一个法向量为〃=(1,0,小),

易知筋1=(0,0,2)为平面ABC。的一个法向量,

设平面AiE厂与平面ABCO的夹角为仇

<»\AA\-n\2^3A/5.K

则cos0—————,»••0——x,

河||川02X2026

・・・平面4M与平面A88的夹角为专

法二如图所示，

设A4的中点为M,连接MB,MC,

易证E4i〃M8,FA\//MC,

故E4i〃平面M8C,FA\//MBC,

又应mE4i=4,所以平面4七/〃平面M3C.

则平面4EP与平面ABCD的夹角就是MBC与平面ABCD的夹角，

设8c的中点为H,连接MH,

因为底面ABCO为菱形、Z^D=y,

所以A”_LBC,

又AMJ_平面ABCD,BCu平面ABCD,所以AMLBC,又AMGA”=A,AM,

A”u平面AM”,所以BCJ_平面AM”，

故MHLBC,所以是平面MBC与平面ABC。的夹角.

易知AM=]A4i=l,AH=^~AB=5.

所以tanNA〃M=377=与，故NA〃M=z，

AnJO

所以平面4EE与平面ABCD的夹角大小为全

法三由题意知4F=小，EF=2,AiE=小,易得心为所=2.

又三角形4E尸在平面ABCO内的射影为三角形48C,且品ABC=S，

设平面4E尸与平面ABC。的夹角为仇

疑gS协BC也

则0-V-O，

COS3△A产2

又<9e|^0,引7T，故e=-7,1

即平面4E77与平面ABCD的夹角大小为5.

热点四距离问题

I核心归纳

1.空间中点、线、面距离的相互转化关系

2.空间距离的求解方法有：（1）作垂线段；（2）等体积法；（3）等价转化；（4）空间向量

法.

例4在直三棱柱ABC-A\B\C\中，AB=AC=AA\=2,NB4C=90。，M为BBi

的中点，N为。。的中点.

⑴求点M到直线AG的距离;

（2）求点N到平面MAICI的距离.

解法一（1）如图，连接AM,MG,ACi,

易知MC\=^MBT+AI^T+AICT=-\/22+22+12=3,

ACi=2®MA=p

在△MACi中，由余弦定理得cosZMAC।=2><^^><2^2=,

则sin/MACI=3^^,

所以M到直线4G的距离为

MAsinNM4G=#X^^=^^.

0

(2)如图，S.xMNCi=S电彩与Bg—ScB]MC[—S/WCC[=4也一啦一?一也=

34

2,

设点N到平面MA\C\的距离为h,

由以一"八臼=以「的'0，得;X^X2X小力=；X^^X啦,

得仁唔

即N到平面MAiCi的距离为芈.

法二(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则4(0,(),2),M(2,(),1),Ci((),

2,2),

直线AG的一个单位方向向量为so=(o,乎，乎)，加=(2,0,1),

故点M到直线AG的距离

d=71局产一|而.soF=^5—

⑵设平面MAC的法向量为〃=(x,y,z),

因为473=(0,2,0),A6=(2,0,-1),

n,TlTCi=0,2y=0,

则即1

,2A-z=0,

取x=1,得z=2,

故〃=(1,0,2)为平面M4G的一个法向量.

因为Ml，1,0),所以说V=(—1,1,-1),

故N到平面M4G的距离d=喀型=京=芈.

规律方法1.求点到平面的距离有两种方法，一是利用空间向量点到平面的距离

公式，二是利用等体积法.

2.求直线到平面的距离的前提是直线与平面平行.求直线到平面的距离可转化成直

线上任一点到平面的距离.

训练4⑴已知三棱柱/WC—A出Ci为正三棱柱，且A4i=2,八8=2仍，。是3Q

的中点，则点3到平面的距离为()

述述

A.於m13

「妪n12^13

。13513

⑵已知正方形ABC。的边长为1,PO_L平面A8CD,且尸。=1,E,尸分别为A3,

的中点，则直线4c到平面PEF的距离为()

A.2B噌

C坐D.小

答案(1)B(2)B

解析(1)法一如图，连接AG.

AH

在三棱柱ABC—48G中,

因为BiCiu平面ACC,BCU平面ABCi,

所以BC〃平面ABiCi,则BC上所有点到平面ABiCi的距离相等.

取8c的中点O,则点B到平面ABiD的距离等于点O到平面ABiD的距离.

连接AO,DO,

由81cl_L£)。，BiCil/40,40Gz)0=。，

AO,QOu平面4。。，得BQJ_平面ADO.

又BiCiu平面AB\C\,

所以平面AOOJL平面AB\C\.

因为QO=A4i=2,A0=2巾X坐=3,

所以4。二/针=巫，

则点0到直线AD的距离］=指=需.

所以点O到直线AD的距离等于点0到平面的距离为零.

故点B到平面AB^D的距离为智.

法二如法一中的图，设点3到平面人囱。的距离为〃，

由丫8一八8］。=必-8/0可得，

；X/7X；XQBIXAO=；><AOX；><QBIX8BI,

即gx〃X；xSx后W=^X3X；X小X2,

解得力=啜.

法三建立如图所示的坐标系，

则5(0,小,0),Bi(0,小，2),4(3,0,0),0(0,0,2),

・••病=(-3,0,2),后尸(一3,小，2),

设平面48。的一个法向量为〃=(x,y,z),则

历•〃=-3x+2z=0,

—3x+#y+2z=0,

令z=3,得x=2,y=0,故〃=(2,0»3),

又筋=(一3,小,0),

所以点B到平面AB中的距离为1=噜0=描=喈.

(2)如图所示,

建立以。为坐标原点，DA,DC,9的方向分别为x轴、轴、z轴正方向的空

间直角坐标系.

则P(0,0,1),A(l,0,0)

所以前=(—3，0),PE=[\,r-1)，

设平面PEE的一个法向量为〃=(x,z),

〃•瓦'=(),

则即

〃•诙=0,x+下一z=0

令x=2,则)，=2,z=3,

所以〃=(2,2,3).

因为病=(0,()1

所以点A到平面PEF的距离1=噜*=宕=书-

因为E,E分别为AB,的中点

所以EF//AC,又E/七平面PEF,ACQ平面PEF,所以AC〃平面PEF,

所以AC到平面PE尸的距离即为点A到平面PEF的距离噜.

【精准强化练】

1.(2024・淄博模拟)如图，多面体ABCDEF是由一个正四棱锥A-BCDE与一个三

棱锥”一4OE拼接而成，正四棱锥A-BCOE的所有棱长均为AF//CD.

(1)在棱。E上找一点G,使得平面平面AFG,并给出证明;

⑵当A尸=gc。时，求点尸到平面AOE的距离；

(3)若AF=|cD,求直线DF与平面ABC所成角的正弦值.

解(1)当点G为。E中点时，平面ABCJ_平面AFG,证明如下：

连接AG,GF,因为四棱锥A—8COE是正四棱锥，

所以AO=AE,AGA.DE.

在正方形8COE中，DE//BC,所以AG_L3C,

在正方形BCQE中，CDLBC,因为A/〃CQ,所以A/LBC,

因为A"GAG=A,ARAGu平面AR9,

所以8C_L平面AFG,

因为8Cu平面ABC,所以平面A8C_L平面ARS.

(2)连接30,CE交于点。，连接A。，0G,

则人尸〃OG,

又因为四棱锥A-BCDE是正四棱锥，所以AO_L平面BCDE,所以四边形AOGR

为矩形，

所以A凡LEG,

又DEC\FG=G,DE,bGu平面。EF,所以A/_L平面OE凡

1

-

3

设点厂到平面ADE的距离为

因为VF-ADE=VA-FDE=y

即gx坐X(3/)24=去所以力=小,

所以点尸到平面ADE的距离为#.

(3)因为四棱锥A—8CQE是正四棱锥，所以OC,OD,。4两两垂直,

以。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则4(0,0,3),5(0,-3,0),C(3,0,0),D(0,3,0),「(一。1,3),

所以就=(0,3,3),CA=(-3,0,3),DF=(-1,-2,3),

设平面48c的法向量为〃=(x,y,z),

j〃.丽=3y+3z=O,

则有

ti,CA——3x+3z—0,

令z=l,可得平面ABC的一个法向量为〃=(1,-1,1),

设直线。产与平面A8C所成角为仇

|而川4_2在

则sin0=

\DF\-\n\迎X小21

26

所以直线。产与平面ABC所成角的正弦值为

21.

2.(2024.武汉质检)在如图所示的几何体中，四边形ABCO为平行四边形，孙，平

ffiABCD,PA//QD,8C=2AB=2%=2,NABC=600.

⑴证明：平面PCO_L平面以C；

⑵若PQ=2也，求平面PCQ与平面DCQ夹角的余弦值.

法一⑴证明因为8c=2A8=2,ZABC=60°,

所以A—,

又AB”3、所以CO_LAC,

所以R1_L底面A4CD,COu底面ABC。，

所以附J_CO,AC,%u平面也C且%AAC=A,

所以CO_L平面MC,

又COu平面PCD,所以平面PCD_L平面PAC.

(2)解在直角梯形AOQP中，因为以=1,4。=2,PQ=2吸，解得。。=3,

过C,尸作C£,PE分别平行于4P,AC,连接。E,作P/tLQC交QC于尸点,

连接EF,

VAC±C£),AC.LQD,CDC\QD=D,且都在面COQE内，：.ACL^CDQE,

・・・PE〃AC,平面COQE,

又QCu平面CDQE,・・.PE_LQC,

又PF工QC,PE,PFu平面PEF,PEC\PF=P,

••・QC_L平面PEF,

又EFu平面PEF,：.QCA-EF,

・・・/夕产后为平面PCQ与平面OCQ的夹角或其补角，

在△/<<(?中，PC=2,QC=®,PQ=2®

2

・・,c"p"五2+司8-I0r号A/2,

.・.s•inZ/GCCrg—,

回

由等面积法解得Pb=、值'

PE_而

又PE=#,AsinZPFE=k回

1_V31

:.cosZPFE=雨一31-

・•・平面PCQ与平面DCQ夹角的余弦值为挚.

法二(1)证明因为6c=2A6,Z/A^C=60°,配以A6_LAC.

如图建立空间直角坐标系，

P(0,0,1),A(0,0,0),C(0,小,0),0(—1,S，0),

则可=(0,0,-1),PC=(0,V3,-1),CD=(-1,0,0),

设〃i=(x,y,z)是平面外。的一个法向量，

•两=0,[―z=0,

则]一Ms=o

l〃1.PC=0,zU,

可取0,0),

设〃2=(。，b,c)是平面PC。的一个法向量，

H2-Cb=0,f-〃=o,

则彳・•・《r

“•无=0,h/38-c=0,

可取“2=(0,1,V§),.•.ni-M2=0,

・•・平面PCO_L平面PAC.

（2）解在直角梯形AOQP中，解得。£>=3,

2（-1,仍，3）,平面DCQ的一个法向量为〃3=屐?=（0,小，0）,

又由（1）可知的=（一1,0,3）,CP=（0,一小，1）,

设平面PC。的一个法向量为〃4=（X2,”，Z2）,

宁”即］—X2+3Z2=O,

Mi

「小”+Z2=O,

CP-H4=0,

令），2=1,可得平面尸CQ的一个法向量为〃4=（3小，1,小）,

设平面PCQ与平面DCQ夹角为仇

小、,n।/\।1心〃4|SVH

所以cosOTcos〈〃3,山〉尸网网=#.a=31，

即平面PCQ与平面DCQ夹角的余弦值为挚.

J1

3.（2024・盐城质检）在三棱锥A-BCD中，已知CB=CD=&BD=2,O为BD

的中点，AO_L平面BCD,A0=2,E为4c的中点.

（1）求直线A8与。E所成角的余弦值;

（2）若点尸在8C上，满足BF=