高一年级数学下册20个易混易错全归纳（三角函数与平面向量、解三角形、复数、立体几何初步）解析版

高一数学下学期20个易混易错全归纳

内容导览

易混易错01应用三角函数定义忽略终边位置的讨论而致错.........................................

易混易错02诱导公式认识不深导致变形致错......................................................

易混易错03三角求值不能深挖角的范围致错......................................................

易混易错04判断三角函数的单调性忽略系数0的符号致错.........................................

易混易错05混淆函数图象变换的规律而致错.....................................................1

易混易错06参数问题不能准确判断临界点致错...................................................1

易混易错07对平面向量的基本概念理解不到位掉入陷阱...........................................1

易混易错08忽略平面向量夹角的范围与方向性致错...............................................1

易混易错09忽略向量共线时的两种情况致错......................................................2

易混易错10错用平面向量的运算律致错..........................................................2

易混易错11解三角形时错判解的个数致错........................................................2

易混易错12忽略边角互化条件致错..............................................................2

易混易错13忽略三角形中的隐含条件致错.......................................................3

易混易错14混淆复数的实部、虚部等基本概念致错................................................3

易混易错15复数的几何意义应用陷阱............................................................3

易混易错16对斜二测法规则掌握不牢致错.......................................................3

易混易错17不能确定棱锥的外接（内切、棱切）球球心致错.......................................3

易混易错18线面位置关系考虑不全面致错.......................................................4

易涅易错19对垂直的性质定理、判定定理理解不透彻致错........................................J

易混易错20忽略异面直线所成角的范围致错.....................................................4

易混易错01应用三角函数定义忽略终边位置的讨论而致错

4迎埔器南

辨析：三角函数的定义中常见的三种题型及解决办法

（1）已知角。的终边上一点。的坐标，求角a的三角函数值

方法：先求出点P到原点的距离，再利用三角函数的定义求解.

（2）已知角a的一个三角函数值和终边上一点P的横坐标或纵坐标，求与角a有关的三角函数值

方法：先求出点P到原点的距离（带参数），根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未

知数,从而求解问题.

1/50

（3）已知角的终边所在的直线方程（y=丘,AwO）,求角的三角函数值

方法：先设出终边上一点尸伍,此7）,4。0,求出点。到原点的距离，再利用三角函数的定义求解，注意。的

符号，对〃进行讨论.若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出带〃的三角函数值.

【典例1］（24-25高三•全国•专题练习）已知角。的终边在直线3x+y=（）上，则cosa的值为.

【答案】士叵

10

【解析】二•角口的终边在直级3丫+歹=0上，.•.角a的终边在第二象限或第四象限（易错点）.

易错之处是只考虑终边在第二象限

当角a的终边在第二象限时，在角a的终边上取一点尸（-1,3）,

则点〃到原点的距离r=7（-1）2+32=布，・•・cosa=§=★=-噜

当角a的终边在第四象限时，在角a的终边上取一点0（1,-3）,

.1M

则点P'到原点的距离/="+（_3『=而,..cosa=—f==-----.

而10

综上，cosa=cosa=-

1010

【典例2】（25-26高三•全国•专题练习）已知角a的终边过点力（-3,〃?）且5由。=±贝打（）

5

A.3B.4C.±3D.±4

【答案】B

4

［解析］知a的终边过点4TM且sina=1,

J

m4

所以E；厂w且心°,解得

故选：B.

【跟踪训练1】（2025•福建福州-模拟预测）以坐标原点为顶点,x釉非负半轴为始边的角a,其终边落

在直线J=2x上，则（

A-2后亚

A.sina=-------B.cosa=——

55

C.tana=2D.sin2a=-±

5

【答案】C

【解析】因为角。的终边落在直线V=2x1-,

2/50

当角a的终边在第一象限时，终边过点（L2）,

此时sina=述，cos«=—,tana=2,sin2a=2sinacosa=2x逑x立=3

55555

当角a的终边在第三象限时，终边过点（-1，-2）,

此时sina二一汉^cosa=一日，tana=2,sin2a=2sinacosa=2x(-^^)x(一日)=[

5

故选：C.

【跟踪训练2】（多选）（25-26高三上-湖南郴州-期末）己知角。的终边经过点将

角。的终边绕坐标原点。逆时针旋转三得到角夕的终边，则下列说法正确的有（

)

,,行

A.cosa=——

2

B.cos(jff-a)=—

C.若〃？>0,贝！Jsinj/?—X=--

k6)2

D.对任意mH0,sin6=1

【答案】BC

-J3ni>/3m伍

【解析】对于A：c°sa-/万j+2一2.〃|一W"或——»故A错误；

对于B：因为角夕是由角a的终边绕坐标原点O逆时针旋转T得到，

所以〃-a=g,cos（6一a）=；,故B正确；

对于C：若加>0,则点?在第一象限且cosa=且，所以a=?+2E,%cZ,

26

又因为夕—a=1,

正确；

对于I)；由C可知，当机>OE、j,sin//=sin|++2A-7T=sin^=1,

(63J2

当mvO时，点尸在第三象限,cosa="—，

2

则g=卫+2尢兀，尢GZ,此时sin/?=sin(—4-2^7t+—|=sin—=-1,

6163y/2

3/50

所以对于任意川学0,sin夕=1或一1,故D错误.

故选：BC

W避埔器南

辨析：正确应用诱导公式的前提条件有两个：一是弄清什么时候需要应用诱导公式，这时要学会观察所给

角与特殊角或条件角与待求角之间的关系，看看它们的和或差是否为2的整数倍；二是要记牢诱导公式，

2

做到这一点就需要平时多加练习，将公式牢记在心.

【典例1】（25-26高三上・山东莉泽・期末）已知sinj?+a]=—4，则85（弓-1]=（）

I6J5）

八石口后r275n2石

5555

【答案】A

（itA「3五（In\][n（In\].（7式）

[解析]cos（j-a尸cos[5一[7+a[=_cos[5-[不+a[=_sm[不+,（易错点），

利用诱导公式求值时特别要注意所求值的符号

又sin—+（7）=--

6）5

所以cos.

（3）5

故选：A.

【典例2】（2025•北京・高考真题）已知例£e[0,2幻,且sin（a+/0=sin（a-Q）,cos（a+/?）*cos（a-ft）M

出满足条件的一组a,夕的值。二，P=.

【答案】?（答案不唯一），7（答案不唯一）

26

【解析】因为sin（a+尸）=sin（a-6）,cos（a+⑶工cos（a-⑶，

所以a+/7,a-夕的终边关于y轴对称，且不与y轴重合，

故a+/?+a-〃=7t+2E,AeZJ3.a+/?H]+/7t,/cZ,

即a=工+4兀,4GZ,

4/50

故取a=£,/?=3可满足题设要求.

26

(5K=与,贝Usi/a-sinacosa=

【跟踪训练1】（2026•陕西商洛•二模）已知0<a<7t,sin----a

2

)

A1B・空2+2五

rV/•

一33必I

【答案】B

【解析】因为sin（"-a=*，可得costz=—.又0<a<兀,

I233

所以sinll-c。",,所以或=慧=&

sii/a-sinacosatan2a-tana2-V22-V2

所以sin%-sinacosa=

sin%+cos2ataira+12+13

2石r-.7t7TrI,/冗n/f

【跟踪训练2】（25-26高一上•四川成都・期末）已知sin二十a,且一5<a<5，则的

144

值为（）

A亚

BC.D

5-T5-I

【答案】B

nit3n

【解析】因为-々<a<^,所以一—<—+a<一,

444

275

而sin

IK5

it

所以cos1-sin一+。一直

14~5

nnn

HHUsi,n——九a=cos——a—+a

【4J2【4<4

_V|

所以sin--a

14-5

易混易错03三角求值不能深挖角的范围致错

十巡埔相南

5/50

辨析：应用三角变换公式求值求用时，要特别注意根据角的范围判断符号，而求知的范围除去利用给出的

范围，有时还需要根据三角函数值的符号深挖隐含范围.

【典例1］（24-25高三上•江苏常州•期中）已知a/w（Om）,且cosa=害,sin（a+/?）=得，贝hos£=

AVio

A---------

10。噜

【答案】B

【解析】由

cos2a=cos2or-sin2a=——.sin2a=2sinacosa--

55

由ae0,—,易知2a€但,兀］,解得ac—

I2)U)142J

由/7e(0,兀)，a+夕£(；,段)，且sin(a+/7)>0,贝jla+/?€(；,兀

可得cos(a+/?)=士Jl-sin?(a+/)=±^^~,

所以cos/?=cos(a+/?-a)=cos(a+')cosa+sin(a+A)sina

=±逑渲+与圣=2布±7布

10510550

当cos0=92^>0时,sin0=Jl-cos?>

此时(:05(。+/?)=^^>()，贝

由cos2/?=cos24-sin?p=一，sin2〃=2sinPcosp=.

则〃w（0,9，易知2/7e（卷,7r）,解得此时a+夕（易错点）

注意缩小角的范围

A9晒•

cosp=------，

50

当cos/?=-V0时，pGsin/?=71-cos2/?=^y-

10

71

此时cos(a+v01则a+/?€1/（易错点）.

、)10

由cos（“+/?）＜0缩小初的范围

由cos2/?=cos2/7-sin2fl-——.sin2fi=2sin尸cos/?=—,

6/50

则易知24€，解得

10

故选：B.

371n

【典例2】（25-26高三上•山东荷泽期末）已知ae:15sin(2a+^=tan(a+：J,贝ljcosa+—

T44I4J

()

A.亚B亚D.巫

V----------------

551010

【答案】I）

【解析】因为a©（-日，一:，5sin（2a+Bit）=tan（a+：n

24

7t

a+—

713n7C兀

in.[n[7t_£€>0

所以lOsina+—cosa+-且aG—,a+一H/即

4J47144jJ4

a+一

4

sin卜I

<0,

兀1Tl八

所以cos?a+—,|=Lcosa+—>0,

4-lol4j

兀Vio

则cosa+

4To-

故选：D.

【跟踪训练l】（25-26高一上•安徽合肥期末）已知a、Z?w（0,兀），且tan（/-a）=；,tana=-；,则2/—a

的值是（）

【答案】B

【解析】因为tan（£-a）=g,lana=-；w-与,0

cVin\1tan(〃一a)+tana?"716

所以tanp=tan(/?-«)+•«=———^―=——2z.=-<—

"以"L*，」i-tan/?-«tana.1fZ133

2I7；

又因为。、夕“0,兀)，所以学<。<兀，0</?<-,

66

则0<2/<四，-Jr所以一兀<2/一a<•巴，

362

7/50

2tanp_2x§3

因为tan2〃=

4,

31

一十一

tan2^-tana

所以tan(21一a)=47"故"v

1+tar2^tana[+

故选：B.

【跟踪训练2】(24-25高一下•江苏南京・月考)若尔外…哼'且8s("/卜陪…必咚

则。一"=()

【答案】C

【解析】因为(兀，所以^<24<2兀，又sin2/?=[>0,

所以5<2〃<加，则cos2〃=—C^i而万=一],

因为九<a<"，?</<[,所以乎<。+/?<2冗，

2424

又cos(a+,所以巧■<=+#<当，

所以sin(a+/?)=-11-3s2(a+0)=~~~，

因为变<a+#〈入，-7U<-2/?<--,所以工<。一/<兀,

4224

所以cos(a-=cos(a+/7-2/7)=cos(a+/7)cos2/7+sin(a+/7)sin2/

所以a-,=—.

4

故选：C

易混易错04判断三角函数的单调性忽略系数'的符号致错

4巡埔能南

辨析：求三角函数的单调区间时首先要对三角函数解析式进行变形，化为y=sin(sr+p)、y=cos(3x+p)、

8/50

y=tan（5+°）的形式，然后求出定义域，结合复合函数单调性的判断方法求解，如对于函数

y=Zsin（〃M+。）来说，当口>。时，由于内层函数〃=公丫+。是单调递增的，所以函数y=4sin（®+9）

的单调性与函数歹=$出1的单调性相同，故可完全按照函数y=sinx的单调性来解决；但当外<0时，内

层函数〃=公丫+。是单调递减的，所以函数》=/5由（加+。）的单调性与函数》=5后工的单调性正好相反，

就不能按照函数，=《11%的单调性来解决.一般来说，应根据诱导公式将x的系数化为正数加以解决，对于

带有绝对值的三角函数宜根据图象从直观上加以解决.

【典例1】（2026高三・全国・专题练习）函数y=-sin1-2x+^J的单调递减区间是（

)

A.2E-5,2E+1(&wZ)B.+g(kGZ)

C.kn+^kn+^-(keZ)

yD.-2An--,-2HAeZ)

6

【答案】B

兀兀、71

【解析】因为J，二一sin—2x+—=sinlx——（易错点）,

I6JV6；

注意利用诱导公式先将x的系数化为正，再将函数与y=-sinx类比确定单调区间

令2E-^<2x-^<2kn+1,keZ,

角牟得Zrn--<.r<An+—,keZ

63t

所以函数的单遍递减区间为府一亲加十3（左£Z）.

故选：B

【典例2］（25-26高三上•河南驻马店•阶段练习）函数y=3-2cos卜2x-gJ的单调递增区间是()

A.kn--,kit--（kGZ）B.左兀一看,An+y(kGZ)

36J

C.2AnH—,2〃兀H---（4eZ）D.2An--,2An+—(keZ)

3336V7

【答案】B

【解析】由题意得V=3-2cos-2x-y)=3-2cos-f2x+yj=3-2cos2x+1

要求V的递增区间即求_y=cos12x+gJ的递减区间,

2A17t<2X+—<TZ+2kn,AwZ,B|J/：7t--<x<—+kit,时，

363

9/50

y=cos(2x+1J单调递减，即y=3—cos(2x+gj单调递增，故B正确.

故选：B.

【跟踪训练1】(2004•天津•高考真题)函数歹=sin(e-2x),工£(0,兀)的增区间是()

【答案】C

【解析】由题意，得产sin仁一2x)=-sin2x-^.

令2^7：+—<2x--<2kn+—fkeZ,解得而十'Wx<^7i+—,Z;eZ.

26236

/\

TC37c.

所以函数丁=5皿^-2x的单调增区间为kfu+—,k9it4-(左f£Z).

167

因为x«0,7C),所以令A=0,则得函数户sin住-2x],x«0㈤的单调增区间为

16J\_30

故选：C.

【跟踪训练2】(2025•全国二卷•高考真题)已知函数/(x)=cos(2x+0)(0K8<7t)J(0)=g.

⑴求。；

⑵没函数g(x)=/(x)+/，求g。)的值域和单调区间.

x6，

【解析】(1)由题意/(o)=cosp=q,(OKe<7t),所以。=^；

(2)由(1)可知/(x)=cos2x+y1,

所以g(x)=/(x)+/(xq.=cos2x+—+cos2x

I3

所以函数g(x)的值域为：-6,百］,

令2kn<2x+-^<n+2kn,keZ,解得一展+EWxW^I■—々7T,keZ,

+2kn<2x+—<2n4-2kn,keZ,解得2+瓜4》4115.+而,46z,

61212

所以函数g(x)的单调递减区间为一才履噂+E，左三Z,

10/50

函数g（x）的单调递增区间为着+A兀詈+E，k€Z.

易混易错05混淆函数图象变换的规律而致错

*鹿埔能南

辨析：在进行图象变换时要注意两点：（1）化简解析式：即将函数解析式化为y=4sin（Sx+8）（或y=4cos（①x+夕））

形式；（2）统一名称：即分析变换前后的三角函数是否同名，不同名时用诱导公式化为同名形式；（3）

变换：提倡先平移后伸缩（先相位后周期），但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所

以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量x而言的，即图象变换要看“变量尸发生多大

变化，而不是“角变化多少.

【典例1］（25-26高二上•河南南阳期末）想要得到函数/（x）=cos（2x

的图象，只需将函数

71

g(x)=sinx+7的图象()

4

A.各点横坐标变为原来的2倍,再把图象向右平移展个单位

再把图象向左平移鲁个单位

B.各点横坐标变为原来的2倍,

C.各点横坐标变为原来的/倍,再把图象向右平移盘个单位

再把图象向右平移号个单位

D.各点横坐标变为原来的3倍,

【答案】C

71兀=sin（2x+S）（易错点），

【解析】/"）=

332)

利用诱导公式转化时特别要注意符号

将函数g（x）=sin（x+f|的图象各点横坐标变为原来的g倍，再把图象向右平移1个单位，即可

得出函数/（x）=cos,T）的图象（易错点），

注意：左右平移是针对X而言的

故选：C.

【典例2］（25-26高三上•山西临汾•期末）为了得到函数y=sin（2x-幻的图象，只需将函数N=cos2x的图

象（）

11/50

A.向左平移慨个单位B.向右平移?个单位

OO

C.向左平移等个单位D.向右平移穿个单位

OO

【答案】D

【解析】因为函数尸cos2x=sin|2x+5｝又函数y=sin2A-^j=sin

所以只需将函数丁=32犬的图象向右平移1个单位即可得到函数j，=sin（2x-：J的图象

故选：D

【跟踪训练1】（2026•山西晋中•模拟预测）已知函数/（x）=sin2x+acos2x的一个零点是为了得到函数

j=2cos2x的图象,只需将/（力的图象（）

A.向左平移展个单位长度B,向左平移/单位长度

C.向右平移刍个单位长度D.向右平移三个单位长度

6

【答案】A

【解析】已知x是〃x)=sin2x+acos2x的零点，因此/停=0,

代入得：sin2--+acosf2,—=0,即―a=0»解得a=

k3Jk22

所以/(x)=sin2x+>/Jcos2x=2—sin2x+—cos2x=2sinf2x+-

又y=2cos2x=2sin2x-¥--2sin

k2）

所以将/（X）向左平移展个单位长度得到函数”2COS2X的图象.

【跟踪训练2】（25-26高三下•天津河西•开学考试）已知函数〃x）=sin（2x.）+限os（2x-J则下列

结论正确的是（）

A./"）的最小正周期为2兀，且图象关于直线x=g对称

B.小）的图象关于点卜率0）中心对称，且在区间0卷上单调递增

C.将/（x）的图象向左平移4个单位长度后，所得函数图象关于直线x=?对称

36

12/50

D.函数/（x）在区间[0,可上芍且仅有2个零点，且这两个零点之和为三

【答案】D

【解析】因为/（x）=sin（2xq）+石cos（2x4）=2sin（2xq+]=2sin（2x+看

对于A选项，函数/（力的最小正周期为T=g=兀，

因为/'（■j）=2*in（2x]+w）=2sin~^~=l工+2,

故函数/（x）的图象不关于直线x=T对称，A错；

对于B选项，因为/一四=2sin2x=-2sini=-10,

\]_<6J6J6

所以函数/（X）的图象不关于点-£,0中心对称，

I6/

当0。4时，故函数/（x）在区问卜，:]上不单调，B错；

对于C选项，将/（》）的图象向左平移个单位长度后，

得至IJ函数8任^日卡卜+幻+己=2sin（2x+青的图象，

因为g偿|=2五1）（24+以=2sin?=T工±2,故函数g（x）的图象不关于直线x=?对称,

VO/koo7o6

C错；

对于D选项，由/（x）=2sin2x+.=°可得sin（2x+器）二°,

当04x4兀时，+孚，所以2工+?二穴或2】+5=2兀，解得工=工或不=当，

666661212

所以函数/（X）在区间[。可上有且仅有2个零点，且这两个零点之和为浮等=今，D对.

W避埔器南

辨析：这类问题的基本解题思路是：先将函数的解析式化简为）=/sin（s+。）的形式；根据题设给出限

制条件（如单调性、对称轴的个数、零点个数或最值个数等）判断周期满足的条件，求出切的大致范围；

13/50

在求出0X+。的取值范围，分析左（或右）端点的大致位置，再确定另一个端点位置；找出临界点，列出

不等式求解.

【典例1］（25-26高三上•广东•阶段练习）将函数/a）=sin（5+?®>。）的图象向右平移弓个单位长度，再

将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的;，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象若g（x）在（。、3上单调

递增，则。的取值范围为（）

八兀

A.B.(C.0,—D.

若4I2

【答案】B

(OTI71

【解析】由题可得g（》）=sin2s」——+—

63

兀071兀71(WC71

因为”〉0,所以当0<x<£时，26>X-+7€——+—，且枭+—,——+—

363323323)

（易错点），

故选：B

【典例2】（2025•北京•高考真题）设函数/（x）=sin@¥+cos5（/>0）,若/（X+g）=/住）恒成立,且/（X）

在哈上存在零点,则。的最小值为（）

A.8B.6C.4D.3

【答案】C

【解析】函数/（x）=sin公t+cos@x=V^sin公1+：）（&>0）,

设函数/（X）的最小正周期为r,由fix+K）=f（x）可得A7=小心eN*）,

所以7=噂=9,9€用）,即@=2M（l€Nr）；

又函数/（x）在I"。,：］上存在零点，且当xjo。］时，5+£

4J4J41444

所以理十乙之冗，即023；

44

综上，”的最小值为4.

14/50

故选：c.

【跟踪训练1】（2026•福建龙岩•一模）已知函数/（工）=2呵8+款0>0）的图象关于直线Y对称，且

在区间停兀）上单调递减，则”的值为（）

7

A.7B.1C.-D.4

~6

【答案】B

/\

【解析】因为函数/（x）=2sins+E（3>0）的图象关于直线x=g对称，

所以—^―十二=kn+—keZ,

362y

解得©=3〃+l,AeZ,

又因为函数在区间（5，兀）上单调递减，

所以函数在x=W处取得最大值，

所”一以（匕71"卜1」仁兀兀丁T"

所以1+与之兀，

解得7=生之年，

（o3

解得.

又因为<y=3%+l,AGZ.

故选：B.

【跟踪训练2】（25-26高三下•浙江•升学考试）已知函数/（x）=sin5年上单调

递增，则①取值范围为（）

A.°7B.(0,1]C.D.[1，+8)

【答案】A

71

0X+-

【解析】/（x）=si/____2J1+sin(oxii.

—+—sinfyx

2222

乃八，乃

因为/（X）在区间段2x-----+2KTT<cox<—+2k冗(kGZ)

，§上单调递增，所以〈22

(D>0

2k冗冗2k兀

解得一3+(0Z)

1(0

15/50

由于区间-包含原点附近的正负区间，仅当k=0时的递增区间

金或可以覆盖该区间，因此22。，解得①

nn4

、3一20

又。＞0,所以

4

易混易错07对平面向量的基本概念理解不到位掉入陷阱

4避埔能南

辨析：（1）注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|=0；（2）单位向量有无数个，它们的模相

等，但方向不一定相同；（3）零向量和单位向量是两个特殊的向量，它们的模是确定的，但是方向不确定，

因此在解题时要注意它们的特殊性；（4）任一组平行向量都可以平移到同一直线上；（5）向量平行与向量共

线是完全相同的一个概念，指两个向量的方向相同或相反，亦即向量所在的直线可以平行，乜可以重合；

但直线平行不包含直线重合的情况.

【典例1］（25-26高三上•湖南益阳•开学考试）关于向量点B下列说法中，正确的是（）

A.若同=W，则彳=E

B.若方〃〃八则1

c.若同〉网，则方＞5

D.若,=工，则,〃5

【答案】D

【解析】对于选项A：若同=|可，则G,5的模长相等，但方向不一定相同，故A错误；

对于选项B：当E=d时，//区，从/1,此时7」未必关线，故B错误（易错点）；

注意：平行于同一向量的两个向量不一定平行

对于选项c：向量模长可以比较大小，但向量不能比较大小，故c错误（易错点）；

向量是既有大小又有方向的量，方向不能比较大小，故向量不能比按大小

对于选项D：若己=工，则向量值，方互为相反向量，则,/庙，则D正确；

故选：D.

【典例2］（24-25高一下•广东汕头•期中）关于平面向量，下列正确的是（）

16/50

A.若£是单位向量，。零向量，则同=问=。

B.若向量£与否不共线，则存在一对实数'J,使2=八+）石

C.海拔、温度、角度都是向量

D.若翔=前,则四边形彳