2026年冀教版七年级数学下册 第六章 二元一次方程组（单元重点综合测试）解析版

第六章二元一次方程组（单元重点综合测试）

班级姓名学号分数—

考试范围：全章的内容；考试时间：120分钟；总分：120分

一、选择题（本大题共16个小题，共38分，1〜6小题每题3分，7〜16小题每题2分.每小题均有四个选

项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）

1.下列各组值中，是方程组的解的是（）

x-lfx-3

A.gB.c.V-0D.V-3

【答案】A

【知识点】加减消元法

【分析】本题考杳了解二元一次方程组，关键在于观察未知数的系数，再利用加减消元法求解.观察可知

1的系数互为相反数，故可以利用加减消元法中令方程两个方程组相加即得入-4,故得再将

E代入得j・=i.

r=3L：

【详解】解：

Q+②，得2K・4,

解得x・2,

将x・2代入①，得J=L

所以二元一次方程组的解是｛『’

故选：A.

2.已知方程J-T=l,下列变形正确的是（）

A.B,"I"C.『'ITD.J-l+X

【答案】D

【知识点】二元一次方程的定义

【分析】此题主要考查了解二元一次方程，熟练掌握解二元一次方程组时，用一个未知数的代数式表示另

一个未知数是解决问题的关键.

对于方程J-'=L用含F的代数式表示＜，得i=由此可对选项A,B进行判断；用含t的代数式

表

示「，得」由此可对选项C、D进行判断，综上所述即可得出答案.

【详解】解：对于方程J-K=l,用含F的代数式表示t,得1=」-1,

故选项A,B不正确，不符合题意；

对于方程=用含X的代数式表示F,得J=1+L

故选项C不正确，不符合题意；选项D正确，符合题意；

故选：D.

J2x-y-lfx-0Jx-/-0[/+j=l

3.下列方程组中，①I「,二+1,②1r③匕"3/・5,④属于二元一次方程组的有

()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【知识点】判断是否是二元一次方程组

【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，满足三个条件：①共含有两个未知数；②未知数的最高次

数为I次；③整式方程.据此进吁逐个分析，即可作答.

【详解】解：V--*1含有三个未知数，故①不属于二元一次方程组：

R-o

-3满足二元一次方程组的定义，故②属于二元一次方程组；

X-/-0

3+3」■5满足二元一次方程组为定义，故③属于二元一次方程组；

/+j=1

-T的未知数的最高次数是2,故④不属于二元一次方程组；

故选:B.

4.已知I』."是方程？的一个解，那么火的值是()

A.1B.2C.-2D.-1

【答案】A

【知识点】二元一次方程的解

【分析】本题主要考查二元一次方程的解，解题的关键是掌握使二元一次方程两边的值相等的两个未知数

L-©=3

的值，叫做二元一次方程的解.根据题意将I代入？求解即可.

【详解】解：・・・是方程2的一个解,

lx4+k-3

解得：*-1,

故选：A.

5.二元一次方程7的正整数解有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【知识点】二元一次方程的解

【分析】本题考查了解二元一次方程，解题的关键是用y表示出x.将，代入计算得到x为正整

数即可.

【详解】解：方程

解得：

当时，x,$；J=2时，x・3；八3时，x-1,

则方程的正整数解有3个.

故选：C.

fjrt3j--I05）

6.利用加减消元法解方程组l"・5『一'62）,下列做法正确的是（）

A.要消去F,可以将①X计2）心B.要消去F,可以将①舟②X?

C.要消去J,可以将①X5+2：X3d.要消去K,可以将‘X（-5）+*X?

【答案】C

【知识点】加减消元法

【分析】木题考查加减消元法.根据加减消元法，逐一进行判断即可.

【详解】解：

要消去x,可以将①T-②M2,要消去F,可以将①X5+②X3

故选：C.

X-JT-1

7.关于1、r的方程组则x♦〜的值等于（）

A.1B.0C.-1D.2

【答案】C

【知识点】加减消元法

【分析】本题考查了解二元一次方程组，观察方程组中未知数系数的特点是解题的关键.

②-①即可得出x.2j的值.

K-F・l①

【详解】解：卜.『一0②，

得"AT,

故选：C.

8.若是关于x,J的二元一次方程，则。的值为（）

A.12B.2C.0D.-3

【答案】D

【知识点】二元一次方程的定义

【分析】此题主要考查了二元一次方程的定义，关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整

式方程.②方程中共含有两个未知数.③所有未知项的次数都是一次.不符合上述任何一个条件的都不

叫二元一次方程.

根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做

二元一次方程可得I,-然后求解即可.

用-1・1

【详解】解:根据题意，得匕-2'°,

解得

故选：D.

户+F7+2

9.已知关于x,y的方程组+若工-1=1,则左的值为（）

L41.1

A.4B.4c.2D.2

【答案】A

【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数

【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，解一元一次方程，熟练掌握方程组的解法是解题关

键,先利用方程组中的第二个方程减去第一个方程得2I-4F=-4"+3,再根据=1得到上的一元一

次方程，解方程即可.

【详解】解：I"、』-"♦常

由②-①得，2r-4j=-4<+3Bp2（x-2j|--4<+3

x-2/=I

-4<+3-2

id

解得：4.

故选：A.

10.若单项式3r与工是同类项，则/的值是（）

A.9B.8C.2D.1

【答案】A

【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值、其他问题（二元一次方程组的应用）

【分析】本题考查了同类项“如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相等，

那么这两个单项式是同类项“、二元一次方程组，熟练掌握同类项的定义是解题关键.先根据同类项的定

5

义可得l?a+3b再解方程组求出。力的值，代入计算即可得.

【详解】解：•••单项式3y尸与工〉”是同类项，

a+b-5

「20+3・12

••，

fl-3

解得12,

则"1・3：・9,

故选：A.

11.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人

步.问人与车各几何？译文：今有若干人出行,如果三人同乘一辆车，两车空；二人同乘一辆车，有九人

步行.问

人与车各是多少？设人数为x人，车数为y辆，可列方程组为（）

f3Cr-2)-r[*+2)7>-2-r

B.I"』(2j-9-xD.9T

【答案】A

【知识点】古代问题（二元♦次方程组的应用）

【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系列出方程组是关键.设人数为大人，车数为y

辆，如果三人同乘一辆车，两车空；二人同乘一辆车，有九人步行.据此即可列出二元一次方程组.

【详解】解：根据题意得：,

故选：A.

Jx♦旗・0fx-1

12.若关于'、的方程组+的解为1•一・，其中F的值被盖住了，不过仍能求出戊，则府的

值为（）

1-1L

A.2B.-C.4D.4

【答案】A

【知识点】已知二元一次方程组的解求参数

【分析】此题主要考查了二元一次方程组的解，把代入方程组第二个方程求出J的值，再将F

的值代入X+吨'=°中，进而求出相的值即可.正确求出F的值是解题关键.

［详解］解：把代入，.3J=8得：？+3j=8,

解得：丁・2,

把x・l,J=?代入x+叩=°得：1+8・0,

1

m=—

解得：-,

故选：A.

13.如果表中给出的每一对t,5的值都是二元一次方程门・5・3的解，则表中加的值为（）

X0125

y31-1

A.-7B.-3c.0D.7

【答案】A

【知识点】二元一次方程的解

【分析】本题考查了二元一次方程的解，能熟记方程的解的定义（使方程左右两边相等的未知数的值，叫

方程的解）是解此题的关键.

r-0Jx-1

将代入a—"・3中求出b,-l,再把代入G+「=3求出再将x,5代入方程即可求

出m.

x-0

【详解】解：把代人得・父＞・3,

.•.方■一1，

则欧+广3,

x-1

把代入"+「=3,得

.《,2,

••・二元一次方程为：？X*F・3,

把K・5代入M+F=3,得1。+1=3,

.j=-7

...Hl--7e

故选：A.

x*r-i

14.如果关于x,y的方程组3无解，则人值为（）

A.-1B.0C.D.2

【答案】B

【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数

【分析】本题考查二元一次方程组，先把两方程相加消去尸得到二根据方程组无解可得

解之即可.

【详解】解:两方程相加得：

•••方程组无解，

——0,

解得上・。，

故选：B.

15.对于实数-F定义新运算：T・J-=G+%+5,其中0,b为常数.已知19・9,（7）”一，则

3'4的值为（）

A.14B.15C.13D.11

【答案】B

【知识点】已知字母的值，求代数式的值、加减消元法

【分析】本题主要考查了新定义和解二元一次方程组及代数式求值，解题关键是理解新定义的含义.根据

已知条件和新定义，列出关于4,力的方程组，解方程组求出4,力，再代入求解即可.

【详解】解：

化简沏［a"・l②’

①•②得：i-1,

把b・l代入②得：a・2,

:a=2/=1.

:.3M-2x3+lx4+5-l5,

故选：B.

X4/-5015）

16.用现代高等代数的符号可以将方程组匕一『-4的系数排成一个表C"这种由数列排成的表

叫做矩阵.矩阵cT/J表示t,「，二为未知数的三元一次方程组，若二为定值，则,与

那关系（）

A.B.c.2zn-r-1D.

【答案】D

【知识点】三元一次方程组的定义及解

【分析】本题主要考查了解三元一次方程组、二元一次方程组的定义等知识点，理解题意、根据新定义解

答问题是解题的关键.

根据矩阵定义列方程组求解即可.

、♦『♦七-3

汽+）忙

【详解】解：由题意得:7,2

①乂2+②得：T

•.4+F-：为定值，

故选：D.

二、填空题（本大题共3个小题，共10分；17小题2分，1879小题各4分，每空2分，答案写在答题

卡上）

y-2r

17.二元一次方程组的解是

【答案】｛「・2

【知识点】代入消元法

【分析】此题考杳了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法

消去一个未知数.方程组利用代人消元法求解即可.

fj-2x<D

【详解】解：If-3®

将①代入②得：

解得:x,l,

将1T代入①得：J=?，

卜

二方程组的解为：LT--,

故答案为：

4x-7j,«1|3x-r«5

is.若关于1，『的方程组与关于1，1的方程组［0一切具有相同的解，则。=

d-_.

【答案】亍1

【知识点】方程组相同解问题、加减消元法

【分析】本题考查二元一次方程组的解和解二元一次方程组，利用方程组的解的定义，K,F满足4个方

程，.

则先解和组成的方程组，再把t、『代入另外两个方程得到关于a、b的方程组，然后

解方程组求出。、》的值.能得出关于。、》的方程组是解此题的关键.

|4x-7jr-ipx-jr-5

【详解】解：•.・关于X,F的方程组+与关于X,F的方程组具有相同的解，

4x-7jr«lfax+0,-6

{3r-F-5与关于x,F的方程组I公-⑴1具有相同的解，

产・7jr-lfr-2

解方程组,得匕f

fr-2眄♦牙pa+d-6

把tr-i代入GF.4,得［m》・4

5

a=一

解得：2,

2

故答案为:于；L

19.如果一个四位自然数砺的各数位上的数字互不相等且均不为0,满足曲-cd-加，那么称这个四

位数为“全善数”.例如:四位数力”,・.•门一”・21,.・.311是，，全善数'，；又如:四位数6423,

...64-23・41，4,...64：!3不是，，全善数，，.若一个，，全善数，，为73”8,则这个数为.如果一个“全善数”

能被11整除，则满足条件的数的最大值是—.

【答案】72489174

【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、二元一次方程的解

【分析】本题主要考查了一元一次方程和二元一次方程的应用和数的整除，读懂题意是解题的关键.

①根据定义列出方程即可求出〃?；

②先根据数的特征设千位为9,再根据题意得到不定方程，解不定方程的整数解求出各数，再判断是否能

被11整除即可.

【详解】解：••・76«8为“全善数，，，

72-(10^48)-20+WJ

二刖・4,

••.这个数为7乂8；

设满足条件的四位自然数是窈，

又，••访讶是“全善数”，

二段0♦。卜U(k♦di-10b，cmb=】o-c--g—

故奥或2。储—18,

•••各数位上的数字互不相等且均不为0,

d-7

当卜=§时，这个“全善数”是她17,不能被11整除，

c-2

d-5

当卜=7时，这个“全善数，，是9725,不能被11整除，

fc-4

d«l

当上■$时，这个“全善数”是95第，不能被11整除，

c«5

d^3

当卜=3时，这个“全善数，，是0353,不能被11整除，

C-7

d-4

当b=1时，这个“全善数”是9174,能被U整除，

...一个“全善数,，能被II整除，则满足条件的数的最大值是9174,

故答案为：7X8,9174.

三、解答题(本大题共7个小题,20〜22小题各9分，23〜24小题各10分，25小题12分，26小题13

分：共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

20.解方程组:

7J+1।

IX-J-123

(1)[2x+3r-8(2)(3x>2r-10

R

【知识点】代入消元法、加减消元法

【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键.

(1)直接利用代入法求解即可；

(2)直接利用加减消元法求解即可.

AJ-I①

【详解】⑴解:1+②

把①代入②得:2(二1)♦期T,

解得：

把『=2代入①'得：x・l,

f二

•••方程组的解为：口・2；

(3Zj・8①

(2)解：原方程组整理得：

:♦2得：6x«!S,

解得：丁-3,

把Z-①得：-=?,

1

解得：2,

•••方程组的解为：

21.《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几

何？’'其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、

羊分各是多少？

【答案】合伙买羊的有21人，羊价为150钱.

【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用)

【分析】设合伙买羊的有t人，羊价为J钱，根据“若每人出5钱，还差45钱：若每人出7钱，还差3

钱”，即可得出关于叫『的二元一次方程组，解之即可得出结论.本题考查了二元一次方程组的应用,

找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键.

【详解】解：设合伙买羊的有X人，羊价为J钱，

jj-5x-45

依题意，得：・3,

fr-21

解得：V-150.

答：合伙买羊的有21人，羊价为150钱.

22.解答下列各题

(4T♦y・7

⑴已知关于X,F的二元一次方程组上+(*-"1=3的解K,F的值相等，求N的值.

r-2/-2m+3

{的解互为相反数，求次的值.

【答案】（1）*・2

（2）w--3

【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数

【分析】本题考查二元一次方程组的解及解二元一次方程组；

（1）依题意,由①可得工,『'I,代入②得，4+上-1-3,即可求解.

（2）依题意，J=7③，代入②得，x--l,J=L将x=-lj=l代入①得，-l-2・2m+3,即可求

解.

（4T+3『-7（D

【洋解】⑴解：卜+（々-3・3②

依题意，1

由①可得737,

解得：x・l

二工二「叫代入②得，**<-1-3

解得:

（2）解：卜7・4②

依题意，J=T③

将③代入②得，2Hx-3,

解得：x,4

.•J=l

将工代入①得,-l-2・5i+3

解得：H--3

23.关于x,y的二元一次方程均可以变形为G+5'=C的形式，其中小爪c,均为常数目0,

力一0，规定：方程G+&=「的“关联系数”记为㈤瓦，

（1）二元一次方程4T-3J・5的“关联系数,，为.

（2）已知关于x,y的二元一次方程的“关联系数”为（2-U）,若1『-内+5,为该方程的一组解，且内洲均

为正整数，求”，〃的值.

【答案】（1出口）

fm-4Jm-2

⑵h・i或J

【知识点】二元一次方程的定义、二元一次方程的解

【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组解的情况求参数，解题的关键是理解题意，熟练掌握解方程

组的方法.

(1)根据关联系数的定义进行解答即可;

(2)根据关联系数的定义得出该二元一次方程为把①代入，得出加十%・6,根据

加、〃均为正整数，求出结果即可；

【详解】(1)解：•.•规定：方程公+少二。的“关联系数”记为俗/“)，

.•・二元一次方程■5的“关联系数,，为(4T5)；

故答案为：()；

(2)解：・••关于x,y的二元一次方程的“关联系数”为二-U),

.•二元一次方程为八-J二L

•••J・加为该方程的一组解，

♦.•阳，〃均为正整数，

m-4(m

3x*j-9-0

{"_")净-6・0

(1)请直接写出方程去+『・9・0的所有正整数解：

(2)无论数博取何值，方程3K-，+呷：-6・0总有一个固定的解，请求出这个解；

(3)若方程组的解中F恰为整数，府也为整数，求方的值.

卜I卜2

【答案】(1)1r・。，1r

(2)1-0

(3)巾・1或3或-1或5

【知识点】二元一次方程的解、加减消元法、已知二元一次方程组的解的情况求参数

【分析】此题考查了解二元一次方程的整数解，二元一次方程组的解及解二元一次方程组，熟练掌握求方

程组的解是本题的关键.

(1)用含X的代数式表示J,即可确定出方程的正整数解；

(2)由固定的解与册无关，可得代入可得固定的解：

(3)求出方程组中」的值.根据丁恰为整数，如也为整数，可确定博的值.

【详解】⑴解：方程3K+F-9=0,

r=9-3r

，9

当"1时，1・6；

当工时，J・3,

卜卜2

方程3t+F_g=Q的所有正整数解为：,r-<5b,-3

(2)解：3AJ+可-6・0,

:.3r♦(冽-l|j■6

,当…时，T-2,

即固定的解为：1・0.

lr.j_g=O®

(3)解・：HK-F.可-6■。②

I-2得：呷-3=0,

3

-一加，

恰为整数，战也为整数，

--?-加是3的约数，

•：2fl或-1,或3,或-3.

故加■1或3或-1,或5.

25.现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为2

的小正方形，求每个小长方形的面积.

小明设小长方形的长为无，宽为"观察图形得出关于x、》的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长

方形的面积公式得出每个小长方形的面积.

图4

(1)请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的面积;

(2)某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一•袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示.若小明把

13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是cm；

(3)拓展学习：如图4,是由7块颜色不同的正方形组成的长方形，已知中间小正方形彳的边长为1,求这

个长方形的面枳.

【答案】(1)60

⑵20

（3）63

【知识点】几何问题（一元一次方程的应用）、几何问题（二元一次方程组的应用）

【分析】本题主要题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用等知识点，分析题意、找到合适

的等量关系列出方程组和方程是解题的关犍.

（1）设小长方形的长为x,宽为y,观察图形即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y

的

值，再根据长方形的面积公式求解即可；

（2）设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高xcm,单独一个纸杯的高度为J6,观察图形即可

得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，然后根据题意列代数式求值即可；

（3）设1、2、3号正方形的边长为x,则4号正方形的边长为X+1,5号正方形的边长为X，？，6号正方

形的边长为X'3；再用两种方式表示出长、宽，然后根据长列出一元一次方程求得x的值，进而求得长

方形的长和宽，最后求面积即可.

【详解】（1）解：设小长方形的长为x，宽为外

'杂-5『Jx-10

根据题意得：解得：I…，

.亭=10x6=6。

.••每个小长方形的面积为60.

（2）解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高xcm,单独一个纸杯的高度为JS,

2X4-J-10fx-1

则伉解得&

.a12*1+S=20

.•.小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是九cm.

故答案为：20.

（3）解:设1、2、3号正方形的边长为X,则4号正方形的边长为X+1,5号正方形的边长为工♦?,6号

正方形的边长为X,3,

••.该长方形的长为・射+1或""13・±+5,宽为1+3+r・打+3

.4r^l-2x+5,解得：x-2,

••.该长方形的长为9,宽为7,

・•.这个长方形的面积为9x7-63.

图4

26.数学方法:

fX2x*/)-Xx-2j).26［加・力■光

解方程组：若设："】,巴则原方程组可化为匕洌+“・"，解

方

m-8