人教版高中数学选择性必修第三册 一元线性回归模型 一元线性回归模型参数的最小二乘估计【原卷+答案】

08

8.2一元线性回归模型及其应用

8.2.1一元线性回归模型8.2.2一元线性回归模型参数的最小二乘估计

A级必备知识基础练

1.［探究点-］如图所示,已知两个线性相关的变量和的统计数据如下：

X681012

V6532

其经验回归方程为y=ax+10.3,则a=（）

A.-0.7B.0.7C.-0.5D.-2

2」探究点二］红铃虫是棉花的主要害虫之一，一只红铃虫的产卵数和温度有关.现收集了7组观测数

据，用4种模型分别进行拟合.由此得到相应的经验回归方程并进行残差分析，进一步得到如图4幅残

差图，根据残差图，拟合效果最好的模型是（）

100+残荽-----------------------------

50---▼------------------------------

_5$一」…五…3….4…工…Z.扇号

-100L-.................-.............-.....

模型一的残差图

100+建羞-----------------------------

50------------------------------<------r----—-----------

_58一_--4___2___工_-4…工号

-100L-----------------------------------

模型二的残差图

100+螳卷-----------------------------

50----•----------------------------------

-50一」-2—工_/_一父一6___不_=号

-100L---------------------------------------

模型三的残差图

100

50

-58

-100

模型四的残差图

A.模型「B.模型二

C.模型三D.模型四

3」探究点一］随着居民家庭收入的不断提高，人们对居住条件的改善的需求也在逐渐升温.某戒市统计

了最近5个月的房屋交易最,如下表所示：

时间.V12345

交易量y历套0.50.81.01.21.5

若y与x满足一元线性回归模型,且经验回归方程为;=0.24x+；,则下列说法错误的是（）

A.变量y与x正相关

A

B.a=0.28

C.可以预测当x=6时，房屋交易量约为1.72万套

D.当x=5时,残差为-0.02

4」探究点二］某公司收集了某商品销售收入M单位:万元）与相应的广告支出.1（单位:万元）的10组数

据3,»）（，•二123,…,10）,绘制出如卜散点图，井利用线性回归模型进行拟合.

销售收入万元

60w

50

40

30・A

201

077zzKB>>y-n子方

工行兀

若将图中10个点中去掉点A后再重新进行线性回归分析，则下列说法正确的是（）

A.决定系数R2变小

B.残差平方和变小

C.相关系数，•的值变小

D.解弹变量x与响应变量y相关性变弱

5.［探究点三・2024吉林长春高二阶段练习］用模型产〃卢拟合一组数（为曲（i=l,2,...,2024）,若

A八

x\+x2+...+x2024=2024JD，2…>2024=/°叫设z=l”,得变换后的经验回归方程为z=bx+6,则

派=()

A.20240B.6e4

C.4e6D.2024

6.［探究点一］某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得

到如下数据：

单价V元88.28.48.68.89

销量.V胖908483807568

（1）已知y与X线性相关,求销量y关于单价X的经验回归方程;=bx+t,其中b=-20,Z=y-bx\

（2）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（1）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得

最大利润，该产品的单价应定为多少元?（利润=销售收入-成本）

7」探究点二］在一段时间内，某网店一种商品的销售价格x（单位:元）和R俏售量），（单位:件）之间的一组

数据如下表：

价格X/元22201816I4

日销售量,、准374I435056

求出y关于x的经验回归方程，并用用说明拟合效果.

参考数据:9孙=3992yH=1660.

r=1i=1

AZ（x,-x）（y,-y）工仇男）2

参考公式力=q~~-=誓丁pR2=l-年-

*㈤卡和加

B级必备知识基础练

8.研究表明蟋蟀鸣叫的频率/（每分钟鸣叫的次数）与气温），（单位:°C）存在着较强的线性相关关系.某

地观测人员根据如表的观测数据,建立了y关于x的经验回归方程;=0.27x+k,则下列说法不正确的是

（）

“次数/分钟）2030405060

y/C2527.52932.536

A.k的值是19.2

B.变量xj正相关

C.若x的值增加I,则），的值约增加0.27

D.当蟋蟀以52次/分钟的频率鸣叫时，该地当时的气温预测值为33.5℃

9.（多选题）下列说法正确的是（）

A.经验I可归直线一定经过点（无歹）

B.若两个具有线性相关关系的变量的相关程度越强，则样本相关系数，•的值越接近于I

C.在残差图中，残差分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高

D.在线性|可归模型中,决定系数&越接近于I,说明问归模型的拟合效果越好

1042024河南南阳高二阶段练习]某同学在研究变量x,)，之间的相关关系时，得到以下数据:

X4.85.878.39.1

y2.84.17.29.111.8

并采用最小二乘法得到了经验回归方程户hi+a,则a0.(填，喊“<”)

11.某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重做单位:克)与脉搏率人单位:心跳次数/分钟)的

对应数据(W/)(i=l,2，…,8),根据生物学常识和散点图得出f与W近似满足.尸c那(c,Z为参数).令x,=ln

8AA

•，计算得歹=8,"5,ZW=214.由最小二乘法得经验回归方程为y="十7.4,贝ijk的值

i=l

八8

为;为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值yigl,2,...,8),若残差平方和

i=i

nA2

A2£(y-y))

yjR.28,则决定系数R%.参考公式:决定系数

凶%力

12.流感每年在世界各地均有传播，在我国北方通常呈冬春季流行，南方有冬春季和夏季两个流行高

峰.某幼儿园将去年春季该园患流感小朋友按照年龄与人数统计，得到如下数据：

年龄,V23456

患病人数y2222171410

(1)已知y与x线性相关，求)，关于x的经验回归方程；

(2)计算样本相关系数k计算结果精确到0.01),并问答是否可以认为该幼儿园去年春季患流感人数与

年龄负相关很强.(若|r|e[0.75,1],则xj相关性很强;若加£[0.3,0.75),则xj相关性一般;若|r|e

[0,0.25],则相关性较弱)

参考数据:同=5.477.

苫(卬加例

^.xiy.-nxyIlxrxXy.-y)

参考公式山2-二号——门样本相关系数r=-

Ixj-rix2

i=i*闰2沙同

13.噪声污染一经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了了解声音强度0（单位:分贝）与

声音能量/（单位:W/cm?）之间的关系，将测量得到的声音强度A和声音能量/*二1,2,…,10）数据作了初

步处理，得到如下散点图及一些统计量的值.

D声音强度/分贝

60.

50..*•

40f

301

20

10

%1020304050/

声音能量/(xlOFw/cn?)

io_、io

JDEZ(/rD2£(FrE)2

i=li=l

1.04x10"45.7-11.51.56x10210.51

io.—io一_

K/rIXDrD)E(E-E)O-D)

1=1i=i

6.88x10"5.1

_110

表中E产1g=白zEi.

10i=l

（1）根据散点图判断,。=ai+bi/与Q=s+b21g仇均为常数）哪一个适宜作为声音强度。关于

声音能量的经验回归方程类型?（给出判断即可，不必说明理由）

（2）根据表中数据，求声音强度D关于声音能量/的经验【可归方程.

附:对于一组数据（明,也）,（〃2,也），…,（〃”,外）,其经验回归直线v=a+Pu的斜率和截距的最小二乘估计分

AZ(u.-iZXVi-v)八人

别为夕=三。-----,a=v-pu.

'L

i=l

14.某医疗科研团队攻坚克难研发出一种新型防疫产品，该产品的成本由原

料成本及非原料成本组成，每件产品的非原料成本），（单位:元）与生产该产品的数量x（单位:千件）有关,

根据已经生产的统计数据，绘制了如图所示的散点图.观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现

考虑用函数对两个变量的关系进行拟合.参考数据如下（其中〃尸工）：

XXi

6666

Uu2Zu?Ly?z他V0.4834x5252.44

i=li=li=li=l

0.410.16811.49230620858.44173.850.39

⑴求y关于x的非线性经验回归方程，并求y关于〃的样本相关系数（精确到。.。1）.

（2）该产品采取订单生产模式（根据订单数量进行生产，即产品全部售出）.根据市场调研数据，若该产品

单价定为80元,则签订9千件订单的概率为0.7,签订10千件订单的概率为0.3;若单价定为7（）元，则

签订10千件订单的概率为03签订11千件订单的概率为0.7.已知每件产品的原料成本为30元，根

据（1）的结果，要想获得更高利润，产品单价应选择80元还是70元?请说明理由.

参考公式:对于一组数据Qim）,（〃2,V2）,…,（外,%）,其经验回归方程v=a+仅的斜率和截距的最G二乘估

n_n

AX八八£

计分别为/?=与——口a=万一/?五，相关系数片।।.

:唱疝2彳；

C级学科素养创新练

15.某IT公司在I月份至6月份的5G经济收入y（单位:百万元）关于月份x的数据如下表所示，并根

据数据绘制了如图所示的散点图.

月份xi23456

收入»百万元6.68.616.121.633.041.0

⑴根据散点图判断与产均为常数）哪一个更适宜作为5G经济收入y关于月份x

的经验回归方程类型;（给出判断即可，不必说明理由）

（2）根据（1）中的结果及表中的数据，求出），关于4•的经验回归方程，并预测该公司7月份的5G经济收

入;（结果保留小数点后两位）

（3）从前6个月的收入中抽取2个，记收入超过2000万元的个数为X,求X的分布列和数学期望.

参考数据：

66

21522.66

XyuX(XrX)E(A7-x)(y,-y)Z(XrX)(WrU)ee

i=li=li=l

3.3U21.152M17.5123.336.734.3714.30

其中,〃二1”,〃产l”i(i=l,2,3,4,5,6).

参考公式:对于一组具有线性相关关系的数据3・，阳（023,…川，其经验回归直线0=制+2的斜率和

A

L(xrx)(vrv)

截距的最小二乘估计分别为/?=f=l,a=v-px.

l(Xi-x)2

参考答案

8.2一元线性回归模型及其应用

8.2.1一元线性回归模型

8.2.2一元线性回归模型

参数的最小二乘估计

A_

1.A由表格中数据可得据=6+8+：°+12=9,歹=6+5：3+2=44=丝=上詈=Q7.故选A.

2.D当残差比较均匀地落在水平的带状区域时，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽

度越窄，说明拟合效果越好，对比4个残差图，可知模型四的图对应的带状区域的宽度最窄.

3.D对于B,依题意歹=!乂(1+2+3+4+5)=3,歹=:乂(0.5+0.8+1+1.2+1.5)=1,

AA

所以l=0.24x3+a,解得Q=0.28,故B正确；

A

对于A,因为经验回归方程为y=0.24x+0.28,

所以变量y与x正相关，故A正确；

A

对于C,当x=6=0.24x6+0.28=1.72,

所以可以预测当户6时，房屋交易量约为1.72万套，故C正确；

A

对于D,当x=5ITt,y=0.24x54-0.28=1.48,

所以当x=5时,残差为1.5-1.48=0.02,故D错误.

故选D.

4.B从图中可以看出，点4较其他点偏离直线远，故去掉点A后，回归效果更好，

故决定系数心会变大，更接近于］,残差平方和变小，

样本相关系数,,的绝对值会更接近于1,由图可得x与y正相关，故r的值会更接近于1,

即样本相关系数厂的值变大，解释变量x与响应变量)，相关性变强，

故A,C,D错误,B正确.故选B.

12024

5.C由条件可知元=12=：7三Zln%=10,则10=b+6、解得b=4.

2024自,

z=lny=\na+比则A=4,a二e",故C正确.故选C.

6.解(1)因为Hgx(8+8.2+8.4+8.6+8.8+9)=8.5,y=ix(90+84+83+80+75+68)=80,

66

AAA

所以Q=歹一b^=80+20x8.5=250.所以经验回归方程为y=-20x+250.

(2)设工厂获得的利润为L(单位:元)，依题意得L=x(-20x+250)-4(-20.r+250)=-20A2+330x-l000=-

20(x§)2+361.25.

当且仅当.『答8.25时』取得最大值.

故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利涧.

7.解作出散点图（图略），观察散点图可知这些点散布在一条直线的附近，故可知x与y线怛相关.

22+20+18+16+14

因为5==18.

5

37+41+43+50+56

=45.4.

y=5

A盼底歹)二、产%5•二3992-5x18x45.4

所以人=

22

£(xrx)£x?-5x1660-5x18?

r=lr=l

A

a=45.4-(-2.35)x18=87.7.

A

所以经验回归方程为y=2.35x+87.7.

A

yi-yi与y-9的值如下表：

A

VrYi0.3-2.4-0.11.2

y/-y-8.4-4.4-2.44.610.6

S八5

计算得z(y-yi)2=8.3,Z(y亍)2=229.2,所以代=1-黑=0964.

i=li=l心乙

因为0.964很接近于I,所以该模型的拟合效果比较好.

8.D由题意，得元=1x(20+30+40+50+60)=40,y=1x(25+27.5+29+32.5+36)=30,

A

则k=90.27元二30-0.27x40=19.2，故A正确；

由经验回归方程可知，变量x,y呈正相关关系，故B正确;

若x的值增加1,则），的值约赠加0.27,故C正确；

A

当x=52时,y=0.27x52+19.2=33.24,故D错误.

9.ACD对于A,经验回归直线一定经过点区歹），故A正确；

对于B,由样本相关系数的绝对值越趋近于1,相关程度越强可知，若两个变量负线性相关,其线性

相关程度越强烈样本相关系数，•的值越接近于-1,故B错误；

对于C,因为在残差图中，残差分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越南，故C工确；

对于D,因为在线性回归模型中，决定系数R2越接近于1,说明线性回归模型的拟合效果越好，故D

正确.

10.<画出散点图如下:

y

12

10

8

6

4

2

O246810x

AAA

从而可以看出，在y=bx+Q中

11.-0.30.98因为六cM,两边取对数可得ln/=lnc+AlnW,

又x,=lnWi,yi=]nfj,

AA

依题意经验回归直线y=bx+7.4必过样本|||心(五亨)，

AA

所以5=86+7.4,解得6=-0.3,所以k=-0.3.

A28八'

_/一巧)卒「为)0.28

心

1-^--2=0.98.

工仇沔2高一扬2214-8X5

1=1

2+3+4+54-622+22+17+14+10

12.解(])由题意可得元==4,y==17,

55

5

A

Z(xrx)(ycy)

b=i=l

2

Z(xrx)

_(-2)x5+(-l)x5+0x0+lx(-3)+2x(-7)_2.

(-2)2+(-l)2+02+l2+22—,+'

AA

a=y-bx=17+3.2x4=29.8.

A

故》关于x的经验回归方程为y=-32Y+29.8.

5

L(Xi-x)(yry)1A

(2)『「"5=高漏=彘由xo,可知狞负相关

22

Z(xrx)E(yry)

Ji=lJ

又因为|r|£[0.75,1],所以x,)，相关性很强.

因此，可以认为该幼儿园去年春季患流感人数与年龄负相关很强.

13.解(1)由散点图知，成对样本数据散点在曲线附近，因此利用。=①+岳1g/模型更适合.

AAA

(2)令E=lg/,先建立。关于E的经脸回归方程0=a24-b2E.

1010

由统计表格知,2(E/-F)(D/-D)=5.1，S(E,-E)2=0.51,

i=ii=l

A10__

AL=io

则力2=<=1=

10_20.51

i=l

AA

a2=D-b2F=45.7-10x(-l1.5)=160.7,

A

・・・。关于E的经验回归方程是0=10石+160.7,故声音强度O关于声音能量/的非线性经验回归

A

方程是0=101g/+160.7.

14.解（1）令先建立y关于u的经脸回归方程.

A(6一

e%—306,,,,占产凶七叩173.8-6x0.41x5148.341八八

因为yV=——=5，所以b=---------=---------------------=---------=00.

6，'£221,492-6x0.16810.4834

AAA

所以Q=y-b元=51/00x0.41=10.所以y=10+100”.

A

所以），关于x的非线性经验回归方程为y=10+产.

y关于”的样本相关系数为

6

3产无-6万

J'=f_—r

48.34八皿

V0.4834xV5252.44''

（2）（方法一）（i）若产品单价为80元,记企业利润为X（单位:元）.

当订单为9千件时，每件产品的成本为10+当+30=（40+个）阮）,

企业的利润为［80-（40+衅）_）X9000=260000（元）.

当订单为10千件时，每件产品的成本为10+当+30=50（元）,企业的利润为（80-50）x10（）00=300

000（元）.

所以企业利润X的分布列为

X260000300000

P0.7