2025-2026学年高二数学下学期期中模拟卷02【测试范围：苏教版选择性必修第二册第6~8章】（全解全析）（江苏专用）

高二数学下学期期中模拟卷02（江苏专用）

全解全析

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.把10个相同的小球放入编号分别为1,2,3的三个不同的箱子中，每个箱子的球的个数大少于其编号,

则共有多少种放法（）

A.10种B.15种C.20种D.45种

【答案】B

【解析】先在1号箱子放0个小球，2号箱子放1个小球，3号箱子放2个小球，

问题转化为将剩余的7个相同小球放入3个不同箱了•中，方法数共有C；=15种.

故选：B.

2.在四面体O-/1AC中，设丽=族，无=>M为48的中点，则做=（）

1-1.一_1-17-TTT---

A.--a--b+cB.-a+-h+cC.a+b+cD.a-b-c

【答案】A

【解析】由已知，

MC=MO+OC=MA+AO+OC=-BA+7d+OC=-（Jd+OA]-OA+OC

22、）

=--OA--OB+OC=--d--b-hc.

2222

故选：A

3.在（x-9）的展开式中，V的系数为（）

A.-63B.-126C.126D.63

1/15

【答案】C

【解析】（工一?）展开式的通项公式为l+i=心y=（—以编句

令吟=3,贝必=4,因此丁的系数为（一1『C；=126.

4.口袋中有编号为1-10的10个小球，其中红球6个（编号1-6）、白球3个（编号7-9）、黑球1个（编号

10）.采用小放回抽样，依次抽取3个小球，记随机变量X为抽取到的红球个数，丫为抽取到的白球个数.已

知抽取结果中恰好有2个白球，求此时红球个数为1的条件概率尸（X=l|7=2）（）

A.|B.。C.：D.1

8778

【答案】B

【解析】依题意，X=l,y=2的事件有C；C；C：个基本事件，丫=2的事件有c；c；个基本事件,

186

所以尸（¥=［丫=）告产

12=21=7'

故选:B

5.盲盒中有大小相同的3个红球，2个黑球，随机有放回的摸两次球，记X为摸到黑球的个数，随机无放

回的摸两次球，记丫为摸到黑球的个数，则（）

A.E（X）＜E（Y）tD（X）＞D（y）B.E（X）=E（Y）,D（X）＞D（Y）

C.E（X）＜E（Y）tO（X）＜Q（Y）D.E（X）=E（Y）,D（X）＜D（Y）

【答案】B

/7、74^）（7A17

【解析】由题意可知：X〜82I，则£（X）=2x2=/D（%）=2x-X1--=—

y的可能取值为o,i,2,

则个-。）-警得

we警端s-警4

可得E（y）=0x2+]x9+2x-!-=±

1010105

所以E（x）=E（y）,o（x）＞Q（y）.

故选：B.

2/15

6.某社区组织文化活动，现有书法艺术展示、传统戏曲表演、民间手工艺制作、古典诗词朗诵、现代音乐赏析

这5个文化活动项目.社区安排6名志愿者负责这5个项目的活动组织，若每个项目的活动都至少有1名志

愿者负责，每名志愿者均需要负责且只负责其中1个项目的活动组织，则不同的分配方法种数为（）

A.1500B.1800C.2100D.2400

【答案】B

【解析】先将6名志愿者分成5组，从6人中选2人一组，其余4人各•组，共有C：=15种分法，

再将这5组全排列，对应5个项目，有A；=120种排法，

所以不同的分配方法种数为15x120=1800种.

故迄B.

一3一

7.在四棱锥P-48CO中，底面N3C。是平行四边形，BP=QBE,CP=2CF,平面4E/与棱CO交于点

G则DG-

z)2c

-

311I

民-C--

A.32D.4

【答案】C

一3一

【解析】因为8P=58。CP=2CF，

所以诟=2而=2（面+衲=2/一2万,

33、,33

CF=^-CP=^（CAAP}=^AP-^AC=^AP-^（ADAB\=^AP-^AD-^AB,

22、+,2222、+f222

设—=%n砺=ADC=AAB,

DC

________o__.9__,i___?___

族=荔+诟=益+—"——而=一而+—而,

3333

JF=^C+CF=^+Z5+-JP--JD--J5=-JD+-78+-JP,

222222

显然赤，而不是共线向量.

因为平面4b与棱CQ交于点G,所以四点共面,

因此有就=工荏+^箫=而+砺=入｛［刀+|"）+y（；而+；而+；/

=>AD+AAB=（；x+；y）/B+（：x+gy）AP+^yAD,

因为赤，万，方彼此两两不互相共线,

3/15

所以有<=++=<x=_g,DG1

所以而二5

0'J

32

8.己知球O的半径为3,。是球。表面上的定点，&是球。表面上的动点，口满足(2而+豆)•标=0,则

线段OS轨迹的面积为()

A.3夜兀B.3#>TIC.6石兀D.6五式

【答案】D

【解析】如图，以球。的球心为坐标原点，。尸所在的直线为x轴，建江空间直角坐标系，

因为球。的半径为3,则P(3,0,0),设S(x,y,z),

贝lj而=(-x,—乂一z),守=(3—x,-y,—z),所以2而+豆=(3-3:r,-3y,-3z),

又丽=(3,0,0),(2历+药).丽=0,则3(3-3x)=0,得到x=l,

如图，在线段OP取点〃，使|。〃|=1,所以线段OS轨迹为圆锥。”的侧面，

又|。耳=3,则|5〃|=>^二?=2近,所以圆锥O”的侧面积为S=7r|〃S||OS|=6jLr,

所以线段OS轨迹的面积为6加兀，

4/15

故选:D

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.关于（2x-l『的展开式，下列说法正确的是（）

A.展开式共有6项B.展开式的二项式系数之和为64

C.展开式各项的系数之和为1D.展开式中第4顼的二项式系数最大

【答案】BCD

【解析】展开式共6+1=7项，故A错误；

展开式的二项式系数之和为26=64,故B正确；

令1=1,则（2x-=则展开式各项的系数之和为1,故C正确：

共7项，则展开式中第4项的二项式系数最大，故D正确.

故选：BCD

10.华山、少华山、渭华起义纪念馆是华州区的三大文化地标.现有甲、乙、丙、丁4位同学计划利用假

期研学，每人从这三个地点中随机选择一个前往，且每个地点至少有一人前往.设事件力为“甲同学前往华

山研学“，事件8为“乙同学前往少华山研学”.则下列说法正确的是（）

A.尸（彳）=：B.尸（川8）=尸（川⑷

C.P（4B）=3D.事件力与事件〃不独立

36

【答案】BCD

【解析】由题可知，总基本事件数为N=C：A；=36,事件《为“甲同学前往华山”，此时其余3名同学的分

配需保证少华山和渭华起义纪念饵都有人前往，一类是从其余3人中任选I人与A同往华山，其余2人在

少华山和渭华起义纪念馆一人一处排列，第二类是其余3人，选出2人合成一组，与其与I人在少华山和

渭华起义纪念馆排列，共有C；A；+C；A；=12种，

1211

所以尸（4）=弓=卜同理可得尸（4）=：,故A错误：

事件44:当甲同学前往华山研学，乙同学前往少华山研学时，有两种情况，

①渭华起义纪念馆有两位同学研学，即丙丁，只有1种情况；

②华山或少华山有两位同学研学，在丙丁2人中先选1人去渭华起义纪念馆，另1人去华山或少华山，共

有"2-4种情况；

5/15

所以事件”共有4+1=5种情况,

所以尸（药品梳故c正确；

因为P（/B）=黯，P（BM）=需，P（4）=g，户（8）=；,

所以尸（川B）=P（8M）,故B正确:

因为尸（小尸⑶"（㈤$

所以事件力与事件4不独立，故D正确:

故选:BCD.

11.（新情境）伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达・芬奇方砖，在正六边形上画了正方体图案，如图1,把三片

这样的达•芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为

1,则（）

图1图2图3

A.CG=2AAX-2PF

B.平面CQG_L平面尸防

C.异面直线。。与所成角的余弦值为£

6

2

D.直线c。与平面44GA所成角的正弦值为§

【答案】ABD

【解析】选项A：由图象得？5=函+函=赤+2瓦i+2麴+而

=CB+2FP+2AA}-CB=2AA.-2PF,故A正确;

选项B：因为吊尸1平面PEE且G0〃4尸,

所以G。！平面尸EE,因为G0u平面CQG,

6/15

所以平面CQG1平面PEF,故B正确;

选项C：以。为原点，DA,DC,DD［为x,y,z轴正方向建系，如图所示,

则C(O,1,0),0(1,-1,2),3(1,1,0),。(0、0,0),

所以函=(1,一2,2),而=(1』,0),

CQDB,/2

设异面直线C。与所成角为0,则cos8=

Collar_6，

则异面直线CQ与BD所成角的余弦值为带，故C错误:

由图象得平面48CQ的法向量I=(0,0,1),

设直线C。与平面44GA所成角a，，

2

所以直线C。与平面4片GA所成角的正弦值为§,故D正确.

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.己知忖,瓦@是空间的一组基，向量荔=0+2"%=1一&，而=2+5+41,且4&C,。四点共面,

贝IJ4=.

【答案】1

【解析】因为4瓦。,。四点共面，所以存在实数〃?，〃，使得而=〃?祝+〃］万，

因为万=3+2B衣=G-/l尻赤=G+B+45,

-A-A—«—«—«-A—•-A—•

所以a+2c=m(a-Ab)+n(a+b+4c)=(m+n)a+(〃-Xm)b+4nc>

7/15

1

m=—

1=w+n2

I

则0=/?-Xm,解得n=2'

2=4/7

2=1

故答案为：I

13.我国高铁发展迅速,技术先进.经统计.在经停某站的高铁列车中,每天的准点率Y服从正态分布

N（0.98,〃）且P（X<0.97）=0,005,则P（0.97<X<0.99）=.

【答案】0.99

【解析】•••X服从正态分布N（0.98,/），且尸（XM0.97）=0.005,

/.P(0.97<X<0.99)=\-2P[X<0.97)=1-2x0.005=0.99.

故答案为：0.99.

14.大润发超市的店员准备把待打折处理的两袋不同的蔬菜和两袋不同的水果摆上如图所示的货架，要求

同类商品不摆在同一行也不摆在同一列，则共有种不同的摆放方法.（用数字作答）

【答案】72

【解析】因为要求同类商品不摆在同一行也不摆在同一列,

所以第一行只能放一袋蔬菜和一袋水果，共有C；C；A；=2x2x6=24种放法，

再在第二行分类讨论放剩下的蔬菜和水果，

第二袋蔬菜如果放在第一袋水果下方，则第二袋水果有2种放法，

如果第二袋蔬菜不放在第一袋水果下方，则第二袋水果有1种放法，共有3种情况，

囚此共有24x3=72种摆放方法.

故答案为：72.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（13分）

从包含甲、乙2人的8人中选4人参加4x100米接力赛，求在下列条件下，各有多少种不同的排法?

（结果用数字作答）

8/15

（1）甲、乙2人都被选中且必须跑中间两棒；

（2）甲、乙2人都被选中且必须跑相邻两棒；

（3）甲、乙2人都被选中且不能相邻两棒；

（4）甲、乙2人都被选中且甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒.

【解析】（1）甲乙两人在中间两棒，则有A；=2种排法，

从剩下6人选出2人排列到两边，有A：=30种排法，

则共有2x30=60种排法.（3分）

（2）将甲乙绑定到一起，内部有2种排法，

从剩下6人选出2人，有C：=15种选法，

全排列3个元素有A”6种排法，

所以共有2x15x6=180种排法.（6分）

（3）先从剩下6人选出2人先排列，有A；=30种排法，

将甲乙插入到已排列的两个元素邻近的3个空位中，以保证甲乙不相邻，有号=6种排法，

所以共有30x6=180种排法.（9分）

（4）若甲在第四棒，

则从剩下6人选出2人，有C：=15种选法，

3人全排列，共有A；=6种排法，

此时共有15x6=90种排法，

若甲不在第四棒，也不在第一棒，所以甲有2种排列方法，

乙不在第四棒，也不能与甲同棒，所以乙有2种排列方法，

再从剩下6人选出2人排列到剩下的两个位置，有A：=30种排法，

此时共有2x2x30=120种排法，

综上,共有90+120=210种排法.（13分）

16.（15分）

如图，在棱长为2的正四面体。中，已知E是线段3c的中点，点G在线段力£上，且

AG=2GE.

9/15

⑴用向量次，砺，反表示布;

(2)求|OG|；

（3）求向量赤与而夹角的余弦值.

【解析］(1)^=OA+JG=OA+-7E=OA+-^5E-(T^=-OA+-OE

3333

-OB+^OC\=^-OA+^OB+-OC.(4分)

22J333

（2）函=J（衿+；丽+河-

帝+^\(^\2OAOB+2OAOC+2OBOC

4+4+4+2x2x2x—+2x2x2x—+2x2x2x—

9222)

考（9分）

（3）因为诙=g赤+g反，方=砺一次,

所以诋7豆=（；0月+g=-(^\-0C()B--bB(5A--0C0A

2222

2232323

=2+l-l-l=l.

由正四面体O-ABC的棱长为2,可得|喝=6,|附=2,

所以cosv函必=苣瑞=或邛.（［5分）

17.(15分)

某次社会实践活动中，甲乙两个班的同学共同对社区居民进行民意调查，参加活动的甲乙两班的人数

10/15

之比为5:3,其中甲班中男生占乙班中男生占!.

JJ

（1）求居民遇到•位进行民意调查的同学恰好是男生的概率；

（2）从甲班中抽取5名同学（含甲同学），分别安排在4EC三个社区进行民意调查，每个社区至少一

名同学，每名同学只能到一个社区.

①求共有多少种不同的安排方法；

②求甲同学不安排在《社区的概率.

【解析】（1）设事件/表示•'调查的同学恰好是男生”，事件与“调查的同学来自甲班”，事件且“调查

的同学来自乙班”，

P（Bj=5=g,=——=-,

V175+38V275+38

Q1

尸（力|4）=丁尸（力闾=针

由全概率公式得：

P(J)=P(J|^1)P(51)+P(J|^)P(52)=|X|+|X1=1（5分）

oDo3Z

（2）①把5名同学分成三组，分组方式:

5x4x3

3,1,1型：c^c；572^7

A；2x1

5*4

---x3xl

型：

2,2,1C；C；C；----=15,

2x1

分组总数:10+15=25

再分配到三个社区的安排方法数：A；x25=3x2xlx25=15D.（1（）分）

②由已知甲同学安排在力社区，剩余4人自由的安排在三个社区安排方法共有34=81种,

其中：甲同学安排在4社区，其余4人全安排到力，8社区安排方法有7=16种，

甲同学安排在/社区，其余4人全安排到/,。社区安排方法有2，=16种，

甲同学安排在力社区，其余4人全安排到A社区安排方法有1种，

甲同学安排在/社区且每个社区至少一人的安排方法有81-16-16+1=50种，

甲不安排在力社区的概率。=1-孟50=：2.（15分）

18.（17分）

11/15

如图，四棱台48。。-4442的底面为正方形，侧面。CCQ为等腰梯形，48=24与=4,

EDi：D、D:DE=®3:2,£为力。的中点.

（1）证明：平面QCCQ_L平面/4CQ：

（2）求平面BDG和平面ADD.4夹角的余弦值.

（3）在4。上是否存在一点G,使G-BDC{的体积为逑，若存在，求BG与平面BDC.所成角的正弦值,

3

若不存在，请说明理由.

【解析】（1）由题可知。£=3月。=2,所以EA=A,DQ=3,

所以瓦）：=%。2+。不，

所以£OJ,qQ,即

又四边形力88是正方形，所以4力_LOC,

又D[DcDC=D,DC,D〔Du平面DCCR,

所以4O_L平面。CCQ,

又NOu平面48CD,故平面。CGAJ•平面（5分）

（2）过点。作直线Oz_L平面力4c。，以。为坐标原点建立如图坐标系,

过。作_LQC,

因为平面DCCR_L平面ABCD,平面DCCXD}A平面ABCD=CD,

所以〃尸j.平面力4co,所以。尸为四棱台488-44GA的高，

12/15

22

又DF=^(CD-C.D.)=^(4-2)=1,所以=^D,D-DF=2^2,

则R(0,1,20),4(4,0,0),3(4,4,0)6(0,3,20),

所以西二(0,1,2尤)，/=(4,0,0),DB=(4,4,0),DC.=(0,3,2x/2),(6分)

设平面ADDiAi的一个法向量为％=(x,y,z),

DD、♦〃1=0y+242z=0

则由，得

DAn^=04x=0

令z=l,所以E=(0「2应,1),

设平面的一个法向量为%=m,4c),

[DB^=014a+4b=0

则由[函Z=0'得b+2后=0,

令a=2&，得BD&平面的一个法向量为1=(272,-272,3),(9分)

设平面力。A4和平面8OG的夹角为。，

I——I〃]•〃)]I

则cos6>=cos〃],〃2=II—=77，

闻网15

所以平面BDC、和平面ADD.4夹角的余弦值为£.(12分)

(3)假设在力。上存在•点G,使G-8OG的体积为芈，

设G&O,O)(OW4),

所以%BDC=匕G8/)=LSG8C•。/二1X,X4/X2&二逑，

Cl-C|-IJDZJ3AlJOZJ।323

解得f=l,所以G(l,0,0),存=(3,4,0),

由(2)可知BOG平面的一个法向量为元=(2"-2&,3),

13/15

设宜线BG与平面BDC、所成角为a,

।---------118G•同272

则sina=|cosBG、%|=同（一］=，（15分）

所以在力。上存在一点G,使G-8OG的体积为逑，此时8G与平面8。^所成角的正弦值为2V2

325

（17分）

19.（17分）

某图书馆对学生借阅图书是否按时归还的情况开展调查，经过一段时间的统计发现：学生第一次借阅

35

图书，按时归还的概率为“从第二次借阅开始，若前一次按时归还，则