2025高考数学试题汇编：集合与简易逻辑、不等式（附解析）

2025高考集合与简易逻辑

一、单选题

1.（2025•天津•高考真题）已知集合［/={1,2,3,4,5},4={1,3},8={2,3,5},则加（/=8）二

（）

A.{1,2,3,4}B,{2,3,4}C.{2,4}D.⑷

【答案】D

【分析】由集合的并集、补集的运算即可求解.

【详解】由/二{1,3},8={2,3,5},则={1,2,3,5},

集合U={1,2,3,4,5},

故。。U5）={4}

故选：D.

2.（2025・北京・高考真题）已知集合M二{X|2XT>5},4={1,2,3},则材八1二（）

A.{1,2,3}B.{2,3}C.{3}D.0

【答案】D

【分析】先求出集合M，再根据集合的交集运算即可解出.

【详解】因为材={x|2x-1>5}:"次>3},所以McN=0，

故选：D.

3.（2025•全国一卷•高考真题）设全集U={x卜是小于朔正整数},集合/={1,3,5},则

在力中元素个数为（）

A.0B.3C.5D.8

【答案】C

【分析】根据补集的定义即可求出.

【详解】因为U={1,2,3,4,5,6,7,8},所以。〃={2,4,6,7,8},a力中的元素个数为5，

故选：C.

4.（2025•全国二卷•高考真题）已知集合力一{-4,0,1,2,8}1一田l-x},则4n8=（）

试卷第1页，共9页

A.{0,1,2}B.{1,2,8}

C.{2,8}D.{0,1}

【答案】D

【分析】求出集合8后结合交集的定义可求/c从

【详解】B={x|x3=x}={0,-U)»故4n5={04

故选：D.

5.(2025•天津・高考真题)设一如R,则“&HT是"sin2i=0”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】通过判断是否能相互推出，由充分条件与必要条件的定义可得.

【详解】由x=0=>sin2ksin0=0，则“二二矿是"sm2x0''的充分条件：

又当x二兀时，sin2x=sin2n=O»可知sin2x=0力x=0,

故“名_犷不是“sin2x=0”的必要条件，

综上可知，“翼=0”是“sin2x=0”的充分不必要条件.

故选：A.

6.(2025•北京・高考真题)已知函数/(x)的定义域为。，则“/(x)的值域为R”是“对任意

MsR，存在天£。，使得|/(七)|>〃”的()

A,充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既

不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由函数值域的概念结合特例，再根据充分条件'必要条件的概念即可求解.

【详解】若函数/(x)的值域为R,则对任意McR,一定存在玉G7),使得

取/=不，则=W+充分性成立；

取/(x)=2，，则对任意MwR,一定存在玉使得/(不)=|M+L

取鼻孙则=+但此时函数/(x)的值域为(O,+R),必要性不成立；

试卷第2页，共9页

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所以“/㈤的值域为R”是“对任意A/wR,存在X°e。，使得|/(%)卜的充分不必要条

件.

故选：A.

7.(2025•北京・高考真题)已知。＞0力＞0,则()

A.a2+b?>2出）B.

ahah

112

C.a+b>dabD-/齐面

【答案】C

【分析】由基本不等式结合特例即可判断.

【详解】对于A,当。=力时，。2+/=2而，故A错误;

..11C-1。1

对于BD,取此时片厂2+4=6<==8二%

242X4

2

—+—=2+4=6>4网备,故BD错误;

ab

对于C,由基本不等式可得。十方之2痴,而，故C正确.

故选：C.

8.（2025•全国二卷•高考真题）不等式I32的解集是（）

x-1

A.{x|-2<x<l}B.{x\x<-2}

C.{x|-2<x<l}D.{x|x>1}

【答案】C

【分析】移项后转化为求一元二次不等式的解即可.

【详解】上&2即为巴2«0即2+2)(x7)“°,故_2?X

1,

x-1x-}工一1/0

故解集为［12」),

故选：C.

二、填空题

9.(2025•天津•高考真题)若qbcR,对,。［=&幻,均有(2。+力)/+及-々-140恒成

立，贝IJ2Q+力的最小值为

试卷第3页，共9页

【答案】-4

【分析】先设，二2。十人根据不等式的形式，为了消口可以取斯二;一2，得到f至一4,验证

2

/=-4时，。)是否可以取到，进而判断该最小值是否可取即可得到答案.

【详解】设/=2。+4原题转化为求/的最小值，

原不等式可化为对任意的-24142,/x2+(/-2«)x-a-l<0,

111

不妨代入黑=,得—/—Q—功)—a—140,得者

2

当r二Y时，原不等式可化为-4，+(-4-2〃)x-。-140,

即」2x+f1a+l)]+-a2<0,

LUJJ4

观察可知，当"。时，-(2x+l)Zo对—24x«2一定成立，当且仅当*一―1取等号,

2

此时，。=0力=-4,说明ky时,4b均可取到,满足题意，

故1=2。+力的最小值为-4.

故答案为：-4

10.(2025•上海•高考真题)设a力>0,。+1=1,则6的最小值为_______.

ba

【答案】4

【分析】灵活利用T"将"[=9+目[+3展开利用基本不等式计算即可.

【详解】易知=a/>+—+2>2lab--+2=4,

a\b)abVab

当且仅当"b—l，即。=，力二2时取得最小值.

2

故答案为：4

二、解答题

11.(2025♦上海•高考真题)已知函数y=/(x)的定义域为R.对于正实数a,定义集合

K,={xl/(x+a)=/(x)}.

⑴若/(x)二sinx,判断三是否是M“中的元素，请说明理由；

3

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/、[x+2,x<0

(2)若/(x)=｛厂，〃/。，求。的取值范围：

Vx,xNO

(3)若y=/(x)是偶函数，当xe(OJ时，/(x)=l-x,且对任意QE(0,2),均有

MacMr写出y=/Q),XGQ,2)解析式，并证明：对任意实数&函数y=/(x)—c在

卜钱含|上至多有9个零点.

【详解】(1)(1)/f-Ksin-=—,/(生+乃〕二一sin工二一巫，则三不是中的元

⑴3213yl32.3

素.

(2)法一：因为％/0,则存在实数/使得/(x0+。)=/(%),且〃>0，

当了式。时，/(x)=x+2,其在(Y)，0)上严格单调递增，

当工》抑寸，/(力=五，其在W,+o。)上也严格单调递增，

则则2_J/I4,

令*卜2=9,解得*=f，则—2«/<0，

7沁

则+-e

4

法二：作出该函数图象，则由题意知直线y=£与该函数有两个交点,

由图知04/<2,假设交点分别为力(见/),以〃,/)，

y[in—/(1A27T7A

联立方程组〈^a=M^|=w-w=/2-(/-2)=/---+-G-,4

〃+2=/I2)4L4/

(3)(3)对任意x°c(l,2),Xo-2e(-1,0),因为其是偶函数，

则/(x。一2)=/(2-%),而2—X。一(X。-2)=4-2/e(0,2)»

所以x0-2w%2”之”2，

所以/&)=/(/一2)=/(2—%)，因为x°«l,2),则2To«0,1),

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所以/。0)=/(2-%)=1一(2-工0)=%-1,所以/。)二工一1/£。,2),

所以当S£(O,1)时，1T£(O,1),1+5€。,2),则/Q-S)=l-。-S)-S,

/(1+5)=(1+5)-1=5,则/(1-S)=/(1+S),

而1+s-(1-s)=2s,(3-s)-(1-s)=2,

则1-s€A/2tcM)，则/(l-.v)=/(3-S),

所以当xw(2,3)时,/(x)=/(x-2)=l-(x-2)=3-x,而〃x)为偶函数,画出函数图象如

下：

其中/(-3)=/(3),/(-2)=/(2),/(0),但其对应的夕值均未知.

首先说明/(-3)=〃©(0,1),

若/(—3)=〃c(0,l),则一3+〃«-3,-2),易知此时/(x)=x+3,xe(—3,—2),

则/(一3+〃)=〃，所以/(一3)€死匚〃2，而xw[—1,0)时，/(x)=x+1,

所以/(-3)=/(-1)=0,与八一3)=»矛盾,所以/(—3)任(0,1),即/(—3)=/(3)@(0,1),

令y=/(x)-c=0,则y=/(x)=c,

当C=O时,即使让/(—3)=/(3)=/(—2)=/⑵=/(0)=0,此时最多7个零点,

当e"时,若/(一2)=/(2)=/(0)=/(-3)=/(3)=%此时有5个零点,

故此时最多5个零点；

当时,^/(-2)=/(2)=/(O)=/(-3)=/(3)=c,此时有5个零点,

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故此时最多5个零点;

当0<c<l时，若/(-2)=/(2)=/(O)=c,此时有3个零点，

若/(—3)=ce(0,l),贝卜3+。F(—3,-2),易知此时/(x)=x+3,

则/(—3+c)=c,所以/(-3)€A<UM，而龙4—1。)时，/(x)=x+l,

所以/(-3)=/(—1)=0,与/(—3)=p矛盾，所以/(一3)〃0,1),

则最多在(一3,—2),(—2,—1),(—1,0),(0,1),(1,2),(2,3)之间取得6个零点，

以及在x=-2,0,2处成为零点，故不超过9个零点.

-3--22--110O123x%

综上，零点不超过9个.

12.(2025•北京•高考真题)已知集合力={1,2,3,4,5,6,7,8},〃={(二力|工£4)£4},从M

中选取〃个不同的元素组成一个序列：(玉,必),(々,％)“..,(4,”)，其中(4匕)称为该序列

的第i项(/=1,2,…,〃)，若该序列的相邻项(七,乂),(町］,)川)满足：］或

仍+i一川-q

I—x|=4

・'；（i=l,2,…则称该序列为K列.

|九1-乂|二3

(1)对于第1项为(3,3)的K列,写出它的第2项.

(2)设「为K列，且「中的项a，»)(i=l,2,..”)满足:当i为奇数时,xfG{1,2,7,8}：当i

为偶数时,芍€{3,4,5,6}.判断(3,2),眄勒能否同时为「中的项,并说明理由;

(3)证明：由M的全部元素组成的序列都不是K歹九

【答案】⑴(6,7)或(7,6)

(2)不能，理由见解析

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（3）证明过程见解析

【分析】（1）根据新定义却可得解：

（2）假设（3,2）与（4,4）能同时在「中，导出矛盾，从而得出（3,2）与《4,留不能同时在「中

的结论；

（3）假设全体元素构成一个K歹U，通过构造导出矛盾;从而得到要证明的结论.

【详解】（1）根据题目定义可知，［41=*：：或］”产为+：,

U.i=Zi41几产乂±3

若第一项为（3,3）,显然马=0或-1不符合题意（不在集合A中），所以下一项是（6,7）或

（7.6）；

（2）假设二者同时出现在「中，由于K列取反序后仍是K歹人故不妨设（3,2）在（4,4）之

前.

显然，在K列中，相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性总是相反的，所以从（3,2）到（4今必

定要向下一项走奇数次.

但又根据题目条件，这两个点的横坐标均在中，所以从（3,2）到必定要向卜.一项走偶

数次.

这导致矛盾，所以二者不能同时出现在「中.

⑶法1：若"中的所有元素构成K歹ij,考虑K列中形如国匕）（4乂£{1,2,7,8}）的项,

这样的项共有16个，由题知其下一项为（冷|,为|）,不|,儿”{3,4,5,6},共计16个，

而（若“，％J*（3,3）,（6,3）,（3,6）,（6,3），因为只能6由2来，3只能由7来，

横、纵坐标不能同时相差4,这样下一项只能有12个点，

即对于16个（％有12个（当「凡）与之相对应，矛盾.

综上，由M的全部元素组成的序列都不是K列.

法2：假设全体元素构成一个K歹U,则时一树.

设7；={（XJ）X£{L2,7,8}JW{L2,3,4,5,6,7,8}},

T2={（x,^）|x€{3,4,5,6},j€{1,2,3,4,5,6,7,8}）.

则7；和君都包含32个元素，且7；中元素的相邻项必定在卷中.

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如果存在至少两对相邻的项属于与，那么属于。的项的数目一定多于属于7；的项的数百，

所以至多存在一对相邻的项属于右.

如果存在，则这对相邻的项的序号必定形如2加和2m+l,

否则将导致属于4