《数学广角-集合》：基于深度学习的集合思想启蒙教案（三年级上册）

《数学广角——集合》：基于深度学习的集合思想启蒙教案（三年级上册）一、基本信息与设计理念（一）基本信息【课题】：《数学广角——集合》：基于深度学习的集合思想启蒙教案【学科】：小学数学【年级】：三年级【课时】：第一课时（共1课时）【教材版本】：人教版三年级上册第九单元（二）设计理念本节课的设计秉承“以学生发展为本”的课程改革核心理念，致力于将抽象的集合思想转化为儿童可感、可触、可思的数学活动。课程设计不仅关注知识与技能的习得，更注重数学思考的发生过程和核心素养的浸润。通过创设真实、有趣的问题情境，引发认知冲突，驱动学生从“无意识的生活经验”走向“有意识的数学思考”。教学过程中，强调“做中学”与“思中悟”，引导学生经历“发现问题—自主探究—合作交流—建构模型—生活应用”的全过程。借助几何直观（维恩图）这一有力工具，帮助学生实现从“算术思维”到“集合思维”的跨越，在头脑中建立起关于“交集”的清晰表象，从而为后续学习更复杂的集合关系、乃至函数思想埋下伏笔。【非常重要：核心素养导向】二、教材与学情分析（一）教材分析“数学广角”是人教版教材中的一个特色板块，其目的是系统而有步骤地将重要的数学思想方法渗透给学生。集合论是现代数学的重要基础，其思想方法在一年级学习分类、比多少时就已经开始渗透（如把同类的物体圈起来）。本单元是学生第一次正式接触集合这一数学概念，是学生认知结构的一次重要扩充。教材以“参加跳绳和踢毽比赛的人数”这一学生熟悉的校园生活情境为载体，通过统计表呈现数据，引出“重复”现象，进而引导学生通过画图、列式等方式解决问题。例题的编排体现了从“具体”到“抽象”、从“生活”到“数学”的脉络，特别是维恩图的引入，为学生提供了解决重叠问题的直观模型。【基础】（二）学情分析三年级的学生正处于具体运算思维阶段，他们具备了一定的生活经验和知识储备。对于本节课的“重叠问题”，学生在生活中已有初步感知（如既参加书法班又参加绘画班的同学），甚至能凭借直觉列出“9+83”这样的算式。然而，这种认识是模糊的、经验性的，他们并不理解为什么要减3，减去的3到底代表什么，更不了解维恩图的结构和价值。因此，学生的真实困难在于：第一，如何将隐蔽的“重复”部分清晰地呈现出来；第二，如何理解维恩图中各部分的独立含义（只参加A的、只参加B的、既参加A又参加B的）；第三，如何将图示语言与算式语言建立起一一对应的关系。教学的起点不是“零”，而是要将学生这些零散的、模糊的初始想法，通过精心设计的数学活动，提炼、修正、升华为系统、清晰、严谨的数学认识。【难点】三、教学目标与重难点（一）教学目标1.知识与技能【基础】：在具体情境中，让学生初步体会集合思想，理解维恩图各部分表示的含义；能借助直观图，利用集合的思想方法解决简单的实际问题，并能用准确的数学语言表达思考过程。2.过程与方法【重要】：通过观察、猜测、操作、交流等活动，经历维恩图的建构过程，体验解决问题策略的多样性，并初步掌握“求两个集合的并集”的方法（即两组人数之和减去重复部分）。3.情感态度与价值观【重要】：在解决问题的过程中，感受数学与生活的密切联系，体会数学的简洁美与逻辑美，培养善于观察、勤于思考、敢于质疑的学习品质，增强合作探究的意识。（二）教学重难点1.教学重点【基础+高频考点】：理解集合图的各部分意义，能借助集合图分析生活中简单的有重复部分的问题。2.教学难点【难点+核心】：经历维恩图的产生过程，理解交集部分的双重属性，并能用不同方法解决总数问题。四、教学准备1.【教具】：多媒体课件（包含动态演示）、磁性黑板、磁力贴片（带有学生姓名）、两个可以交叉的硬纸板圆圈（或绳圈）。2.【学具】：学习任务单、直尺、铅笔。五、教学实施过程（核心环节）（一）激活经验，制造冲突——脑筋急转弯中的“重叠”1.情境导入：同学们，上课之前，我们先来热热身，猜一个脑筋急转弯。老师这里有件好玩的事：有两个爸爸和两个儿子一起去动物园（每人都得买票），可是他们只买了3张票，就顺利地进去了。这是怎么回事呢？2.学生猜想：（学生可能会猜到是爷爷、爸爸、孙子三个人）3.直观演示，理解“身份重叠”：教师根据学生回答，利用板贴进行演示。（板书或贴纸：儿子👨爸爸👨儿子👦？）师：这里有两个“儿子”吗？谁是谁的儿子？引导得出：中间的那个人，他既是（爸爸）的儿子，又是（儿子）的爸爸。所以他一个人具有两种身份。【非常基础：初步感知重复】4.揭示课题：像这样，在数学上，把具有两种身份或既参加这个又参加那个的现象，叫做“重叠”，也叫“包含”。今天我们就来研究生活中的“重叠问题”。（板书课题：集合）（二）自主探究，构建模型——维恩图的诞生1.呈现问题，引发认知冲突【热点】（课件出示教科书例1的情境图和统计表：三（1）班参加跳绳、踢毽比赛的学生名单）师：学校要举行跳绳和踢毽比赛，这是参赛同学的名单。从这张统计表中，你获得了哪些数学信息？预设：跳绳的有9人，踢毽的有8人。师：根据这两个信息，你能提出一个数学问题吗？预设：参加这两项比赛的共有多少人？师：对，一共有多少人呢？很多同学脱口而出——17人。真的是17人吗？（引导学生发现名单中的“重复”：杨明、刘红、李芳既参加了跳绳，又参加了踢毽。）师：哎呀，看来简单的“9+8”出了问题。这多出来的秘密就藏在这张名单里。请大家仔细观察，到底参加比赛的一共有多少人？为什么不是17人？2.任务驱动，自主画图【重要】师：有3位同学重复了，所以不是17人。但是，这个“重复”在名单里看得不是很清楚。你能不能用画一画、圈一圈的方法，把这3位重复的同学清清楚楚地表示出来，让大家一眼就能看出：1.3.哪些是只参加跳绳的？2.4.哪些是只参加踢毽的？3.5.哪些是两项都参加的？（学生利用学习任务单上的名单进行独立创作，教师巡视，收集典型作品。强调：可以简化人名，用序号或第一个字代替，重在表达关系。）6.展示交流，碰撞思维【核心环节】教师有选择性地展示几类不同层次的学生作品。1.7.层次一（连线法）：只是在重复的同学名字之间画了几条线。1.2.8.师评价：这种方法找出了重复的同学，很清晰。3.9.层次二（罗列法）：把跳绳的人写一排，踢毽的人写一排，然后把重复的同学圈出来。1.4.10.师评价：这样让我们看到了两个小组各自的全貌，重复的也被圈出来了，不错。5.11.层次三（位置调整法）：尝试把重复的名字写在中间，但可能还是两列。6.12.层次四（雏形维恩图）：学生画了两个圈，两个圈有一部分叠在一起，把名字分别填在三个区域里。1.7.13.【非常重要】：当展示到维恩图的雏形时，教师要作为重点，引导学生介绍想法。2.8.14.师：能给大家讲讲你的想法吗？你为什么把这三个名字写在这里？（指着中间重叠部分）3.9.15.生：因为这三个同学既参加了跳绳，又参加了踢毽，他们属于两边，所以我把他们放在中间，这样两边就都能包括了。16.优化建模，命名“维恩图”【难点突破】师：同学们的想法太棒了！尤其是这位同学的画法，特别有数学家的气质。其实，在100多年前，英国有一位名叫约翰·维恩的逻辑学家，也想到了类似的方法。他用封闭的曲线来表示集合，人们为了纪念他，就把这种图叫做“维恩图”，也叫“集合图”。（板书：维恩图）师：现在，让我们一起来把这个图变得更规范一些。（教师利用磁力贴片和交叉的绳圈/圆圈，在黑板上动态演示维恩图的形成过程。）1.17.构建左圈：这个红色的圈表示什么？（参加跳绳的同学）我们把所有跳绳的同学请到这个圈里来。（贴上所有跳绳同学的磁力贴）2.18.构建右圈：这个蓝色的圈表示什么？（参加踢毽的同学）那我们是不是应该把所有踢毽的同学请到这个圈里来？3.19.产生冲突：教师移动蓝色圈与红色圈重叠。哎呀，问题来了！杨明、刘红、李芳这三个人，如果按照要求，既要在红圈里，又要在蓝圈里，可是一个人不能站在两个地方啊！怎么办？4.20.关键一步（交集产生）：引导学生讨论——把两个圈像刚才那位同学画的那样，一部分重叠在一起。中间重叠的这一小块，就是专门给这些“两面派”准备的！把这三张姓名卡片移动到中间重叠的区域。5.21.明确各部分含义【高频考点】：教师指着图中的每一部分，让学生说含义。1.6.22.左边月牙形部分（红色）：表示（只参加跳绳的人）。2.7.23.右边月牙形部分（蓝色）：表示（只参加踢毽的人）。3.8.24.中间重叠部分：表示（既参加跳绳又参加踢毽的人）。9.25.数形结合，检查人数：大家一起数一数，只跳绳的有几人？（6人），两项都参加的有几人？（3人），只踢毽的有几人？（5人）。总人数是？6+3+5=14人。验证了刚才的猜想。26.列式解答，探寻多样算法【重要】师：看着我们亲手创造的维恩图，你能列出几种不同的算式来解决“一共有多少人”这个问题吗？先独立思考，再在小组内交流你的想法。1.27.预设1（分步求和）：6+3+5=14（人）。思路：把图上的三部分加起来。【基础】2.28.预设2（先和后减）：9+83=14（人）。【高频考点】1.3.29.追问：为什么要减3？9+8加了什么？减3又减去了什么？2.4.30.引导：9+8把两项都参加的同学算了两次，一次在跳绳里，一次在踢毽里，多算了一次，所以要减去一次。5.31.预设3（跳绳加只踢毽的）：9+（83）=14（人）。思路：跳绳的9人加上踢毽中除了重复的之外的人。【难点】6.32.预设4（踢毽加只跳绳的）：8+（93）=14（人）。师：这几种方法虽然列式不同，但想法上有什么共同点呢？引导学生总结：都要去掉那个重复算了一次的部分。【核心模型】（三）分层练习，深化应用——从“图形”到“模型”1.基础练习（看懂图，用对图）【基础】（课件出示P105做一做第1题：各种动物的集合图）师：动物王国也要用集合图来统计本领。看，这两个圈分别表示“会游泳的”和“会飞的”。中间这部分表示什么？你们能把下面的动物（填序号）送回它们各自的家吗？（学生独立完成，指名汇报。重点考察对“既…又…”的理解，以及鹅/鸭等既会游泳又不会飞的特例，深化对集合圈各部分的认识。）2.综合练习（解决生活中的问题）【高频考点】（课件出示：文具店进货情境）师：阳光文具店进货啦！昨天进了5种货，今天进了5种货。1.3.猜一猜，两天一共进了多少种货？（引发学生猜测，可能是10种，可能有重复）2.4.（出示具体的物品图，其中有3种是两天都进的）现在你知道了吗？请用维恩图的方式，把这一过程画在你的练习本上，并列式计算。3.5.反馈时展示学生画的图，重点纠正“重复部分”的表示方法。6.拓展练习（逆向思维训练）【热点+难点】（课件出示：三（1）班参加课外小组的情况）师：三（1）班参加书法小组的有15人，参加美术小组的有12人。参加这两个小组的一共有20人。你们能算出既参加书法又参加美术的有多少人吗？师：先别急着动笔，看着大屏幕，在脑子里想象一下那两个交叉的圈。想好了吗？可以在小组里说说你的推理过程。预设学生通过画图或算式15+1220=7（人）得出答案。这道题旨在训练学生逆向运用集合模型的能力，将计算的重心从“求总数”转向“求重叠数”，进一步强化对总数与各部分关系的理解。（四）全课总结，拓展延伸——回味“集合”的魅力1.回顾梳理：同学们，今天这节课我们研究了什么问题？我们是怎样研究的？你有哪些收获？（引导学生从知识、方法、情感三方面总结。知识上：认识了集合和维恩图；方法上：学会了画图分析重叠问题，学会了用总数减重叠数；情感上：体验了合作的快乐，感觉自己像个数学家。）2.拓展延伸：其实，集合图在我们的生活中应用非常广泛。比如，在计算一个班级订阅两种报纸的人数，或者统计喜欢吃两种水果的人数时，都能用到它。下课以后，请同学们找一找生活中哪里有“集合”的影子，把它画下来，写成一篇有趣的数学日记。六、板书设计（结构化呈现）数学广角——集合（维恩图）参加跳绳的有9人参加踢毽的有8人（板书区域：贴姓名卡片，并画出交叉的两个圈，形成完整的维恩图）╭───────╮╭───────╮│只跳绳的│╱│只踢毽的││（6人）│╱│（5人