【核心素养】小学数学五年级上册“除数是整数的小数除法”知识清单

【核心素养】小学数学五年级上册“除数是整数的小数除法”知识清单一、知识图谱与核心素养定位（一）单元知识网络定位本知识点“除数是整数的小数除法”隶属于“数与代数”领域，是整数除法运算的延伸，亦是小数除法体系的基础与核心。它上承整数除法的意义和计算法则，下启除数是小数的除法以及小数四则混合运算，在整个小学数学计算教学中起到关键的“承上启下”作用。掌握本知识点，是学生构建完整、连贯的十进制运算体系的重要一环。（二）核心素养渗透解析【核心素养：数感、运算能力、推理意识】本课时的学习不仅是技能的习得，更是数学思维的生长。1.数感的培养：学生在将余下的1转化为10个0.1继续除的过程中，深刻理解小数计数单位的细分与重组，体会到数的“细分”本质，从而对小数的实际大小和构成建立更丰富的直观感受。2.运算能力的提升：运算能力并非简单的“会算”，而是指能够根据法则和运算律正确、灵活地进行计算的能力。通过理解算理（为什么这样算）来支撑算法（怎样算），实现算理与算法的融合，最终达到计算正确、迅速、有据，这便是运算能力的核心体现。3.推理意识的萌发：学生运用已有的整数除法知识，通过类比、迁移，自主探索小数除法的计算方法，运用数的组成和单位换算来解释计算过程的合理性，这是一种初步的演绎推理和归纳推理的过程，是数学思考纵深发展的表现。二、核心概念与原理精讲（一）小数除法的意义【基础】小数除法的意义与整数除法的意义相同，同样是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。例如：22.4÷4，既可以理解为把22.4平均分成4份，求每份是多少（平均分）；也可以理解为已知一个数的4倍是22.4，求这个数是多少（包含除或求原数）。（二）算理与算法的深度剖析（以例1：王鹏计划4周跑22.4km，他平均每周应跑多少千米？为例）1.核心难点：除到被除数的末尾还有余数怎么办？【关键原理】当除到被除数的最后一位（个位）时，发现还有余数（如22÷4，商5余2），此时不能简单地认为计算结束。余数“2”表示2个一，需要继续除下去。2.关键转化：利用小数的基本性质和十进制计数法。被除数22.4是一个小数，其末尾（十分位）还有数字。我们可以将余下的“2个一”看作“20个十分之一”（即20个0.1），并与被除数原有的“4个十分之一”（即0.4中的4）合并，组成“24个十分之一”（即24个0.1），再继续除。这个过程揭示了小数除法最核心的算理：细分计数单位。3.商的小数点定位法则：【高频考点】商的小数点必须与被除数的小数点对齐。原因剖析：这是由十进制的位值原则决定的。当我们把余数2转化成20个0.1时，这个“0.1”就是十分位上的计数单位。我们接下来求的是“24个0.1”平均分成4份，每份是“6个0.1”，即0.6。所以，在个位5的后面点上小数点，再写6，就保证了“6”在十分位上，数值大小为5.6。如果小数点不对齐，数值的意义就会完全改变。（三）计算法则的逐步建构【非常重要】除数是整数的小数除法，可以按照以下步骤进行：1.按照整数除法的法则去除：先看被除数的整数部分够不够除。22÷4，商5，余2。2.商的小数点要与被除数的小数点对齐：在写出商的个位“5”之后，立即点上小数点。这是防止后续数位错乱的关键一步。3.继续除：个位除完后有余数，就在余数后面添“0”继续除。（这里的添“0”实质上是将低一级的计数单位细分，如把1变成10个0.1），然后落下被除数十分位上的数（如果有的话），合并后一起除。4.除到被除数的哪一位，商就写在那一位的上面。三、基本方法技能与规范步骤（一）规范书写格式【基础】竖式计算是小学生必须掌握的规范技能。书写要求：1.数位对齐：被除数、除数、商的位置要摆放整齐，横线用尺子画直。2.过程清晰：每一步的乘积和余数都要清晰地写出来。3.小数点醒目：商的小数点要圆润清晰，与被除数的小数点严格对齐。（二）不同类型题目的解题策略1.整数部分够除的情况（如22.4÷4）：直接按照整数除法计算，商5写在个位，对齐小数点，继续除十分位。2.整数部分不够除的情况（如1.8÷12）：【难点】【易错点】策略：被除数的整数部分（1）比除数（12）小，商0占位，点上小数点后，再看18个十分之一除以12。关键：商的个位必须写“0”占位，否则商就会变成一位小数甚至整数，数值完全错误。3.除到被除数的末尾仍有余数的情况（如15.6÷16）：【难点】策略：计算15.6÷16，整数部分15不够除，商0占位并点小数点。156个十分之一除以16，商9，余12个十分之一。此时除尽了吗？没有。需要在余数12后面添0，变成120个百分之一（即120个0.01），继续除。商7写在百分位。核心：根据题目需要或小数的基本性质，可以在被除数的末尾添“0”继续除。因为小数末尾添0，小数的大小不变。4.商中间有0的情况（如4.32÷6）：【易错点】策略：个位4不够除，商0占位并点小数点。然后看43个十分之一除以6，商7，余1个十分之一。把百分位上的2落下来，变成12个百分之一，继续除，商2。核心：哪一位不够商1，就在那一位上用0占位。（三）验算方法【重要】小数除法运算的验算方法与整数除法完全相同，是检验计算正确性的重要手段。公式：商×除数=被除数如果计算结果有余数，则公式为：商×除数+余数=被除数（注意，这里的余数必须与原来被除数的数位一致，或是经过验算后还原）。四、典型题例与考点透析（一）基础计算类【高频考点】【题型】列竖式计算。【示例1】43.2÷6【示例2】52.5÷15【示例3】8.4÷12【考查方式】直接给出算式，要求学生规范书写竖式并计算。【解题要点】严格遵循算法步骤：整数部分除→点小数点→继续除。注意检查商的小数点是否与被除数对齐，商中间或末尾的0是否遗漏或多余。【易错警示】在示例3（8.4÷12）中，整数部分8比12小，个位必须商0占位，即商为0.7，而不是7。（二）改错辨析题【热点】【题型】下面的计算对吗？如果不对，错在哪里？请改正。【示例】出示一个错误的竖式，例如：22.4÷4，学生错写成商为5.6但小数点未对齐，或商中间漏0的式子。【考查方式】考查学生对算理和算法的深度理解，以及对常见错误的识别能力。【解题要点】1.检查商的小数点位置：是否与被除数的小数点对齐？2.检查每一步的余数：是否小于除数？余数的计数单位是否正确？3.检查商的完整性：每一位是否都有对应的商？不够除时是否用0占位？（三）解决问题（应用题）【必考点】【题型】结合实际情境，考查小数除法的应用。【示例1】“平均分”问题：5辆相同的货车一次共运货17.5吨，平均每辆货车一次运货多少吨？【示例2】“单价”问题：妈妈用50元买了8千克苹果，平均每千克苹果多少元？【示例3】“速度”问题：一只蝴蝶0.5小时飞行9.3千米，这只蝴蝶平均每小时飞行多少千米？（★此题为后续学习铺垫，可先引导学生理解，路程÷时间=速度，尽管除数是小数，但可通过单位换算转化为整数，引出后续学习动机）【考查方式】题干给出生活情境，要求学生提取数学信息，列式并计算。【解题步骤】1.审题：弄清题意，找到数量关系（总价÷数量=单价，总量÷份数=每份数等）。2.列式：根据数量关系列出正确的除法算式。3.计算：用竖式正确计算出结果。4.作答：写上单位，写出答句。（四）单位换算与填空【基础】【题型】在括号里填上合适的数。【示例】根据56÷4=14，直接写出下面算式的得数。5.6÷4=（）0.56÷4=（）【考查方式】利用商不变的性质或直接推理，考查学生对小数点的敏感度。【解题要点】观察被除数与已知算式被除数的倍数关系（缩小到原来的1/10、1/100等），商也发生相应的变化，但要注意，这里除数不变，被除数缩小，商也缩小相同的倍数。或者直接运用小数除法意义：5.6表示56个0.1，除以4得14个0.1，即1.4。（五）比较大小【中档题】【题型】在圆圈里填上“＞”“＜”或“＝”。【示例】4.8÷6○112.6÷14○17.2÷9○0.8【考查方式】不通过精确计算，而是通过估算来比较大小。【解题策略】1.与1比较：当被除数大于除数时，商大于1；被除数小于除数时，商小于1。2.与某个特定数比较：可以先估算出商的取值范围，再进行比较。五、分层作业与思维拓展（一）基础巩固层（面向全体，夯实双基）【作业设计】1.计算练习：完成6道竖式计算题，涵盖整数部分够除、不够除、商中间有0、末尾需补0等不同类型。2.基本应用：2道简单的“平均分”或“单价”实际问题，如“李老师用52.5元买了5本《数学故事》，每本多少钱？”【目标】确保所有学生掌握基本算法，能正确、熟练地进行计算。（二）能力提升层（面向中等以上，深化理解）【作业设计】1.改错题：提供23个错误的竖式计算过程，让学生找出错误并分析原因（如“为什么商的小数点不能和因数的小数点对齐？”），并用文字简述理由。2.变式练习：如“已知两个数的积是24.6，其中一个因数是12，求另一个因数是多少？”要求学生先列出数量关系，再计算。3.单位换算结合计算：如“3.6米=（）分米，如果把一根3.6米长的绳子平均剪成8段，每段长多少分米？合多少米？”【目标】促进学生对算理的内化，提升分析问题和简单推理的能力。（三）思维拓展层（面向学有余力，激发潜能）【作业设计】1.开放性问题：“在算式□.□÷6中，如果商的最高位在个位，被除数可能是多少？如果商的最高位在十分位呢？你能各写出三个吗？”2.规律探究：不计算，直接写出下列各式的商，并说明理由。4.4÷4=1.15.55÷5=1.116.666÷6=？你发现了什么规律？你能根据这个规律再写出两个这样的算式吗？3.跨学科链接（科学）：地球绕太阳公转一周约365.25天，是几年？（提示：1年按365天计算，剩余的0.25天会产生什么现象？引出“闰年”的数学原理。）【目标】培养学生数感、推理意识和创新思维，感受数学的内在美与跨学科魅力。六、易错点诊断与教学建议（一）首要易错点：商的小数点遗忘或点错位置。【★★★★★】【诊断】学生受整数除法定势影响，计算完整个除法后才想起点小数点，或者点在了乘积的后面。【对策】强化“边除边点”的意识。在竖式教学中，要求学生算出商的个位后，立刻点与被除数对齐的小数点，再进行后续计算。（二）次要易错点：除到哪一位不够商1，没有用0占位。【★★★★☆】【诊断】例如在计算1.26÷6时，个位1不够除，部分学生会直接看成12除以6，导致商变成2.1，完全错误。【对策】结合数的组成讲解。1.26的整数部分是1个一，1个一除以6，不够商1个一，所以个位必须写0占位，表示0个一。然后才看12个十分之一。（三）次要易错点：余数末尾添0理解不深，机械记忆。【★★★☆☆】【诊断】学生知道余数后面要添0，但不知道为什么添0，导致在遇到被除数原有小数部分已经除完但还有余数时，不知道可以继续添0，或者乱添0。【对策】通过直观模型（如米尺、人民币）演示。例如，将22.4米平均分成4份，剩下2米，可以把2米看成200厘米（即200个0.01米），继续分，让学生看到数是可以不断细分的，从而理解添0的算理。七、复习与备考策略（一）回归算理，以理驭法复习时不应是机械的重复计算，而是要引导学生再次回顾“为什么要这样算”。可以设计一些说理题，如“请用画图或文字的方式，向同桌解释为什么5.6÷7=0.