一元二次方程的根与系数的关系教学课件2026-2027学年人教版九年级数学上册

25.2降次——解一元二次方程25.2.4一元二次方程的根与系数的关系第二十五章一元二次方程R·九年级数学上册学习目标1.探索一元二次方程的根与系数的关系.2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题．复习回顾1.一元二次方程的求根公式是什么？

2.如何用判别式b2–4ac来判断一元二次方程根的情况？对一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0)当b2–4ac>0时，方程有两个不等的实数根；当b2–4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2–4ac<0时，方程无实数根.方程的两根x1和x2与系数a，b，c还有其他关系吗？探索新知

m+nm–n发现：相加可以消去“n”，相乘可以去掉“n”中的根号.

你还有其他方法得出上述关系吗？如果一元二次方程ax2+bx+c=0

的左边可以分解因式为a(x–x1)(x–x2)，那么方程ax2+bx+c=0的两个根为x1和x2.反过来，如果一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1和x2，那么ax2+bx+c=a(x–x1)(x–x2)，即ax2+bx+c=ax2–a(x1+x2)x+ax1x2.由此可得–a(x1+x2)=b，ax1x2=c.

知识要点一元二次方程的根与系数的关系若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，

注意事项（使用前提）方程先化为一般式，确定a，b，c.a

≠0b2–4ac

≥0例5根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积：（1）x2–6x–15

=0；（2）3x2+7x–9

=0；（3）5x–1

=4x2.解：（1）x1+x2=–(–6)=6，x1x2=–15.

牛刀小试一元二次方程abcx1+x2x1x2x2+7x+6=0176–763x2+2=1–5x351–

x(x–1)=3x+71–4–74–77x2–5=x+87–1–13

–

与一元二次方程有关的代数式的常见变形：x12+x22(x1

–x2)2

｜x1–x2｜x1x22+x12x2=(x1+x2)2–2x1x2=(x1+x2)2–4x1x2

=x1x2(x1+x2)牛刀小试

2.设x1，x2

是方程2x2+4x–3=0的两个根，则：（1）x1x22+x12x2

=_______；（2）(x1

–x2)2=_______.310随堂练习

2.已知方程5x2+kx–6=0的一根是2，则另一根是_____，k=_____.–2–1

–7【选自教材第16页练习】（1）x2–3x=15；（2）3x2+2=1–4x；3.不解方程，求下列方程两个根x1，x2

的和与积：解：（1）方程化为

x2–3x–15=0，所以x1+x2=–(–3)=3，x1x2=–15.

（3）5x2–1=4x2–x；（4）2x2–x+2=3x+1.解：（3）方程化为

x2+x–1=0，所以x1+x2=–1，x1x2=–1.

解：依题意有x1+x2=–2，x1x2=–100.（1）x12+x22=(x1+x2)2–2x1x2=(–2)2–2×(–100)=204.

解：依题意有x1+x2=–2，x1x2=–100.（3）(x1–3)(x2–3)=x1x2–3(x1+x2)+9=–100–3×(–2)+9=–85.

5.已知关于x

的方程x2–(2m+3)x+m2=0的两根之和等于两根之积，求m的值.解：设方程x2–(2m+3)x+m2=0的两根为x1，x2.所以x1+x2=2m+3，x1x2=m2.根据题意得m2=2m+3，解得m1=3，m2=–1.当m=3时，原方程为x2–9x+9=0，b2–4ac=45>0.方程有实数根.当m=–1时，原方程为x2–x+1=0，b2–4ac=–3<0.方程无实数根，