人教A版高中数学必修4第三章《三角恒等变换》检测题

人教A版数学必修4第三章三角恒等变换检测题

一、选择题

35

1.在AA8C中，sinA=-,cosB=—,则cosC=（）

513

1656一16

A.3或生B.——或----C.-----------

6565656565

2.设4=sin14°+cosl40,Z?=sinl6°+cos16°,—,则的大小关系是

2

()

A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.b<a<c

3.设函数/（x）=2cos2.T+JGsin2x+a（〃为常实数）在区间04上的最小值为

-4,则。的值等于（）

A.4B.-6C.-3D.-4

4.己知/（x）=sin<wx-cos3x（o>；,xeR）,若/（x）的任意一条对称轴与x轴的交点横

坐标都不属于区间（2万,3笈），则。的取值范围是（）

311]「1119c3口解口

A.B.8'12」心口D.

fl3]917

匕奉3r1五

5.函数y=2cos工+.-1是（）

A.最小正周期为期的奇雀数B.最小正周期为乃的偶函数

C.最小正周期为土的奇函数D.最小正周期为£的偶函数

22

6.己知向量4=(cosa,1)出=(l,sina),若》石=—,则sin2a=)

2sinx2sinx

7.在R上定义运算:"=ad-bc,若f（x）=XG[0,TI],则

>/3sinxcosx

的递增区间为（）

2兀712兀7K一兀7兀

A.0工B.C.06,D.—,—

%，6,T丁1212

8.下列对于函数/G）=2+2COS2X,x«0,3〃）的判断下氐碰的是（）。

A.对于任意工«0,3万），都有/（%）工/（力＜/（苍），则|西一司的最小值为］；

B.存在OwR,使得函数/（X+。）为偶函数;

C.存在为£（0,3"），使得/（%）=4；

D.函数/（X）在区间内单调递增；

9.函数/（力=5百工+A/与irucosx的图像的一条对称轴为（）

汽071八5冗r1x

A.x=—B.x=-C.x=—D.x=—

1261212

1（）.函数3=51"*+1）+351113-）的一条对称轴方程为*=；,贝i」a=（）

A.1B.A/5C.2D.3

I232

11.设。，beRfa+2h=6,则a+Z?的最小值是（）

A.-2>/2B.C.-3D.--

32

12.将函数f（x）=—sinZvsin—+cos2xcos———sin（2+工）的图象上各点的横坐标缩短到

233223

IJi

原来的5,纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，则函数g。）在［0,彳］上的最大值和最

小值分别为（）

A11-11

22442442

二、填空题

3

13.若cos2a=5,则siMa+cosAa的值是.

14.在平面直角坐标系中：角a与角夕均以3为始边，它们的终边关于x轴对称，若

cosa=*,则cos（a-/7）=

15.已知sing+a）=；

则cos（7t+2a）=

16.已知01（01+0）=3,1311（€1-0）=5,贝ljtan（2a）的值为

三、解答题

17.已知A、B、C是“8。的三个内角，向量机=(—1,6),〃=(cosA,sinA),且机〃=

1.

⑴求角4;

l+sin2B

(2)若-----------二—3,求tanC.

cos-8—sin

18.已知函数/(x)=cosx(V3siru+cosxj,xeR.

(1)求函数/(x)的最大值；

(2)右f—j=—,ewR,求/[e+石)的值.

19.在AABC中，三个内角分别为4B、C,已知sin〔4+?)=2cos4.

(1)求角4的值;

f7T।/4

(2)若B£0,—,且cos(A-B)=一,求sinH.

、3J5

20.已知函数/(x)=sinx?x-J~2x.

(1)求/(x)的最小正周期和单调递增区间；

(2)将函数/(x)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数

g(x)的图象，若方程网1)+9产=0在］£［0,句上有解，求实数加的取值范围.

21.已知向量2=(sinx』)，b=(cosx,2),xeR,函数=〃•石.

(1)当工』一三,三］时，求白+目的最大值与最小值；

123J1

(2)设ael—,求lan2a+-\.

22.有一块半径为R(R的正常数)的半圆形空地，开发商计划征地建一个矩形的游泳池

ABCO和其附属设施，附属设施占地形状是等腰ACOE,其中。为圆心，在圆的直

径上，CD七在半圆周上，如图.

(1)设N3OC=。，征地面积为/(。)，求/(。)的表达式，并写出定义域：

(2)当。满足g(6)=/(e)+R2sin。取得最大值时，开发效果最佳，求出开发效果最佳

的角0的值，

求出g(。)的最大值.

B

参考答案

I.D

512(7T34

【解析】•「cosBn—，:.sEB=—,BG—，由sinA=—可得cosA=±-.若A为钝

1313(42J55

12、/I

角，则学，乃J，此忖A+乃，不合题意，所以cosA=g,cosC=-cos(A+8)

=sinAsin5一cosAcosB=—，故选D.

65

2.B

［解析］«=sin14°+cos140=0sin(14。+45°)=0s%59。.

b=sin16°+cosl6°=V2sin(16°+45°)=>/2sin61°.

c==V2x—=\/2JZ/760O.

22

因为s/%59。<3加6()。<&sin61。.所以a<c<〃.故选B.

3.D

【解析】

/(x)=2cos,+5/3sin2x+Q=1+COS2尤+\/3sin2x+a=2sinI2x+-^+1+。，

717乃当2什巴二卫时,

x(=0,—,2什3一,--

26666

2x(一~-+1+。=-4,

f(x).故

J\/minI2)

4.C

乃TV

【解析】因为/(x)=\^2sincox---,-所以由/(x)=V2sincox---=-±&可得

44J

eZ

cox———k/v+—,其对称轴方程x——|krr+Yj(^)，由题设

42

12、1f34,1

k九+芋K2乃(A$Z)且一女欠十>3^(keZ),即-42(旌Z)且

"I4J

1\(k3k1

-k-v->3(keZ),也即<y>-^+|(^GZ)且+3(左wZ)，解之得

C0142854”

371「711

coe,应选答案C。

5.A

【解析】因为)，=2cos2(x+5卜I=cos(2x+]J=-Sin2x,所以该函数为奇函数，且

最小正周期为—=71;故选A.

2

6.A

【解析】由题意，得白石=cosa+sina='，两边平方，得l+2sinacosa=」-,即

525

?4

sin2cr=----；故选A.

25

7.C

【解析】/(x)=2sinxcoScV-2A/3sin2x=sin2x-2V3---C°s2a=

2—sin2.r+^^

cos2x->/3=2sin2x+-—百，令2&万一至《2x+&42后7+工

22)I3J232

求得A"一37r把二7i，可得函数的增区间为^-―,^+—7t,AeZ,再结合

1212L1212J

XG[O,^],可得函数的增区间为°，专]，[卷，乃，故选C.

8.D

【解析】/(X)=cos2x+3,A中可知1(%)=/(力二j(w)=/(%)max，所以IX1-X2I最

小值为半个周期四，A对。原函数为偶函数，只需平移周期的整数倍还是偶函数，B对。

2

TTSir5乃

f(0)=4>C对。当一,—»2xG71、，里面有增有减，所以D错。选D.

_24J2_

9.C

【解析】因为〃x)=1-8S2X+且sin2x=sis(2x—+4,所以对称轴方程满足

22I3J2

2x--=k^+-^>x=—+—,keZ,由题设可取女=0得x=2,应选答案C,

3221212

I0.B

［解析］f(x)的对称轴是x=i'哈)=±M+a?*--cosj+acos*=±化简得a=g

U.C

c,a=J6cos6

【解析】因为，beR,4+必2=6,故可设｛一

b=y/3sm0

则：。+/?=辰059+瓜ing=3sin(夕+a),再根据三角函数最值的求法可直接得到〃+/?

的最小值是-3.所以C选项是正确的.

12.C

【解析】

=-x—sin2x+-cos2x--sin—=—sin2A+-cos2x--=—sin2x+-xl^^

222264244224

(,/.^(x)=^-sinf4x+^,冗7174

=-sin2x+-,/XG0。,4-Xd--€，当

216,'216)L4J6[66.

77ITT\

x=—时,g(x)取到最大值一;当x=一时,g(x)取到最大值—;故选C.

14,

17

13.25

[解析],cos2a=2cos2a-l=.%cos2a=sin2a=l-cos2a=则

•4412421717

sina+cosa=Z(5)+(5)=/，故答案为西.利用二倍角公式可得cos2a和

,再平方可得答案.

9

【解析】由题意有cos£=cosa,sin£=-sina,所以

cos(a-/?)=cosacos/?+sinasin〃=cos-cr-sin-a=2cos-a—1=——I=——

99

7

15.9

【解析】因为十6=:所以cosa=C0S(H+2a)=

A127

-cos2a=-(2cosa-1)="[2xq)-1]=-

4

16/7

tan(a+P)+tan(a-p)3+544

【解析】因为tan2a=tan[(a+伊+3一朗=-3n6)tan(a-B)==k=F所以应填答案;。

7T8+56

17.(D-；(2)~TT

解析：

mn=1,

乃，乃5不

•——<A-------<—

666

71

—.；・A=—.

63

,.1+2sinBcosB.

(2)由n题KA知一--------=-3

cos2sB-sin2B

(cosB+sinB)2

=一3

(cosB+sinB)(cosB-sinB)

cosB+sinB

---------------=-3

cosB-sinfi

,1+tanB..八-

••-------------=-3,••tan6=2.

1-tanB

tanC=tan[n—(A+B)]

tanA+tanB8+55/3

=­tan(A+4)=一

1-tanAlan^11

137

18・(D”力2=1+-=-;(2)

228

解析：(1)

l+cos2x

f(x)=cosx(V3sinx+cosxj=>/3sinxcosx+cos2x=—sin2x+

2F

.c711

=sin2xd—+

I6)2

1。

.,.当x=1<兀+巴(k£Z)时，f(x)=1+—=—

6'/'/max22

(0)3•(八兀3(7n1

(2)・・・f..sinG4—+L即sin6+-

<2;46J246

兀=sin20+jr

fsi.n(o2n8H.--5--K?H]l-2sin20+-

riJI6l6

(1、7

=I-2x-

8

19.

।

解析：(1)因为sinA+工=2cosA,得——sinA+—cosA=2cosA,即

6)22

sinA=>/3cosA,因为A£(0,7r),且cosAwO,所以LanA=JJ,所以A=(.

(2)因为，所以=,因为

3

sin2(A-B)+cos2(A-fi)=l,所以sin(A-B)=g,所以

smB=sin(A-(A-8))=sin4cos(A-3)-cosAsin(A-8)=，,?

20.(1)T=兀J曾区间为k7r--,k7v+—(左£Z);(2)[-

1212

解析：(1)/(x)=sirev?3ceJ2x

=；sin2x——^-(1+cos2.r)

6个G

=-sin2x——cos2x------

222

.c716

=sin2x----

32

因此/")的最小正周期为T=3=乃，

由2%万一至《2工一军工2太4+工，keZ,

232

解得/(x)的单调递增区间为

,71.5万

K7T------,K7T+-----,kwZ.

1212

(2)由题意得g(x)=sinx-yl—

n:

则方程g(x)+失竺=0可化简为

乙

.冗且+且

sinx----

I3T-：2

.知

=sinx----

I3J芳。,

%/TT,2乃

・•xG[0,乃],则一—<x----<——，

333

则T

<sin|x--<1,

I3

则一旦一%.

22

得-2Vm<>/3，

故实数，〃的取值范围为

21.(I)\a+b\.=,|“+吊；()

11mm2।Imax=VTi27.

解析：(1),.,a=(sinx,l),b=(COSJ;,2)，:.a+b=(sinx-+cosx,3)，

7t兀

二.卜+6=^(siiu+cosx)"+9=V10+2siiucosx=\/10+sin2x,当xw时，