湖南省常德市澧县2023-2024学年七年级下学期期末数学试题（解析版）

湖南省常德市澧县2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

一、选择题（本小题共10个小题，每小题4分，共40分）

1.下列说法不正确的是（）

A.买一张电影票，座位号为奇数是不确定事件

B.连续抛5次硬币，至少有一次国徽面朝上

C.从一个装有2个红球，2个白球的密闭盒子里任取一个球，取出的球的颜色是红球或白球是等可能事

件

D.掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是2的倍数的可能性大于掷出的点数是3的倍数的可能性

【答案】B

【解析】【解答】解：买一张电影票，座位号为奇数是不确定事件，正确，故A不符合题意；

连续抛5次硬币，至少有一次国徽面朝上，是可能发生也可能不发生的，错误，故B符合题意；

从一个装有2个红球，2个白球的密羽盒子里任取一个球，取出的球的颜色是红球或白球是等可能事件，正确，

故C不符合题意；

掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是2的倍数的可能有2,4,6三种结果，掷出的点数是3的倍数的可能性有

3,6两种结果，故掷出的点数是2的倍数的可能性大于掷出的点数是3的倍数的可能性，正确，故D不符合

题意；

故答案为：B.

【分析】（1）根据不确定事件的概念求解；

（2）根据抛1次硬币，出现正反面的机会均等求解；

（3）根据摸到每个球的机会相同求解；

（4）分别求得掷出点数是2的倍数与3的倍数的可能性大小，比较后得出结论.

2.若则下列不等式中成立的是（）

A.a-5>/?-5B.C.Q+5<8+5D.-a>-b

【答案】A

【解析】【解答】解：a>b,・,.Q—5>b-5,a+5vb+5,故A符合题意，C不符合题意；

Va>b,-a<-bf故B,D不符合题意.

故答案为：A.

【分析】根据不等式的性质一即可判断A和C,根据不等式的性质二可判断B,根据不等式的性质三即可判

断D

3.某商场为吸引顾客设计了如图所示的自由转盘，当指针指向阴影部分时，该顾客可获奖品一份，那么

)

ABC

-I-I-ID-To

【答案】D

【解析】【解答】解：•・•阴影部分圆心角为36。，

・••该顾客获奖的概率为：盖=白，

故答案为：D.

【分析】根据概率公式，求出阴影部分的圆心角与整个圆的圆周角的比值即可.

(—4%—8>—x+1

4.不等式组&4工+5的解集在数轴上表示正确的是()

【答案】A

—4x—8>—x+1(T)

【解析】【解答】解：％+5…

3%工工②

解不等式①得:%<-3,

解不等式②得：x<l,

在数轴上表示不等式的解集如图，

^=1----1----1----1----1

-3-2-101

故答案为：A.

【分析】先分别解两个不等式，再在数轴上表示不等式的解集，即可求得.

5.如图，直线“I771,等边△ABC的两个顶点A,B分别在直线/和771上，若乙C4D=27。，则乙CBE的度数是

DA

B.33°C.63°D.73°

【答案】B

【解析】【解答】解：如图所示，过点C作CFIIE,

：.LACB=60°,

•・,直线，llm,乙乙40=27°,

：.AACF=ACAD=27°,

:.乙FCB=Z,ACB-/-ACF=60°-27°=33°,

•・•直线1IIm,CF||I,

：.CF||m,

：.Z.CBE=乙FCB=33°,

故答案为：B.

【分析】先根据△ABC是等边三角形求得乙4cB=60。，再根据平行线的性质求得乙记/=乙0。=27。，从

而可得乙尸CB=33。，然后根据直线！llm,CF||Z,可得CT||机，再根据两直线平行，内错角用等可得乙CBE

的度数.

6.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共

车，两车空；二人共车，九人步.问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空

余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为

口2

13--y+

X1

Ac.十9=y

12

【解析】【解答】解：设有x人，y辆车,

G=y-2

依题意得：：_9，

（2=y

故答案为：B.

【分析】根据若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，列二元一次方程组.

7.如图所示，一次函数丫=心:+/）（k,b是常数，k手0）与正比例函数y=mx（m是常数，m工0）的图

象相交于点M（l,2）,下列判断错误的是（）

A.关于x的方程mx=kx+b的解是x=1

B.关于x的不等式mx<kx+8的解集是％>1

C.当工V0时，函数y=〃工+人的值比函数y=m工的值大

D.关于x,y的方程组匕一管：；的解是「二；

Iy—KX—u\y一乙

【答案】B

【解析】【解答】解：:一次函数丫=1％+/?（/：,匕是常数上去0）与正比例函数旷=?71%（小是常数，771/0）的图

象相交于点M（l,2）,

A..•.关于x的方程，mx=kx+匕的解是x=1,故A不符合题意；

B.关于T的不等式小》〈女工+力的解集是％<1,故B符合题意；

C.当％V0时，函数y=kx+b的值比函数y=mx的值大，故C不符合题意；

D.关于招y的方程组已二器二;的解是［J：；,故D不符合题意.

故答案为：B.

【分析】根据两个一次函数图象的交点的坐标即为一元一次方程的解，二元一次方程的解，即可判断A和

D；根据图象可得，当x>1时，y=mx在y=kx+b图象的上方，艮1为mx>kx+b,当xVI时，y=mx在

y=kx+b图象的下方，即为mxVkx+b,即可判断B和C.

8.如图，直线［过正方形的顶点8,点4C到直线，的距离分别是I和2,则正方形ABCD的面积是

（）

R

A.5B.4C.V5D.3

【答案】A

【解析】【解答】解：如图,

•・•四边形力BCD是正方形，

：.AB=BC.Z-ABE-VZ-CBF=90°,

又・・・4£48+4ABE=90°,

：.Z.EAB=乙CBF,

在△4E8与中，

AAEB=Z.CFB

Z-EAB=乙CBF,

AB=BC

：.LAEBBFC(AAS)

:・EB=FC=2,AE=BF=1,

\*AB2=AE2+EB2,

：.AB2=l2^-22=5,

.••正方开乡ABC。的面积^：M32=5.

故答案为：A.

【分析】先利用正方形的性质，根据AAS证明△WEB三△BFC,再利用全等三角形的性质，得出EB=FC

2,AE=BF=1,然后再根据勾股定理得出4”，即可得出正方形力BCD的面积.

9.某商场促销，小鱼将促销信息告诉了妈妈，假设某一商品的定价为x,并列出不等式为0.7X(2%-

100)<1000,那么小鱼告诉妈妈的信息是()

A.买两件等值的商品可减100元，再打三折，最后不到1000元

B.买两件等值的商品可打三折，再减100元，最后不到1000元

C.买两件等值的商品可减100元，再打七折，最后不到1000元

D.买两件等值的商品可打七折，再减100元，最后不到1000元

【答案】C

【解析】【解答】解：A、买两件等值的商品可减100元，再打三折，最后不到1000元

所列的方程为：0.3(2x-100)<1000,故A小符合题意；

B、买两件等值的商品可打三折，再减100元，最后不到1000元

所列的方程为:0.3x2x-1000000,故B不符合题意;

C、买两件等值的商品可减100元，再打七折，最后不到1000元

所列的方程为：0.7（2X-100）<1000,故C符合题意；

D、买两件等值的商品可打七折，再减100元，最后不到1000元

所列的方程为：0.7x2x-100<1000,故D不符合题意；

故答案为：C

【分析】利用打折后的售价<1000,分别列出各选项中的不等式，可得出判断。

10.如图，在△A8C中，以点A为圆心，月C的长为半径作弧，与BC交于点E,分别以点E和点C为圆心、

大于劣EC的长为半径作弧，两弧相交于点P,作射线”交8c于点D.若乙8=45。，ZC=2/.CAD,则乙84E

的度数为（）

A.15°B.25°C.30°D.35°

【答案】A

【解析】【解答】解：根据题意可得AP是EC的垂直平分线，即NADB=/ADC=90。，AE=AC,

VZB=45°,

.\ZBAD=45°,

•・•AE=AC,

・•・AP也是NCAE的角平分线，

♦:ZC=2ZCAD,

・•・3ZCAD=90°,即ZCAD=30°.

ZEAD=30°,

•"84?=45。-3。。=15°.

故答案为：A.

【分析】根据作图可知AP是EC的垂直平分线，可得AE=AC,ZADB=ZADC=90°,再根据/B=45。,

ZC=2ZCAD,等腰三角形的性质可得NCAD的度数，根据NBAEt/BAD-NEAD即可求得.

二、填空题（本小题共6个小题，每小题4分，共24分）

11.一个口袋中有红球、白球共20个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀，从中任意摸出一个球，

记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了400次球，发现180次摸到红球，则这个口袋中红

球的个数约为个.

【答案】9

【解析】【解答】解：•・,共摸了400次球,发现180次摸到红球，

・••摸到红球的概率约是嫖=”，

14U

・•・这个口袋中红球的个数约为20x/=9（个），

故答案为：9.

【分析】根据多次试验发生的频率稳定值来估计概率，再用总数乘以概率，即可求得红球的个数.

12.如图，直线allb,zl=63°,,8=45。，则42的度数为

【答案】108°

【解析】【解答】解：・・・allb,

・••乙1=乙DCB=63°,

・・・42=+乙DCB=450+63°=108°,

故答案为：108。.

【分析】根据两直线平行，同位角相等，得N1=NDCB=63。，再根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两

个内角的和得出N2=NB+/DCB,从而代值计算可得答案.

13.如图，在△48C中，AB=AC,4c=30。，过点4作4。148,交8c边于点。，若/1。=2,则BC的长

为

【答案】6

【解析】【解答】解：:AB=AC,LC=30°,

:.Z.B-Z-C—30°»

vAD1AB,

AABAD=90°,

AD=BD,

-AD=2,

:.BD=4,

•.*ZADB=60°,

・•・ZCAD=ZADB-ZC=60o-30o=30°,

:.CD=AD=2,

•••BC=8。+CD=4+2=6,

故答案为：6.

【分析】利用等角对等边的性质求得NB,再根据3（）度角所对的直角边等于斜边一半求得BD,根据三角形

的外角性质求得NCAD二NC,推出CD二AD,即可求得.

14.《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末，委地三尺.引索却行，去本八尺而索尽,

问索长几何？”译文：”令有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在

地面的部分尚有3尺（1尺=£小）.牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用

尽.问绳索长是多少？'‘设绳索长为X尺，则根据题意可列方程为.

【答案】（%—3）2+82=/

【解析】【解答】解：设绳索长为工尺，木柱高（X-3）尺,

根据题意得，（%-3）2+82=7,

故答案为：（%—3）2+82=/.

【分析】设绳索长为x尺，则木柱高（X-3）尺，根据勾股定理列出方程即可.

15.若关于x的不等式组Eg；有且应有两个整数解.，则。的取值范围为

【答案】-1WQV0

【解析】【解答】解：依题得：a<z<1有旦仅有两个整数解，

则整数解为0,1,

-1<a<0.

故答案为：-1<n<0.

【分析】先根据口诀“大小小大中间找”得出该不等式组的解集，再根据该不等式组仅有两个整数解为0、I,

可得字母a的取值范围.

16.如图所示，点次，&，……在》轴上，点点外,也,……在直线y=上.已知81。=8〃2,

》轴，必当生……，&&||则/的坐标为.

BiAi1IIA3B2II4A2B2IIA3B3......,0A1=1,

【答案】（32,16）

【解析】【解答】解：•:当。=BXA2

LB1OA2=

又•・•B/i1x轴，0Al=1

:.0A2-20At=2

A2^111/382,4]BiII4282

A%轴

z.BtA20=Z-B2A3O1B22J-

•*•Z.B^0A2~48243。

・△是等腰三角形，且。％X

••082A33=2OA2=22=4

同理，△。/心，△08/5，△。//是等腰三角形

:、X

0A4=20A3=24=8

0As=20A4=2x8=16

0A6=2OA5=2x16=32

.•・当％=32时，y=1x32=16

•••点星的坐标为（32,16）

故答案为：（32,16）.

【分析】由等边对等角得匕为。/2二28送2。，由等腰三角形的三线合一得。4=2。/产2,根据平行线的性质

同理可推出0/=204=4,……，OA6=2OAS=32,然后将x=32代入y=2如算出对应的函数值，即可

得到名坐标.

三、解答题（本大题共8个小题，共86分）

17.（1）解不等式：亨一1＞竽+2;

5%—2>3(%+1)

（2）解不等式组:

—1>8—x

【答案】解：（1）手_1＞孝+2

去分母得：2（%+5）—6>9无+12,

去括号得：2x+10-6>9x+12,

移项、合并同类项得：-7x>8

系数化为1得：x<-5;

(5x-2>3(x+1)①

(2)i三

(2^-1>8-x@

由①得:X>Y

由②得：%>6,

则不等式组的解集为x>6.

【解析】【分析】（1）利用去分母、去括号，移项，合并同类项，系数化为I解不等式求出解集即可；

（2）分别求出两个不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到''得到

公共部分解题.

18.解方程组：

⑵——丁=9

(7x-4y=-5

【答案】(1)解：俨+'=2日

U-3y=4@

①x3+②，得：16x=10,解得：x=

O

ffix=代入②，得：—3y=4；解得：y=—g；

5

%=Q

・•・方程组的解为：《8

3=飞

5x—6y=9①

(2)解:

7x-4y=一5②‘

①x2—②x3,得：—llx=33,解得：x=-3；

把％=-3,代入①，得：—15—6y=9,解得：y——4；

・••方程组的解为：后：二:

【解析】【分析】（1）利用加减消元法解二元一次方程组即可;

（2）利用加减消元法解二元一次方程组即可.

5x+y=2①

(1)解:

x-3y=4@

①x3+②，得：16x=10,解得：x=|；

559

得

把

X--4解得y-

883y8

・••方程组的解为：［”二百9；

（2）斛产-6y=9义

Jx—4y=-5（2）

①x2-②x3,得：一llx=33,解得：x=-3；

把％=-3,代入①，得：一15-6），=9,解得：y=-4；

・..方程组的解为：｛；；［：♦

19.在一个不透明的袋子中装有5个红球和10个黄球，这些球除颜色外都相同，将袋子中的球充分摇匀

后，随机摸出一球.

（1）求出摸出的球是黄球的概率：

（2）为了使摸出两种球的概率相同，再放进去9个同样的红球或黄球，那么这9个球中，红球和黄球的

数量分别应是多少？

【答案】（1）解：:袋子中装有5个红球和10个黄球，

・•・随机摸出一球是黄球的概率为品=全

JIXxzJ

（2）解:设红球有x个，则黄球为（9-幻个，

5+x_10+9-x

5+10+9-5+10+9'

解得，x=7,9-x=2,

答：这9个球中红球有7个，则黄球为2个.

【解析】【分析】（1）根据概率公式直接计算即可；

（2）设红球有x个，则黄球为（9-切个，根据摸出两种球的概率相同列出方程，解方程即可.

20.△ABC中，。尸垂直平分线段4B,交于点D,EF垂直平分线段BC,交BC于点E,。与EF的交点F恰好

在△/1BC的一边4C上.

（1）求证:尸是4c的中点;

（2）求证：EFIIAB.

【答案】（1）证明：连接8凡•・•/）/垂直平分线段48,

：.AF=BF.

•・・Eb近直平分线段3C,

：.BF=CF,

：.AF=CF,

・・・F是AC的中点;

(2)证明：VAF=BF,：.Z.A=LABF.

*：BF=CF,EF1BC,

J.LCFE=乙BFE.

.:乙CFB=乙CFE+乙BFE=z/1+/.ABF,

:•乙CFE=

：.EFWAB.

【解析】【分析】(1)连接BF，根捱线段垂直平分线的性质可得”=BF,BF=CF,即可得到AF="证明

结论；

(2)根据等边对等角得到/A=乙48”,然后根据三线合一得到NCFE=48FE,即可得到乙CFE=乙4,再根

据同为还哦相等，两直线平行证明结论.

(1)连接BF,

•・・如垂直平分线段48,

：.AF=BF.

〈EF垂直平分线段8C,

：.BF=CF,

：.AF=CF,

・•・尸是AC的中点;

(2)*：AF=BF,

，乙A=4ABF.

'：BF=CF,EFIBC,

:•乙CFE=乙BFE.

VZ.CF&=乙CFE+乙BFE=44+/.ABF,

:.ACFE=乙A,

：.EF\\AB.

21.某工作室制作工艺品并出存，当该工艺品的数量在60个以内时，该工作室制作的这种工艺品都能全部

售完.图中的线段48,OC分别表示该工作室每天的成本为（单位：元），收入为（单位：元）与销售量工

（单位；）个）之间的函数关系.求该工作室一天制作工艺品超过多少个时开始盈利？

【答案】设工作室每天的成本与销售量x之间的函数关系式为%=上逐+6.•该函数图象过点4（0,240）,

8(60,480)

解得｛F瑟

5=240

.\yi=4x4-240

设工作室每天的收入均与销售量x之间的函数关系式为力=k2X

•・•该函数图象过点C（60,720）

，60七=720

解得七=12

：.y2=12x

当乃二丫2时，■+120=12%

解得％=15

・•・由图可知该工作室一天制作工艺品超过15个时开始盈利.

【解析】【分析】利用待定系数法求出来年各个函数解析式，根据题意得到、］=为，即可得到关于x的方

程，求出x的值即可.

22.如图，是由边长为1个单位的正方形组成的小方格平面，线段48的两个端点在小方格的格点.上（小正方

形的顶点），请你在该方格平面内仅用直尺画出一条线段8C,使=且力垂足为点8,并证明作

图合理的原因.

【答案】如图，取格点C,连接BC,则线段BC即为所求.取格点M和N,

在AABM和△8CN中

(AM=BN

乙M=4N=90。，

(BM=CN

•••△ABM三△BCN(SAS),

：.AB=BC,=乙CBN,

•；+乙ABM=90°,

：.Z.CBN+^ABM=90°,

：.Z-ABC=90°,

：.AB-BC.

【解析】【分析】取格点C,连接3C,则线段BC即为所求.取格点M和N,然后根据SAS得至/IBM三4

BCN,然后根据全等三角形的性质证明结论即可.

23.近年来，电动自行车成为人们短距离出行的重要交通工具，但也存在较大安全隐患，骑行时合理佩戴头

盔可有效降低安全隐患.某商店购进甲种头盔30个，乙种头盔20个共花费2700元、已知3个甲种头盔的

总钱数与4个乙种头盔的总钱数相等.

（1）求甲、乙两种头盔的单价条是多少元？

（2）商店第一次进货很快售完，决定再次购进两种型号的头盔80个，且所购甲种头盔的数量不低于乙种

头盔数量的2倍，求商店第二次购进头盔最少花费多少钱？

【答案】（1）解：设甲种头盔的单价为x元，购买乙种头盔的单价为y元，

根据题思，曲3x=4y，

解得:脏命

答：甲种头盔的单价是60元，乙种头盔的单价是45元；

(2)辉：设购“i只甲种头盔，则购(。0一小)只乙种头盔，则?九22(80-771),

解得：m2等，

花费的钱数为：60m+45(80-m)=15m+3600,

m越大，费用越高，

.••取m=54时，花费最少，最少为：15x54+3600=4410,

答：商店第二次购进头盔最少花费4410元.

【解析】【分析】(1)设甲种头盔的单价为x元，购买乙种头盔的单价为y元，根据“甲种头盔30个，乙种

头盔20个共花费2700元、已知3个甲种头盔的总钱数与4个乙种头盔的总钱数相等”列方程组求解即可；

(2)设购m只甲种头盔，根据题意列出不等式求出m的取值范围，表示出花费的钱数，然后根据取值范围得

到最小值即可.

(1)解：设甲种头盔的单价为x元，购买乙种头盔的单价为y元，

根据题意，得产y丝片7。0,

解得:

答：甲种头盔的单价是60元，乙种头盔的单价是45元；

(2)解：设购m只甲种头盔，则购(80-m)只乙种头盔，

则m>2(80—m),

解得：mN挈，

花费的钱数为：60m+45(80—m)=15m+3600,

m越大，费用越高，

・•・取根=54时，花费最少，最少为：15x54+3600=4410,

答：商店第二次购进头盔最少花费441()元.

24.已知△ABC中，^BAC=90°,48=4C,点D为直线上的一动点(点。不与点8、C重合)，以为边

作△4DE,使4fME=90。，AD=AE,连接CE.

问题发现:

如图1,当点。在边BC上时，

(1)请写出80和CE之间的位置关系为,并猜想BC和CE、CO之间的数量关系：

尝试探究：

(2)如图2,当点。在边的延长线上且其他条件不变时.(I)中90和C?之间的位置关系、RC^CF.

CD之间的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，说明理由;

拓展延伸：

（3）如图3,当点。在边C3的延长线上且其他条件不变时，BC=7,DD=5,求线段E0的K.

［答案］(1)8。1CE,CE+CD=BC

（2）当点。在边8c的延长线上且其他条件不变时,（1）中80和CE之间的位置关系801CE仍然成立，8c和

CE、CD之间的数量关为：CE=8C+C0,理由如下:

•••乙BAC=乙DAE=90°,

•••Z.BAC+Z-DAC=Z.DAE+Z.DAC,

即484。=Z.CAE,

XvAB=AC,AD=AE,

••△A