2026年高考数学总复习 板块三 数列的递推关系

微专题19数列的递推关系

高考定位数列的递推关系是高考重点考查内容，作为两类特殊数列——等差数

列、等比数列，可直接根据它们的通项公式求解，但也有一些数列要通过构造转

化为等差数列或等比数列求解，体现了化归思想在数列中的应用.

【真题体验】

1.（2021•浙江卷）己知数列｛“〃｝满足0=1,%+[=,〃仁N*）,记数歹ij｛%｝的前〃

项和为S,,,贝1]()

3

A.fS|oo<3B.3<S](x)v4

99

C.4<S<TD.fS]oo<5

I00乙

答案A

解析因为伯=1,a„

1~\-y/~On

所以%>0,敢=；，

3

所以S[oo>a]+^2=2,

/1=1+7^=1।

所以

即有

即

2'

11

2'y[cbiJa.-i二2'

由累加法可得上＜1+专1=当

所以母磊,

〃+1

所以斯+1扃孑〃'

〃+1一r，口〃〃1〃42-2

即可露不干,

〃+3‘a\4

由累乘法可得第（〃+2）6（〃+「6（+-+）（当且仅当〃=1时取等号）,

所以目。。＜6（；-…+击—击）=6（；—贵）＜3,故选A.

2.（2019♦上海卷）已知数列｛即｝的前〃项和为工,且满足5〃+。〃=2,则Ss=.

答案非

===

解析n\时，S\~\~ci\2t/.4;|l.

时，由S〃+a〃=2得+。〃-1=2,

=

两式相减得citl~cin-\（n22）,

・♦・｛斯｝是以1为首项，;为公比的等比数列,

3.（2020•全国I卷）数列㈤｝满足。〃+2+（一厅即=3〃-1,前16项和为540,则

答案7

解析因为4〃+2+(—1)%“=3〃-1,

所以当〃为偶数时，。“+2+册=3〃-1,

所以。4+。2=5,。8+。6=17,。|2+。10=29,

。16+。14=41,

所以。2+。4+。6+恁+。1()+。12+。14+。16=92.

因为数列｛斯｝的前16项和为540,

所以+43+45+47+49+011+413+415=540—92=448.①

因为当〃为奇数时，为+2一诙=3〃-1,

可得4“一〃”_2=3(〃-2)—1,…，々3—41=3X1—1,

累加可得为一用=3八+3+…+(〃-2)(w—1)(3/1—5)

4

即知=(〃—1)j3〃―5)+外,

所以©+43+・・・+〃15=8〃|+10+8+40+96+176+280+408+560)=448,

即8c“=56,所以〃i=7.

4.(2022・北京卷)己知数列｛%｝的各项均为正数，其前〃项和S“满足为S”=9(〃=1,

2,…).给出下列四个结论：

①｛%｝的第2项小于3；②｛恁｝为等比数列;

③｛〃〃｝为递减数列；④｛。〃｝中存在小于焉的项，

其中所有正确结论的序号是.

答案①③④

解析由题意可知，。〃>0,

当〃=1时，吊=9,可得6=3；

9

当〃22时，由S〃=一,

an

9

可得&7=——，

an-\

两式作差可得斯=之9一——9，

999

所以---=---a,则---做=3,

a〃一1a„ns

整理可得质+3〃2—9=0.

因为«2>0,

所以解得〃2=吟二^<3,①正确；

假设数列m〃｝为等比数列，设其公比为夕,

则用=4/3，

即偿J=募,所以S=S5,

可得屏(1+夕)2=々汩+1+12),

解得夕=0,不合题意，

故数列｛斯｝不是等比数列，②错误；

当〃22时，an=-------=------------>0,

斯an-\anan-\

可得。〃〈。〃―1，

所以数列｛%｝为递减数列，③正确；

对于④，假设｛斯｝中每一项均大于或等于看，

当〃取值变大时，S〃也逐渐增大，

当心90000时，5„>900,又斯》击，

所以即看X900=9,与即6〃=9矛盾，故④正确.

【热点突破】

热点一形如斯+i=p4+/(〃)型

考向1M+i=pan+q(pW0,1,qWO)

例1在数列｛〃”｝中，3=5,即+1=3。〃-4,则数列｛〃〃｝的通项公式为

答案。〃=3"+2

解析法一(构造法)由为+i=3a〃-4,

设斯+]—2=3(。〃-2),

即a“+]=3%—2Af故2A=4,2=2,

则%+[-2=34—2),

又幻=5,所以｛为一2｝是以⑥-2=3为首项,

3为公比的等比数列，

所以a"一2=3",即%=3"+2.

法二(不动点法)令3x—4=x,解得不动点x=2,

由斯+]=3为一4,得斯+】-2=3(%—2)

所以数列｛斯一2｝是以田一2=3为首项，

3为公比的等比数列，所以%—2=3〃，

即%=3〃+2.

考向2an11=pan+qn4-c(p0,1,qWO)

例2已知数列｛斯｝满足斯+i=3a〃-4〃-5,可=5,求数列｛%｝的通项公式.

解由%+i=3a〃-4〃一5,

设〃〃+]+，〃+1）=3（。〃+力?）+机,

即知+i=3即+2力?-2+〃z,

产=—4,

故（—2+〃?=­5

所以an+1—2（〃+1）=3（。”一2«）—7.

令人〃=册一2〃，则上式为①+]=38〃-7.

法一（构造法）设几+|+%=3（儿+〃），

即可+|=3几+2+

7

故2k=—7,k=一3,

所以数列〃〃-9是首项为一；，公比为3的等比数列，则乩一白一；3一，bn=~

23十2，

।K

故a=---3,,-1+2n+7.

n2z

法二（不动点法）令3x—7=x,得x=g,

=狙一7得瓦r+|_g=3,,一（

由由+1

所以数列卜一?是首项为一;,公比为3的等比数列，则与一一;31，bn=

1.3/t-i-|-Z

23十2，

।7

故斯=一73"一|+2〃+:.

2z

n

考向3an+1=pan+q（rj0,1,q#0,1）

例3（2024・兰州质测）在数列｛〃“｝中，0=一1,即+|=2%+4-3〃-1则%=.

答案431-52-

解析法一原递推式可化为

。“+]+义，3〃=2（即+①3〃-】）.

比较系数得2=-4,

故为+]—4・3〃=2(即一43〃-1),

则数列｛斯-43-｝是首项为R一4・3「|=一5,

公比为2的等比数列，

所以。“一4・3〃7=—521,

即斯=431—5・2”7.

法二将用产2斯+4,3”一的两边同除以3〃+L得端=|•戈+*

令"弋,则小+|=|：+[,

24

设b〃+i+%=*/>〃+%),比较系数得％=一§,

乙4

bn+\~~7

则.三

b二

・・・[〃一方是以一g为首项，:为公比的等比数列，

••bn-=

则以=代(I/1>

，斯=3"也=4・3”-i—52"T.

规律方法形如。〃+|=.%+加)的数列通项公式的求法

(1)构造法:构造法的基本原理是在递推关系的两边加上相同的数或相同性质的量,

构造数列的每一项都加上相同的数或相同性质的量，使之成为等差数列或等比数

列.

(2)不动点法：①形如为+1=〃为+夕的数列求通项公式的步骤：@.由工=〃工+夕求出

数列｛斯｝的不动点，b.在递推公式为+|=必7〃+夕两端同时减去X,化简使其左、右

两侧结构一致，C.构造数列求通项.

②4〃+]=夕即+用?)可转化为bn+尸pbn+k的形式求解.

训练1(1)已知数列｛%｝中,。[=1,即+]=3即+2,则%=.

(2)已知数列｛%｝中，口=1,%+i=3%+33则%=.

答案(l)2X3«-,-l[2)力3〃-1

解析（1）因为斯+i=3%+2,

所以。〃+1+1=3（即+1）,

因为1+©=2,所以数列｛1+小｝是以2为首项，以3为公比的等比数列，

所以1+%=2X3〃T,所以为=2义3〃7—1.

（2）:为+1=3%+3”，・,•第一第=（，

・••数列畏，是等差数列，公差为:，

-7a\1.a_1.i〜1

又『不・・n]="z（〃_"『7

热点二形如an+]=pan-Vqan-\（a\=a,。2=8）型

例4已知在数列｛斯｝中，〃[=5,效=2,%=2%・]+3*2（心3）,求这个数列的

通项公式.

解法一（构造法）•・&=2斯_|+3斯_2，

•・4〃+。〃一1-3（%_1+〃“一2）,

又。]+怎=7,

・・・m“+a,i｝是首项为7,公比为3的等比数列，

则％+即1=7*3"-2,①

又为一3。“_]=一（册_]—3斯一2）,。2-3〃i=-13,

，｛斯-3%_]｝是首项为一13,公比为一1的等比教列,

则为一3味]=（-13）-（一1）〃-2,②

①X3+②得4斯=7义3〃-1+13・（-1）〃一1，

・・・玛=21+*-1尸.

法二（特征根法）数列“/力的特征方程为炉=以十3,

解得阳=-1,必=3.

令%="（一1尸+。2,3"，

_23

,改尸一CI+3C2=5,C]~4，

由「_1_o得7

3=5+9。2=2,7

C212'

故斯=一章-1)〃十卷3〃

=(，"T+*_1尸.

规律方法形如伯=〃?],。2=〃?2，%+2=〃〃〃+】+/〃(〃，夕是常数)的二阶递推数列

都可用特征根法求得通项品，其特征方程为》2="+夕，①

若①有二异根G,B，则可令4〃=C|G〃+c/〃(C],。2是待定常数);

若①有二重根G=S，则可令斯=(C]+〃C2)a〃(C|,。2是待定常数).

再利用。]=加”。2=机2,可求得C],。2,进而求得

训练2(1)在数列｛%｝中,刻=8,6/4=2,且满足%+2=2%+I—%(〃WN*),则数列

｛为｝的通项公式为.

(2)在数列｛。“｝中，4]=1,敢=3,。〃+2=3。”+1—2%,则.

答案⑴%=10—2〃(2)2"-1

解析(1)由题意知四+2—4〃+]=%+]—4〃，

所以｛斯｝为等差数列.

设公差为d,由题意得2=8+32,则4=-2,

得知=8-2(〃-1)=10—2〃.

(2)由题意知。“+2—a”+i-2(。〃+1—“〃)，

•。2—=2,

・・・｛斯一斯一力是首项为2,公比为2的等比数列，

斯一*=2〃7(心2),

当时，%=(%-%_])+(%_]—即_2)一---卜Q-。1)+由

1—2n

=2〃-1+2〃-2_|---^2+1=---=2n~1.

1—2

显然k=1时满足上式，，斯=2"-1.

Pa”型

热点三形如斯+1"+s

例5(1)已知数列I｛。〃｝中，伯=1,4〃+i=q；；，则斯=

(2)已知在数列｛%｝中,m=2,4〃+I=-9(〃£N)则。〃=

。〃十3

答案(1岛(2)2义3工1

解析(1)***ci\=―匚;，。1=1,

n+Cln\4

・・.斯20,・・.'='+］即J1=1

。〃+1Cln2a〃+iCln2

又4|=1,则'=1,

a\

1

是以1为首项，:为公差的等差数列.

:・==1+(〃_1)x；=g+g,

2

(2)法一(构造法)—=3—+l,

。〃+1Cln

1.1,-+l=h

。〃+12a\2

工(£+3｝是以1为首项'3为公比的等比数歹h

・」+!=3〃。・」=3〃-1一2,

2Cln2

.2

£Z/,-2X3«-,-r

法二(不动点法)由方程士=%,

人IJ

求出X[=0,%2=-2,

于是4〃+L0=(二-0=

斯+3斯+3'

a“+i+2=-二2+2=3。〃+6

。〃+3。”+3

a+i1a

两式相除得•nn

。〃+|+23。〃+2'

是首项为：，公比为;的等比数列,

故数列

2

故a〃+223”T'解得%=2・3〃r—「

规律方法求形如知+|=经之通项公式的方法:

ran-\-s

1L十二的形式，化归为

(1)当9=0时，可用构造法：两边同时取倒数转化为

b„+i=pbn+q型，求出6〃的表达式，再求an.

(2)当gWO时，可用不动点法:

①若只有一个动点Xo，则是等差数列;

②若有两个不动点修，必，则I》是等比数列.

训练3(1)已知数列｛斯｝的首项内=京则｛%｝的通项公式为

(2)(2024・武汉质检)在数列仞〃｝中，若内=1,即+1=了岂7，则%=—

十I

2”1

答案(1)%=2〃+[Q)2〃-1

解析(1)因为小+|=々、，

(2)取倒数得」一=工+2,

斯+i

即」-----=2(w>1),

Q“+1Cln

所以数列91是首项为1,公差为2的等差数列，=1+2(〃-1)=2〃-1,

所以为

2/1-r

热点四形如〃“+|=〃曲(//>0,即>0)型

例6在正项数列｛4｝中,5=1,*=2晶求数列｛斯｝的通项公式.

解取以2为底的对数，得到

log2斯+1=log2(2晶),log2%+1=log22+210g2斯,

log2%+1=1+210g2%,设儿=log2art,

则有0+1=1+2。,则8〃+i+1=2(b〃+1),

所以｛6+1｝是以仇+1=1为首项，2为公比的等比数列，

所以儿+1=2〃T,

2，，l

所以乩=2〃-1—1,log2册=2〃T—1,an=2~'-.

］□_怆2

lg斯+iH-——

规律方法若斯+i=p编(p>0,。〃>0),则构造------吉丁=q,最终求得通项.

lgan-\---彳

q一1

训练4已知数列为=方加一1+3斯一i+g,田=2,贝!Jlog23+l)=

答案3110g23-15

解析由0,=］成_|+3〃〃_|+；可得知+1=!(味］+1)2,

Vai=2>0,根据递推公式可得出〃2>0,的>0,…，

进而可知，对任意的〃EN*,«„>0,

在等式%+1=1(«„-1+1)2两边取对数,

令b„=k>g2(«〃+1)，则b；0,

可得Zj7,=2Z?/z_I+log21,

则b„+log2|=21+logij),

所以，数列上,+log2|，是等比数列，

339

=lo

且首项为b\+log2-=log2(tzi+1)+^2§22，公比为2,

3Q

4

所以b5+log2-=2log2-=16(21og23—1)

=321og23—16,

3

即log2(Q5+1)=3210g23—16—log2-=31log23—15.

乙

【精准强化练】

一、单选题

1.数列｛。〃｝中，01+1=2%+1,a尸列则4ioo=()

A.2,00+lB.2101

C.2,00-lD.2,(X)

答案C

解析数列｛斯｝中，斯讨=2即+1,

故an+i+1=2（。〃+1）,

因为。1=1,所以Q|+l=2H0,

所以｛%+1｝是首项为2,公比为2的等比数列，

所以。“+1=2〃，即斯=2〃-1,

故aioo=2,00—1.

2.已知数列｛斯｝满足：6=〃2=2,即=3册f+4册一2（〃23）,则劭+。10=（）

A.47B.48

C.49D.410

答案C

解析由题意。］+。2=4,

由〃"=3〃“i+4〃”式〃23）

得知+。〃7=4（如_1+/_2），

即=%〃23）,

a,i-\-ra,i-2

所以数列｛%+%+i｝是等比数列，公比为4,首项为4,所以的+卬0=49.

3.已知数列｛为｝满足田=1,an+1=-^-,则满足斯』的〃的最大取值为（）

I131

A.7B.8

C.9D.10

答案C

解析因为。〃+］=*7,所以，=4+,，

4。〃十1an+\an

所以—!—~=4,

。〃+1斯

又,一1,数列4］是以1为首项，4为公差的等差数列，

a\（anJ

所以工=1+4（〃-1）=4〃一3,

Cln

所以斯=了匕,

由W即而匕W，

3

即0<4/?-3<37,解得不"<10,

4

因为〃为正整数，所以〃的最大值为9.

4设数列｛%｝的前〃项和为品若a=2%—2〃+1,则&0=()

A.2n-23B.2,O-19

C.3X2,0-23D.3X29-19

答案C

解析当〃=1时，$=。1=20一2+1,

解得=1.

当〃22时，Sn.\=2an-\—2/7+3,

所以a„=Sn—Sn.।=2a,—2n+1—（2。〃一]—2〃+3）,

即如=2〃“_]+2,

所以%+2=2m〃_|+2）,

所以数列｛%+2｝是首项为3,公比为2的等比数列,

则为+2=3X2”T,从而£=3X2〃-2〃一3,

故So=3X21°—23.

5.在数列｛%｝中，5=3,%=2斯一】一〃+2,若即>980,则〃的最小值是()

A.8B.9

C.10D.11

答案C

解析因为。〃=2斯_]一〃+2,

所以an—n=2[an-i—(n—\)].

因为由=3,所以用一1=2,所以数列｛斯一〃｝是首项和公比都是2的等比数列,

n

则a〃一〃=2〃，即an=2+n.

因为斯一。〃_]=2〃7+1>0,

所以数列｛%｝是递增数列.

因为。9=521<980,6/10=1034>980,所以满足%>980的n的最小值是10.

2

6.已知数列｛%｝中，tZ|=j,即+|=%+即Sf,则数列｛斯｝的通项公式为()

337;-1

A%—1B丁

2

C•二〃D

5-2/7

答案D

解析由题意，可得%+]=。〃+4〃5〃+],

即」---=-1.

an+\an

又，=],所以数列。，是以与为首项，公差为一1的等差数列，

a\2)2

135

所以一=弓一(〃_1)=3一〃，

an22

2

所以斯=「尸

7.(2024・南昌段测)已知数列｛为｝满足田=3,册+1=即+2&〃+1+1,则。10=()

A.80B.100

C.120D.143

答案C

解析因为4〃+|=%+2j斯+1+1,

2

所以an+]+1=(y/a,i-\-1)+24〃+14-1,

即a„+]+1=1+1产，

等式两边开方可得Jo〃+i+1=Ja〃+1+1,

即Ja〃+i+1-Ja〃+1=1»

所以数列｛J"+l｝是首项为Jm+1=2,

公差为1的等差数列，

所以J+1=2+(〃-1)X1=”+1,

所以%=〃2+2〃，

所以。10=102+20=120.故选C.

8.(2024・西安统模)已知数列｛%｝满足田=2,公=6,且斯+2-2斯+1+0=知若国

表示不超过x的最大整数(例如[1.6]=1,[—1.6]=-2),则户]+住]+・・・+

)

A.2022B.2023

C.2024D.2025

答案D

解析由题设，(。〃+2—a〃+i)—(a“+|—。〃)=2,做一。1=4,

故｛«〃+]-%｝是首项为4,公差为2的等差数列，则即+I—即=2〃+2,

贝1(。〃-di)+(〃〃_]-%一2)H----l-(a2—«1)

=a,—a\=2[n-\-(n—1)+・,・+3+2]

=5+2)(〃-1)(〃22),

(〃+1)21

所以an=〃(〃+1),故------------=1H--.

ann

又〃EN*,当n=\时，言卜2,

当〃22时,

Ifl02521

~\----卜------1=2025.

/42024」

二、多选题

9.己知数列｛%｝满足41=1,即-3a,,+1=2an•斯+1£N*),则下列结论正确的是()

A.七+”为等比数列

BMJ的通项公式为斯=马二T

C.｛《J为递增数列

D.£，的前n项和北=3〃一〃

答案AB

解析因为(1〃3。勿+]

所以F1—3+1),

斯+1⑼？/

又,+1=2#0,所以9+1］是以2为首项,

a\（如J

3为公比的等比数列，-+1=2X3-1,

即为=2X3〃'—「

所以｛即｝为递减数列，f-）的前〃项和

7；,=(2X30-l)+(2X3l-l)+-+(2X3z,-,-l)

=2(30+3]+…+3〃T)一〃

1-3”

=2X----n=3n-n-\

1—3

必2。24・烟台调研）已知数列｛%｝,｛儿｝满足「2"斗研i"

4+i=

斯+不，〃£N*,则下列选项正确的有（）

On

A。2IQ3/nb〃a+\

A—+—=4B—=7—n

力23Clnbn+\

C.当〃为奇数时，a“=44D.当〃为偶数忖,

答案BCD

==,

解析因为ci\29b\2

b”+i=a“+下,

所以i+91，i+£=4,

\_=5

42不一不

匕匕,47317

所以1+二=:-，故A错误;

bibi4

,,1。"瓦+1

On-1bn-\----------

anan”B正确;

bn+i.14力〃+1

呢+豆F-

由B选项可知产=生1—人，

“〃+2。〃+10〃

4,n=2k—1,k£N,

所吟=(*

b〃不n=2k,%£N*,

故C,D正确.

2

11.(2024•郑州调研)设是数列｛斯｝的前〃项和，且外＞0,〃2=yp3%+i=

41

2s£+］，则()

Aa=1B.数列&1是公差为I的等差数列

C.数列&［的前5项和最大D.f/W=_———