整式的乘除压轴题（期中试题汇编辽宁专用）-七年级数学下学期北师大版【含答案】

专题03整式的乘除压轴题

大高频考点概览

考点01杨辉三角与整式乘法

考点02配方法求最值

考点03完全平方四大金刚的实际应用

i场算三角”式乘法

一、填空题

（（24-25七年级下•辽宁大连•期中）

1.我国宋朝数学家杨辉在其著作《九章算法》中提到了下面的数表，人们将这个数表称为“杨

辉三角

1

11(a+b)]=a+b

121(a+b):=a2+2ab+b2

1331(〃+/>).=ay+3a2b+3ab2+b'

14641(a+=a4+4a»+6a冲+4加+//

观察“杨辉三角”与右侧的等式，根据各式的规律，（。+”展开的多项式中各项系数之和为

（24-25七年级下•辽宁沈阳期中）

2.杨辉三角（如图）是中国古代数学杰出研究成果之一，它把（〃+»”（其中〃为自然数,

人工0）的展开式中的各项系数直观地体现出来，其中（a+b）”的展开式中的各项系数依次对

应杨辉三角的第（〃+1）行的每一项，如下所示：

试卷第1页，共18页

m+3”的展开式：

(。+6)°=1

S+b>=t+b

(a+b)2=浦+2ab+b2

(。+6)3=东+3a2b+3az>2+方

(a+b)4=o'4+4a3b+6a2b2+Aab3+bA

根据上述材料，（x+y+z『的展开式中＜yz项的系数应为

（24-25七年级下辽宁辽阳期中）

3.我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了

（。+与"展开式的系数规律.

1.......（a+b）°=1

1I.......（a+by=a+b

121.......（4+6）2=42+246+52

1331.......（a+by=a3+3a2b+3ab^b3

代数式/一12丁+54/_108工+81的值为1时，则x的值为.

（24-25七年级下•辽宁沈阳期中）

4.阅读材料：北师大版七年级下册教材22页为大家介绍了杨辉三角.

如果将（。|与"（〃为非负整数）的展开式的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可

以得到下面的等式：（。+方）°=1，它只有一项，系数为1;

（4+6）|=。+人它有两项，系数分别为1,1；

（a+h）2=a2+2ab+b\它有三项，系数分别为1,2,1；

（a+4=/+3/H3加-乩它有四项，系数分别为1,3,3,1；

将上述每个式子的各项系数排成该表.

i

11

j2j观察该表，可以发现每一行的首末都是1,并且下一行的数比上一行多

1331

1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和，按照这个规律可以将这个表

继续往下写.

试卷第2页，共18页

(1)判断(a+劝，的展开式共有项；写出(。+36的第二项的系数是

(2)结合杨辉三角解决问题：25-5x24+10x23-10x22+5x2-1=

(3)运用：(a+61=

一、解答题

(24-25七年级下•辽宁本溪•期中)

5,将多项式分+瓜+《叱0)变形为q(x+〃?f+〃的形式，这样的方法叫做配方法.利用

配方法和非负数的性质可以求出多项式的最大(小)值.例如：

X2-4X-5=X2-4X+22-22-5=(X-2)2-9,

(x-2『-92—9,••.当x=2时，多项式一一4工一5有最小值一9.

已知“，人为实数，多项式(x+3)(3x+a)展开后x的一次项系数为〃?，多项式(3x+2)(x+b)

展开后x的一次项系数为“，且加，〃均为正整数，则当机+〃=17时，/的最大值为

(24-25七年级下辽宁丹东期中)

6.材料一：把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积,

可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积.例如，由图1，可得等式：

(a+2b)(a+b)=a2+3cib+2b2

(1)如图2,将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为。+b+c的正方形，请

你用两种不同的方法求图2大正方形的面积(用含a,〃的式子表示)：

方法—：;方法二：:

对于以上，你能发现什么结论？请用等式表示出来(直接写出等式)

(2)利用(1)中所得到的结论，填空：

试卷第3页，共18页

①已知上述等式中的三个字母a,b,c可取任意实数，若。=7x-5,b=-4x+2,

c=-3x+4,且/+〃+d=37,请利用(1)所得的结论求必+从+讹的值为；

②若三个实数工,y,z满足2"x4Vx8：=4，./+4y2+9z2=40,则2xy>+3xz+6yz的值为_______；

16

材料二：若+2机〃+2〃二-6〃+9=0,求小，〃的值.

解：m2+2mn+2/?2-6/7+9=0»

/.nf+2mn+n2+n2-6n+9=0»

(W+H)2+(〃-3y=0,

m+n=0,〃-3=0,

/.m=-3,〃=3.

问题：

(3)若-+2y2-2q，+4y+4=0,则产的值为：

(4)试探究关于x,y的代数式5/+9./-12k-6》+2032是否存在最小值？若存在，求出

最小值及此时x,y的值；若不存在，请说明理由.

(24-25七年级下•辽宁锦州•期中)

7.阅读材料：若〃?2-2〃〃?+2"2-4〃+4=0,求〃］，〃的值.

解：vm2-2mn+2/J_4〃+4=0,二(〃/一2mn+n2)+(//:-An+4)=0,

.%(w-n)2+(n-2)2=0,^(m-n)2=0,(n-2)2=0,An=2,m=2.

根据你的观察，探究下面的问题：

(1)已知/+2J，2-2Q，+8J，+16=0,则》=,V=；

(2)已知△44。的三边长。、b、。都是正整数，且满足2/+/一4〃-8b+18=0,求“4C

的周长.

(24-25七年级下•辽宁本溪•期中)

8.王老师在讲完乘法公式(a±b)2=/±2ab+〃的多种运用后，要求同学们运用所学知识

求代数式/+4》+5的最小值.同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法：

X?+4x+5=x，+4x+4+l=(x+2)2+1因为(X+2)?20,

所以当x=-2时，(x+2『的值最小，最小值是().

试卷第4页，共18页

所以(x+2『+121.

所以当(x+2『=0时，(x+2『+l的值最小，最小值是1.

所以x?+4x+5的最小值是I.

依据上述方法，解决下列问题

(1)当工=时，/+6x-15有最小值是.

⑵多项式*+2x+i8有最(填“大”或“小”)值，该值为.

(3)已知的三边长。、b、c都是正整数，且满足/+从_2"86+17=0,求△/AC的

周长.

(2225七年级下•辽宁盘编•期中)

9.观察以下等式：

(x+1)_x+1)=/+],(I_2)(/+2x+4)=X。_8,(x+3)(x2-3x+9)=丁+27,

(X-5)(X2+5X+25)=X3-125……

按以上等式的规律，发现：

①(a+6)(/一协+〃)=/+Z>3；②(a—b)S+ab+/)=a3-b3

⑴利用多项式乘以多项式的法则，证明：S+m(/-岫+〃)=/+/成立；

(2)已知|〃+力一4|+(附-2):0,求，+分值；

(3)已知x>y,x+y=3,xy=：,求一y$的值

(24-25七年级下•辽宁沈阳・期中)

10.【概念学习】一个含有多个字母的代数式中，任意交换其中两个字母的位置，当字母的

取值均不相等，且都不为0时，代数式的值不变，这样的式子叫作对称式.

例如：代数式〃?+〃+〃中任意两个字母交换位置，可得到代数式〃+〃?+P，P+〃+用，

m+p+n,因为〃+〃?+〃=〃+〃+〃？=〃?+〃+〃，所以6+〃+〃是对称式.

又如：交换代数式〃―〃中字母〃?，〃的位置，得到代数式”〃?，因为阳-〃工”用,所以加一〃

不是对称式.

【问题解决】阅读以上材料，解答下面的问题：

若关于的代数式(履+3)伍-3)为对称式(A为常数).

⑴求攵的值；

试卷第5页，共18页

⑵已知（x-a）（x-〃）=x2+px+9,若〃=4,夕=一3,求对称式（h+3）（力一3）的值.

完全千方叫大金网的实际应用

一、单选题

（24-25七年级下♦辽宁本溪•期中）

11.在学习过程中，甲同学认为：如果/=〃，那么/+〃=2"；乙同学认为：如果

a2+b2=2ab,那么/=〃.请对两位同学的说法进行判断（）

A.仅甲正确B.仅乙正确C.甲、乙都正确D.甲、乙都不正确

（24-25七年级下•辽宁沈阳•期中）

12.已知一个正方形的边长是m若它的边长增加1,则这个正方形的面积增加（）

A.IB.2a+\C.a2D.cr+2。+1

（24-25七年级下•辽宁锦州•期中）

13.已知=6,（。一。）2=46,则必的值为（）

A.10B.-10C.8D.-8

（24-25七年级下•辽宁大连•期中）

14.设"=20252-2024x2026,N=2025?-4050x2026+2026?则M与N的关系是（）

A.M>NB.M=NC.M<ND.M=±N

二、填空题

（24-25七年级下•辽宁铁岭•期中）

15.已知a+b=5,ab=3,则1的值是

（23-24七年级下•辽宁沈阳•月考）

16.已知（x-y『=4,xy=3,则（x+yf=

（24-25七年级下•辽宁盘锦•期中）

17.实践课上，小郑做了一个边长为〃cm（a>2）的正方形，若把这个正方形的边长减少

2cm，则其面积减少了cnr•

（24-25七年级下•辽宁锦州•期中）

18.若/+蛆+9=（%+3）2,则用的值是

（24-25七年级下•辽宁营口•期中）

试卷第6页，共18页

19.已知9--12x+m是一个完全平方式，则用的值是：.

（24-25七年级下•辽宁辽阳•期中）

20.若-+（〃L2）X+9是一个完全平方式，则小的值是.

（24-25七年级下•辽宁丹东•期中）

21.要使4/_队+9成为完全平方式，那么人的值是

（24・25七年级下•辽宁葫芦岛•期中）

22.如果9/・（2%+4.+36是一个完全平方式，那么人的值是.

（24-25七年级下•辽宁鞍山•期中）

23.如果关于x的多项式9/-（，，L1）X+4是完全平方式，那么小的值为.

三、解答题

（24-25七年级下•辽宁丹东•期中）

24.【知识初探】如图I,正方形48CQ是由两个小正方形和两个小长方形组成的，根据图

形解答下列问题：

图I

（1）用两种不同的方法可以表示正方形彳8CO的面积，写成一个等式为；

（2）运用（1）中的等式，解决以下问题：

①已知x+y=5,xy=3,则f+y2=.

②己知x-y+z=ll.（x-y）z=9,则（丫一9了+公二：

【拓展延伸】（3）如图2,S、,邑分别表示边长为加，〃的正方形的面积，且力，8,C三

点在同一条直线上，若〃=AB=8,求图中阴影部分的面积.

试卷第7页，共18页

【知识迁移】(4)若(2024)(2025-/〃)=12,求(2024—")+(2025—〃炉的值.

（24・25七年级下辽宁丹东期中）

ab,,

25.对于任意有理数叫…,d,定义一种新运算：cd=H

2-2

(I)

31

xk

（2）对于有理数x,歹，若是一个完全平方式，贝］左=

(3)对于有理数x,九若》+y=8,xy=12.

2x-yy-x

①求的值;

3x-yy

②将长方形和长方形8COE按照如图方式进行放置，其中点力，B,。在同一条直

线上，点E在边8尸上，连接4/，AD.若GF=x,AG=nx,CD=y,BC=ny,图中阴

影部分的面积为34,求〃的值.

（24-25七年级下•辽宁锦州•期中）

26.【阅读材料】

在学习完全平方公式时，我们曾用两种不同的方法，表示同一个正方形的面积来验证和解释

乘法公式：（。+与2=/+2必+〃，如图（I）,将这种方法称为“等积法”.它的基本思想是:

将同一个量从两个不同角度计算两次，我们常用"等积法''列出等量关系、求线段长度或线段

之间的数量关系.

试卷第8页，共18页

b

।b।

a\

图1图2图3图4

【方法应用】

根据以上材料提供的方法，完成下列问题：

(1)由图2可得等式：：由图3可得等式：；

(2)利用图3得到的结论，解决问题:若a+b+c=10,ab+ac+bc=32,求/+〃+/的

值；

(3)如图4,若用其中x张边长为。的正方形，V张边长为b的正方形，n张边长分别为。、

8的长方形纸片拼出一个面积为(3。+〃)(〃+3]>)长方形(无空隙、无重叠地拼接)，则

x+y+z=.

【拓展应用】

(4)如图5,在5x5的网格中，每个小正方形的边长为1,点力，B,C均在格点上，。是

力。与网格线的交点，求8。的长.

图5

(24-25七年级下•辽宁鞍山•期中)

27.【阅读材料】

“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法.比如：北师大版七年级下册教材在学习“完全

平方公式''时，通过构造几何图形，用几何直观的方法解释了完全平方公式：

(a+b)2=/+2"+〃(妇图1).利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问

题，也可以用图形关系解决代数问题.

试卷第9页，共18页

Cidi由

【方法应用】

根据以上材料提供的方法，完成下列问题：

（1）由图2可得等式：；由图3可得等式：:

（2）利用图3得到的结论，蟀决问题：若a+b+c=15,ab-i-ac+bc=35,则/+/+c?=；

（3）如图4,若用其中x张边长为。的正方形，y张边长为人的正方形，z张边长分别为小人

的长方形纸片拼出一个面积为（2。+力）（。+2/））长方形（无空隙、无重叠地拼接）.

①请画出拼出后的长方形；

②x+y+z=:

（4）如图4,若有3张边长为。的正方形纸片，4张边长分别为“，方的长方形纸片，5张边长

为8的正方形纸片.从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张.把取出的这些纸片拼成一

个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为.

（24-25七年级下•辽宁铁岭・期中）

28.【教材原题】观察图①，用等式表示下图中图形的面积的运算为.

【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为.

【应用】（1）根据图②所得的公式，若。+力=10,ab=5,则/+〃=.

（2）若x满足（11一工）（》-8）=2,求（11-.靖+（18）2的值.

【拓展】如图③，某学校有一块梯形空地4404c上BD于点、E,AE=DE,

8E=CE.该校计划在△,4£。和区域内种花，在和△位/的区域内种草.经测

25

量种花区域的面积和为［，JC=7,直接写出种草区域的面积和.

试卷第10页，共18页

（24-25七年级下•辽宁丹东•期中）

29.完全平方公式：=/±2必+/适当的变形，可以解决很多的数学问题.

例如：若a+b=3,ab=1,求a、/的值.

解：因为a+b=3,所以（a+b）2=9,即:a2+2ab+b2=9,

又因=1,所以a2+h2=1

根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：

⑴若x+y=8,』+/=40,则V的值为；

（2）拓展：若（4-x）x=3,则（4一,靖+./=.

（3）应用：如图，在长方形48C。中，AB=20,8c=12,点£、F是BC、C。上的点，且

BE=DF=x,分别以/C、CE为边在长方形力灰:。外侧作正方形CbG”和正方形CEMN,

若长方形CEP尸的面积为160,求图中阴影部分的面积和.

（24-25七年级下•辽宁沈阳•期中）

3（）.【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一

个恒等式.如图1,在边长为。的正方形中剪掉一个边长为力的小正方形（。＞力）.把余下的

部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）.图1中阴影部分面积可表示为：a2-b\图2

中阴影部分面积可表示为（a+»（a-6），因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得

试卷第11页，共18页

到等式：a2-b2=(a+b)(a-b).

【拓展探究】图3是一个长为2a,宽为劫的长方形.沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长

方形，然后按图4的形状拼成一个正方形.

（1）用两种不同方法表示图4中阴影部分面积，可得到一个关于（。+与2、（a-b）\必的

等量关系式是.

（2）若.+6）2=5,（叱6）2=2,则仍的值为.

（3）若=12,mn=2,求（2〃?+5〃）？的值：

【知识迁移】

（4）如图5,正方形/4CO和正方形EFG〃边长分别为。力（。＞与，若a+b=6,ab=4,E

是48的中点，直接写出图中的阴影部分面积的和.

（24-25七年级下•辽宁大连•期中）

31.【操作发现】（1）如图1是一个长为4〃、宽为〃的长方形，沿图1中虚线用剪刀平均分

成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）.用两种不同方

法表示图2中阴影部分面积：方法1：,方法2：；（用”，〃的

代数式表示）；观察图2,请你写出5一与2,浦之间的等量关系是二

【灵活应用】（2）运用所得到的公式计算：若x,V为实数，且工-V=7,=求y

4

的值：

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【拓展迁移】（3）将两块全等的特制直角三角板△408,△。。。（4。〃=/。。=90。）按如

图3所示的方式放置，A,O,力在同一直线上，连接力C,BD.若=14,

S““+Sw=50,求阴影部分的面积.

图3

（24-25七年级下•辽宁沈阳•期中）

32.数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学闰题.

（1）请写出图1,图2,狎影部分的面积分别能解释的乘法公式：

图1：;

图2：.

【拓展探究】

（2）用4个全等的长和宽分别为a,b的长方形拼摆成一个如图3的正方形，请你通过计算

阴影部分的面枳，直接写出这三个代数式S+b）2,（a-b）2,必之间的等量关系是

【解决问题】

（3）如图4,C是线段上的一点，分别以力C,4C为边向两边作正方形力。E和正方

形BCFG.已知力8=7,两正方形的面积和为25,求“R?的面积.

【知识迁移】

（4）当（2029—x）（x—2026）==时，贝lj（2x—4055了的值是__________.（直接写出结果）

6

（24-25七年级下•辽宁沈阳•期中）

33.定义：对于依次排列的多项式x+*x+〃，x+c,（a,b,c,是常数）,当它们满足

试卷第13页，共18页

(x+4-(x+a)(x+c)=A/,且M为常数时，则称m4c,是一组完美数，历是该组完美

数的完美因子.例如：对于多项式：x+1,A-+3,x+5,因为(x+3『-(x+*x+5)=4,

所以1,3,5是一组完美数，4是该组完美数的完美因子.

⑴已知1、4、7是一组完美数，则该组完美数的完美因子M=(x+4『-(x+l)(x+7)

(2)已知2,5,8是一组完美数，求该组完美数的完美因子M；

(3)直接写出小b,c之间满足什么数量关系时，它们是一组完美数.

(24-25七年级下•辽宁沈阳・期中)

34.阅读下列材料：关于x的方程3X+1=O(XHO)两边同时乘以，得：x—3+'=0,即

XX

1、

x+—=3

X

(\\2I1I

可得：X4—=x2+—7+2—，—=X24—7+2,

X)x~XX'

所以：,v2+—7=|x+—-2=32—2=7.

vIX)

根据以上材料，解答下列问题：

(I)初步尝试

己知，x2-4x4-l=0(x^0),分别计算X+，和r+上的值；

XX

(2)拓展应用

/+h-=(a+b){a2

a3-by=(a-b)(a2+ab+b2).

请利用上述结论，结合阅读材料解答下题.

己知，2--7X+2=0(XH0),求/+A的值.

(24-25七年级下•辽宁阜新•期中)

35.【知识生成】

通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式.如图

1，在边长为。的正方形中剪掉一个边长为人的小正方形(。＞人)，把余下的部分剪开并拼成

一个长方形(如图2),图1中阴影部分的面积可表示为：图2中阴影部分的面枳

试卷第14页，共18页

可表示为：（〃+与（〃-力），因为两个图中的阴影部分的面积是相同的，所以可得到等式:

a2-b2=（a+h）（a-b）.

图3是一个长为2。，宽为”的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按

图4的形状拼成一个大正方形.

（1）如图4,用两种不同方法表示图中阴影部分面积，可得到一个关于（a-b^ab

的等式是.

（2）若4+b=6,ab=5,求（〃一bj的值.

【类比迁移】

（3）如图5,点C是线段3G上的一点，以4C,CG为边向上下两侧作正方形力AC。，正方

形CEFG,两正方形的面积分别记为S和S?,若BG=10,两正方形的面积和S1+S2=56,

求图中阴影部分的面积.

（24-25七年级下•辽宁沈阳,期中）

36.如图1,是一个长为4”，宽为力的长方形，用剪刀沿图中虚线平均分成四块小长方形,

然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）.

⑴观察图2,请你写出（。+与2,（。-。）2,必之间的等量关系.

（2）利用（1）中的结论，请求下列问题:

试卷第15页，共18页

ai

①若x+y=5,k二：,求（x-力的值；

②若（2025）（2024-〃?）=6,求（2025-〃?『+（2024-的值.

（3）如图3,正方形48CQ和正方形EFG“重叠，重叠部分是长方形MPNQ,若正方形dBCD

的边长为〃?，长方形MPNO的面积是10（）,4W=19,C'N=20,/WQ=ME,求正方形EPG〃的

面积（若正方形EFG〃的面积是定值，请求出这个定值；若正方形EFG”的面积不是定值,

请用含〃?的代数式表示）.

（24・25七年级下•辽宁本溪期中）

37.【材料阅读】

利用两数和（差）的完全平方公式（。±32=/±2帅+力2可以解决很多数学问题.

例：若x满足（9-X）（X-4）=4,求（4—x『+（x—9『的值.

解：^9-x=a,x-4=b,IjIiJ（9-x）（x-4）=«/?=4,a+6=（9-x）+（x-4）=5,

.\（9-X）2+（X-4）2=a2+b2=（a+b）2-2ab=52-2x4=17.

请仿照上面的方法求解下面问题：

【初步应用】（1）已知T+//=56,（。+〃）~=100,则奶=；

【问题解决】（2）（〃-2022），（〃-2023f=11,求（〃—2022）（2023—〃）；

【拓展延伸】（3）已知正方形/出C。的边长为x,E、尸分别是40、QC上的点，且

AE=1,0=3,长方形的面积是15,分别以为边长作正方形，求阴影

部分的面积.

（24-25七年级下•辽宁沈阳・期中）

38.【方法回顾】在学习整式的乘法时，我们曾用两种不同的方法，表示同一个长方形的面

积，进而得到单项式与多项式相乘的法则，也曾经用两种不同的方法，表示同一个正方形的

试卷第16页，共18页

面积来验证和解释乘法公式，我们将这种方法称为“等税法”.它的基本思想是：将同一个量

从两个不同角度计算两次.

【方法应用】（1）在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为6优＜。）的小正方形（如图

1）,沿虚线将阴影部分剪开拼成图2所示的长方形，由上述操作可以得到等式.

（2）如图3是一张“L”形的纸片,其面积为27,各边长度如图所示,则加+〃=

一＞

图3

【方法迁移】（3）通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式.加图4

是棱长为（。+力）的正方体，被如图所示的分割线分成8块.

①用不同方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个等式，这个等式是.（等

号两边需化为最简形式）

②已知3〃?一〃=4,〃?〃=2,利用上面的知识,计算27加-〃3的值

图4

（24-25七年级下•辽宁锦州•期中）

39.【背景阅读】在数学的学习中，我们经常可以利用图形的面积关系理解代数公式，使抽

象的数量关系直观化.

MIohIh'Ih[\11D/\

【问题解决】

试卷第17页，共18页

(1)根据图1所示图形的面积关系，可以写出的一个乘法公式是:

(2)用4个全等的长和宽分别为。，人的长方形拼摆成一个如图2的正方形，请你通过计算

阴影部分的面积，直接写出这三个代数式(a+b)2,(a-b)2,时之间的等量关系是.

【拓展应用】

(3)如图3,。是线段上的一点，分别以3C为边向两边作正方形4CDE和正方

形BCFG.己知月6=7,两正方形的面积和为21,求"FC的面积.

(4)(X-300)(200-"=1996时，求(2x-500『的值.

(24-25七年级下•辽宁沈阳期中)

40.如图1是一个长为4%宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然

后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形(如图2).

⑴观察图2请写出(。+力、(。-炉、心之间的等量关系是「

(2)根据(I)中的结论，若x+y=5,即，=(,贝ljx—y=_；

(3)知识拓展：若(2024-〃!)2+(〃L2025『=7,求(2024-〃。(m一2025)的值.

(4)知识应用：如图①，已知长方形力8c。的周长为14,分别以4。、48为边，向外作正方

形ADEF、ABGH,且正方形44G”的面积和为29.

请直接写出下面两个问题的答案：

①长方形ABCD的面积是」

②如图②，连接叱、CF、CH,的面积是一.

试卷第18页，共18页

1.128

【分析】本题考查了杨辉三角的应用，解答本题的关键是理解杨辉三角的规律，找出(4+3?

展开的多项式中各项系数之和.

找出(。+人)"展开各项的系数之和的规律为2”，即可解答.

【详解】解：•••(。+方)0=1,系数之和是1=2°，

(a+b)'=a+b,系数之和是2=2、

(a+Z>)2=a2+2ab+b2»系数之和是4=2°,

(。+Z>)3=加+3a2b+3加-b3,系数之和是8=2?,

所以(。十与"，展开各项系数之和是2"，

所以伍+”展开各项的系数之和为2,=128,

故答案为：128.

2.20

【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索，观察可得(。+人)”的展开式中，从左往

右第一项的系数为〃，笫三项的系数为的展开式中从左往石第一项的系数加上笫三

项的系数，那么把把y+z看做一个整体，可得(x+y+z)5的展开式中从左往右第三项的系数,

据此可得答案.

【详解】解：观察可知的展开式中，从左往右第二项的系数为〃，第三项的系数为

(〃+b)"T的展开式中从左往右第二项的系数加上第三项的系数，

••.把y+z看做一个整体，(x+y+z)4的展开式中从左往右第二项的系数为4,第三项的系数

为6,

••.(x+y+z)$的展开式中从左往右第三项的系数为4+6=10,即第三项为

10x3(y+z)2=10/()产+2yz+z2)=1Ox3^2+20x3yz+1Ox^z2,

.'.(x+y+zf的展开式中项的系数应为20,

答案第1页，共33页

故答案为：20.

3.4或2

【分析】根据系数规律得出（。+〃）4=/+40%+6//+4"3+/,令。=x,b=-3,由代

数式/-12/+54/—108工+81的值为I得出（X-3）4=1,进而求出x的值.

【详解】解：由系数规律可得：（。+〃）4=/+4/"6〃％2+4/+/,

令〃=工，b=-3,

二（x-3?二/-12丁+54,v2-108x4-81,

•••x4-12X3+54X2-108x+81=1，

.-.（X-3）4=1,

x-3=±1,

二X=4或X=2,

故答案为：4或2.

【点睛】本题考查了数字MJ变化规律，整式的乘法，熟练掌握伍+”'展开式的系数规律是解

题的关键.

4.（1）六，6

（2）1

（3）a4+4a3b+6a2b2+4abJ+b4

【分析】本题考查了杨辉三角，整式的乘法，有理数的乘方，通过观察得到系数的规律是解

题的关键.

（1）通过观察，可知（。+方）4展开式有五项，分别写出（。+力）4和5+份'展开式的系数，从

而得到（。+36展开式有七项，系数分别是1,6,15,20,15,6,1,从而得到答案；

（2）通过观察可知，25-5x24+10x23-10x22+5x2-1=（2-1）5,从而得出答案；

（3）由（。+34展开式有五项，系数分别是1,4,6,4,1,从而可得答案：

【详解】（1）解：根据题意，可知（。+与4展开式有五项，系数分别是1,4,6,4,1,

伍+力旷展开式有六项，系数分别是1,5,10,10,5,1,

（。2）6展开式有七项，系数分别是1,6,15,20,15,6,1,

答案第2页，共33页

••.(。+与,的展开式共有六项；写出(。+8)6的第二项的系数是6；

(2)解：25-5x24+10x23-10x22+5x2-1

=[2+(7)了

=15

=1,

(3)解：,.,(4+6)4展开式有五项，系数分别是1,4,6,4,1,

(a+6)4=a4+4a'b+6a2b2+4aby+b4.

5.3

【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，非负数的性质，多项式乘以多项式，根据题

意得出〃?=。+9,〃=38+2,进而根据，〃+〃=17,可得a=6-36,然后得出，根据配方法,

即可求解.

【详解】解：•••(x+3)(3x+a)=3/+(a+9)x+3a

w=a4-9,

-：(3x+2)(x+b)=3x2+(3b+2)x+2b

n=3b+2

vm+n-17

•••a+9+3b+2=17

.•.。=6-3〃

：.ab=(6-3h)b=-3h2+6b

=-3(b2-2b+\)+3

2

=-3(/,-l)+3

•.--3(Z)-1)2<0

A-3(Z>-1)2+3<3

.•.当6=1时，"的最大值为3,

故答案为：3.

6.(1)(ezIZ>I<?)■,a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc»

答案第3页，共33页

(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；(2)@-18；@-12；(3)4；(4)存在，x=3,

y=2,原式最小值为2023

【分析】(1)将整个图形当作一个正方形和作为9个长方形或正方形求面积即可得解；

(2)根据(1)可得,方+如+('+〃+'•)一(’厂+价+厂)，进而整体代入即可求解：

2

(3)将原式变形为两个完全平方式与一个常数的和，利用偶次方的非负性即可求解y的值,

进而求解；

(4)将原式变形为两个完全平方式的和，利用偶次方的非负性即可求解；

【详解】解：(1)将整个图形当作一个正方形，则面枳为(〃+b+c)2,

将整个图形当作9个长方形或正方形，则面积为

a2+b2+c2+ab+ac+be+ab+ac+be=a~+b~+c2+lab+lac+2bc»

j.(a+6+c)2=a2+b2+c2+lab+lac+2bc,

故答案为(a+8+c)-,a~+b2+c2+2ab+2ac+2bc,(a+b+c)~=a2+b2+c2+lab+2ac+2bc；

(2)①=7x-5,b=-4x+2,c=-3x+4,

.••(q+b+cf=(7x-5-4x+2-3x+41二l,

•••(a+b+c)-=a2+b2+c2+lab+2ac+2bc,片+〃+<?=37，

(4+6+。)2-(力+//+°2)=「37=_]g,

•*,ab+be+ac=

2-2，

二故答案为-18

②Tx4「x8’=2、x22＞，x232=2t+2v+3r=2T,

:.x+2y+3z=-4,

:.(x+2y+3z)2=16即x2+4y~+9z2+4xy+6xz+1lyz=16,

vx2+4y2+9z2=40,

2xy+3xz+6jz=以…,

2

故答案为72；

(3)vx2+2y2-2xy+4y4-4=0,

答案第4页，共33页

.-.(X2+y2-2xy)+(y2+4y+4)=0即+(y+2/=0

x-y=0,y+2=0,

,-.x=y=-2,

.../=(-2)2=4,

故答案为：4

(4)存在，

原式=4/-12号+9/+r-6x+9+2023

=(2x-3^)2+(x-3)2+2023

♦.♦(2x-3力飞0(X-3)2>0

.•.当2x-3)，=0,x-3=0时，原式最小

,\x=3,y=2,原式最小值为2023.

【点睛】本题主要考查了完全平方式与几何图形的关系以及求代数式的值，解题的关键是注

意图形的分割与拼合，会用不同的方法表示同一图形的面积.

7.(1)-4,-4：(2)△/1EC的周长为9.

【分析】(1)利用完全平方公式配方，再根据非负数的性质即可得出x和歹的值：

(2)利用完全平方公式配方，再根据非负数的性质即可得出。和人的值，从而得出c的取

值范围，根据c为整数即可得出c的值，从而求得三角形的周长.

【详解】解：(1)由丁+2/一2个，+8_)，+16=0得

(x2-2xy4-X)+(y2+4-16)=0,

57)2+(y+4)2=0,

:.x-y=0ty+4=0,

.-.x=y=-4,

故答案为：-4>-4；

(2)由2/+〃2-4。-86+18=0得：

2/一4。+2+/一防+16=0,

2(a-l)2+(Z>-4)2=0,

b-4=0,

答案第5页，共33页

b=4,

.--3<c<5,

的三边长心b、c都是正整数，

：.c=4,

•••△力8。的周长为9.

【点睛】本题主要考查了配方法的应用及偶次方的非负性，同时考杳了三角形的三边关系,

本题难度中等.

8.(1)-3；-24

(2)大，19

(3)9

【分析】本题考查了完全平方公式的实际应用，熟练掌握完全平方公式±2"+/

是解答本题的关键.

(1)化成完全平方公式和的形式计算即可；

(2)化成完全平方公式和的形式计算即可；

(3)化成完全平方公式和的形式计算出。、方的值，再根据三角形三边关系判断即可.

【详解】(1)解：X2+6X-15=X2+6X+9-24=(.V+3)2-24,

V(X+3)2>0,

.,・当》=-3时，(X+3)2的值最小，最小值是0,

A(X+3)2-24>-24,

.•.当(x+3『=0时，(X+3)2-24的值最小，最小值是-24,

X2+6X-15的最小值是-24：

故答案为：-3；-24；

(2)解：-X2+2X+18=-(X2-2X+1)+I9=-(X-1)2+19,

v-(x-l)2<0,

二当x=l时，的值最大，最大值是0,

.•.-(X-1)2+19<19,

答案第6页，共33页

二当-(x-l『=O时，-(x-l『+19的值最大，最大值是19；

故答案为：大，19；

(3)解：•••。2+从-2"汕+17=0,

.­.(a-l)2+(Z)-4)2=0,

.,.a=Lb=4,

.••边长。的范围为4一1<c〈4+l.即3<c<5

,:a，b,。都是正整数，

二边长c的值为4,

•••△48。的周长为1+4+4=9.

9.(1)见解析

⑵40

(3)15.5

【分析】本题考查多项式乘以多项式，利用完全平方公式变形求值：

(1)利用多项式乘以多项式的法则，将等式的左边展开即可得证：

(2)根据非负性求出。+久"的值，进而求出的值，进而求出苏+江的值即可;

(3)先求出一+/的值，整体思想求出/一/的值即可.

【详解】(1)证明：(a+以标-劭+此

=67,-a2b+ab2+a~b-air+技

=+/73；

(2)-\a+b-4\+(ab-iy=0,

a+b-4=0,ab-2=0,

:.a+b=4,ab=2t

•••a2+b2=(a+b)~—lab=16-4=12,

二/+5'=(4+6)(/-ab+Z/)=4x(12-2)=40；

(3)^x>y,x+y=3,xy=—,

4

2

•••X+jF=(x+y)2-2xy=—,-(丫+旷1-4Xy=4,

答案第7页，共33页

.-.x-y=2,

...X3=(x-y)(x2+.^+X)=2xfy+=15.5.

10.(1)-1

⑵T8

【分析】本题考查了整式的化简求值，理解新定义的含义是解题的关键.

(1)先求出(总+3)S-3)二①/-3而+36-9,交换〃、6的位置得出

(幼+3)(〃-3)=版6-3必-3a-9,根据对称式的定义得出

kab-3ka+3/>-9=kab-3kb+3a-9,得出3k+3=0,求解即可；

(2)^i.(x-a)(x-b)=x2+px+q,p=4,q=-3,得出a+b=-4,ab=-3,把％=—1代入

(3+3)(6-3)即可求解.

【详解】(1)解：(ka+3)(b-3)=kab-3ka+3b-91

交换。、b的位置(祐+3)(。-3)=履6—3姑+3。-9,

•••代数式(履+3)e-3)为对称式，

:.kab-3ka+3b-9=kab-3kb+3。-9,

.•.3k(b-a)+3(b-a)=0,

.•.(3左+3)传一a)=0,

•••3攵+3=0

解得：Ar=-1;

⑵解：•••("a)(x叫=/+px+q,p=4,q=-3,

：•x2-ax-bx+ab=x2+4x-3t

即x2-(a+b)x+ab=x2+4x-3,

.'.a+b=-4,ab=-3f

把«=7代入W+3)(〃-3)得：

(-a+3)(b-3)

=-ab+3。+3b—9

答案第8页，共33页

=-ab+3(a+b^-9

=-(-3)+3x(-