2025-2026学年上海市崇明区九年级（上）期末数学试卷（一模） 含解析

2025.2026学年上海市崇明区九年级（上）期末数学试卷（一模）

考试注意事项：

1、考生须诚信考试,遵守考场规则和考试纪律，并自觉服从监考教师和其他考试工作人员管理：

2、监考教师发卷后，在试卷指定的地方填写本人准考证号、姓名等信息；考试中途考生不准以任何理由离开考

场；

3、考生答卷用笔必须使用同•规格同•颜色的笔作答（作图可使用钳笔），不准用规定以外的笔答卷，不准在

答卷上作任何标记。考生书写在答题卡规定区域外的答案无效。

4、考试开始信号发出后，考生方可开始作答。

一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）.

1.如果两个相似三舛形的面积比为1:4,那么这两个三角形的对应中线的比为（）

A.1:2B.1:4C.1:8D,1:16

2.在用中，ZC=90°,A8=\（）,AC'=6,那么下列说法正确的是（）

3333

A.sin;4=-B.cosA=-C.tanA=—D.cotA=-

5555

3.将抛物线y=3V平移，使顶点移到点的位置，所得新抛物线的表达式是（）

A.y=3(x+2)2-lB.y=3(x-2)2-\C.>'=3(J+2)2+1D.y=3(x-2)2+l

4.下列命题正确的是（）

A.如果14|二|〃I，那么d=b

B.如果a,%都是单位向量，那么

C.如果a=-6,那么a//b

D.如果加=0或。=0,那么〃心=（）

5.如图,在△A5C中，点中、E分别在45、AC的反向延长线上，已知AC=2AE,下列条件中能判定

)

AB_2

B.C.四二D

~BD~3BD3-笔卷

6.在△ABC和△。所中，AB=AC,DE=DF,根据下列条件，一定能判断△ABC和△。/才相似的

是（）

AABAC「ABAC

A.——=-----D.=C.NB=/DD.ZC=ZE

DEDFDEEF

二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】

7.如果@=那么‘一

b2a+b

8.计算：2（〃+2。）-3。=

9.已知线段A3的长为4a〃，如果点。是线段43的黄金分割点（AP>8P）,那么4。的值是cm

10.如果抛物线y=（〃+l]+4开口向下，那么。的取值范围是,

11.已知点A（—1,凹）、8（-3,%）为二次函数尸-（八-1）2+%图象上的两点，那么y—%（填，'、”=

或）.

12.小明沿着坡度/♦=1:2.4的斜坡前行了65米，那么他距离地面的垂直高度上升了一米.

13.用“描点法”画二次函数），=or2+/»+c的图象时，列出了如下的表格：

X・・・01234・・・

,.・..

y=ax2+bx+c-3010-3•

那么当x=5时，该二次函数），的值为.

14.如图，已知直线4、4、&分别与直线。交于点A、B、C,与直线4交于点。、E、F,如果4/〃2〃小

则DE的长是

15.如图，已知在四边形A3CZ）中，AD//BC,ZABD=ZC,如果40=3,8。=4,那么6C=

16.在△ABC中，sinA=[^（/A是锐角），NB=45。,AC=Vl（）,那么A5的长为.

17.如图，点G是△A3C的重心，点。是边AC的中点，GE//AC交BC于点E,DF//BC交EG于点、F,

则闻纲也的比值为

S.A8C

18.定义：当一个三角形有两个内角的差为90。时，这个三角形叫做“差直角三角形”.如图，在△ABC中，

AC=BC=\0,48=16,点。是边AB上的一动点（且AD〉8O）,若△8CO是“差直角三角形”，则CO

的长为

三、解答题（本大题共7题，满分78分）

21an60。

19.（10分）计算:+cos?45°

cot300-2sin30°

20.（10分）在平面直角坐标系/0），中，已知抛物线丁=/+心+。经过点43,-1）、3（0,-4）.

（I）求抛物线的表达式；

（2）若将该抛物线向上平移〃?（加＞0）个单位长度，使得平移后的抛物线与x轴只有一个公共点，求〃?的

值.

21,（10分）如图，在梯形/WC。中，ADHBC,fi—=-,点七是边AQ的中点，联结CE交对角线8。

BC3

于点F.

（I）当“D—6时，求。”的长;

（2）设尺4=a,8C=〃，请用〃、b表示BF.

AED

BC

22.（10分）长兴岛风电基地的巨型风电机将源源不断的清洁风能转化为电能，实现海岛能源的绿色转型

（如图I）.某校初三数学兴趣小组在完成解直角三角形应用知识的学习后，围绕“风叶长度的实地测算”

这一课题开展数学实践活动.已知三片风叶QA、OB、OC两两所成的角为120。，在实地测量中（如图2）,

当其中一片风叶OC与塔干0。叠合时（即O、C、。在一宜线上）,在与塔底D水平距离为200米的七处，

测得塔干顶部。的仰角为37。，风叶04的端点A的仰角为59。，点A,B,C,D,E,0,在同一平

面内.

（参考数据sin37。=0.6,tan37°0.75,tan59o^1.7,67）

（I）求塔干0。的长度；

（2）求风叶OA的长度.（精确到I米）

A

23.（12分）如图，在△48C中，点。、E分别在边8C、AC上，AB=AO,AO与BE交于点尸，且

BC2=ACEC.

（I）求证：/ADB=NBEC；

（2）如果人8=BC,求证：AEAD=AFBE.

24.（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线），=0¥2+2磔一3〃3<0）与1轴交于A和△两点

（点A在点8的左侧），与），轴交于点C,抛物线的顶点为。.

（I）求点A和点8的坐标；

（2）若点E与点C关于抛物线的对称轴对称，联结AE,AC,若AC平分NEAO,求抛物线的表达式:

（3）若点〃是抛物线第四象限上一动点，联结AQ、AC.DP、CP,线段。。与线段人C交于点〃，与

x轴交于点G,当SA/».=SC”时，求盛的值.

GP

备用图

3

25.(14分)已知在中，ZA=90°,A8=8,tan/?=-,点E是AB边上的一点，将△48C沿

4

着过点E的直线翻折，点A落在6c边上，记作点。，折痕所在的直线与射线AC交于点尸，过点。作

DG±BC,交射线8A于点G.

(1)如图1,当点上和点C重合时，求A&的长；

(2)如图2,当点尸在边AC上时，设8O=x,tan/AFE=y,求y关于x的函数解析式并写出定义域;

(3)延长。G,交C4的延长线于点〃，当△。切是以。”为腰的等腰三角形时，求EG的长.

图1图2备用图

参考答案

一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）

I.如果两个相似三角形的面积比为1:4,那么这两个三角形的对应中线的比为（）

A.1:2B.1:4C.1:8D.1:16

解：两个相似三角形的面积比为1:4,

.•.两个三角形的相似比为1:2.

又二•相似三角形对应中线的比等于相似比，

二.这两个三角形的对应中线的比为1:2.

综上所述，只有选项A正确，符合题意，

故选：人.

2.在用△A8C中，ZC=90°,AB=\0,AC=6,那么下列说法正确的是（）

..A33

A.sinA=—B.cosA=—C.tanA=—D.cotA=—

5555

22

解：由勾股定理得到：BC=NAB，-AC?=V10—6=8»

•,8C84AC63BC84AC63

sinA=---=—=一,cosA=---=——=:—,(an4A=---=—=—,cotA=---=—=—.

AB105AB105AC63BC84

故选：B.

3.将抛物线）-37平移，使顶点移到点的位置，所得新抛物线的表达式是（）

A.y=3（x+2）2-lB.y=3（x-2）2-lC.y=3（x+2）2+lD.y=3（x-2）2+l

解：•.,将抛物线y=3V平移，使顶点移到点的位置，

・••所得新抛物线的表达式是），=3以+2）2+1.

故选：C.

4.下列命题正确的是（）

A.如果如山,那么4=人

B.如果公方都是单位向量，那么a=b

C.如果°=一6,那么

D.如果〃?=0或。=0,那么〃心=0

解：A.向量相等需要人小和方向都相同，仅模长相等不能推出向量相等，故本选项不符合题意;

8.单位向量仅模长为1,但方句可以不同，不能推出向量相等，故本选项不符合题意；

C.方向相反的向量是平行向量，故本选项符合题意：

D.数乘向量的结果是向量，正确结论应为零向量，而不是数字0,故本选项不符合题意.

故选：C.

5.如图，在△ABC中，点。、E分别在4B、4c的反向延长线上，已知AC=2AE,下列条件中能判定

AD2DE1

~BD~3-2

解：选项8符合题意.

AD1

——=—,

AB2

•・・AC=24E,

ADAE

---=---，

ABAC

DEIIBC.

故选：B.

6.在△/WC和/中,AB=AC,DE=DF根据下列条件，一定能判断△A8C和△DEb相似的

是（）

人ABACABAC

A.——=-----C.NB=ZDD.ZC=ZE

DEDF~DE~~EF

解：A、两三角形的两边对应成比例，但夹角不一定相等，不能判定△/WC和△QE"相似，故A不符合

题意;

B、由=DE=DF,AB:DE=AC:EF,推出=日'判定△OE厂是等边三角形，但△ABC

不一定是等边三角形，因此两个三角形不一定相似，故B不符合题意；

C.AB.DE=AC:DF,48和4c的夹角是44,DE和。尸夹角是NO,应该是=NO而不是=N。，

才能判定△A8C和相似，故C不符合题意；

。、由两个等腰三角形的底角相等得到NA=N。，而A3:Q£=AC:O〃，判定△43C和△DE尸相似，

故。符合题意.

故选：D.

二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】

a_3

7.如果那么-—

b2~a+b~5

解：v-=-.

b2

3,

/.a=­b,

2

-b3

.£=2

a+b3,5

-b+b

2

故答案为：!

8.计算：2(a+2b)-3a=4b-a

解：原式=2。+4〃-3。

=4。一。.

故答案为：4b-a.

9.已知线段AB的长为45?，如果点P是线段AB的黄金分割点（AP>BP）,那么AP的值是（275-2）cm.

解：•.•线段A8的长为点P是线段A8的黄金分割点（AP>8P）,

，"二垦1.=垦1x4=(2-75-2)(c/〃)，

22

故答案为：（2石-2）.

10.如果抛物线），=3+1）/+4开口向下，那么。的取值范围是.

解：如果抛物线y=3+l）f+4开口向下,

抛物线y=（。+l）x2+4的二次项系数为a+1.

,效物线开口向下,

...4+1<0,解得；

故答案为：a

II.已知点8（-3,%）为二次函数丁=-。=1）2+女图象上的两点，那么y>为（填

或).

解：二次函数的开口向下，对称轴为直线x=l,开口向下时，点离对称轴越近，函数值越大,

点4(-1,x)到对称轴的距离为|-1-11=2,点3(-3,%)到对称轴的距离为|-3-11=4.

•・•且2<4,

­,•Xi>y2•

故答案为：>.

12.小明沿着坡度，=1:2.4的斜坡前行了65米，那么他距离地面的垂直高度上升了25米.

解：设小明距离地面的垂直高度上升了x米，

•••斜坡的坡度i=1:2.4,

.••小明行走的水平距离为2.4A-米,

由勾股定理得：X2+(2.4X)2=652,

解得：x=25(负值舍去)，

则小明距离地面的垂直高度上升了25米，

故答案为：25.

13.用“描点法”画二次函数)，=“/+法+c的图象时，列出了如下的表格：

X・・・01234・・・

y=ax2+hx+c•••-3010-3•••

那么当x=5时，该二次函数)，的值为8_.

解：从表格可知：抛物线的顶点坐标为(2,1),

设y=ax2+bx+c=a(x-2)2+1,

从表格可知过点(0,-3),代入得：-3=4(0-2)2+1,

解得：a=-\,

BPy=-(x-2)2+l,

当x=5时，y=-(5-2)2+l=-8,

故答案为：-8.

14.如图，已知直线《、/,、人分别与直线"交于点4、B、C,与直线交于点。、E、F,如果4

Q

AB=2,AC=5,EF=4,则。E的长是§.

AD

解：,・・A8=2,AC=5,

BC=AC-AB=5-2=3,

v/,///2///3,

DEAB

----=-----，

EFBC

DE2

43

D“E=—8.

3

故答案为：J

3

15.如图，已知在四边形ABC。中，ADIIBC,NABD=NC,如果AD=3,BD=4,那么BC=3

3

/ADB=NDBC,

・.・/ABD=ZC,

△ADB^△DBC,

BDAD

----=-----，

BCBD

・.・.4。=3,80=4,

BD24216

..DC=------=—=—>

A。33

故答案为：

3

16.在△48C中，sin4=H（NA是锐角），N8=45。，AC=M,那么AB的长为4

解：过点C作48的垂线，垂足为M,如图所示,

AMB

在ACM中，

si"=也.

AC

,/sinA-,AC=V?0,

10

CM=1,

则AM=J(M)2-r=3.

vZB=45°,CM1AB,

/BCM=NB=45°,

.•.=CA7=1,

:.AB=AM+BM=3+\=4.

故答案为：4.

17.如图，点G是△ABC的重心，点。是边AC的中点，GE//AC交8c于点E,DF//BC交EG于点、F,

则邈迦但的比值为』.

SABC3

A

金

BEC

解：连接4G,CG,AD,设CG的延长线交AB于点K,过点作BPJ.AC于点P,过点G作GQ,4c于

点Q，

•.•点G是△ABC的重心，点/)是边4c的中线，

二..4。经过点6,在4。的延长线上取一点，，使。”=DG,连接CH,如图所示：

•.•点。是边AC的中线，

AD=CD>

又DH=DG,

.••科边形4GC”是平行四边形，

:.AH//CG,

:.AH//GK,

,点G是△A8C的重心，

二.CK是△48C的中线，

；.AK=BK,

：.GK是△/W”的中位线，

BG=GH=2GD,

AD=AG+DG=3DG,

设GQ=〃，CD=a,

..AC=2CD=2a,

•・・BP_LAC于点P,6。14。于点。,

GQ/IBP,

/.△DGQs△DBP,

GQ_GD

..而=前’

・h二DG

~BP~3DG'

:.BP=3h,

=—x2«x3=

S.Rr=—2AC-BP23ah»

GE//AC交BC于点、E,DFNBC交EG于点、F,

四边形CDFE是平行四边形，

；.S四边形CDFE=CD•GH=ah,

.S四边形CDFE_ah_J

SAge3ah3

故答案为：-，

3

18.定义：当一个三角形有两个内角的差为90。时，这个三角形叫做“差直角三角形”.如图，在△A8C中，

AC=3C=1O,A8=16,点。是边A8上的一动点（且4。＞瓦＞）,若△8CO是“差直角三角形”，贝UCD

解：如图，过点。作CM48于M,过点。作。N〃CM,交BC于N.

.•.M为A8中点，AM=MZ?=8.

:.CM=UC2-MB2=6.AD>BD,

/BDC为钝角.

分两种情况：

®Z«DC-ZB=90°,则NBOC=NB+9()。，

/MDC=180°-Z.BDC=90°-ZB.

・・4cMD=NBMC=90°,NMDC=NBCM=90°-NB,

△CMDs△BMC,

CMMDnn6MD

BMMC86

解得MO=2,

2

：.CD=y/CM2+MD2=—；

2

②NBOC-NBCO=90°,则NBCO=NB/X7-90°,

；"CDN=NBDC—90°,

乙CDN=/BCD.

DN//CM,

△NDBs△CMB,

NDDBBNNDDBBN

••------------------,HI1------------------•,

CMBMCB6810

4S

:.ND=」BD,BN=-BD,

44

vZCD/V=NBCD,

二.CN=DN,

3S

BC=DN+BN=/-BD+-BD=}0.解得BO=5,

44

..MD=BM-BO=8-5=3,

:.CD={CM?+MD'=36,

综上，C。的长为丝或3店.

故答案为：号或立

三、解答题（本大题共7题，满分78分）

解：原式=---------+(——)

73-2x12

2

2G1

=京+3

=3+6+—

2

20.（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=f+云+c经过点4（3,7）、B（0,-4）.

（I）求抛物线的表达式；

（2）若将该抛物线向上平移机（加〉0）个单位长度，使得平移后的抛物线与x轴只有一个公共点，求〃?的

值.

解：（1）由题意可得:

32+3b+c=-\

得

c=-4

解得

.•・抛物线的表达式y=/-2x-4；

(2)v>>=x2-2x-4=(x-l)2-5,

二.咳抛物线的顶点为(1,-5).

要使抛物线与“轴只有一个公共点，即要求顶点在x轴上,

.•・顶点纵坐标应为0.

.•・将该抛物线向上平移5个单位后，所得抛物线与x轴只有一个公共点.

/.小的值是是

21.(10分)如图，在梯形A8CO中，AD//BC,且生=2,点后是边AD的中点，联结交对角线8。

BC3

于点F.

(I)当30=6时，求。尸的长：

(2)设BA=48C=〃，请用b表示BF.

:△DEFs^BCF,

•・•点E是A。的中点，且丝=2,

BC3

DE1

DE=-AD=-x-BC=-BC，即Hn——=-

2233BC3

.DFDE_\

DF=-BD=-x

42

(2)且丝=2,

BC3

一22-

/.AD=—BC=—b,

33

8。=ZM+AD且BA=a,

2

：.BD=a+-b,

3

由（1）知竺=1，即8/=3BD,

BF34

aq2.ai

BF=」BD=」（a+&b）=」a+_b.

44342

22.（1（）分）长兴岛风电基地的巨型风电机将源源不断的清洁风能转化为电能，实现海岛能源的绿色转型

（如图1）.某校初三数学兴趣小组在完成解直角三角形应用知识的学习后，围绕''风叶长度的实地测算”

这一课题开展数学实践活动.已知三片风叶。4、08、0。两两所成的角为120。，在实地测量中（如图2）,

当其中一片风叶。。与塔干0。叠合时.（即O、C、。在一直线上），在与塔底。水平距离为200米的七处，

测得塔干顶部。的仰角为37。，风叶OA的端点4的仰角为59。，点4,B,C,D,E,。，在同一平

面内.

(参考数据sin37。*06,tan37°«0.75,tan59°a1.7,6=1.7)

（1）求塔干0。的长度；

（2）求风叶04的长度.（精确到1米）

解：（1）由题意得：OD1DE,

在心中，NOKO—37。，£）五一2（）0米，

0D=DE-tan37°»0.75x200=150（米），

.•・塔干。。的长度约为150米；

（2）过点A作AF1OE,垂足为尸，过点。作。G_L4F,垂足为G,

.4

B

E

D

由题意得：/G=00=150米，0G=DF,NOOG=90。，

"00=120°,

NAOG=ZAOD-NDOG=30°,

设。r=0G=x米，则£/=。七一。/=(200-幻米，

在RrZ\40G中，AG=OGtan30°=—x(米)，

3

在/?，△4£：产中，ZAEF=59°,

AF=EF•tan59°。1.7(200-x)米，

vAF-AG=FG,

巧

.\1.7(200-x)-^yx=150,

解得：x=83.O,

.•.0G=83米，

在心△40G中，AO=°G«-^r^98(米)，

cos3006

T

风叶04的长度约为98米.

23.(12分)如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、4c上，AB=AD,4。与8石交于点尸，且

BC2=ACEC.

(1)求证：ZADB=ZBEC：

(2)如果A8=8C,求证：AEAD=AFBE.

BCEC

AC~BC

/C为公共角,

/.△ABCs△BEC,

/./ABC=/BEC，

7AB=AD,

/ABC=NADB,

/./ADB=NBEC；

（2）证明：AB=BC,

/BAC=ZC，

由（1）知NAZM=N3EC,

VZADB=ZCAD+ZC,NBEC=NEBA+NBAC,

^CAD=NEBA,

•//AEF=ZBEA,

△AEFs△BEA,

AEAF

:.AEAB=AFBE,

VAB=AD,

：.AEAD=AFBE.

24.（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线），=⑪2+2仆—34（〃<0）与x轴交于人和4两点

（点4在点8的左侧），与），轴交于点C,抛物线的顶点为。.

（I）求点A和点B的坐标；

（2）若点七与点C关于抛物线的对称轴对称，联结AE,AC,若AC平分NE4O,求抛物线的表达式;

（3）若点。是抛物线第四象限上一动点，联结A。、AC、DP、CP,线段QP与线段AC交于点尸，与

x轴交于点G,当时，求空的值.

备用图

解：(1)在丁=0^+2/-3。(。＜0)中，令)，=0得：0=6/x2+2tu-3«,

解得工=一3或/=1,

.4(-3,0),5(1,0)；

,/y=ax1+2ax-3a=a(x+1)2-4a»

/.抛物线)，=ax2+2ax-3a的对称轴为直线x=-\,

在y=av2+2at-3。中，令％=0得y=-3a,

C(0-3a),

点E与点、C关于抛物线的对称釉直线x=-1对称,

E(-2-3a),EC//x轴，

/./ECA=ZCAO,

AC平分NE4O,

/.^EAC=ZCAO,

^ECA=ZEAC,

/.AE=CE,

vA(-3,0),C(0,—3a),£(-2,-3t/),

J(-3+2尸+(0+34)2=2,

解得〃=走或〃=-近，

33

<7<0,

..a=------,

3

抛物线的表达式为y=-正--冬叵x+W：

33

(3)如图：

•/y=ax2+2ax-3a=a(x+1)2-40,

0(-1,-4«),

C(0,-3«),

直线C。解析式为y=av-3a,

,**SADF=SCFP，

SA[)p=S.ACP,

AP//C。，

设直线AP解析式为y=av+ni,

把A(-3,0)代入得：0=-3。+/〃，

in=3a,

二.直线AP解析式为y=ax+3a,

联立+

y-ax"+lax-3a

解得x=-：3或fr=2f,

),=0[y=5a

二.P(2,5”)，

由。(-l,-4a)，P(2,5a)得直线。P解析式为y=,

在y=3a中，令y=0得x=L

3

G(—,0),

vD(-lt-4a),P(2t5a),

,DG=g-…二呼,GP小一扑25『=亭.

DG4

---=—.

GP5

3

25.(14分)已知在R/Z\48C中，ZA=9()°,A8=8,tan8=二，点E是AB边上的一点，将△48C沿

4

着过点E的直线翻折，点A落在4c边上，记作点。，折痕所在的直线与射线AC交于点尸，过点。作

DG±BC,交射线8A于点G.

(I)如图1,当点上和点C'重合时，求A&的长；

(2)如图2,当点尸在边AC上时，设8O=x,tan/AFE=y,求y关于x的函数解析式并写出定义域;

(3)延长。G,交C4的延长线于点〃，当△。切是以。”为腰的等腰三角形时，求EG的长.

图1图2备用图

解：（1）在心448。中，NA=90。，A8=8,tanfi=—=-,

AB4

3

AC=-AB=6,

4

BC=y]AB2+AC2=10-

△CAE沿着CE折叠得到^CDE,

:.AE=DE,AC=DC=6,NCDE=/A=90°,

/.ZEDB=90°,BD=BC-DC=IO-6=4,

设AE=x,则。E=x,£B=8-x,

在RiADEB中，由勾股定理得^+42=(8-解得x=3,故AE=3：

(2)由翻折性质知AE=OE,AF=DF,尸=NA=90。，

DGA.BC,

;.NGDB=90。,

；"DGB+NB=9()。,NC+NB=90°,

/DGB=ZC.

•.・/EDF=4EDG+ZFDG=90°,NCDG=/CDF+NFDG=90°,

/CDF=