2025-2026学年北师大版八年级下全套专项复习提优

专项复习提优一三角形的证明及其应用

用时：120分钟总分:12。分得分:

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.已知。，力，c•是△ABC的三边，下列选项中不能判定三角形是直角三角形的是（）.

A.a=5,b=12,c=13B.ZB-ZC=ZA

C.ZA=37°,ZC=53°D.«2:/>2r2=l:V3:2

2.（2025.浙江竦州期中）以下命题是真命题为（）.

A.同旁内角相等,两直线平行B.若|a|=|b|,则a=b

C.对顶角相等D.面积相等的两个三角形形状一样

3.用反证法证明命题“在△ABC中.若ABWAC,则时首先应该假设（）.

A.AB=ACB.ZB=ZC

C.AB=AC且/B=NCD.AB=AC且NBrNC

4.（2025•眉山中考）如图.直线/与正五边形ABCDE的边AB,DE分别交于点M,N,则N1+N2的度数为（）.

5.如图,AB〃CD,BP和CP分别平分NABC和NDCB,AD过点P,且与AB垂直.若AD=10,则点P到BC的距

离是（）.

A.10B.8C.6D.5

6.（2025・遂宁中考）已知一个凸多边形的内角和是外角和的4倍,则该多边形的边数为（）.

A.10B.11C.12D.13

7.（2025.山东枣庄薛城区期末）综合与实践活动小组的四位同学帮助某景区完成景区项目策划方案，需要解决下

面的项目问题：如图，在该景区一块三角形绿地ABC的道路AB上建一个休息点M,使它到AC和BC两边的距

离相等，在图中确定休息点M的位置.下列方案能满足项目要求的是（）.

8.如图在△ABC中,AB=21cm,AC=12cm,NA=60。,点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q

从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动,设运

动时间为is,当^APQ为直角二角形时，I的值为（）.

A.2.5B.3C.2.5或3D.3或匚

4

9.如图（1）,分别以等腰直角三角形ACD的边AD,AC,CD为直径画半圆，所得两个月形图案AGCE和DH

CF的面积之和是a,斜边AD=4;如图⑵，分别以RSABC的三边为边长向外侧作正方形,面积分别汜为品52，邑$+

10（2025•陕西西安长安区期末）如图，四个全等的直角三角形围成了正方形ABCD和正方形EFGH,连接AC,

分别交EF,GH于点P.Q.已知9=巳正方形ABCD的面积为30,则图中阴影部分面积之和为（）.

A.6B.12C.yD.y

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

11如图，学校有一块四边形试验田，分割成A,B两块，由图可知x=.

12.（2025•吉林中考）如图，正五边形ABCDE的边AB.DC的延长线交于点F,则NF的大小为_____度

13.（2025・长春南关区四模）如图.等边三角形ABF在正五边形ABCDE的内部，连接EF.则NAEF的大小是一

____度

14.（2025・湖南益阳安化期末）如图，实线部分是，，赵爽弦图”示意图,它是由4个全等的直角三角形围成的，AC=

4cm,BC=3cm.现将4个直角三角形中边长为4cm的直角边分别向外延长1倍，得到如图所示的''数学风车"，则这

个“数学风车”的外围周长为cm.

15如图在△ABC中,AB=AC=4,P是BC上任意一点,过点P作PD1AC于点D.PE1AB于点E,若S“BC=1

2,贝IJPE+PD=

A

（第16题）

16如图，在由边长为1的小正方形组成的5x5的网格中，点A,B在小方格的顶点上，要在小方格的顶点中确

定一点C,连接AC和BC,使口46。是等腰三角形，则满足条件的点C的个数是_______.

17.（2025•武汉中考）如图，在口力取?中，/mC=10,4C=2由，点D在边AC上CD=3.若点E在边AB上满足

CE二BD,则AE的长是_______.

18如图，已知等腰三角形ABC,AB=AC^.BAC=\20匚6C于点D,P是BA延长线上一点，O是线段AD

上一点，OP=OC.下面的结论：UCAPO+。0>30;口口月。0=口。。0;口口0/<'是等边三角形；@AB=AO+AP.M43

正确的序号是_______.

三、解答题（本大题共8小题，共66分）

19（6分）如图是一个多边形BCDEF,A为多边形内一点，连接ARAB,3=90,QC=106,DD=116,DE=100,

求口2的大小.

20.（6分）（2025•甘肃兰州期末）如图、在-ABC^p,BD是高，D是AC边的中点，点E在BC边的延长线上、ED

的延长线交AB于点F,且£7中/优若nE=3（）.

（I）求证：口相。是等边三角形；

（2）请判断线段AD与CE的大小关系，并说明理由.

21、（8分）（2025•山东德州德城区期末）清明节假期，八年级数学兴趣小组的同学来到城区广场放风筝，他们想

知道风筝离地面的垂直高度,于是想利用所学数学知识来解决此问题，通过勘测，得到如下记录表：

模型抽象

ED

(第21题)

。测得放风筝的手B到地面的距离BE为1.7米；

测绘数据②测出放风筝的手B到铅垂线AD的水平距离BC为15米；

③通过手中剩余线的长度，计算出了风筝拉线AB的长为17米.

相关说明点A,B,C,D,E在同一平面内，直线DE表示水平地面.

请你根据记录表信息，完成下面的任务：

(1)求风筝离地面的垂直高度AD.

(2)如果想要风筝沿DA方向再上升12米，BC的长度不变，那么需再放出多少米的风筝拉线?

22(8分)(2025・四川达州万源期末)如图，在二/8C中直线1垂直平分边BC.分别交AC,BC于点D,E.连接BD.

(1)若AB=9,AABD的周长为19,则AC的长为:

⑵若UDB=90.求LMC8的度数；

⑶已知点P在线段DE上，且点P在边AC的垂直平分线上，连接PC,试判断点P是否在边AB的垂直

平分线上，并说明理由.

23.(8分)在直角三角形纸片ABC中,NACB=9()o,ACWBC,如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC

上，记落点为D,设折痕与AB,AC边分别交于点E,F.

(l^/AFE=55o*NCDF的度数；

⑵若折叠后的△CDF为等腰三角形，连接AD,求NADC的度数；

(3疮⑵的条件下，若△BDE也为等腰三角形，求纸片中/B的度数

24(8分)(2025.福建泉州惠安期末)已知直线巾，!!于点0,点A在直线m上.点B在直线n上.

⑴如图(1),射线AC,BC分别是NBAO和NABO的平分线.问:点A.B运动过程中,NACB的大小是否会发生变

化?若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求NACB的大小.

(2)如图(2),延长AB至点E,AF是/BAO内的一条射线,与直线n相交于点D,若NEBD,NFDB,NBAD的干

分线恰好交于点G,过点G作GH1AE于点H,设/BGH=a,/AGD邛试探究a和p满足的数量关系，并证明.

(3)如图⑶，延长AB至点E,已知NABO,NOBE的平分线与NBOQ的平分线所在直线分别相交于M,、在4B

MN的三个内角中，若存在一个角是另一个角的3倍，请求出NBAO的度数.

(第24题)

25.(10分)如图Q是等边三角形ABC内一点,D是外的一点，口404=11(),[BOC=a,

EBOC)匚/OC,匚OCD=60，连接OD.

(1)求证：口。。。是等边三角形.

(2)当a=150时，试判断〔力。。的形状，并说明理由.

(3麻究：当a为多少度时,[是等腰三角形？(第25题)

26（12分）在等边三角形ABC中，点E在AB上点D在CB的延长线上，且ED二EC.

⑴【特殊情况，探索结论］如图⑴，当E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结

论:AEDB（填或

（2）［特例启发，解答题目|如图⑵，当E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接

写出结论.AEDB（填“或理由如下:过点E作EFUBC,交AC于点F.请你完成以下解答过程.

⑶［拓展结论，设计新题］在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED

=EC若匚48。的边长为1,AE=2.求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）.

（第26题）

专项复习提优二不等式与不等式组

用时：120分钟总分:120分得分:

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.（2025.陕西西安雁塔区期中）如图是某幼儿园附近道路对汽车的限速标志，表示汽车在该路段行驶的速度不得

超过30km/h.用v（km/h）表示汽车的速度，v与30应满足的关系为（）.

A.v<30B.v<30

C.v>30D.v>30

2.下列说法不正确的是（）.（第1题）

A若a>b.则a+4>b+4B.若a<b,cH0,贝！］ac2<bc2

C若-<-,c>0,则a<bD.若-2a-1<-2b-1厕a<b

cc

3.（2024•宁夏中考）已知|3-a|=a-3,则a的取值范围在数轴上表示正确的是（）.

610I3r6I**

ABcD

4.（2024.河南中考）下列不等式中，与-x>1组成的不等式组无解的是（）.

A.x>2B.x<0C.x<-2D.x>-3

5.老师设计了接力游戏，用合作的方式完成解不等式，规则是：每人只能看到前一人给的不等式，并进行一步

计算，再将结果传递给下一人，最后完成求解，过程如图所示.接力中，自己负责的一步出现错误的是（）.

老师甲乙丙丁

>丝1|5(2+4)>3(2+-1)|~10+5x>6%-354-6%>-3-10|%>13

3□-----------------------------------・------

（第5题）

A.甲B.乙C.丙D.T

6.（2025.辽宁朝阳建平期末）根据物体的沉浮条件，物体在同一液体中受到的浮力F浮与物体重力G重的关系决

定物体的状态：当甲时物体上浮；当「产甲时物体悬浮或漂浮；当甲时物体下沉.不等式%>G甲做

如下变化时，依据不等式的性质，该物体一定仍然上浮的是（）.

A"浮十心G”B.2F^a>2G-^a

浮甲

甲RD.2F-a>2G-b

C5>G浮甲

7.（2025•河南信阳淮滨河东中学月考）如图,直线），=，内+〃与x轴交点的横坐标为-2,与直线产-X交点的横坐标

〃弋。°’的解集为（

为-1,则不等式组｛).

A.x<0B.x>-2C.-2<x<0D.无解

0900

小玻璃球小铁块

（第8题）

8.（2025・聊城模拟）如图，一个容量为400cm3的杯子中装有200cH的水，先将6个相同的小玻璃球放入这个杯子

中后，总体积变为320cm3,接着依次放入4个相同的小铁块，直到放入第4个后，发现有水溢出者每个小玻璃球

的体积是acm3,每个小铁块的体积是bcm3,则（）.

A.320+4b<400B.a+b<40

C.环子中仅放入6个小铁块，水一定会溢出D.杯子中仅放入8个小玻璃球，水一定不会溢出

6x-5>rn,2cFv=4

9.若m使得关于x的不等式组｛*-J至少有2个整数解，且关于x,y的方程组转的解满足

x-y>i0,则满足条件的整数m有（）.

A.6个B.5个C.4个D.3个

10.（2025・重庆实验外国语学校月考）定义一种新运算：出=。黑黑:

①若x®2=3,则x=l或x=5;

②若|x-l|®2N3,则x>6;

③若(x-1)(x-3)<0则(x-4)®(3x-2)|+|4x+8|的最小值为14;

④若关于m，n的二元一次方程组｛娼鬻的解为喟’则关于x，>的方程组

[(『+公+1)@①一2什7)]+[(4炉fy+5)®(—4/一1)]=&漾舁

*®(-)]+[(-产6)®。7")曰的解x，y满足x®y-x+y.

以上说法正确的有（）.

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题（本大题共8小题,每小题3分，共24分）

11.（2024.广东中考）关于x的不等式组中，两个不等式的解集如图所示,则这个不等式组的解集是

01234567

(第11题)（第15题）

12若关于x的不等式（1+m）x>3的解集为K含，则m的取值范围是

13一次函数y=kx+b（k/））中两个变量x,y的部分对应值如下表所示，那么关于x的不等式kx+b<3的解集是—

X•・・-4-3-2-10・・.

y•151173-1

14.（2025•广东清远月考）如图，直线y=kx+b（k〈0）经过点P（l,l）,当kx+b<x时,x的取值范围是_______.

15在实数范围内规定一种新的运算“☆”，其规则是：a☆b=3a+b,已知关于x的不等式m>l的解集在数轴

上的表示如图所示，则m的值是_______.

16在平面直角坐标系xOy中不重合的两点A（m,n）,B（n,m）都在直线y=kx+b（kW0）上，则不等式kx+b<0的解集为

.（用含m.n的式子表示）

17.（2024.长治二模）为方便电动汽车充电，李老师安装了家庭充电桩，该充电桩峰时、谷时充电的电价分别为0.

5元/度，0.3元/度.已知李老师的电动汽车平均每月在家庭充电桩的充电量为180度，且每月充电所花电费不超过6

4元，则李老师的电动汽车在家庭充电桩谷时的充电量至少为________度.

18.已知点P（l-a,2a+6）在第四象限，且关于x的不等式组出'无解,则a的取值范围是_____.

三、解答题（本大题共8小题，共66分）

19.（6分）（2025.吉林长春期末）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程

为该不等式组的关联方程.例如：方程2x-6=0的解为x=3,不等式组广一匕"的解集为Yxv4,因为1<3<4,所以称方

.r<4

程2x-6=0为不等式组｛尸［0、的关联方程.

x<4

［概念应用］

（1注方程①3x-3=0;②：x+l=0;③x-（3x+l）=-9中，不等式组｛2鬻?的关联方程是________.（填序号）

3-x+8<cr+1

⑵若不等式组的一个关联方程的解是整数，目这个关联方程是x+m=0,求常数m的值.

20（6分）已知整式3（；+加）的值为巴

⑴当m=l时，求P的值;

⑵若P的取值范围如图所示，求m的取值范围.---------；■—；------1

-101234567

（第20题）

21.（8分）我们把符号/称为二阶行列式，规定它的运算法则为I：2必从,例如J；；RX5-3X4=-2

⑴求不等式3-的解集；

⑵若关于x的不等式J<0的解都是（1）中不等式的解，求n的取值范围.

茗*3的解满足x-y<0-

22.（8分）已知关于x,y的二元一次方程组

⑴求k的取值范围；

（2疮（1）的条件下岩不等式（2k+l）x-2k<1的解为x>l,请写出符合条件的k的整数值.

23（8分）（2025•湖北武汉黄陂区月考）已知点A（m.2）,B（m+2,5）,过点A,B分别作x,y轴的平行线:两平行线交于点

（1）直接写出口力加珀勺面积：；

（2）如图，点A,B都在第一象限时，若S0AB=S扉〃+】，求m的值；

（3旌接OA,OB,当口。川的面积大于4且不大于7时，直接写出m的取值范围：.

24（8分）（2025.江苏淮安涟水期末）环球飞车是一种特技表演，其中多辆摩托车在一个球形的金属笼子里高速骑

行，表演者会垂直、倒置或倾斜骑行，而不会相撞.

（1物理学原理:摩托车手能在球形铁笼内骑行而不下落需满足旋转产生的离心力F>重力G.已知离心力p=与,

重力G二mg（其中m为车手及摩托车总质量,v为骑行速度，r为半径，g为重力加速度且g取10）,摩托车手以6米

/秒的速度在半径为3米的铁笼内表演，则（填“有”或“无”）掉落的危险.

（2）如图，两位摩托车手在周长为16米的水平圆形轨道上匀速顺时针进行骑行表演（最低安全速度为5米/秒），

开始计时时两位车手分别位于图中A,B两点位置（A,B关于球心中心对称），已知位于点A处的摩托车手速度为

6米/秒，要使安全表演时间超过16秒，贝I」位于B处的摩托车手速度v（米/秒）的取值范围为.

B

（第24题）

25(1()分)我们已经学习了有理数乘法，不等式组与方程组的知识，它们之间有着一定的逻辑关联，请解决以下

问题：

⑴阅读理解:解不等式(x+l)(x-3)>0.

解：根据两数相乘，同号得正，原不等式可以转化为｛"［恐或｛：工法解不等式组｛之打得x>3；解不等式

组｛二鬻得XV-1.

・♦•原不等式的解集为x>3或x<-l.

问邈解决；根据以上材料，解不等式(x-5)(x+6)〈0.

⑵已知关于x,y的方程组以;誓:L的解满足不等式组求满足条件的田的整数直

26(12分)(2025.遂宁中考)为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，某社区决定购买A,B两种型号的新型垃圾

桶.现有如下材料：

材料一：已知购买3个A型号的新型垃圾桶和购买2个B型号的新型垃圾桶共380元；购买5个A型号的

新型垃圾桶和购买4个B型号的新型垃圾桶共700元.

材料二：据统计该社区需购买A.B两种型号的新型垃圾桶共200个，但总费用不超过15300元，且B型号的

新型垃圾桶数量不少于A型号的新型垃圾桶数量的j.

请根据以上材料，完成下列任务：

任务一：求A,B两种型号的新型垃圾桶的单价.

任务二：有哪几种购买方案？

任务三：哪种方案更省钱?最低购买费用是多少元?

专项复习提优三图形的平移与旋转

用时：120分钟总分:120分得分:

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.如图,在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0,3）,△OAB沿x轴向右平移后得到△O，AB,点A的对应

点A，在直线y=x上，则点B与其对应点间的距离为（）.

2.（2025•青岛中考）围棋是中华民族发明的博弈活动.下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称

图形的是（）.

3.八年级某数学兴趣小组在一次综合实践活动中,为研究中心对称图形的性质,对于已知八ABC以及△ABC

外的一点O,分别作ABC关于O的对称点ABC,如图厕下列结论不成立的是（）.

A.点A与点A，是对称点B.BO=B'OC.ZAOB=ZA'OB'D.ZACB=ZC'A'B'

4.（2025•南通中考）如图.将△ABC沿着射线BC平移到△DEF.若BO6,EC=4,则平移的距离为［）.

A.2B.4C.6D.8

5.如图，在平面直角坐标系中，将点A先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到对应点B,

再把点B绕原点顺时针旋转90。后的点C的坐标是（）.

A.(1,3)B.(-4.1)C.(1.4)D.(3,-1)

6.如图.在三角形ABC中,AB=3,AC=5,BC=6,将三角形ABC沿BC方向平移3个单位长度狷到三角形DEF,则下

列结论①AB//DE;②AD〃BC;③BF=9;④阴影部分的周长为14.其中正确结论的个数为（).

A.1个B.2个C.3个4个

Q\M\Q

D'

（第8题）（第9题）（第10题）

7.如图，在等腰三角形ABC中，ZA=120°,将^ABC绕点C逆时针旋转a（0<a<90）得到4CDE,当点A的

对应点D落在BC上时.连接BE,则ZBED的度数是（）.

A.30°B.45°C.55°D.75°

8.在如图所示的正方形网格中，四边形ABCD绕某一点旋转某一角度得到四边形AECD（所有顶点都是网格

线交点），在网格线交点M,N,P,Q中，可能是旋转中心的是（）.

A点MB.点NC点PD点Q

9.（2025•江苏南京玄武区期末）用9个大小相同的等边三角形组成如图所示的图形，其中，由阴影三角形经过一

次轴对称变换能得到的白色三角形的个数为x,由阴影三角形经过一次旋转变换能得到的白色三角形的个数为y,

则x,y的值分别是（）.

A.5,6B.5,8C.6,6D.6,8

10如图,0是等边三角形ABC内一点0A=2QO4,0B=26将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60。得到

线段B0',连接AO,则S”C-SAOC的值为（）.

八9。D.竽

A.5V3B.4V3C-V

二、填空题（本大题共8小题,每小题3分，共24分）

H已知点A到x轴、y轴的距离分别是5,7,且点A在第四象限，则点A关于原点对称的点的坐标为

12如图，将△ABC绕点A逆时针旋转两次得到△ABC每次旋转的角度都是60。若NBAO145。厕NBAC=

13将点P(m,m+4)向上平移2个单位长度得到点Q,且点Q在x轴上，那么点P的坐标为,

14(2025.河北衡水故城月考川各点P(x,y)平移到P(x+t,y-t)称为将点P进行“t型平移”，将图形上的所有点进行

“t型平移,称为将图形进行X型平移”.已知点A(1,1)和点B(3,1)，若线段AB进行“t型平移”后与y轴有公共点，

则t的取值范围为.

15(2025・湖南衡阳期末)如图，直线1上摆放着两个大小相同的直角三角板ABC和DEC,将三角板DEC沿直

线1向左平移到如图所示的位置，使点E落在AB上的点E处，P为AC与ED的交点.若图中三块阴影部分的面积

之和为9,则一个直角三角板的面积为.

16.如图,△ABC,△CDE都是等边三角形，将^CDE绕点C旋转，使得点A,D,E在同一直线上.连接BE.

若BE=2,AE=7.则CD的长是_______.

17如图，在长方形地块内修筑同样宽的两条“相交”的道路，余不部分做绿化，当道路的宽为2米时,则绿化的

面积为平方米.

18.(2025•河南驻马店期末)一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，其中ZO=ZCAD=90°,ZOAB=ZB=

45。,ND=30。,NC=60。若固定三角板AOB,将三角板ACD绕点A转动.当CD〃OB时./BAD的度数为.

三、解答题(本大题共8小题，共66分)

19(6分)如图所示的3x3方格图都由9个相同的小正方形组成，每个方格图中有3个小正方形已被涂上阴影，

请在余下的6个空白小正方形中，按下列要求涂上阴影.

(1底图(1)中选取I个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形；

(2疮图⑵中选取1个涂上阻影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形，但不是轴对称图形.

(1)⑵

(第19题)

20(6分)(2025•陕西商洛期末)如图，三角形ABC是由三角形ABC经过平移得到的，点A,B,C的对应点分

别为且这六个点都在格点上，解答下列问题：

(1)分别写出点B和点E的坐标，并说明三角形.ABC是由三角形ABC经过怎样的平移得到的；

⑵若M(a+1,2b-5)是三角形ABC内一点，它随三角形ABC按⑴中方式平移后得到的对应点为N(2a-7,4+b),

求a和b的值；

⑶连接BC.直接写出1cBe'与［@C'O之间的数量关系

21.(8分)(2025・山东聊城高唐期末)P为。内任一点.连接AP.BP.CP,将匚AC承点A逆时针旋转60狷到

匚AED.

(1)如图，试判断L1WP的形状，并说明理由.

(2诺P是148。内一个动点，试说明当B,P,D,E四个点满足什么位置条件时，PA+PB+PC的和最小?

(第21题)

22.(8分)(2025.山东济宁邹城期末)［探究］力&0,外是平面直角坐标系中任意一点，将点A向左平移1个单位长

度得到点小,将点A向右平移t个单位长度得到点力2、根据线段中点的定义可知，A是线段力|小的中点.

⑴点小的坐标为点刈的坐标为，点小与点儿的横坐标之和为；

(2)若平行于x轴的线段当多的一个端点々的坐标为(仇，立另一个端点々的横坐标为办则用含有仇，3和b

的式子表示线段4出2的中点坐标为；

(3)请利用类似的方法探究并归纳：若平行于y轴的线段的一个端点G的坐标为(eg),另一个端点C2的

纵坐标为C2,则用含有。茂2和C的式子表示线段C|C2的中点坐标为；

［应用］

(4)已知点M的坐标为点N的坐标为(2n-5,m),点P的坐标为(n,3m-2n),点Q的坐标为(n,n-2m).且线

段MN和线段PQ的中点重合,求m和n的值.

23.(8分)⑴如图(1),P是等边三角形ABC内一点PA=6,PB=8.PC=10.若P'是匚外的一点，且匚P4B匚P4C,

求PP'的长度及/P8的度数.

(2)如图⑵,Q是等边三角形ABC内一点，04=5,。8=12,口彳。8=150.连接CQ,求CQ的长.

(第23题)

24(8分)阅读下面材料，并解决问题：

⑴如图⑴.等边三角形ABC内有一点P.若点p到顶点A.B.C的距离分别为3.4.5.求□力P3的度数.

为了解决本题，我们可以将ZM8P绕顶点A旋转到EMCP'处，比时匚力CP'□匚48P,这样就可以利用旋转变换，

将三条浅段PA,PB,PC转化到一个三角形中，从而求出口力05=.

(2)［基本运用］请你利用第(1)问的思想方法，解答下面问题：

如图(2),在匚力4。中，□CJ5=90a^^=JC,E,F为BC上的点且□£XF=45」,求证：EF2=BE2+FC2.

(1)⑵

(第24题)

25（10分）（2025•山东德州夏津期末）在平面直角坐标系中.点A.B的坐标分别为（10）,（4,0）,现同时将点A,B分别

向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度，分别得到A,B的对应点C,D,连接AC,BD,CD.

（1）点C的坐标为，点D的坐标为.

（2）P是x轴上（不与B点重合）的动点.

①如图⑴.连接PC,BC,使SPBC=2SMG求符合条件的点P的坐标；

②如图⑵,Q是线段BD上一定点，连接PQ,请找出口60。十二户。4与口。。4的数量关系，并说明理由.

（第25题）

26（12分）如图,在四边形ABCD中，ADJBC^是CD的中点.连接AF并延长交BC的延长线于点E.

⑴求证：点F是线段AE的对称中心；

（2求证：四边形ABCD的面积与力以斑面积相等；

（3港AB=ADiBC,试判断线段AE的垂直平分线是否一定经过点B,并说明理由.

（第26题）

专项豆习提优四因式分解

用时：120分钟总分:120分得分:

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.对于①x-3xy=x（l-3y）,②（x+3）（x-l）=x2+2x-3从左到右的变形，下列表述正确的是（）.

A.都是因式分解B.都是乘法运算

C.①是因式分解,②是乘法运算D.①是乘法运算，②是因式分解

2.若则a的值是（).

A.1B.-1C.6D.-6

3.将下列多项式因式分解，结果中不含有因式x-l的是（）.

A.%2-1B.x2r

C.C—2x+lD.(X+2)2-2(X+2)+1

4.在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a>b）,再沿虚线剪开，如图（1）,然后拼成一个梯形，如

图⑵.根据这两个图形的面积关系，下列式子成立的是（）.

b

aaa

（1）（2）

（第4题）

A.a2-b2-（a+b）（a—b）B.（a+b）2—a2+2ab+b2

C.（a-b'）2=a2-2ab+b2D.a2-tr=（a-b）2

5.下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（）.

A.一层+户B.-cr-lTC.后+妹D.一（“2+力2）

6.马小虎同学做了一道因式分解的习题，做完之后，不小心让墨水把等式：=（/+4）（0+2）口3上）中的两个

数字盖住了,那么式子中的■,▲处对应的两个数字分别是（）.

A.64.8B.24.3C.16,2D.8,1

7.（2025.山西长治期末）我们定义L个整式能表示成人/伍力是整式）的形式则称这个整式为完全式二例如：

因为M=『+2u+2产&+4+/（x,y是整式）所以M为“完全式”.若S=f+4产8工+12尹A（x,y是整式K为常数）为“完

全式”，则k的值为（）.

A.23B.24C.25D.26

8.已知a,b,c分别是△ABC的三边长，若ac-bc=-a2+2ab-b2^]△ABC是（）.

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等访三角形D.不能确定

9.当m为自然数时，（4〃?+5）2-9一定能被下列数整除的是（）.

A.5B.6C.7D.8

10若过3出的结果为整数，则整数n的值不可能是（

).

A.44B.55C.66D.77

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

11.（2025•枣庄山亭区一模）在整式的学习中我们常常使用拼图的方法得出相应的等式，利用如图所示的拼图分解

因式：a2+3ab+2b2=

a

b

（第11题）

12若三项式4a2-24+1加上一个西项式后能用完全平方公式因式分解，请写出一个这样的单项式：

13.计算：(-2)2。25_(_2)2。26=

14如图，长方形的长、宽分别为a,b,且a比b大3,面积为7,则^人"?的值为.

15.（2024淄博中考）若多项式4F-〃因疗旷能用完全平方公式因式分解，则m的值是

16（2025・四川成都期中）若关于x的多项式/+如+2能够被多项式x-1整除,则常数a的值为

17.（2025•江苏连云港海州区板浦实验中学月考）已知代数式的值是6,则代数式3+2/+7的值是

18设n是小于100的正整数且使5/+3〃-5是15的倍数，则符合条件的所有正整数n的和是

三、解答题（本大题共8小题，共66分）

19（8分）把下列各式因式分解：

⑴2〃?(/〃一〃)2-8〃?2(〃一〃7)；(2)-8(〃L〃)％+12(加一〃)2//一4(〃7-〃)2。3；

(3)25(,H+3)2-16;(4)(2〃计I),-6(2〃?+1/+9(2/〃+1).

20（6分）利用因式分解简便计算