北师大版初中数学九年级相似三角形测高导学案设计

北师大版初中数学九年级相似三角形测高导学案设计

一、导学案基本信息

本导学案严格依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》第四学段（七至九年级）图形与几何领域中“图形的变化”与“图形与坐标”主题相关要求，针对北京师范大学出版社九年级数学上册第四章“图形的相似”第六节“利用相似三角形测高”进行整体设计。本课定位为相似三角形核心知识在真实情境中的迁移应用课，兼具几何推理验证与数学建模实践的双重属性。授课对象为已完成相似三角形判定与性质系统学习的九年级学生，共安排1个标准课时，教学时长45分钟，课型为项目式主题探究课。

二、教学内容深度分析

（一）教材地位与作用【核心】【重要】

本节内容是北师大版九年级上册第四章“图形的相似”的收官之作，前承相似三角形的定义、判定定理（两角分别相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例）及性质定理（对应角相等、对应边成比例、对应线段比等于相似比、面积比等于相似比的平方），后启九年级下册第一章“直角三角形的边角关系”及第三章“二次函数”中的最值建模。作为初中阶段首个将平面几何知识系统应用于实际测量的典型案例，本节承载着三重核心功能：其一，知识整合功能，通过影子法、标杆法、镜子法将零散的相似判定条件整合为可操作的测量模型；其二，思维进阶功能，实现从静态的图形计算到动态的方案设计的认知跃迁；其三，素养落地功能，是培育学生几何直观、推理能力、应用意识与创新意识的绝佳载体。【高频考点】近五年全国中考卷中，约百分之八十五的试卷在本章范围内设置一道以测高为背景的解答题或情境填空题，模型识别与比例式计算为必考技能。

（二）学情诊断分析【基础】【难点】

认知起点层面，学生已能熟练运用“ＡＡ”判定相似直角三角形或含平行线的三角形，对“对应边成比例”的代数变形具备基本运算能力。但调研显示，约百分之六十二的学生在面对文字描述的实际情境时，无法准确剥离出相似三角形的几何图形，症结在于“如何发现隐藏的相等角”。能力储备层面，学生具备基础的实验操作经验（如长度测量），但对测量方案的系统设计、误差来源的理性分析、多解法的优劣比较缺乏训练。心理特征层面，九年级学生对户外实践类任务兴趣浓厚，愿意动手尝试，但容易陷入“为测而测”的浅层操作，忽视对数学原理的深度追问。因此，本课将认知冲突设置在“同一问题多种模型”与“理想数据与现实误差”之间，驱动深层思考。

（三）核心素养指向

1.几何直观：能够根据测量情境想象出相似三角形的对应关系，在无网格背景下徒手绘制准确的测量示意图。

2.推理能力：能依据平行线性质、光的反射定律等科学原理论证所构造的三角形确实相似，并规范书写推理过程。

3.建模思想：完整经历“现实对象—数学模型—数学解—现实检验”四阶循环，初步体会数学建模的一般步骤。

4.创新意识：敢于突破教材提供的三种固定方法，尝试组合测量工具或引入比值参数简化操作。

5.科学态度：尊重测量数据，面对误差不随意篡改数字，能基于误差反向优化测量方案。

（四）跨学科融合视点【热点】

1.物理学维度：影子法依托“光在同种均匀介质中沿直线传播”，镜子法依托“光的反射定律——入射角等于反射角”，本课将同步呈现物理原理与几何条件的等价转换。

2.地理学维度：拓展环节引入“同一时刻不同纬度太阳高度角不同”，说明影长法具有地域局限性，渗透全球视野。

3.工程技术维度：类比无人机倾斜摄影测量中的“立体像对”原理，其核心仍为相似三角形对应边比例，实现初高衔接。

4.历史文化维度：融入泰勒斯测金字塔、郭守敬测日影等数学史素材，强化民族自信与学科人文价值。

三、教学目标精准定位

（一）知识技能目标【基础】【高频考点】

1.理解影子法、标杆法、镜子法的基本原理，能准确说出每一种方法中相似三角形的对应顶点、对应边及判定依据。

2.能根据测量数据正确列出比例方程并求解未知高度，计算正确率不低于百分之九十。

3.能识别变式情境（如影子落墙、斜坡测高、底部不可达）中的相似模型，并添加辅助线转化为基本型。

（二）过程方法目标【重要】

1.通过小组合作完成一项实地测量任务，经历“方案设计—实地测量—数据整理—计算验证—反思改进”全过程，发展有条理的思考与表达习惯。

2.通过对三种测量方法的对比归纳，抽象出“构造相似三角形”的本质是“建立已知线段与未知线段的比例关系”，领悟转化与化归思想。

3.在误差分析活动中，初步感知测量学中的“多次测量取平均值”原则，形成定量数据分析的初步能力。

（三）情感态度价值观目标

1.体验数学在解决生活问题中的不可替代性，增强“数学有用、我要用数学”的内在动机。

2.养成严谨求实的科学态度，在小组协作中学会倾听、接纳不同意见，培养团队合作精神。

3.感受古代学者与当代工程师共同的思维智慧，树立崇尚理性、追求真理的价值观。

四、教学重难点及突破策略

（一）教学重点【重要】【高频考点】

构建相似三角形模型，并利用对应边成比例列出比例方程求解未知量。

突破策略：采用“模型三阶教学法”——第一阶，教师板演标准情境下的模型识别全过程；第二阶，提供半结构化草图，学生补充对应边；第三阶，只给文字描述，学生独立画图建模。辅以几何画板动态参数演示，强化“哪两个三角形相似”的视觉锚定。

（二）教学难点【难点】【易错点】

1.测量方案设计的可行性——学生常忽略“同一时刻”“人眼高度”“标杆竖直”等隐含条件。

2.误差背景下的数据近似处理——实际测量中影长、距离往往为非整数，学生对于保留小数位数、四舍五入时机感到困惑。

3.复杂情境的模型迁移——如旗杆影子部分落在台阶上、利用水的反射替代镜子等变式。

突破策略：难点一通过“方案听证会”形式暴露错误预设，以反例推动认知修正；难点二引入测量学真实规范，明确“测量值精确到0.1米，计算过程保留分数形式，最终结果四舍五入到0.1米”；难点三通过“一题多变”题组训练，固化“作垂线、构平行”的辅助线通法。

五、教学方法与学法指导

（一）教法选择

本课采用“CPUP模型”（真实情境—问题链—理解性展评—项目实践）。摒弃单一讲授，改为“大任务统领、微探究支撑”的融合模式。教师角色转化为学习环境设计师、关键追问发起者与资源支架提供者。前二十五分钟为室内建模工作坊，后十五分钟为室外（或模拟）实证测量，最后五分钟回归室内进行理性升华。全程穿插基于真实数据的即时评价。

（二）学法指导

1.【非常重要】阅读建模法：指导学生使用“圈、画、译”三步读题——圈出长度术语（身高、影长、距离），画出情境简图，将文字翻译为数学符号。

2.工具运用法：规范卷尺的零点对齐、标杆的铅垂校正、镜面的水平放置，建立操作类知识的行为程序。

3.反思进阶法：每个测量任务后必答两个问题——“我们的结果合理吗？”“如果重测，哪一步可以做得更好？”

4.思维可视化：要求学生测量手记中必须包含比例线段与相似符号（∽）的标注，强制外显思维路径。

六、教学资源与环境准备

（一）教师资源配置

1.数字化资源：几何画板动态课件（含可拖拽点改变影长、镜位，实时计算物高）、三则微视频（泰勒斯测金字塔30秒、标杆法操作规范45秒、镜子法物理实验20秒）、班级在线文档用于实时汇总各小组数据。

2.实体工具：每实验小组配备工程卷尺（5米）1把、定制标杆（总高2米，每10厘米有刻度）1根、圆形平面镜（直径15厘米）1面、粉笔（标记点位）数支、记录夹板1个。

3.导学学具：彩色导学案纸（区分基础区、探究区、反思区）、测量手记活页、自评互评星级卡。

（二）学生前置准备

1.知识复诊：独立完成导学案“前测驿站”——相似三角形判定选择填空，正确率低于百分之八十的小组需课前观看教师推送的微课。

2.工具预研：以小组为单位自学教材附录“测高工具使用说明”，初步讨论本组最想挑战的测量对象（旗杆、篮球架、香樟树、教学楼）。

3.小组建设：6人小组固定角色轮换制——组长（统筹协调）、测量员A（主测长度）、测量员B（辅助立杆/镜）、记录员（填表、绘图）、计算员（列式求解）、发言员（代表展评）。

七、教学实施过程（核心环节深度展开）

【总时长45分钟，以下为全流程精细化描述】

（一）微历史·大问题——情境驱动与认知冲突（3分钟）

1.教师行动与话语实录

教师点击播放自制动画短片《两千六百年前的智慧》：画面呈现尼罗河畔，泰勒斯仅持一根六尺之杖，于清晨和正午两次测量金字塔影长与杖影长，向法老精确报出塔高。定格至泰勒斯肖像，教师追问：“泰勒斯的时代没有相似三角形定理，他凭什么敢于断言？”板书副标题——“当数学尚未诞生，推理已然存在”。

随即切换至校园实拍全景图，标识四组神秘高度：旗杆（约15米）、孔子像基座（2.5米）、银杏古树（12米）、综合楼女儿墙（22米）。发布项目指令：“各小组受聘为校园基建处特约测绘队，45分钟内必须提交一份包含原理、数据、计算、误差分析的正式测量报告。测绘工具已备，你们选择哪一目标？运用哪一方法？”【非常重要】此处将教材例题情境升级为真实投标任务，直接触发学生的主人翁意识。

2.学生认知反应预判

前百分之二十学生会迅速联想到“影长与物高成正比”的小学算术经验，但很快发现旗杆底部有灌木丛，影长终点难以精准定位；另有学生质疑阴天无影怎么办。教师捕捉此质疑点，顺势转入下一环节——方法并非唯一，智慧在于转化。

（二）退而结网——必备定理快速激活（4分钟）

1.核心知识复现形式

不使用传统复习提问，改为“手势判断法”。教师口述条件，学生举牌（红色牌：相似；蓝色牌：不相似）。

题组设计：

[1] 阳光下一根竹竿与它的影子。（红牌，平行投影）

[2] 平面镜前的人与镜中的虚像。（蓝牌，虚像不能构成实测三角形，但反射光路可构相似）

[3] 两把高度不同、相距10米的遮阳伞，此刻它们的影子。（红牌，同一时刻太阳光线平行）

[4] 小亮眼睛、标杆顶、旗杆顶恰好共线。（红牌，需强调“竖直”条件，学生可能迟疑，此为极佳辨析点）

此环节用时短、覆盖准，教师通过观察举牌分布精准定位“判定定理应用”薄弱小组，后续巡视中重点关注。【高频考点】【基础】

2.教师关键追问

“大家几乎都能判断红蓝，但测高时，相似三角形的边长在现实中对应哪一段？是地上的影子，还是空中的视线？”——指向核心抽象难点。

（三）模型精讲·思维可视化（15分钟，按子模块展开）

本环节采用“1+1+1”讲练结构：每个经典方法均经历“原理可视化→例题样板化→变式思维化”。

1.模块一：影子法——平行线出相似【重要】【高频考点】

（1）原理呈现与动态拆解

几何画板全屏投影：左侧旗杆AB，右侧标杆CD，太阳光线AE与CF保持平行。教师拖动代表太阳的点，改变光线角度，影长BE与DF同步变化，但AB/CD始终等于BE/DF。学生直观感知：定比与光线角度无关，与两物体固有高度比有关。【非常重要】此处破除学生常见迷思“影长固定，物高才固定”，建立“比例锁定”观念。

（2）板书示范与规范建模

例题：某时刻，旗杆影子不完全落在地面，有2米落在高度为1.2米的台阶上，台阶上影长1.5米，地面影长18米。同时测得1米长标杆地面影长0.5米。求旗杆高。

此为教材例题进阶变式，教师分步引导：

① 台阶上影子能否直接参与比例？——不能，因为影子不在同一水平面。

② 如何转化？——将台阶顶部影子的端点垂直投射至地面，构造两个不同时刻的假想？

③ 关键步骤：旗杆顶部、台阶上影端、地面影端三点共线吗？不共线，需用“墙高法”或“延长线法”。

板书呈现标准解法：设旗杆高x米，顶部为A，底部为B；台阶高CD=1.2米，台阶面影长DE=1.5米，地面影长EF=18米。过E作地面平行线交旗杆于G，则BG=CD=1.2米，AG=x-1.2。同一时刻，物高比等于影长比，AG/标杆高=（DE+EF）/标杆影长，即（x-1.2）/1=（1.5+18）/0.5，解得x=40.2米。

此例题承载【难点】【易错点】双重属性，教师用红粉笔圈出“将不同平面的影长化归到同一平面”这一关键步骤。

（3）即时组内互测

每组下发题卡（共4种变式），交换解答并互评。题卡1：影子落在垂直墙上；题卡2：影子落在斜坡上（已知坡度）；题卡3：双光源（两个路灯）下双影；题卡4：水中倒影测高（实为反射类）。限时3分钟，组内讲评，教师巡回拍摄典型解法投屏点评。

1.模块二：标杆法——三点共线出相似【重要】【热点】

（1）生活化导入

“没有太阳，甚至没有镜子，只有一根标杆，你还能测出旗杆高度吗？”教师邀请一名学生上台，配合演示：学生眼高1.6米，手持2米标杆，后退直到视线穿过标杆顶端看到旗杆顶端。定格此刻，地面留下三个关键点。

（2）模型建构四步曲

第一步，抽象示意图：教师板演，强调所有物体必须垂直于地面，视线是斜线。

第二步，标注已知量：人眼高a，标杆高b，人杆距c，杆底距旗杆底d。学生易漏标“人眼到头顶”修正，教师在此处植入【重要】标记。

第三步，寻找相似：引导学生延长人眼水平线与旗杆、标杆相交，构造两个直角三角形（或含平行线的A字型）。

第四步，列式：利用相似三角形对应高之比等于对应水平距离之比。

（3）防错特别训练

教师出示一份常见错误解法：旗杆高/标杆高=（d+c）/c。提问：“此比例式成立吗？为什么？”学生小组辩论后得出结论：只有视线平行时该式才成立，但标杆法与视线平行无关，而是利用共线产生的A字相似，且对应边是竖直高度与水平距离的混合。此处必须从对应顶点出发写比例，不可想当然。

1.模块三：镜子法——等角出相似【热点】【跨学科】

（1）物理原理三句话

播放物理实验短视频：激光笔照射平面镜，入射光线与反射光线关于法线对称，入射角等于反射角。教师提炼数学条件：人眼、镜点、物顶共面；地面水平；镜面平放。此时，入射光线与反射光线与地面构成两个直角三角形，有一锐角相等，故相似。

（2）几何建模要点

强调镜子位置的唯一性：必须后移到恰能看见顶端。数据采集：眼高DE、镜距人脚CD、镜距物底BC。比例式：AB/DE=BC/DC。

教师追问：镜子法是否需要“同一时刻”？不需要，完全依赖于反射瞬间的几何关系，因此阴天、夜晚均可测。此问旨在帮助学生厘清三种方法的适用条件。

（3）思维进阶设问

如果镜子不是放在水平地面，而是贴在竖直墙壁上，能否测出人与墙的距离？学生陷入沉思，教师不做解答，而是将此问题作为课后挑战题。

1.模块四：三法联排·本质追问（2分钟）

教师用板书大括号总结，并逐条抛出核心问题：

影子法——为什么强调“同一时刻”？答：保证光线方向一致，从而角相等。

标杆法——为什么强调“三点共线”？答：构造了A字型或X字型相似。

镜子法——为什么镜子必须平放？答：保证入射角与反射角在同一水平度量。

【非常重要】最终凝练为本课灵魂板书：“测高的本质，不是量高，而是量可量的线段，再用比例算出不可量的线段。”

（四）项目实训·校园测绘投标（12分钟）

1.投标任务发布（1分钟）

每组从任务箱中随机抽取“标书”，内容各异：

A标（影子组）：使用影子法测量旗杆高度。条件：晴天，有完整地面影。

B标（标杆组）：使用标杆法测量篮球架篮板上沿高度。

C标（镜子组）：使用镜子法测量孔子像基座至头顶高度。

D标（挑战组）：底部不可到达——测量综合楼女儿墙高度，方法不限，可组合工具。

E标（数据复核组）：已知真实高度，评估影子组与镜子组的误差率。

F标（创新组）：禁用卷尺，只用标杆和自己身体的固定部位（步幅、臂展）估测古树高度。

2.户外实测实施细节（8分钟）

（1）工具分发与口令：每小组测量员领取工具包，记录员携带夹板与手记。教师发布“出发”口令，全体有序移至校园预设测量区。

（2）教师巡视重点介入：对于影子组，观察学生是否确保标杆绝对竖直（用三角板直角边校验），是否记录测量时间以备复核；对于标杆组，指导教师协助拉线确保“三点共线”；对于镜子组，部分学生未意识到人眼高度需减去鞋底厚度，教师用水平尺辅助校准。

（3）误差现场处理案例：某影子组汇报旗杆影长读数为22.5米，但用卷尺复测三次发现分别为22.3、22.7、22.4，学生争论该用哪一数据。教师介入引导：测量学中取算术平均值22.47米，并保留一位小数22.5米作为最终影长。同时追问为何数据波动？学生观察到旗杆底部有弧形台阶，卷尺悬空未贴地。此微小细节成为该组测量报告的核心反思点。

3.数据上传与组内初加工（3分钟）

各小组返回教室，计算员启动平板或计算器，基于三次测量均值列比例方程求解。记录员将原始数据、处理后的数据、计算过程、结果录入班级在线协作文档。教师调取全屏视图，全班可见各组进展。

（五）投标听证会·质疑与优化（7分钟）

1.成果汇报与互质（5分钟）

随机摇号选取三组进行三分钟现场投标陈述。

影子A组：“我们测得旗杆影长22.5米，2米标杆影长3.0米，旗杆高=2×22.5÷3=15.0米。与后勤处提供的14.8米相差0.2米，误差率约1.35%。我们认为主要原因是测量影长时卷尺起点未完全对齐旗杆底部中心。”

教师追问：“如何改进？”组员答：“下次先用粉笔垂直投影定点。”

镜子C组：测得孔子像高5.2米（真实值5.0米），误差0.2米。组员反思：“镜子放置时可能有微小倾斜，导致反射角不等于入射角，应该用水平仪。”

标杆B组：测篮球架高度3.8米，真实值4.0米。组员坦诚：“我们的眼高测量忘记减掉头发厚度，实际视线高度低了2厘米，导致结果偏小。”全班自发鼓掌，此为珍贵生成性资源。

2.教师核心追问与升华（2分钟）

教师不再重复正确解法，而是将问题引向更深层次：

（1）“如果现在告诉你们，所有组的真实值我事先都知道，那么你们认为哪一组的方法理论精度最高？哪一组最受环境限制？”学生讨论后形成共识：镜子法理论上仅需一个距离和一个高度，误差源最少；影子法依赖晴天，且受地面平整度影响最大；标杆法需要多人配合，但适应性最广。

（2）“回到泰勒斯的问题——金字塔底部中心无法靠近，影子终点难定，泰勒斯用了什么智慧？”引导学生悟出：泰勒斯不是直接测金字塔影长，而是等自己的影子与身高相等时去测金字塔影长，此时影长恰等于物高。学生惊叹：原来经典方法也可创新！

（六）系统建构·作业分层（3分钟）

1.知识内化（1.5分钟）

师生共建思维导图主干：中心节点“利用相似三角形测高”，发散出三个二级节点“平行投影”“共线投影”“反射投影”，每个二级节点下设三级节点“适用条件”“测量量”“比例式”“常见变式”。教师板演框架，学生口答填充，最终形成本课全息图谱。

2.作业分层布置（1.5分钟）

【基础必做·知识巩固】教材P111习题4.10第1、2、3题。要求：规范书写比例式推导过程，不得直接列算术式。

【拓展必做·实践深化】以个人为单位，选择家中一栋构造物（如冰箱、衣柜、单元门），运用影子法或镜子法测量其高度，提交《家庭测高报告》，包含照片、手绘示意图、数据记录、计算过程及误差分析。此作业强调“数学回归生活”。

【挑战选做·跨学科研究】（1）查阅资料：中国古代“圭表测影”是如何测定冬至夏至的？其原理与本课影子法有何异同？（2）物理衔接题：一面镜子挂在墙上，人退至何处能看到完整像？请画出光路图并构造相似三角形。【热点】【非常重要】

八、板书全息设计

由于无法使用表格及框架，现将板书内容以段落形式完整描述，确保至Word后版式精确。

主黑板纵向分为三栏。左栏顶部写课题“§4.6利用相似三角形测高”，其下分三行分别书写“影子法：同一时刻→△∽→物高1/物高2=影长1/影长2”，“标杆法：三点共线→A字型→(人眼高对应边)/(标杆高对应边)=(人杆距)/(杆底距)”，“镜子法：反射角=入射角→Rt△∽→物高/眼高=镜距物底/镜距人脚”。每行右侧均配手绘简图（示意三角形顶点）。中栏为“规范解题