武科大冶金传输原理课件10稳态导热

2026/6/71第十章稳态导热

导热是由微观分子的热运动进行的热量从高温区向低温区或者温度不同的物体间的传递的过程。该过程在固体、液体、气体中都能发生，但在流体中，在发生导热的同时，由于有温差的存在必然伴随有对流传热现象，故只有在密实的固体中才能发生单纯的导热。.

我们将对固体的导热问题进行讨论,目的是如何确定不同情况下固体内的温度分布和热流量.从傅立叶定律可知,只要知道了物体的温度场,t=f(x、y、z、),就可很容易的算出热流量,而温度场的数学表达式则是傅立叶—克西霍夫导热微分方程.不论是稳态还是非稳态，首先是确定温度场，然后确定导热速率。方法:主要有两种—分析解和数值解,我们主要学习用这两种方法来求解稳定态和非稳定态的导热问题,而且主要以常见的第一和第三类边界条件为主.2026/6/722.1基本概念和基本定律一温度场，稳态和非稳态传热1温度场当发生热量传输的同时，物体内各点的温度是不同的，而且随时间的不同而异。我们把物体温度随空间坐标的分布和随时间的变化规律叫温度场.在直角坐标系中，温度场可以表示为：

t=f(x,y,z,

)

此式即表示了物体内任意一点在任意时刻的温度，一般认为研究对象是连续介质，即上式为连续函数，温度的全微分为：2026/6/732稳态和非稳态传热如果温度仅是坐标的函数而与时间无关，即则此温度场为稳定温度场，此时温度场的表达式为：

t=f（x,y,z）即空间各点的温度将不随时间的变化而变化。仅是位置的函数。上式即为三维稳定的温度场。又，若温度仅是x,y的函数，即为二维稳定温度场；最为简单的是温度仅是x坐标的函数,叫一维稳定温度场,表达式为.

t=f（x）发生在稳定温度场内的传热叫稳定态传热，发生在非稳定温度场中的传热即为非稳定传热。2026/6/74在一维温度场中，一个点的温度就代表了一个面的温度！2026/6/75在二维温度场中，一个点的温度就代表了一条线的温度！横截面上有无数条等温线2026/6/762026/6/77二等温面(线),温度梯度.1等温面（线）在温度场中的某一瞬间,所有温度相同的各点组成的一个空间曲面叫等温面.在该面上,各点都具有同一个温度值.任意一平面与等温面相交的交线叫等温线,或定义为:在温度场中某一瞬间,所有温度相同的点组成的一条空间曲线叫等温线.由于空间任意一点在同一时刻不可能同时具有两个温度值,故同一时刻两条数值不同的等温面(线),不可能相交的。此即为等温面(线)的一个重要性质.根据此性质可用一组等温面(线)来表示一个温度场.2026/6/782温度梯度沿着等温线的切线方向,物体的温度没有变化,只有穿过等温面(线)我们才能观察到物体温度的变化。如图：由于穿过等温面的方向L的不同，则单位距离上温度的变化亦不同，我们把：叫温度沿L方向的方向导数等温面沿法向方向的方向导数叫温度梯度。nLtt-∆tt+∆t2026/6/79由于两等温面间沿法向的距离最短，故方向导数在此处取得最大值。也就是说，温度梯度是取值最大的温度的方向导数，其定义为：n:法向的单位矢量。因此可知，温度梯度亦是一矢量，在直角坐标系中，表达式为：其方向从低温指向高温为正，其大小是其模

│gradt│。2026/6/710三热流量、热通量

定义：单位时间内通过某一给定面积F的热量叫热流量.用Q来表示,单位为W。热通量：是指在单位时间内通过单位面积的热量,亦称热流密度,用q表示单位为:W/㎡与热通量的关系：Q=qF.

热流量是表现热量传输速率的一个物理量.2026/6/711§2—2傅立叶导热定律:法国数学物理学家傅立叶于1822年总结了固体的导热规律,提出了单位时间通过单位面积的导热量与温度梯度成正比,即:式中：λ为比例系数叫导热系数,负号说明导热热流的方向与温度梯方向相反,即热量从高温区向低温区传递.对于一维稳态导热:2026/6/712上式即为傅立叶定律,是一经验定律,后为大量实验所证明,是与所有导热问题有关的传热问题的一个基本定律.从上式可知q亦是一个向量,即：因此,要计算热通量的大小就必须要知道温度分布,及导热系数的值.2导热系数λ

据傅立叶定律：2026/6/713

此式亦是λ的定义式,其物理意义是:沿热流方向的单位长度上,温度降低1摄氏度时通过单位面积的导热量.它反映了物质导热能力的大小,是材料的一种宏观的物理性质,越大,该物质的导热能力就愈强.

导热系数的数值取决于物质的种类和温度,对于同一种物质还与其化学纯度.物理状态,以及结构等方面有关.故其影响因素是复杂的,在计算中采用的数值都是由专门实验测定出来的.

不同种类的物质其

值可以有很大的差别,从高真空时(压力小于10-4mmHg)气体的

值接近于零到天然铜晶体在极低温时(-253摄氏度)出现超导性

大约为：1.2×104w/m℃。一般来说,固体金属的导热系数为最大,其次为液体、气体、非金属固体的导热系数则在很大范围内变2026/6/714化,介于液体和气体之间,即金属—液体—非金属—气体。气体的导热系数在0.006～0.06w/m℃的范围,其中以氢气的导热系数最大,0℃时为0.17w/m℃，约为,空气的7倍。非金属固体,低的接近于空气的导热系数,高的则接近与液体,如耐火粘土砖20℃时为0.17～0.85w/m℃。通常将λ小于0.12的材料叫绝热保温材料,石棉,矿渣棉,硅藻土都属于此类材料,它们都是多孔或纤维性的,利用空间的气体来达到绝热保温的效果.对于保温材料的注意事项见P1542026/6/715

液体的导热系数在0.07—0.7之间，除液体金属之外,水在120时的最大约为0.69w/m℃。油类为0.1～0.15w/m℃，液态金属则比其它的液体大得多,约为1.75～87w/m℃。固体金属的在2.2～420w/m℃的范围，其中纯银的导热系数最大，常温下约为410w/m℃，，对金属而言，

良的导电体亦是良的导热体。材料的导热系数是温度的函数，一般来说，气体的随温度的增加而增大，这是因为分子热运动增强的缘故。2026/6/716液体的随温度的增加而降低，这是因为弹性波的作用降低的原因。金属的λ随温度的增加而降低，这是因为晶格的振动受影响。通常用下式来表示λ与t的变化关系：

λ=λ0（1＋bt

）或：λ=λ0＋at式中：λ0为0℃时的导热系数，a、b由实验确定的常数书中还给出了一些计算公式，可供参考。2026/6/717各种物质的热导率数值均由实验确定。各类物质的热导率温度变化的情况示于图10－2中。简单计算法就是直接查表（附录中有各种材料的

与t的关系表）计算出材料的系数。需要注意的是，工程上都是使用平均温度下的热导率，故无论查表还是用公式计算，都是取平均温度作为自变量。图10－2各种物体热导率的大致范围2026/6/718§2—3直角坐标系中的热量传输微分方程

从上分析可知,在求解导热和对流换热问题时,只要知道了给定情况下的温度分布的具体的函数形式,就可较容易的求解换热问题.

象其它的数学物理问题一样,若要求解温度分布,先要建立温度场的微分方程,然后据定解条件解微分方程,就会得到温度分布式.

一方程的导出：在流场中,取一如图所示的微元体作为控制体,其边长分别为dx、dy、dz,现对其进行能量衡算：2026/6/719导热微分方程的微元控制体XZY0OPxOPyIPzOPzIPyIPxdxdydz2026/6/720能量衡算方程为：IP—OP+R=S：若用文字

来表达则为：现分析每一项的具体形式，从而得到传热微分方程。1IP项：即单位时间输入控制体的热量。

IP=IPx

＋IPy

＋IPz

IPx

：即单位时间从控制体左侧(X方向)输入控制体的热量。单位时间输入控制体的热量单位时间输出控制体的热量单位时间控制体生成的热量单位时间控制体内能的变化-+=2026/6/721

IPx=qx

dydz

IPy

：即单位时间从控制体后侧(Y方向)输入控制体的热量。

IPy=qy

dxdz

IPz

：即单位时间从控制体下侧(Z方向)输入控制体的热量。

IPz=qz

dxdyOP项：单位时间输出控制体的热量：

OPx

：即单位时间从控制体右侧(X方向输出控制体的热量：2026/6/722

OPy:即单位时间从控制体前侧（Y方向）输出

的热量:

OPz

：即单位时间从控制体上方(Z方向)输出控制体的热量。2026/6/7232源项R：即内热源，如伴随有化学反应，电热效应等。此处有两项即：生成热和耗散热。若在单位时间内，单位体积的物体生成的热量为:qv

；（单位体积的发热率）。则控制体在单位时间生成热为：qv

dv=qv

dx

dy

dzw2026/6/724

若在单位时间内单位体积的流体由于粘性力的作用而产生的摩擦热为Φ则控制体在单位时间内产生的摩擦热为Φdv

。积蓄项S

即微元控制体单位时间内其内能的变化量（增加或减少）。若单位时间单位体积的流体吸收（或放出热量）热量后其热焓的变化为：对于不可压缩流体:ρ=Const，CV≈Cp则上式为：2026/6/725

对整个控制体而言，将上述各项代入衡算方程得：由傅立叶定律得：2026/6/726代入上式得：对于各向同性的材料：λx=λy=λz且取平均温度下的值则λx=λy=λz=λ=Const，上式变为：2026/6/727式中：

叫热量传输系数而：为温度的随体导数。注意与速度的随体导数对应。2026/6/728

式中各项的物理意义：不稳定项对流项扩散项源项耗散项

a的物理意义：其大小说明了物体内部的温度趋于均匀一致的能力的大小。从其定义式来看，分子λ表明了物质的导热能力的大小，分母ρCp

则表示了1v³的物质温度每升高一度所需吸收的热量，即蓄热能力的小。2026/6/729a值越大，说明物质内部热量的传输速率越大。在相同的外部条件下，物体内部出现的温差就越小。亦即各部分的温度越易趋于均匀一致。此外，将比值ν/a=Pr叫普朗特数。2026/6/730二固体的导热微分方程式

在固体中，由于没有宏观的运动，故热量传输微分方程式中的速度分量为零，且耗散热为零，即：

此即为固体导热微分方程的一般形式，对该方程求解，即可得到物体内部的温度分布（场）。对于不同的具体情况还可进一步简化。a无内热源时，qv=0,有：2026/6/731b若是稳定态导热；∂t/∂τ=0有：C对于一维非稳态导热：书中给出了柱坐标和球坐标的传热微分方程。2026/6/732

§2—4热量传输微分方程的单值性条件

热量传输微分方程是用数学形式表达出了热量传输（对流、导热）过程的共性—不均匀温度场的内在规律，它抓住了传热过程的本质，彼此不同的导热、对流换热过程，都能用其来描述。也就是说，它是一般的规律。其解的结果为通解。然而，对每个具体的传热过程，总有它的个性，总是在特定的位置、时间和容积空间内进行。因此要单一的确定一个具体传热问题的解，就必须充分的给出所研究具体问题的单质性条件。单质性条件为：a几何条件：给出参与过程的物体的几何尺寸的大小、形状。2026/6/733

b物理条件：

给出外界介质和物体的物性参数值，它包括随温度改变的函数关系式。如：

λ=f（t）；ρ=f（t）；Cp=f（t）

如果有内热源，还须给出的函数关系或数值的大小。

c时间条件即初始条件：是指传热过程开始时刻物体内的温度分布，可表示为：

τ=0，t=f(x、y、z)，最简单的初始条件是开始时刻物体内各点具有均匀的温度值即：

τ=0，t=Const2026/6/734对于稳态传热，则由于温度分布与时间无关，只是坐标的函数，则不存在时间条件.d边界条件:

说明了物体边界上传热过程进行的特点.反映所研究的过程与它有影响的外界过程的相互作用.体现了外因的控制作用.对于对流传热问题还须给出温度边界条件和速度边界条件.温度边界条件是指物体边界上的温度特征和换热情况,常见的温度边界条件可分为三类:1第一类边界条件:

是给定边界温度随时间的变化规律,

t｜w=f(τ),

最简单的是在传热过程中,边界上的温度始终为一常数,即：

t｜w=Cnost2026/6/735

2第二类边界条件:

是给定边界上的热通量随时间的变化规律即:

qw=-λ(∂t/∂ｎ)w=f（τ）

qw

可以是一常数,亦可以是时间的函数。此类边界条件较特殊的是在边界上完全绝热.

即:qw=0亦即

-λ(

∂t/∂n)w=0

即边界上的导热热通量等于零。3第三类边界条件（对流边界条件）：给出了物体周围介质的温度tf

和物体表面之间的对流传热系数h，其表达式为：-λ(∂t/∂ｎ)w

＝ht

所以说它是第二类边界条件的一种特殊情况。2026/6/736热量传输微分方程和所给定的单值性条件,提供了传热过程的共性和个性、内因和外因的完整的数学模型.可以运用数学的方法求解温度场,此种方法即为解析法.2026/6/7372.4通过平壁的一维稳态导热

典型的一维问题是长度和宽度远大于其厚度的无限大平壁，此时温度沿长度和宽度的变化很小，可忽略不计,仅沿厚度方向变化，即属于一维问题,实践表明,当平壁的长度和宽度是其厚度的8～10倍时，则可近似的认为是一维问题，从而使得问题得以简化.一第一类边界条件:表面温度为常数

1单层平壁的稳态导热设有一厚度为

的无限大平壁,导热系数为λ=Const,且无内热源,即R=0.在平壁的两侧,表面维持均匀稳定的温度tw1

和tw2

而且

tw1

＞tw2

如图所示：求平壁内的温度场和通过平壁的导热热通量。2026/6/738ｔx０

tｗ1tｗ2qq2026/6/739

此问题可用两种方法求解：一是直接利用傅立叶定律求解。此外可椐导热微分方程求解，现就第二种方法来讨论：对于一维稳态无内热源的导热问题：∵∴导热微分方程为：

边界条件为：x=0，t=tw1

；x=

，t=tw2

上述微分方程是一二阶线性常微分方程，积分二次得：2026/6/740

式中：c1

、c2

为积分常数，由边界条件（B·C）确定。将B·C代入得：联立求解得：2026/6/741代入通解得：此即为一维稳态导热(平壁导热)问题的温度分布(场)的表达式，是一线性分布。热通量的确定:

由傅立叶定律：若平壁的侧表面积为F则热流量为:Q=q·Fw2026/6/742导热热阻在平板的导热中，与之相对应的表达式可从其计算式的改写得出：这种形式有助于我们更清楚的理解式中各项的物理意义：式中热流量Q为导热过程中热量的转移量；温差（温压）

t为转移过程的推动力；

/F为转移过程中的阻力，称为导热热阻。对于单位面积而言，热阻为

/

，称为单位热阻，以区别与整个面积的热阻。 上面推导的温度分布规律和热流量计算式也可直接从傅立叶定律分离变量、积分获得，可自行推导。2026/6/743

讨论:1∵上二式右的各项均为常数，∴Q和q亦为常数

.即沿X方向的任意截面上，Q和q处处为一常数，而与X无关,这是平壁一维稳态导热的一个很重要的结论。2导热系数的处理：

∵λ=λ0

（1＋bt

）说明导热系数是温度的函数，而X方向温度是变化的,这与前面的假定是矛盾的，为此，仍假定为常数，取平均温度下的值即:

λ=1/2（λ1+λ2）2026/6/744二,多层平壁的导热

工程中许多平壁并不是由单一的材料组成的而是由多种材料组成的复合平壁.如工业炉中的炉墙就是由耐火砖、绝热砖、金属护板等不同的材料组成的多层平壁,由于各层平壁的

的不同，它们的热阻亦是不同的.

其求解方法可利用单层平壁的结果,即一维稳态时通过各层平壁的热通量(热流量)处处相等.

如果通过第一层的热量大于第二层的热量,说明第一层就有了热量的积蓄,其温度就会升高,而这是一个非稳态传热,这与假定条件不符.

考虑如图所示由三层材料组成的无限大平壁,假定个层面接触良好,接触面上具有均匀的温度,各层的温度及厚度如图所示.2026/6/745tw1tw2tw3tw4tx

1λ1λ2

2

3λ302026/6/746∵是稳定态传热,故通过各个层面的热流量(热通量)均相等,对于每一层有:将上三式整理得：2026/6/747可知多层平壁的一维稳态导热的热通量取决于总温差和总热阻的相对大小，而总热阻为各层热阻之和。可视为3个热阻的串连，与串联电路相同,其模拟电路图为：据此可知，对于n层平壁，其热量的计算式为，tw1tw2tw3tw4rt1rt2rt32026/6/748多层平壁稳态导热时内部温度分布是多折直线，各层内直线斜率不一样，由于稳态导热时各热通量都相等，因此各段直线的斜率仅取决于各层材料的热导率的值。

值大的段内温度线斜率就小、线就平坦；反之，值小斜率大，温度线陡。另一方面，根据稳态导热传入的热量等于传出的热量可知，稳态导热时，热阻大的环节对应的温度降也大；热阻小，对应温度降就小。这一结论对分析传热问题以及为强化传热所采取的改进措施的分析很有用。譬如，分析炉墙、管道传热时，钢板和钢管的热阻常可忽略不计。2026/6/749讨论：1.关于夹层温度在计算中我们仍假定了材料的导热系数为常数并取其平均温度下的导热系数，而实际问题中知道的是多层平壁的两个外表面温度，其它的温度并不知道，即界面温度为未知，各层的导热系数又是温度的函数。此时仅用上式计算是不够的，现一般是用试算法，是一种逐步逼近得计算法。步骤：

a、据经验假定一个界面温度，查出此温度下的

值。

b、求出q或Q的值。

c、据公式反求界面温度。2026/6/750

d、比较两个温度的大小，若相差不大（≯4%）说明假定正确，否则以算出的温度作为第二次计算的假定值，重复计算至符合要求为止。2.关于接触热阻前面假定了各层接触良好，是完全接触的理想状况，这时界面上的两层材料的温度完全相等。而实际上它们是不等的，即界面上有温度降落，此现象可用接触热阻来解释。如图所示：tw1tw4tw2tw3图10－9接触热阻tx△t2026/6/751

接触热阻起因于固体壁面结合时,因壁面的粗糙不平，只有在凸起的部位才能形成直接接触，其它的则形成充满空气的缝隙。结合处的传热机理：接触处的导热和缝隙中空气的导热，而空气的导热系数远小于固体的导热系数，此处即产生了热阻，两层的温度不同。工程中须加以考虑。接触热阻用符号r´表示。其影响因素较多，光洁度、硬度、缝隙中的油和其它杂物等，现仅有一些经验数据可用。今后除特别说明外，一般认为是完全结合。3.变导热系数的处理

∵λ是温度的函数，可将λ=f(t)

的函数关系代入方程中进行推导，可得平壁中的温度分布是一曲线，一般作为直线关系来处理。2026/6/752例：某炉墙的砌筑材料如下：已知：tw1=1000℃tw4=50℃求热通量q解：此题即为多层平壁的一维稳态导热问题，由于夹层温度为未知，须用试算法。先假定夹层温度，用以确定λ，查得：材料

厚度（mm）

层次普通粘土砖2301（内）硅藻土砖

652（中）红砖5003（外）2026/6/753

λ1=0.837+0.58×10-3t

λ2=0.0826+0.2093×10-3tλ3=0.4652+0.512×10-3t

取：λ1≈0.837→0.8；

λ2≈0.0826→0.1λ3≈0.465→0.5

从数值上来看：λ1=8λ2λ3=5λ2

8mm厚的第一层砖（粘土砖）所产生的热阻相当于

1mm厚的第二层砖所产生的热阻。

5mm厚的第三层砖（红砖）所产生的热阻相当于

1mm厚的第二层砖所产生的热阻。

2026/6/754则：厚为230mm的第一层砖相当于

230/8=29mm厚的第二层砖.厚为500mm的第三层砖相当于

500/5=100mm厚的第二层砖将它们全部折为第二层砖的总厚度为：

29+65+100=194mm。则通过每毫米厚的第二层砖的温度降为：

∴通过第一层砖的温度降为29×5=145℃

通过第二层砖的温度降为65×5=325℃

通过第三层砖的温度降为100×5=500℃

2026/6/755

故第一个界面的温度为：

tw2=1000－145=855℃第二个界面的温度为：

tw3=855－325=530℃以此作为第一次假定的温度来进行计算，一般来说可用较少的试算次数。2026/6/75610.4.2第三类边界条件（对流边界，已知介质的温度及换热系数）一无内热源单层大平壁设一常物性无限大平壁，无内热源，平壁的两侧与周围的介质进行对流传热，如图2－10所示。两侧流体的温度分别为tf1和tf2

，流体与壁面的表面传热系数分别为h1和h2材料的热导率为

，且为常数。由于讨论的问题仍然是热导率为常数，无内热源的一维稳态导热问题，所以导热微分方程仍为：xttw1tw2QQ0

h，tf2h，tf1图10－10单层平壁在第三类边界条件下的一维稳态导热2026/6/757边界条件为：两次积分微分方程的结果为：式中，积分常数和由边界条件确定。将边界条件带入得：2026/6/758联立解得：将积分常数代入式（10－46）即得温度分布：此式表明，平壁在第三类边界条件下壁内的温度亦是的线性函数。热通量的确定：2026/6/759由将代入傅立叶定律得到通过平壁的热通量为：式中，分母表示单位平壁面积的总热阻。其中1/h1和1/h2是平壁两侧面与流体间的单位面积的对流热阻,

/

单位平壁面积的导热热阻。整个换热过程可看作是对流传热导热对流传热，三部分的串连，其热路图如图10－11所示。

2026/6/760这种第三类边界条件下的一维稳态导热过程，是热量由一侧的高温流体通过间壁传到另一侧低温流体的过程，这就是前面所提到的传热过程或综合传热过程，热流量的计算式为：tw1tw21/h1

/l1/h2q图2－11单层圆筒壁在第三类边界条件下的热路图2026/6/761式中，F为传热面积，；k：综合传热系数。k表明当冷热流体间的温差为1℃时，单位时间内通过单位面积传递的热量。对于平壁而言可知传热系数k的倒数即为传热热阻，即：二无内热源多层大平壁如果平壁是由n层不同的材料组成的多层平壁，按照热阻串连概念，可直接得到多层平壁在第三类边界条件下的稳态导热热通量的计算式为2026/6/762相应的传热系数为：§2—6通过圆筒壁的一维稳态导热

此类问题属于柱坐标问题，如热风管道等。当L/D≥10即可认为是一维问题，即:t=f（r）等温面是一同心园柱面。如图：drR1R2rtw1tw2

一表面温度为常数（第一类边界条件）的一维稳态导热

1单层园筒壁壁的尺寸如图所示内外两个表面的温度分别为

tw1和tw2，长度为L，导热系数为常数。求热通量和温度分布，解法同平壁一样。

a.温度分布柱坐标的导热微分方程为：∵是固体，∴式左的速度V项为零，又：稳态∴即式左全部为零。

又是一维,即：

无内热源；R=0微分方程为

B.C：r=r1t=tw1

；

r=r2t=tw2

微分方程的解为：

c：积分常数，由边界条件确定,将边界条件代入得：

联立求解得：代入通解得：此即为园筒壁内的温度分布式，说明壁内的温度分布是一对数曲线。

b热通量、热流量：说明了园筒壁内的温度梯度不是常数，是r的函数，即与半径成反比。上式说明热通量q不再是常数，是半径r的函数；而热流量则处处为一常数。工程中常用单位管长来计算热流量，即：

亦为一常数，与r

无关。2多层园筒壁

利用热阻的概念，可直接给出其热流量得计算式：即多个热阻的串联，注意接