2025~2026学年江苏省无锡市滨湖区九年级上学期期末数学试题 含答案

/2025-2026学年江苏省无锡市滨湖区九年级上学期期末数学试题一、单选题

1.下列方程中，是一元二次方程的是（

）A.x2−2x=1 B.xy+1=

2.已知⊙O的直径是4，OA=3，则点A与⊙O的位置关系是（A.点A在圆内 B.点A在圆上 C.点A在圆外 D.无法确定

3.一元二次方程x2=3A.x=3 B.x=0 C.x1=

4.为了解某校开展劳动教育的情况，组织人员进行了调查，调查发现其8名同学每周做家务的天数（单位：天）依次为3，5，6，7，5，6，5，4，则这组数据的众数和中位数分别为（

）A.5和5 B.7和5 C.5和7 D.6和5

5.下列说法正确的是（

）A.相等的圆周角所对的弧相等B.三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等C.三点确定一个圆D.相似三角形的面积之比等于相似比的平方

6.如图，仓库要将货物从地面A处传送到离地面3m高的B处，若传送带和水平地面所成斜坡AB的坡度i=1:3，则货物在传送带上运动的路程是多少m？（A.6 B.9 C.310 D.

7.如图，五边形ABCDE，ABC′D′E′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，A的坐标分别为(3,0)A.3 B.4 C.163 D.

8.在RtΔABC中，AB是直径，CD⊥AB于D，若AD=3，BD=1，则BCA.23 B.3 C.2

9.若二次函数y=(x−m)2−1在x<A.m≥1 B.m≤1 C.

10.问题背景：对于一个函数，如果存在自变量x0=m时，其对应的函数值y0=m，那么我们称该函数为“不动点函数”，点(m,m)为该函数图象上的一个不动点．以下结论：

①y=x+2是“不动点函数”，且只有一个不动点；

②y=−4xA.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题

11.若sinA=32，则锐角

12.已知2x−3

13.一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为38，则红球的个数为（

A.1 B.2 C.3 D.4

14.近些年某市出台的“助农计划”增加了广大农户的收益．已知农户甲2023年纯收入为2万元，经“助农计划”帮扶，到2025年农户甲的纯收入增长到3.92万元，设农户甲2023年到2025年纯收入的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为_________________．

15.如图，点A在⊙O上，弦BC垂直平分OA，垂足为D．若OA＝4，则BC的长为________．

16.扇形的半径为4，弧长为3π，则该扇形的面积为________．（结果保留π

17.如图，在锐角ΔABC中，∠A=60∘，BD，CE为高，连接DE，

18.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90∘，AC=BC=8，D是AB的中点，M是边AC上的动点，作DN⊥DM，交BC于点N，延长MD到点P，使得DP三、解答题

19.解方程：

(1)x2−4x

20.已知关于x的一元二次方程x2（1）求m的取值范围；（2）若该方程的一个根为2，求m的值．

21.在ΔABC中，AB=AC=6，BC=9，点P，D分别在边BC，（1）求证：ΔABP∽Δ（2）求AD的长．

22.近年来，交通工具的多样化和普及化，为家长接送孩子带来便利的同时，也在一定程度上造成了放学时段校门口的交通拥堵．为了解具体情况，某校爱心社团中午放学后在校门口随机选取300名接送孩子的家长，针对接送孩子的方式和时段进行了问卷调查，所有问卷全部收回且有效，并将调查结果绘制成了如下所示的扇形统计图和条形统计图（不完整）．请认真阅读上述信息，回答下列问题：中午放学后家长接送孩子情况调查问卷

尊敬的家长：

您好！为美化校园周边交通环境，诚邀您参加本次匿名调查．（以下为单选）（1）您通常接送孩子的方式是（ㅤㅤ）

A．步行

B．自行车

C．电动自行车

D．私家车

E．公共交通（2）您时常接送孩子的时段是（ㅤㅤ）

A．11：50﹣12：00

B．12：00﹣12：10

C．12：10﹣12：20

D．其他时段(1)扇形统计图中“公共交通”所在扇形的圆心角度数为

°；本次调查的家长中骑电动自行车接送孩子的有

人，并补全条形统计图；

(2)若该校共有1500名家长中午放学后接送孩子，请估计用私家车接送孩子的家长人数；

(3)假如你是爱心社团的成员，请根据上述统计图中的信息，写出一个造成放学后校门口交通拥堵的原因，并给家长提出一条缓解拥堵的建议．

23.某班开展主题为“我爱陕西”的综合实践活动，班委会决定设置“山水”“历史”“文学”“艺术”“科技”（分别记作A，B，C，D，E）共五个研究方向，并采取小组合作的研究方式．同学们在五张完全相同的不透明卡片的正面绘制了如图所示的图案，卡片背面保持完全相同．

（1）将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为______；（2）各小组从这五张卡片中随机抽取一张，将卡片内容作为本小组的研究方向．将这五张卡片背面朝上洗匀后，小秦代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，小博代表第二小组从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求这两个小组研究方向不同的概率．

24.在∠ABC中，点P为射线BA上一点．（1）已知点Q为射线BC上一点，请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作⊙O，使点P在⊙O上，并与BC相切于点（2）已知BP=4，tanB=12，点P在⊙O上，当点O在射线BA

25.如图，PA是⊙O的切线，点A为切点．点B为⊙O上一点，射线PB，AO交于点C，连接AB，点D在AB上，过点D作DF⊥AB，交AP于点F，作DE⊥BP，垂足为点E．AD=BE，BD（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若AP=2，sinC

26.小华家院子里有如图一把遮阳伞，他发现在一天当中，遮阳伞保持不动的情况下，伞下的投影长度会随着时间推移而变化．于是他测量了相关数据，并画出了侧面示意图．已知遮阳伞支架AB垂直于地面BC，点D在AB上，AD=0.6m，D，E，F三点共线，（1）如图1，当太阳光线与DF垂直时，它与地面的夹角正好为60∘，求DF落在地面上的投影GH（2）如图2，遮阳伞保持（1）中角度不动，当太阳光线与地面的夹角为α时，求DF落在地面上的投影GH（结果用含α的式子表示）．

27.从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究．

特例研究：在正方形ABCD中，AC,BD相交于点O．如图1，ΔADC可以看成是ΔAOB绕点A逆时针旋转并放大2（1）如图2，将ΔAOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到ΔAEF（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在OD上，点F落在BC上，求（2）如图3，在菱形ABCD中，∠ABC=60∘，O是AB的垂直平分线与BD的交点，将ΔAOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并缩放得到ΔAEF（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在OD上，点F落在（3）若（2）中∠ABC=β，其余条件不变，直接写出BA

28.已知抛物线y=x2+(2m+3)x−1（m为常数）与y轴交于点C．

(1)若该抛物线过点(1,7)，求m的值；

(2)已知A(−m,y1)，

答案与试题解析2025-2026学年江苏省无锡市滨湖区九年级上学期期末数学试题一、单选题1.【正确答案】A【考点】一元二次方程的定义此题主要考查了一元二次方程的定义，正确一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2是解题关键．直接利用一元二次方程的定义分析得出答案.解：A.x2−2x=1，是一元二次方程，故此选项符合题意；

B.xy+1=0，是二元二次方程，故此选项不合题意；

2.【正确答案】C【考点】判断点与圆的位置关系本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种。设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：①点P在圆外⇔d>r；②点P在圆上⇔d=r；③点P在圆内⇔解：∵⊙O的直径是4，

则半径为2，

∵OA=3,且3>3.【正确答案】C【考点】解一元二次方程-因式分解法先移项，然后根据提公因式法因式分解，解一元二次方程即可求解.解：x2=3x

x2−3x4.【正确答案】A【考点】中位数众数本题考查了众数和中位数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．根据众数和中位数的概念求解．解：将数据重新排列为3，4，5，5，5，6，6，7

所以这组数据的众数为5，中位数为5+52=55.【正确答案】D【考点】判断确定圆的条件圆周角定理利用相似三角形的性质求解三角形内心有关应用本题考查圆周角定理的推论、三角形内心的性质、确定圆的条件及相似三角形的性质，需根据各知识点逐项判断对错.解：∵在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧才相等，∴A选项错误；

∵三角形的内心是三条角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等，到三个顶点距离相等的是外心，∴B选项错误；

∵不共线的三点才能确定一个圆，共线的三点无法确定圆，∴C选项错误；

∵相似三角形的面积之比等于相似比的平方，∴D选项正确.

故选：D.6.【正确答案】C【考点】勾股定理的应用解直角三角形的应用-坡度坡角问题本题考查了解直角三角形的应用——坡度坡角，勾股定理，首先根据坡度求出AC的长，再利用勾股定理求出AB即可得结论，掌握解直角三角形的方法是解题的关键．解：如图，

∵斜坡AB的坡度i=1:3，

∴BCAC=13，

∵BC=3m，

∴AC7.【正确答案】C【考点】求两个位似图形的相似比在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比本题考查了位似图形的性质，根据已知条件得出OAOA′=34解：∵A(3,0),A′(4,0)

∴OAOA′=8.【正确答案】C【考点】圆的有关概念线段垂直平分线的性质本题考查了圆的基本性质，线段垂直平分线的性质；

连接OC，求出半径OB=2，可得OC=2，OD=BD=1，则CD垂直平分OB，然后根据线段垂直平分线的性质可得答案.【详解】解：连接OC，

∵AD=3,BD=1,

∴AB=AD+BD此题暂无解答9.【正确答案】A【考点】y=a（x-h）²+k的图象和性质本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键．

先利用二次函数的性质求出抛物线的对称轴为直线x=m，则当x<m时，y的值随x值的增大而减小，由于x<解：二次函数y=(x−m)2−1的对称轴为直线x=m，

∵a=1>0，

∴抛物线开口向上，

∴当x<m时，y的值随10.【正确答案】A【考点】由反比例函数值求自变量求一次函数自变量或函数值已知二次函数的函数值求自变量的值函数的概念本题主要考查了函数的定义，求一次函数值，求反比例函数值，二次函数与一元二次方程，根据“不动点函数”的定义，对每个结论通过解方程y=x判断是否存在不动点，验证结论正确性后统计正确个数.

解：①∵令y=x，则x=x+2，化简得0=2，矛盾，无实数解，

∴该函数不是“不动点函数”，①错误；

②∵令y=x，则x=−4x，两边乘x(x≠0)得x2=−4

又∵实数范围内x2≥0

∴方程无实数解，该函数没有不动点，②错误；

③∵令y=x，则x2=x，整理得x(x−1)=0

解得x=0或x=1，

∴点（1,1）是该函数的不动点，③正确；

④∵若y=x²-2x+c是“不动点函数”，则x2−此题暂无解答二、填空题11.【正确答案】60【考点】特殊角的三角函数值的相关计算本题考查特殊角的三角函数，直接利用特殊角的三角函数值求出答案即可.解：∵sinA=32，且A是锐角，12.【正确答案】5【考点】比例的性质本题主要考查了比例的性质，等式的基本性质，先根据已知等式，利用等式的基本性质用含y的代数式表示x，再代入所求比例化简计算.解：由2x−3y=0，根据等式的基本性质，得2x=3y即x=32y13.【正确答案】B【考点】已知概率求数量解分式方程——可化为一元一次方程本题考查了根据概率求数量，熟练掌握概率公式是解题的关键.

设红球有x个,根据摸到白球的概率公式列方程求解.解：设红球有x个，则袋中总球数为(x+3)个，

∴摸到白球的概率为33+x,

根据题意得:33+14.【正确答案】2【考点】一元二次方程的应用——增长率问题本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据年平均增长率的定义，初始收入经过连续两年以相同增长率增长后得到最终收入，由此建立方程．解：设年平均增长率为x，则2024年收入为2(1+x)万元，2025年收入为2(1+x)2万元．

15.【正确答案】4【考点】勾股定理垂径定理点与圆的位置关系线段垂直平分线的性质此题暂无解析此题暂无解答16.【正确答案】6π【考点】扇形面积的计算本题考查扇形的面积计算，可利用扇形面积公式S=解：∵扇形的半径r=4，弧长l=3π∴该扇形的面积为S=12×17.【正确答案】1：3【考点】含30度角的直角三角形相似三角形的性质与判定本题考查了相似三角形的判定与性质及含30度直角三角形的性质.根据已知条件利用含30度直角三角形的性质得到ADAB=AEAC=1解：∵∠A=60∘∠ADB=90∘

∴∠ABD=90∘−∠A=30∘

∴AD=18.【正确答案】34,【考点】等腰三角形的判定与性质全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）勾股定理的应用先通过等腰直角三角形的性质得出相关线段和角度关系，再构造全等三角形证明ΔADM≅ΔCDN(AAS)和ΔBED解：如图，连接CD，过点N作NH⊥CD于点H，过点B作BE⊥DP交DP的延长线于点E，过点A作AF⊥DM交DM的延长线于点F，

∴CD⊥AB，AB=2AC=82，∠ACD=∠BCD=45∘，∠BAC=∠ABC=45∘

∴CD=AD=BD=12AB=42，∠BAC=∠DCB=45∘

∵DN⊥DM，

∴∠ADC=∠MDN=90∘

∴∠ADM=∠CDN=90∘−∠CDM

在ΔADM和ΔCDN中，

∠A=∠DCN=45∘∠ADM=∠CDNAD=CD

∴ΔADM≅ΔCDN(AAS)

∴AM=CN,DM=DN,

在ΔBED和ΔAFD中，

∠BED=∠AFD=90∘∠BDE=∠ADFBD=AD

∴ΔBED≅ΔAFD(AAS)

∴BE=AF

∵DP=34MD,

∴SΔDPBSΔDMA=三、解答题19.【正确答案】x1=2+3【考点】解一元二次方程-公式法解一元二次方程-因式分解法本题考查了解一元二次方程，解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程.

(1)利用公式法求解即可；

(2)利用因式分解法求解即可；解：x2−4x+1=0,

Δ=(−4)2−4×1×1=12>020.【正确答案】m-4或-1【考点】根据一元二次方程根的情况求参数（1）利用一元二次方程根的判别式Δ≥0，列出关于m的不等式，求解m（2）将x=2代入原方程，得到关于m的一元二次方程，求解该方程得到m（1）解：∵Δ=(2m)2（2）解：由题意知，将x=2代入方程中得4+4m+m2+m=0

解得m1=−421.【正确答案】证明见解析8【考点】相似三角形的性质与判定（1）根据等腰三角形的性质可得∠B=∠C，再结合∠APC=∠B+∠BAP（2）根据相似三角形的性质解答即可.

【1】（1）证明：∵AB=AC,

∴∠B=∠C,

∵∠APC=∠B+∠BAP=∠APD+∠DPC,∠APD=∠B此题暂无解答22.【正确答案】36；135；图见解析450人【考点】求扇形统计图的圆心角由扇形统计图求某项的百分比由样本所占百分比估计总体的数量由条形统计图推断结论（1）根据“公共交通”所占百分比计算其对应扇形的圆心角度数；根据总人数和电动自行车所占百分比计算其人数，并补全条形统计图；（2）用样本中私家车所占比例去估计总体中私家车接送孩子的家长人数；（1）解：360∘×10%=36∘.

扇形统计图中“公共交通”所在扇形的圆心角度数为36∘.

300×45%=135人,

.本次调查的家长中骑电动自行车接送孩子的有135人；（2）解：估计用私家车接送孩子的家长人数为1500×3023.【正确答案】14【考点】根据概率公式计算概率列表法与树状图法（1）理解题意，得一共有五张卡片，卡片内容是“科技”的有一张，运用概率公式进行计算，即可作答．（2）先理解题意，再画树状图，得到一共有25种等可能的结果，其中这两个小组研究方向不同的等可能结果有20种，运用概率公式进行计算，即可作答．（1）解：依题意，一共有五张卡片，卡片内容是“科技”的有一张，

∴将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为15，

故1（2）解：依题意，画树状图如下所示：

∴一共有25种等可能的结果，其中这两个小组研究方向不同的等可能结果有20种，

∴这两个小组研究方向不同的概率=202524.【正确答案】作图见详解5−1或【考点】解直角三角形的相关计算画圆(尺规作图)勾股定理的应用切线的性质（1）连接QP，作QP的垂直平分线FG，过点Q作BC的垂线QE，FG与QE的交点O即为圆心，再以OQ为半径画圆即可，此时⊙O经过点P，Q；（2）利用圆的切线性质得到直角三角形，再结合已知的正切值和线段长度，通过勾股定理建立方程求解圆的半径，求解过程中需分类讨论.【详解】（1）解：如图所示，⊙即为所求：

(2)解：设⊙O的半径为r,

∵O与BC相切，

如图，设切点为D，连接OD，则OD⊥BC

在RtΔOBD中，tanB=12

∴tanB=ODBD=rBD=12,

∴BD=2r,

∵BP=4,

∴OB=BP+OP=4+r1

在RtΔOBD中，OB2=OD2+B此题暂无解答25.【正确答案】证明见解析2【考点】解直角三角形的相关计算全等的性质和HL综合（HL）相似三角形的性质与判定证明某直线是圆的切线（1）通过证明三角形全等（HL）得到角相等，再结合切线的性质和等腰三角形的性质，证明半径与直线垂直，从而判定直线为圆的切线；（2）利用解直角三角形求出相关线段的长度，再通过证明三角形相似，利用相似三角形对应边成比例的性质列出方程，求解圆的半径.（1）证明：如图，连接OB，

∵DF⊥AB,DE⊥BP,

∴∠ADF=∠DEB=90∘

在RtΔBDE与RtΔAFD中，

AD=BEBD=AF

∴RtΔBDE≅RtΔAFD(HL).

∴∠DBE=∠（2）解：∵∠CAP=90∘AP=2，sin∠C=APPC=23,

∴PC=3,

∴AC=26.【正确答案】69【考点】等边三角形的性质与判定根据矩形的性质与判定求线段长解直角三角形的应用-其他问题利用平行四边形的判定与性质求解（1）过点G作GM垂直于FH，先通过角度关系证明四边形是矩形，再根据线段关系得出等边三角形，进而求出相关线段长度，最后利用解直角三角形求出投影长度；（2）过