2026《金版教程》高考复习方案数学提升版-第9讲 函数模型的应用

第三章函数第9讲

函数模型的应用1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具．在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.2.结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义.3.收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型，体会人们是如何借助函数刻画实际问题的，感悟数学模型中参数的现实意义．基础知识整合核心考向突破课时作业目录基础知识整合1．常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0，且a≠1，b≠0)对数函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0，且a≠1，b≠0)幂函数模型f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)

函数

性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的单调性____________________________________增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与______平行随x的增大逐渐表现为与______平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax单调递增2.指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图象与性质单调递增单调递增y轴x轴1．(人教A必修第一册3.1.2练习T1改编)设甲、乙两地的距离为a(a＞0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为(

)解析：y为小王从出发到返回原地所经过的路程，而不是位移，故排除A，C；又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B.故选D.x0.500.992.013.98y－0.990.010.982.002．(人教B必修第一册3－3BT2改编)在某个物理实验中，测量出变量x和变量y的几组数据如下表：则对x，y最适合的拟合函数是(

)A．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2 D．y＝log2x解析：根据x＝0.50，y＝－0.99，代入各选项计算，可排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入其余各选项计算，可排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．故选D.3．下列函数中，随着x的增大，y也增大，且增长速度最快的是(

)A．y＝0.001ex B．y＝1000lnxC．y＝x1000 D．y＝1000×2x解析：在对数函数、幂函数、指数函数中，指数函数的增长速度最快，故排除B，C；指数函数中，当底数大于1时，底数越大，函数的增长速度就越快，系数的影响可忽略不计．故选A.4．某产品的总成本y(单位：万元)与产量x(单位：台)之间的函数关系是y＝3000＋20x－0.1x2(0<x<240，x∈N*)，若每台产品的售价为25万元，且销量等于产量，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是(

)A．100台 B．120台C．150台 D．180台解析：设利润为f(x)万元，则f(x)＝25x－(3000＋20x－0.1x2)＝0.1x2＋5x－3000(0<x<240，x∈N*)．令f(x)≥0，得x≥150，所以生产者不亏本时的最低产量是150台．故选C.5．(人教A必修第一册习题4.3T8改编)若某地2024年的GDP比2014年翻一番，则此地GDP平均每年的增长率是________．600核心考向突破考向一

利用函数图象刻画实际问题(多选)一辆赛车在一个周长为3km的封闭跑道上行驶，跑道由几段直道和弯道组成，图1反映了赛车在“计时赛”整个第二圈的行驶速度与行驶路程之间的关系．根据图1，以下四个说法中正确的是(

)A.在第二圈的2.6km到2.8km之间，赛车速度逐渐增加B.在整个跑道上，最长的直线路程不超过0.6kmC.大约在第二圈的0.4km到0.6km之间，赛车开始了那段最长直线路程的行驶D.在图2的四条曲线(注：S为初始记录数据位置)中，曲线B最能符合赛车的运动轨迹解析：由题图1可知，在2.6km到2.8km之间，图象上升，故在第二圈的2.6km到2.8km之间，赛车速度逐渐增加，故A正确；在整个跑道上，高速行驶时最长为1.8km到2.4km之间，但直道加减速也有过程，故最长的直线路程有可能超过0.6km，故B不正确；最长直线路程应在1.4km到1.8km之间开始，故C不正确；由题图1可知，跑道应有3个弯道，且两长一短，故D正确．故选AD.

用函数图象刻画实际问题的解题思路将实际问题中两个变量间变化的规律(如增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图象(增加、减少的缓急等)相吻合即可．

如图所示，△OAB是边长为2的等边三角形，直线x＝t截这个三角形位于此直线左方的图形面积为y(见图中阴影部分)，则函数y＝f(t)的大致图象为(

)考向二

已知函数模型解决实际问题

利用已知函数模型解决实际问题的步骤若题目给出了含参数的函数模型，或可确定其函数模型的图象，求解时先用待定系数法求出函数解析式中相关参数的值，再用求得的函数解析式解决实际问题．考向三

构建函数模型解决实际问题

某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元、0.5万元．(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系；(2)若该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？

构建函数模型解决实际问题的步骤(1)审题：弄清题意，识别条件与结论，弄清数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用已有知识建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题．1.“青年兴则国家兴，青年强则国家强”，作为当代青少年，我们要努力奋斗，不断进步．假设我们每天进步1%，则一年后的水平是原来的1.01365≈37.8倍，这说明每天多百分之一的努力，一年后的水平将成倍增长．如果将我们每天的“进步”率从目前的10%提高到20%，那么大约经过________天后，我们的水平是原来应达水平的1500倍(参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477，lg11≈1.041)．(

)A．82 B．84C．86 D．882.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(单位：万元)与营运年数x的关系如图所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为________．5课时作业一、单项选择题1．有一货船从石塘沿水路顺水航行，前往河口，途中因故障停留一段时间，到达河口后逆水航行返回石塘．假设货船在静水中的速度不变，水流速度不变，若该货船从石塘出发后所用的时间为x(单位：小时)，货船距石塘的距离为y(单位：千米)，则下列各图中，能反映y与x之间函数关系的大致图象是(

)解析：由题意，得货船从石塘开始航行到停留一段时间前，y随x增大而增大；停留一段时间内，y随x增大而不变；随后y随x增大继续增大；当返回时，y随x增大而减小，直至为0，又顺流速度大于逆流速度，故选A.A．随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低B．第一天小菲的单词记忆保持量下降最多C．9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%D．26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%8．“打水漂”是一种游戏，通过一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好．现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为100m/s，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的90%，若要使石片的速率低于60m/s，则至少需要“打水漂”的次数为______．(参考数据：取ln0.6≈－0.511，ln0.9≈－0.105)610．某新型企业为获得更大利润，需不断加大投资，若预计年利润率(利润/成本)低于10%，则该企业就考虑转型．下表显示的是某企业几年来利润y(单位：百万元)与年投资成本x(单位：百万元)变化的一组数据：给出以下