2025-2026学年浙江省宁波市八年级下册数册中中档题汇编 含答案

/2026八年级下数学期中中档题汇编一．估算无理数的大小（共1小题）1．（2024春•宁海县期中）x−4的取值范围是二．同类二次根式（共1小题）2．（2025春•宁海县期中）若最简二次根式2a+1与7是同类二次根式，则a＝三．二次根式的化简求值（共1小题）3．（2025春•甘谷县期末）【阅读理解】爱思考的小名在解决问题：已知a=12+3，求2a∵a=12+3=2−3(2+∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3．∴a2﹣4a＝﹣1．∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．请你根据小名的分析过程，解决如下问题：（1）计算：12+1（2）计算：12+1+1（3）若a=15−2，求3a2四．一元二次方程的解（共1小题）4．（2025春•宁海县期中）若a是方程x2+x﹣1＝0的根，则3a2+3a+2025的值为（）A．2024 B．2026 C．2028 D．2030五．解一元二次方程-配方法（共1小题）5．（2025春•海曙区校级期中）（1）计算：(1−23（2）解方程：（x+1）（x﹣3）＝6．六．解一元二次方程-因式分解法（共4小题）6．（2025春•海曙区校级期中）若菱形两条对角线的长度是方程x2﹣12x+32＝0的两根，则该菱形的边长为（）A．25 B．8 C．457．（2024•椒江区校级模拟）对于实数m，n，先定义一种运算“⊗”如下：m⊗n=m2+m+8．（2024春•金乡县期末）（1）计算：24÷（2）解方程：（x+2）2﹣4（x﹣3）2＝0．9．（2024春•宁海县期中）解方程：（1）2（x﹣2）2＝18；（2）x2﹣8x﹣9＝0．七．根的判别式（共1小题）10．（2025春•宁海县期中）关于x的方程ax2﹣2（a﹣1）x+a＝0有实数根，则a的取值范围．八．根与系数的关系（共5小题）11．（2024春•宁海县期中）已知方程M：ax2+bx+c＝0和方程N：cx2+bx+a＝0，（a，c≠0），下列说法中不正确的是（）A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根 B．如果方程M有两根符号相同，那么方程N也有两根符号相同 C．如果5是方程M的一个根，那么15是方程N的一个根D．如果方程M和方程N有一个相同的实数根，那么这个根必是x＝112．（2025春•鄞州区期中）已知实数m，n（m≠n）满足2m2﹣3m﹣1＝0，2n2﹣3n﹣1＝0，则nm+m13．（2025•宣恩县校级模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+4）x+4k＝0（k≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若x1、x2是该方程的两个根，且2x1+2x2＝3x1x2，求k的值．14．（2025春•余姚市期中）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），如果方程有两个实数根为x1，x2，那么x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca；一元二次方程的这种根与系数的关系，最早是由法国数学家韦达（1540﹣1603）发现的，因此，我们把这个关系称为韦达定理，灵活运用这个定理有时可以使解题更为简单．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：（1）材料理解：已知一元二次方程x2解：∵一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根分别为m，n，∴m+n＝，∴mn＝，∴m2n+mn2＝…，请填空并将过程补充完整；（2）类比应用：一元二次方程﹣x2+mx+1＝0的一个根为x＝2，则m＝，另一个根为x＝；（3）思维拓展：关于x的一元二次方程：x2+（2m+1）x+m2﹣2＝0有两个实数根，且这两个实数根的平方和是21，求m的值．15．（2024春•宁海县期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣5m2＝0．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根．（2）若该方程的两个实数根为x1，x2，且x1+2x2＝5，求m的值．九．由实际问题抽象出一元二次方程（共2小题）16．（2025春•宁海县期中）某品牌新能源汽车2022年的销售量为30万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2024年的销售量比2022年增加了42.1万辆．如果设从2022年到2024年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x，那么可列出方程是（）A．30（1+2x）＝42.1 B．30（1+x）2﹣30＝42.1 C．30（1+x）2＝42.1 D．30（1+2x）﹣30＝42.117．（2024•杭州四模）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，书中有一个关于门和竹竿的问题，简译为：今有一扇门，不知门的高和宽．另有一竹竿，也不知竹竿的长短．竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿竖着放时比门的高长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，求门的对角线长．若设门的对角线长为x尺，则可列方程为（）A．（x+4）2＝x2+（x﹣2）2 B．x2＝（x﹣4）2+（x﹣2）2 C．（x+2）2＝（x﹣4）2+x2 D．（x+4）2＝（x+2）2+x2十．一元二次方程的应用（共2小题）18．（2024春•南浔区期末）据调查，2021年“五一”南浔古镇累计接待游客为36万人次，但2023年“五一”假期，南浔古镇火出圈了，假期接待游客突破81万人次，位列江南六大古镇之首．古镇附近某宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用．（1）求2021年“五一”到2023年“五一”假期南浔古镇累计接待游客的年平均增长率；（2）为了尽可能让游客享受更低的单价，当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为9450元．19．（2024春•江北区期末）位于宁波市江北区的保国寺以其精湛绝伦的建筑工艺闻名全国，其中大雄宝殿（又称无梁殿）更是以四绝“鸟不栖，虫不入，蜘蛛不结网，梁上无灰尘”吸引了各地游客前来参观．据统计，假期第一天保国寺的游客人数为5000人次，第三天游客人数达到7200人次．（1）求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率；（2）据悉，景区附近商店推出了保国寺旅游纪念章，每个纪念章的成本为5元，当售价为10元时，平均每天可售出500个，为了让游客尽可能得到优惠，商店决定降价销售．市场调查发现，售价每降低0.5元，平均每天可多售出100个，若要使每天销售旅游纪念章获利2800元，则售价应降低多少元？十一．配方法的应用（共1小题）20．（2025秋•上海校级期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式x2﹣4x+5的最小值．解：x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1；∵无论x取何实数，都有（x﹣2）2≥0，∴（x﹣2）2+1≥1，即x2﹣4x+5的最小值为1．【尝试应用】（1）请直接写出2x2﹣8x+10的最小值；【拓展应用】（2）试说明：无论x取何实数，二次根式x2【创新应用】（3）如图1，在四边形ABCD中，AC⊥BD，若AC+BD＝10，求四边形ABCD的面积最大值．【挑战应用】（4）如图2，在四边形ABCD中，AC⊥BD，AC+BD＝10，点M和点N分别是BD和AC的中点，BA和CD的延长线交于点P，则△PMN面积的最大值等于．十二．二次函数的应用（共2小题）21．（2025春•慈溪市期中）在爱心义卖活动中，某班的店铺准备义卖小蛋糕，当每个小蛋糕的售价定为6元时，平均每小时的销售数量为30．细心的小亮发现，售价每提高1元，平均每小时的销售数量就会减少2，但售价不能超过10元．（1）若小蛋糕的售价在6元的基础上连续两次涨价，两次涨价后的售价为8.64元，且每次涨价的百分率均相同，求涨价的百分率是多少．（2）若平均每小时的销售总额为216元，求此时小蛋糕的售价为多少元．（3）要使平均每小时的销售总额最大，小蛋糕的售价应定为多少元？并求出最大销售额．22．（2025秋•芗城区校级期中）综合与实践矩形菜园最大面积探究情境数学拓展课上，老师带领兴趣小组的同学们探究矩形种植园最大面积问题．若校园空地上有一面墙（长度12m），用22m长的篱笆围出一个矩形菜园．问题初探如图1，兴趣小组利用墙（不超过墙长）和22m长的篱笆围出矩形菜园ABCD，设CD＝xm，矩形菜园的面积为Sm2．完成下题：（1）BC＝m．（用含x的代数式表示）（2）若矩形菜园面积为56m2时，则AB的长为多少米？问题续探矩形菜园面积能否超过56m2？如果能，请在图2中画出矩形菜园面积最大的方案示意图（标注边长）．十三．全等三角形的判定与性质（共1小题）23．（2025春•鄞州区期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB＝2，BC＝4，∠ABC＝60°，直线EF过点O，连接DF，交AC于点G，连BG，△DCF的周长等于6，下列说法正确的个数为（）①∠EOD＝90°；②S△DFC＝2S△AEO；③S△④AE=A．1个 B．2个 C．3个 D．4个十四．勾股定理的逆定理（共1小题）24．（2025春•海曙区校级期中）在△ABC中，AB＝8，AC＝15，BC＝17，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则PM的最小值为．十五．三角形中位线定理（共2小题）25．（2024春•镇海区期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝5，点D是AB上一动点，作DE∥AC，且DE＝2，连接BE、CD，P、Q分别是BE、DC的中点，连接PQ，则PQ长为（）A．6 B．25 C．37 D．6.526．（2024春•醴陵市期末）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点．连接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝10，BC＝16，则EF的长是．十六．多边形内角与外角（共2小题）27．（2025春•宁海县期中）一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，则这个多边形的边数是（）A．10 B．8 C．6 D．5（2024•无锡一模）如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为．十七．平行四边形的性质（共4小题）29．（2024春•宁海县期中）如图，P为平行四边形ABCD内一点，过点P分别作AB，AD的平行线，交平行四边形各边于E，F，G，H四点．若S四边形AHPE＝3，S四边形PFCG＝5，则S△DPB＝（）A．0.5 B．1 C．1.5 D．230．（2024春•宁海县期中）如图，平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝4，∠A＝60°，E为AD的中点，F为EC上一动点，G为BF中点，连接GD，则GD的最小值是．31．（2024春•天府新区期末）如图，在▱ABCD中，点F是AD中点，连接CF并延长交BA的延长线于点E．（1）求证：AB＝AE．（2）若BC＝2AE，∠E＝32°，求∠DAB的度数．32．（2024•泸州）如图，E，F分别是▱ABCD的边AB，CD上的点，已知AE＝CF．求证：DE＝BF．十八．平行四边形的判定（共3小题）33．（2024春•湛江期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）A．AB∥CD，AD∥BC B．OA＝OC，OB＝OD C．AD＝BC，AB∥CD D．AB＝CD，AD＝BC34．（2024春•宁波期末）下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．∠A＝∠C，∠B＝∠D B．AD∥BC，AB＝CD C．AB∥CD，AD∥BC D．AB∥CD，AB＝CD35．（2024•长春模拟）小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带来了两块碎玻璃，其编号应该是．十九．平行四边形的判定与性质（共3小题）36．（2025春•云阳县期中）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，且AE∥CD．（1）求证：四边形AECD是平行四边形；（2）若AB＝BC，CD＝10，AC＝16，求四边形AECD的面积．37．（2024•武威二模）如图，在▱ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E，F在对角线AC上，且AE＝CF．（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；（2）连接BD交AC于点O，若BD＝10，AE+CF＝EF，求EG的长．38．（2024秋•莱州市期末）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OB，OD的中点，连接AE，AF，CE，CF．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若AB⊥AC，AB＝3，BC＝5．求BD的长．二十．四边形综合题（共1小题）39．（2025春•余姚市期中）定义：若端点均在四边形边上的线段平分该四边形的面积，则我们称这条线段为该四边形的等积线．例：如图1，在▱ABCD中，连结AC，我们可以利用“夹在两条平行线间的垂线段相等”，结合“等底（同底）等高的两个三角形面积相等”来说明△ABC与△ADC的面积相等，即AC是▱ABCD的等积线．（1）请利用图1完成例的证明．（2）如图2，在四边形ABCD中，连结AC，BD．已知点D与BC上一点E的连线段DE是四边形ABCD的等积线，过点E作BD的平行线，交AC于点F，若AC＝6，求CF的长度．（3）如图3，在（2）的条件下，延长EF，交CD于点G．若FG＝EF，请在图中找出一条不同于DE的四边形ABCD的等积线，并说明理由．二十一．作图—应用与设计作图（共1小题）40．（2025春•慈溪市期中）如图，在6×6的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，点A、B均为格点，请在所给的方格纸中画出符合要求的格点四边形．（1）在图1中画出一个▱ABCD，使边BC长为10（点C、D都在格点上）．（2）在图2中画出一个▱ABEF，使▱ABEF的面积为8（点E、F都在格点上）．二十二．轴对称-最短路线问题（共1小题）41．（2025春•宁海县期中）如图，在等腰Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，BE平分∠DBC，M，N分别为射线BE，BC上的动点，若BD＝8，则CM+MN的最小值为．二十三．翻折变换（折叠问题）（共2小题）42．（2025春•鄞州区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，E是AB中点，F是BC上一点，沿着EF折叠得到△B′EF，若AB'＝2，则CF＝．43．（2025春•余姚市期中）如图，在▱ABCD中，∠A＝60°，E是AD上一点，连接BE．将△ABE沿BE对折得到△A′BE，当点A′恰好落在边AD上时，A′D＝4（图甲），当点A′恰好落在边CD上时，A′D＝6（图乙），则AB＝．二十四．作图-旋转变换（共1小题）44．（2025春•鄞州区期中）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，格点（网格线的交点）A，B，C的坐标分别为A（﹣6，6），B（﹣5，2），C（﹣1，3）．（1）画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△DEF，点A的对应点为D，点B的对应点为E，点C的对应点为F，并写出点D的坐标为；（2）已知点M是x轴上的一个动点，当MA+MF的值最小时，直接写出点M的坐标．二十五．算术平均数（共1小题）45．（2025春•宁海县期中）样本数据3，a，4，5的平均数是4，则a的值是（）A．2 B．3 C．4 D．5二十六．加权平均数（共1小题）46．（2024春•宁海县期中）某校为迎接五一文化节活动，需要从甲乙两位候选人中选择一人担任策划人，于是对他们进行了文化水平，艺术水平，组织能力的测试，根据综合成绩择优录取，他们的各项成绩如表所示：候选人文化水平艺术水平组织能力甲80分87分82分乙80分96分76分（1）如果将两位候选人的各项成绩的平均数作为综合成绩，应该录取哪一位？说明你的理由．（2）如果想录取一位艺术水平比较高的候选人，把文化水平，艺术水平，组织能力三项成绩分别按照20%，50%，30%的比例计入综合成绩，应该录取谁？说说你的理由．二十七．方差（共2小题）47．（2024秋•莱州市期末）在方差计算公式s2=120[(x1−15)48．（2024•启东市模拟）某球队对甲、乙两名运动员进行3分球投篮测试，测试共五组，每组投10次，进球的个数统计结果如下：甲：9，9，9，6，7；乙：4，9，8，9，10；列表进行数据分析：选手平均成绩中位数众数方差甲8b9d乙a9c4.4（1）b＝，c＝；（2）试计算乙的平均成绩a和甲的方差d；（计算方差的公式：s2=1n[（x1−x）2+（x2−x）2+…+（xn（3）根据以上数据分析，如果你是教练，你会选择哪名队员参加3分球大赛？请说明理由．二十八．统计量的选择（共1小题）49．（2025春•余姚市期中）近年来，网约车给人们的出行带来了便利，杨林和数学兴趣小组的同学对“美团”和“滴滴”两家网约车公司司机月收入进行了一项抽样调查，两家公司分别抽取的10名司机月收入（单位：千元）如图所示：“滴滴”网约车司机收入的频数分布表：月收入4千元5千元9千元11千元人数（个）4321根据以上信息，整理分析数据如表：平均月收入/千元中位数众数方差“滴滴”646.2“美团”61.2（1）填表：在表格的空白处填入相应的数据；（2）杨林的叔叔决定从两家公司中选择一家做网约车司机，如果你是杨林，请从平均数、中位数，众数，方差这几个统计量中选择两个统计量进行分析，并建议他的权权选择哪家公司？

2026八数期中中档题汇编答案与试题解析一．选择题（共12小题）题号46111617232527293334答案CADBBDCABCB题号45答案C一．估算无理数的大小（共1小题）1．x−4的取值范围是x≥4【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数得出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．解：∵式子x−4∴x﹣4≥0，解得x≥4．故x≥4．【点评】本题考查本题主要考查了二次根式有意义的条件，理解二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．二．同类二次根式（共1小题）2．若最简二次根式2a+1与7是同类二次根式，则a＝【分析】结合同类二次根式的概念进行求解即可．解：若最简二次根式2a+1与则2a则2a+1＝7，a＝3．故3．【点评】本题考查了同类二次根式，解答本题的关键在于熟练掌握同类二次根式的概念．三．二次根式的化简求值（共1小题）3．【阅读理解】爱思考的小名在解决问题：已知a=12+3，求2a∵a=12+3=2−3(2+∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3．∴a2﹣4a＝﹣1．∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．请你根据小名的分析过程，解决如下问题：（1）计算：12+1=（2）计算：12+1+1（3）若a=15−2，求3a2【分析】（1）分母有理化即可；（2）先分母有理化，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可；（3）先分母有理化求出a=5+2，再求出a﹣2=5，两边平方后求出a2解：（1）12故2−1（2）原式=2−1=2−1+3=100＝10﹣1＝9．故9；（3）∵a=∴a−2=∴（a﹣2）2＝5，即a2﹣4a+4＝5．∴a2﹣4a＝1．∴3a2﹣12a﹣1＝3（a2﹣4a）﹣1＝3×1﹣1＝2．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，平方差公式等知识点，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．四．一元二次方程的解（共1小题）4．若a是方程x2+x﹣1＝0的根，则3a2+3a+2025的值为（）A．2024 B．2026 C．2028 D．2030【分析】把x＝a代入已知方程，并求得a2+a＝1，然后将其整体代入所求的代数式进行求值即可．解：∵a是方程x2+x﹣1＝0的根，∴a2+a﹣1＝0，∴a2+a＝1，∴3a2+3a+2024＝3（a2+a）+2025＝3×1+2025＝2028．故选：C．【点评】本题考查一元二次方程的解以及代数式求值，运用整体代入思想是解决此问题的关键．五．解一元二次方程-配方法（共1小题）5．（1）计算：(1−23（2）解方程：（x+1）（x﹣3）＝6．【分析】（1）根据实数的运算法则进行计算即可．（2）利用配方法对所给一元二次方程进行求解即可．解：（1）原式=1−4=12−43（2）（x+1）（x﹣3）＝6，x2﹣2x﹣3＝6，x2﹣2x+1＝10，（x﹣1）2＝10，则x﹣1=±10所以x1【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣配方法及二次根式的混合运算，熟知配方法解一元二次方程的步骤及实数的运算法则是解题的关键．六．解一元二次方程-因式分解法（共4小题）6．若菱形两条对角线的长度是方程x2﹣12x+32＝0的两根，则该菱形的边长为（）A．25 B．8 C．45【分析】先求出方程的解，再根据菱形的性质进行计算即可．解：由方程x2﹣12x+32＝0得，x1＝4，x2＝8，所以菱形的两条对角线长度为4和8，则菱形的边长为：22故选：A．【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣因式分解法及菱形的性质，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤及菱形的性质是解题的关键．7．对于实数m，n，先定义一种运算“⊗”如下：m⊗n=m2+m+【分析】分两种情况：当x≥﹣2时，当x＜﹣2时，然后按照定义新运算，进行计算即可解答．解：分两种情况：当x≥﹣2时，∵x⊗（﹣2）＝10，∴x2+x﹣2＝10，x2+x﹣12＝0，（x+4）（x﹣3）＝0，x+4＝0或x﹣3＝0，x1＝﹣4（舍去），x2＝3，当x＜﹣2时，∵x⊗（﹣2）＝10，∴（﹣2）2+x﹣2＝10，x＝8（舍去），综上所述：x＝3，故3．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，实数的运算，理解定义新运算是解题的关键．8．（1）计算：24÷（2）解方程：（x+2）2﹣4（x﹣3）2＝0．【分析】（1）根据二次根式乘法及除法的运算法则进行计算即可．（2）利用因式分解法对所给方程进行求解即可．解：（1）原式=24÷3（2）（x+2）2﹣4（x﹣3）2＝0，（x+2）2﹣（2x﹣6）2＝0，（x+2+2x﹣6）（x+2﹣2x+6）＝0，（3x﹣4）（﹣x+8）＝0，则3x﹣4＝0或﹣x+8＝0，所以x1【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣因式分解法及二次根式的混合运算，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤及二次根式的乘、除运算法则是解题的关键．9．解方程：（1）2（x﹣2）2＝18；（2）x2﹣8x﹣9＝0．【分析】（1）利用直接开平方法对所给一元二次方程进行求解即可．（2）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可．解：（1）2（x﹣2）2＝18，（x﹣2）2＝9，则x﹣2＝±3，所以x1＝﹣1，x2＝5．（2）x2﹣8x﹣9＝0，（x+1）（x﹣9）＝0，则x+1＝0或x﹣9＝0，所以x1＝﹣1，x2＝9．【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣因式分解法及解一元二次方程﹣直接开平方法，熟知因式分解法及直接开平方法解一元二次方程的步骤是解题的关键．七．根的判别式（共1小题）10．关于x的方程ax2﹣2（a﹣1）x+a＝0有实数根，则a的取值范围a≤1【分析】解一元一次方程，当a＝0时，原方程为2x＝0，此时原方程有实数根；当a≠0时，原方程为一元二次方程，则Δ＝[﹣2（a﹣1）]2﹣4a2≥0，据此求解即可．解：当a＝0时，原方程为2x＝0，解得x＝0，原方程有实数根，符合题意；当a≠0时，原方程为一元二次方程，则Δ＝[﹣2（a﹣1）]2﹣4a2≥0，∴4a2﹣8a+4﹣4a2≥0，∴a≤12综上，a≤12故a≤【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式的应用是关键．八．根与系数的关系（共5小题）11．已知方程M：ax2+bx+c＝0和方程N：cx2+bx+a＝0，（a，c≠0），下列说法中不正确的是（）A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根 B．如果方程M有两根符号相同，那么方程N也有两根符号相同 C．如果5是方程M的一个根，那么15是方程N的一个根D．如果方程M和方程N有一个相同的实数根，那么这个根必是x＝1【分析】利用根的判别式判断A；利用根的判别式和根与系数的关系判断B；利用一元二次方程的解的定义判断C与D．解：A、如果方程M有两个不相等的实数根，那么Δ＝b2﹣4ac＞0，所以方程N也有两个不相等的实数根，结论正确，不符合题意；B、如果方程M的两根符号相同，那么Δ＝b2﹣4ac≥0，ca＞0，所以a与c符号相同；那么acC、如果5是方程M的一个根，那么25a+5b+c＝0，两边同时除以25，得125c+15b+a＝0，所以1D、如果方程M和方程N有一个相同的根，那么ax2+bx+c＝cx2+bx+a，（a﹣c）x2＝a﹣c，由a≠c，得x2＝1，x＝±1，结论错误，符合题意；故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．以及根与系数的关系．12．已知实数m，n（m≠n）满足2m2﹣3m﹣1＝0，2n2﹣3n﹣1＝0，则nm+mn的值为【分析】根据已知判断出m，n是方程2x2﹣3x﹣1＝0的两实数根，然后利用根与系数关系即可求解．解：由条件可得m，n是方程2x2﹣3x﹣1＝0的两实数根，∴m+n=∴nm故−13【点评】本题考查了方程的解以及一元二次方程的根与系数关系，能熟练利用方程解的定义得到m，n是方程2x2﹣3x﹣1＝0的两实数根是解题的关键．13．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+4）x+4k＝0（k≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若x1、x2是该方程的两个根，且2x1+2x2＝3x1x2，求k的值．【分析】（1）计算出Δ的值，根据Δ的取值范围即可得证；（2）根据一元二次方程根与系数的关系求出x1+x2＝k+4，x1x2＝4k，然后代入2x1+2x2＝3x1x2中，求出k的值即可．解：（1）根据根的判别式可得：∵Δ＝[﹣（k+4）]2﹣4×1×4k＝（k﹣4）2≥0，∴方程总有两个实数根；（2）根据题意得：x1+x2＝k+4，x1x2＝4k，∴2（k+4）＝3×4k，解得：k=【点评】本题考查了根据根的判别式判断一元二次方程根的个数，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．14．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），如果方程有两个实数根为x1，x2，那么x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca；一元二次方程的这种根与系数的关系，最早是由法国数学家韦达（1540﹣1603）发现的，因此，我们把这个关系称为韦达定理，灵活运用这个定理有时可以使解题更为简单．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：（1）材料理解：已知一元二次方程x2解：∵一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根分别为m，n，∴m+n＝3，∴mn＝﹣2，∴m2n+mn2＝…，请填空并将过程补充完整；（2）类比应用：一元二次方程﹣x2+mx+1＝0的一个根为x＝2，则m＝32，另一个根为x＝−1（3）思维拓展：关于x的一元二次方程：x2+（2m+1）x+m2﹣2＝0有两个实数根，且这两个实数根的平方和是21，求m的值．【分析】（1）利用根与系数的关系可得m+n＝3，mn＝﹣2，再把m2n+mn2分解因式，再代入求值即可；（2）利用根与系数的关系可得2+x＝m，2x＝﹣1，从而可得答案；（3）利用根与系数的关系可得x1+x2=−(2m+1)x1x解：（1）∵一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根分别为m，n，∴m+n＝3，∴mn＝﹣2，∴m2n+mn2＝mn（m+n）＝3×（﹣2）＝﹣6．故3，﹣2；（2）∵一元二次方程﹣x2+mx+1＝0的一个根为x＝2，∴2+x＝m，2x＝﹣1，解得：x=−12故32，−（3）设关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2＝0有两个实数根为x1，x2，∴x1∵这两个实数根的平方和是21，∴x1∴[﹣（2m+1）]2﹣2（m2﹣2）＝21，解得：m1＝﹣4，m2＝2，∵Δ＝（2m+1）2﹣4（m2﹣2）＝4m+9≥0，∴m≥−∴m＝﹣4不符合题意，则m＝2．【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式的应用，根与系数的关系的应用，利用因式分解的方法解一元二次方程，熟记概念与方程的解法是解本题的关键．15．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣5m2＝0．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根．（2）若该方程的两个实数根为x1，x2，且x1+2x2＝5，求m的值．【分析】（1）根据判别式公式，Δ＝b2﹣4ac＞0，即可得结论；（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2＝2，结合x1+2x2＝5，可得x2＝3，代入原方程即可解答．（1）证明：∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣5m2）＝4+20m2＞0，∴方程总有两个不相等的实数根；（2）解：∵x1+2x2＝5，x1+x2＝2，∴x2＝3，代入方程得：9﹣6﹣5m2＝0，∴m＝±155【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，熟练掌握各知识点是解题的关键．九．由实际问题抽象出一元二次方程（共2小题）16．某品牌新能源汽车2022年的销售量为30万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2024年的销售量比2022年增加了42.1万辆．如果设从2022年到2024年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x，那么可列出方程是（）A．30（1+2x）＝42.1 B．30（1+x）2﹣30＝42.1 C．30（1+x）2＝42.1 D．30（1+2x）﹣30＝42.1【分析】根据2024年的销售量比2022年增加了42.1万辆，列方程即可．解：由题意得：30（1+x）2﹣30＝42.1．故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到相等关系是解题的关键．17．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，书中有一个关于门和竹竿的问题，简译为：今有一扇门，不知门的高和宽．另有一竹竿，也不知竹竿的长短．竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿竖着放时比门的高长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，求门的对角线长．若设门的对角线长为x尺，则可列方程为（）A．（x+4）2＝x2+（x﹣2）2 B．x2＝（x﹣4）2+（x﹣2）2 C．（x+2）2＝（x﹣4）2+x2 D．（x+4）2＝（x+2）2+x2【分析】由题意得出门的高为（x﹣2）尺，宽为（x﹣4）尺，再利用勾股定理，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．解：若设门的对角线长为x尺，则门的高为（x﹣2）尺，宽为（x﹣4）尺，根据题意得：x2＝（x﹣4）2+（x﹣2）2．故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程、数学常识以及勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．十．一元二次方程的应用（共2小题）18．据调查，2021年“五一”南浔古镇累计接待游客为36万人次，但2023年“五一”假期，南浔古镇火出圈了，假期接待游客突破81万人次，位列江南六大古镇之首．古镇附近某宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用．（1）求2021年“五一”到2023年“五一”假期南浔古镇累计接待游客的年平均增长率；（2）为了尽可能让游客享受更低的单价，当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为9450元．【分析】（1）设南浔古镇累计接待游客的年平均增长率为x，根据2021年“五一”到2023年“五一”的游客人数，列出一元二次方程，解之取正值即可；（2）设房价定为y元时，根据宾馆当天的利润为9450元，列出一元二次方程，解之取满足题意的值即可．解：（1）设南浔古镇累计接待游客的年平均增长率为x，由题意得：36（1+x）2＝81，解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（不符合题意，舍去），答：南浔古镇累计接待游客的年平均增长率为50%；（2）设房价定为y元时，宾馆当天的利润为9450元，由题意得：（y﹣20）（50−x解得：x1＝230，x2＝470，∵为了尽可能让游客享受更低的单价，∴x＝230，答：当房价定为230元时，宾馆当天的利润为9450元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．19．位于宁波市江北区的保国寺以其精湛绝伦的建筑工艺闻名全国，其中大雄宝殿（又称无梁殿）更是以四绝“鸟不栖，虫不入，蜘蛛不结网，梁上无灰尘”吸引了各地游客前来参观．据统计，假期第一天保国寺的游客人数为5000人次，第三天游客人数达到7200人次．（1）求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率；（2）据悉，景区附近商店推出了保国寺旅游纪念章，每个纪念章的成本为5元，当售价为10元时，平均每天可售出500个，为了让游客尽可能得到优惠，商店决定降价销售．市场调查发现，售价每降低0.5元，平均每天可多售出100个，若要使每天销售旅游纪念章获利2800元，则售价应降低多少元？【分析】（1）设游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为x，根据题意得关于x的一元二次方程，解方程，然后根据问题的实际意义作出取舍即可；（2）设售价应降低m元，根据每个的利润乘以销售量，等于2800，列方程并求解，再结合问题的实际意义作出取舍即可．解：（1）设游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为x，根据题意，得5000（1+x）2＝7200，解得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（舍去）．答：平均增长率为20%；（2）设售价应降低m元，则每天的销量为（500+1000.5根据题意可得（10﹣m﹣5）（500+1000.5解得m1=32，m答：售价应降低32【点评】本题考查了一元二次方程在增长率问题和销售问题中的应用，根据题意，找到等量关系，正确列出方程是解题的关键．十一．配方法的应用（共1小题）20．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式x2﹣4x+5的最小值．解：x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1；∵无论x取何实数，都有（x﹣2）2≥0，∴（x﹣2）2+1≥1，即x2﹣4x+5的最小值为1．【尝试应用】（1）请直接写出2x2﹣8x+10的最小值2；【拓展应用】（2）试说明：无论x取何实数，二次根式x2【创新应用】（3）如图1，在四边形ABCD中，AC⊥BD，若AC+BD＝10，求四边形ABCD的面积最大值．【挑战应用】（4）如图2，在四边形ABCD中，AC⊥BD，AC+BD＝10，点M和点N分别是BD和AC的中点，BA和CD的延长线交于点P，则△PMN面积的最大值等于258【分析】（1）依据题意，利用配方法把2x2﹣8x+10变形为2（x﹣2）2+2，然后根据非负数的性质可确定代数式的最小值；（2）依据题意，利用配方法得到x2+x+2=(x+12)2（3）依据题意，利用三角形面积公式得到四边形ABCD的面积=12⋅AC⋅BD，由于BD＝10﹣AC，则四边形ABCD的面积=1（4）依据题意，连接CM，根据三角形面积可得S△ABM+S△BCM=12(S△ABD+S△解：（1）由题意得，2x2﹣8x+10＝2（x2﹣4x）+10＝2（x2﹣4x+4﹣4）+10＝2（x﹣2）2+2．∵无论x取何实数，都有2（x﹣2）2≥0，∴2（x﹣2）2+2≥2，即x2﹣8x+10的最小值为2．故2．（2）由题意，x2∴(x∴x2+x+2＞0．∴无论x取何实数，二次根式x2（3）由题意，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD的面积=1∵AC+BD＝10，∴BD＝10﹣AC，∴四边形ABCD的面积==−1=−1=−1∴当AC＝5，四边形ABCD的面积最大，最大值为252（4）由题意，连接CM，∵点M是BD的中点，∴S△∴S△ABM+S△BCM=12（S△ABD+S△BCD）=12∵点M是BD的中点，∴S△∵点N是AC的中点，∴S△∴S△PMN＝S△CPM﹣S△CPN﹣S△CMN==1=1=12=14S∵AC⊥BD，∴S四边形ABCD=12AC•∵AC+BD＝10，∴AC2+BD2+4AC•BD﹣2AC•BD≥4AC•BD，即AC2+BD2+2AC•BD≥4AC•BD，∴4AC•BD≤（AC+BD）2，∴AC⋅∴S四边形故258【点评】本题主要考查了配方法的应用，解题时要能利用配方法把二次式变形为一个完全平方式和常数的和，然后利用非负数的性质确定代数式的最值是关键．十二．二次函数的应用（共2小题）21．在爱心义卖活动中，某班的店铺准备义卖小蛋糕，当每个小蛋糕的售价定为6元时，平均每小时的销售数量为30．细心的小亮发现，售价每提高1元，平均每小时的销售数量就会减少2，但售价不能超过10元．（1）若小蛋糕的售价在6元的基础上连续两次涨价，两次涨价后的售价为8.64元，且每次涨价的百分率均相同，求涨价的百分率是多少．（2）若平均每小时的销售总额为216元，求此时小蛋糕的售价为多少元．（3）要使平均每小时的销售总额最大，小蛋糕的售价应定为多少元？并求出最大销售额．【分析】（1）设涨价的百分率是x，由题意：小蛋糕的售价在6元的基础上连续两次涨价，两次涨价后的售价为8.64元，列出一元二次方程，解方程即可；（2）设小蛋糕的售价提高a元，则每小时的销售数量就会减少2a个，平均每小时的销售总额为216元，列出一元二次方程，解方程即可；（3）设小蛋糕的售价为m元，根据配方法得出，平均每小时的销售总额为﹣2（m﹣10.5）2+220.5，结合题意，即可求解．解：（1）设涨价的百分率是x，由题意得：6（1+x）2＝8.64，解得：x1＝20%，x2＝﹣220%（不合题意，舍去），答：涨价的百分率是20%；（2）设小蛋糕的售价提高a元，则每小时的销售数量就会减少2a个，由题意得：（6+a）（30﹣2a）＝216，整理得：a2﹣9a+18＝0，解得：a1＝3，a2＝6，∴小蛋糕的售价为：6+3＝9（元）或6+6＝12（元），∵售价不能超过10元，∴小蛋糕的售价为9元，答：此时小蛋糕的售价定为9元．（3）设小蛋糕的售价为m元，∴平均每小时的销售总额为：m[（30﹣2（m﹣6）]＝﹣2m2+42m＝﹣2（m﹣10.5）2+220.5∵售价不能超过10元，∴小蛋糕的售价为10元，当m＝10时，平均每小时的销售总额最大，最大销售额为﹣2（m﹣10.5）2+220.5＝220元答：此时小蛋糕的售价定为10元，最大销售额为220元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，配方法的应用，正确进行计算是解题关键．22．综合与实践矩形菜园最大面积探究情境数学拓展课上，老师带领兴趣小组的同学们探究矩形种植园最大面积问题．若校园空地上有一面墙（长度12m），用22m长的篱笆围出一个矩形菜园．问题初探如图1，兴趣小组利用墙（不超过墙长）和22m长的篱笆围出矩形菜园ABCD，设CD＝xm，矩形菜园的面积为Sm2．完成下题：（1）BC＝（22﹣2x）m．（用含x的代数式表示）（2）若矩形菜园面积为56m2时，则AB的长为多少米？问题续探矩形菜园面积能否超过56m2？如果能，请在图2中画出矩形菜园面积最大的方案示意图（标注边长）．【分析】（1）用篱笆的总长减去2CD即可得出BC的长；（2）根据矩形的面积＝56列出方程，解方程求出x的值，再根据22﹣2x≤12求出x的取值范围，再确定x；（3）根据矩形的面积公式列出S关于x的函数解析式，再根据函数的性质求最值，从而得出结论．解：（1）设CD＝xm，则AB＝BC＝（22﹣2x）m，故（22﹣2x）；（2）根据题意得：x（22﹣2x）＝56，整理得：x2﹣11x+28＝0，解得：x1＝4，x2＝7，∵22﹣2x≤12，∴x≥5，∴x＝7，答：AB的长为7米；（3）由题意得：S＝x（22﹣2x）＝﹣2x2+22x＝﹣2（x2﹣11x）＝﹣2（x﹣5.5）2+60.5，∵﹣2＜0，∴当x＝5.5时，S有最大值，最大值为60.5，此时AB＝22﹣2×5.5＝11（m），矩形菜园面积最大的方案示意图：∴矩形菜园面积能否超过56m2．【点评】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的应用，关键是找到等量关系列出方程和函数解析式．十三．全等三角形的判定与性质（共1小题）23．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB＝2，BC＝4，∠ABC＝60°，直线EF过点O，连接DF，交AC于点G，连BG，△DCF的周长等于6，下列说法正确的个数为（）①∠EOD＝90°；②S△DFC＝2S△AEO；③S△④AE=A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】由△DCF的周长等于6，可得CD+CF+DF＝CD+CF+BF，即得到DF＝BF，根据等腰三角形三线合一得到EF⊥BD，即可判断①；过点O作MN⊥BC，交AD与N，证明△OAE≌△OCF，得到AE＝CF，同理可得，ON＝OM，MN＝2ON，再由三角形的面积即可判断②；过点GHK⊥AB于H，交CD于K，可得S△ABG+S△DGC=12AB⋅HK，即可判断③；过点D作DP⊥BC的延长线于点P，由平行线可得∠DCP＝∠ABC＝60°，进而可得∠CDP＝30°，得到CP＝1，由勾股定理可得DP=3，设DF＝BF＝解：∵△DCF的周长等于6，∴CD+CF+DF＝6，∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD＝AB＝2，BO＝DO，AO＝CO，AB∥CD，AD∥BC，∴CD+BC＝2+4＝6，即CD+CF+BF＝6，∴CD+CF+DF＝CD+CF+BF，∴DF＝BF，∴△BDF为等腰三角形，∵BO＝DO，∴FO⊥BD，即EF⊥BD，∴∠EOD＝90°，故①正确；过点O作MN⊥BC于M，交AD与N，∵AD∥BC，∴MN⊥AD，∠OAE＝∠OCF，∠OEA＝∠OFC，在△OAE和△OCF中，∠OEA∴△OAE≌△OCF（AAS），∴AE＝CF，同理可得，ON＝OM，∴MN＝2ON，∵S△DFC=∴S△DFC＝2S△AEO，故②正确；过点G作HK⊥AB于H，交CD于K，∵AB∥CD，∴HK⊥CD，∴S△∵S▱ABCD＝AB•HK，∴S△过点D作DP⊥BC的延长线于点P，则∠DPC＝90°，∵∠ABC＝60°，AB∥CD，∴∠DCP＝∠ABC＝60°，∴∠CDP＝90°﹣60°＝30°，∴CP=∴DP=设DF＝BF＝x，则CF＝4﹣x，∴FP＝4﹣x+1＝5﹣x，在Rt△DPF中，FP2+DP2＝DF2，∴(5−x解得x=∴CF=4−∵AE＝CF，∴AE=∴说法正确的个数有4个，故选：D．【点评】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，平行线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．十四．勾股定理的逆定理（共1小题）24．在△ABC中，AB＝8，AC＝15，BC＝17，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则PM的最小值为6017【分析】根据题意可证△ABC是直角三角形，则可以证四边形AEPF是矩形，可得AP＝EF，根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半，可得AP＝EF＝2PM，则AP值最小时，PM值最小，根据垂线段最短，可求AP最小值，即可得PM的最小值．解：连接AP，∵AB2+AC2＝82+152＝289，BC2＝289，∴AB2+AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°，又∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴四边形AEPF是矩形，∴AP＝EF，∠EPF＝90°，又∵M是EF的中点，∴PM=12∴当EF值最小时，PM值最小，即当AP值最小时，PM值最小．根据垂线段最短，即当AP⊥BC时AP值最小，此时S△ABC=12AB×AC=12∴AP=AB∴EF=120∴PM=60故6017【点评】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理逆定理，以及垂线段最短，关键是证EF＝AP．十五．三角形中位线定理（共2小题）25．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝5，点D是AB上一动点，作DE∥AC，且DE＝2，连接BE、CD，P、Q分别是BE、DC的中点，连接PQ，则PQ长为（）A．6 B．25 C．37 D．6.5【分析】由勾股定理得出BC=AB2−AC2=12，取BD中点F，连接PF、QF，证出PF是△BDE的中位线，FQ是△BCD的中位线，由三角形中位线定理得出PF∥ED，PF=12DE＝1，FQ∥BC，解：∵∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝5，∴BC=A取BD中点F，连接PF、QF，如图所示：∵P、Q分别是BE、DC的中点，∴PF是△BDE的中位线，FQ是△BCD的中位线，∴PF∥ED，PF=12DE＝1，FQ∥BC，FQ=∵DE∥AC，AC⊥BC，∴PF⊥FQ，∴PQ=P故选：C．【点评】本题考查了三角形中位线定理、勾股定理、平行线的性质；熟练掌握勾股定理，由三角形中位线定理得出PF∥ED，FQ∥BC是解题的关键．26．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点．连接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝10，BC＝16，则EF的长是3．【分析】利用三角形中位线定理得到DE=12BC．由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到DF=12解：∵点D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∵BC＝16，∴DE=12∵∠AFB＝90°，D是AB的中点，AB＝10，∴DF=12∴EF＝DE﹣DF＝8﹣5＝3．故3．【点评】本题考查了三角形的中位线定理，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是了解三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．十六．多边形内角与外角（共2小题）27．一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，则这个多边形的边数是（）A．10 B．8 C．6 D．5【分析】设多边形边数为n，根据多边形内角和定理和多边形的外角和是360°，由题意列出关于n的方程，解方程即可．解：设多边形边数为n，由题意得：180（n﹣2）＝4×360，n﹣2＝8，n＝10，∴这个多边形的边数为10，故选：A．【点评】本题主要考查了多边形的内角和和外角和，解题关键是熟练掌握多边形内角和定理和外角和为360°．28．如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为6．【分析】多边形的外角和是360°，内角和是它的外角和的2倍，则内角和是2×360＝720度．n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．解：设这个多边形的边数为n，∵n边形的内角和为（n﹣2）•180°，多边形的外角和为360°，∴（n﹣2）•180°＝360°×2，解得n＝6．∴此多边形的边数为6．故6．【点评】本题主要考查了根据正多边形的外角和求多边形的边数，这是常用的一种方法，需要熟记．十七．平行四边形的性质（共4小题）29．如图，P为平行四边形ABCD内一点，过点P分别作AB，AD的平行线，交平行四边形各边于E，F，G，H四点．若S四边形AHPE＝3，S四边形PFCG＝5，则S△DPB＝（）A．0.5 B．1 C．1.5 D．2【分析】由题意可得EPGD、GPFC、EPHA、PHBF均为平行四边形，进而通过三角形与四边形之间的面积转化，最终不难得出结论．解：显然EPGD、GPFC、EPHA、PHBF均为平行四边形，∴S△DEP＝S△DGP=12×∴S△PHB＝S△PBF=12×又S△ADB＝S△EPD+S平行四边形AHPE+S△PHB+S△PDB①，S△BCD＝S△PDG+S平行四边形PFCG+S△PFB﹣S△PDB②，①﹣②得0＝S平行四边形AHPE﹣S平行四边形PFCG+2S△PDB，即2S△PBD＝5﹣3＝2．∴S△PBD＝1．故选：B．【点评】本题主要考查平行四边形的性质及三角形面积的计算，能够通过面积之间的转化熟练求解．30．如图，平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝4，∠A＝60°，E为AD的中点，F为EC上一动点，G为BF中点，连接GD，则GD的最小值是2．【分析】取BE的中点H，连接GH，可得GH为△BEF的中位线，即得GH∥EC，得到点G在射线HG上运动，当DG⊥HG时，DG的值最小，设DG与CE相交于点M，先证△ABE为等边三角形，得到BE＝AE＝2，∠AEB＝60°，即得HE=12BE=1，再利用平行四边形的性质可得∠DEC＝∠DCE＝30°，四边形HEMG是矩形，即得DM解：如图，取BE的中点H，连接GH，∵G为BF中点，∴GH为△BEF的中位线，∴GH∥EC，∴点G在射线HG上运动，当DG⊥HG时，DG的值最小，如图，设DG与CE相交于点M，∵AD＝4，E为AB的中点，∴AE＝DE＝2，∵AB＝2，∴AB＝AE，又∵∠A＝60°，∴△ABE为等边三角形，∴BE＝AE＝2，∠AEB＝60°，∴HE=∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝2，AB∥CD，∴ED＝CD＝2，∠ADC＝180°﹣∠A＝120°，∴∠DEC＝∠DCE＝30°，∴∠HEM＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∵GH∥EC，DG⊥HG，∴DG⊥EC，∠HGM＝90°，∴∠EMG＝90°，DM=∴四边形HEMG是矩形，∴GM＝HE＝1，∴DG＝DM+GM＝1+1＝2，∴GD的最小值是2，故2．【点评】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，垂线段最短等，正确作出辅助线并判断出点G的运动轨迹是解题的关键．31．如图，在▱ABCD中，点F是AD中点，连接CF并延长交BA的延长线于点E．（1）求证：AB＝AE．（2）若BC＝2AE，∠E＝32°，求∠DAB的度数．【分析】（1）由题意易得AB＝CD，AB∥CD，进而易证△AFE≌△DFC，则有CD＝AE，然后问题可求证；（2）由（1）及题意易得AF＝AE，则∠AFE＝∠E＝31°，然后根据三角形外角的性质可求解．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，BC＝AD，∴∠E＝∠DCF，∵点F是AD中点，∴AF＝DF，在△AFE和△DFC中，∠E∴△AFE≌△DFC（AAS），∴CD＝AE，∴AB＝AE；（2）解：由（1）可得AF＝DF，BC＝AD，∵BC＝2AE，∴AE＝AF，∵∠E＝32°，∴∠AFE＝∠E＝32°，∴∠DAB＝2∠E＝64°．【点评】本题主要考查平行四边形的性质及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质及等腰三角形的性质与判定是解题的关键．32．如图，E，F分别是▱ABCD的边AB，CD上的点，已知AE＝CF．求证：DE＝BF．【分析】根据平行四边形的性质，可以得到∠A＝∠C，AD＝CB，再根据AE＝CF，利用SAS可以证明△ADE和△CBF全等，然后即可证明结论成立．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，AD＝CB，在△ADE和△CBF中，AD=∴△ADE≌△CBF（SAS），∴DE＝BF．【点评】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是证明△ADE和△CBF全等．十八．平行四边形的判定（共3小题）33．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）A．AB∥CD，AD∥BC B．OA＝OC，OB＝OD C．AD＝BC，AB∥CD D．AB＝CD，AD＝BC【分析】根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．解：A、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；B、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；C、不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；D、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；故选：C．【点评】本题主要考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．34．下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．∠A＝∠C，∠B＝∠D B．AD∥BC，AB＝CD C．AB∥CD，AD∥BC D．AB∥CD，AB＝CD【分析】根据平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．解：A、∵∠A＝∠C，∠B＝∠D，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；B、由AD∥BC，AB＝CD，不能判定四边形ABCD是平行四边形，可能是等腰梯形，故选项B符合题意；C、∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；D、∵AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．35．小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带来了两块碎玻璃，其编号应该是②③．【分析】确定有关平行四边形，关键是确定平行四边形的四个顶点，由此即可解决问题．解：只有②③两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，∴带②③两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小．故②③．【点评】本题考查平行四边形的定义以及性质，解题的关键是理解如何确定平行四边形的四个顶点，四个顶点的位置确定了，平行四边形的大小就确定了，属于中考常考题型．十九．平行四边形的判定与性质（共3小题）36．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，且AE∥CD．（1）求证：四边形AECD是平行四边形；（2）若AB＝BC，CD＝10，AC＝16，求四边形AECD的面积．【分析】（1）证△AOE≌△COD（ASA），得OD＝OE，再由AO＝CO，即可得出结论；（2）由等腰三角形的性质得OB⊥AC，则平行四边形AECD是菱形，再由勾股定理求出OD＝6，则DE＝12，即可得出答案．（1）证明：∵AE∥CD，∴∠EAO＝∠DCO，在△AOE和△COD中，∠EAO∴△AOE≌△COD（ASA），∴OD＝OE，又∵AO＝CO，∴四边形AECD是平行四边形；（2）解：∵AB＝BC，AO＝CO，∴OB⊥AC，∴平行四边形AECD是菱形，∵AC＝16，∴CO=在Rt△COD中，由勾股定理得：OD=∴DE＝2OD＝12，∴菱形AECD的面积为：12【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解此题的关键．37．如图，在▱ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E，F在对角线AC上，且AE＝CF．（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；（2）连接BD交AC于点O，若BD＝10，AE+CF＝EF，求EG的长．【分析】（1）先由平行四边形的性质及点G，H分别是AB，CD的中点，得出△AGE和△CHF全等的条件，从而判定△AGE≌△CHF（SAS），然后由全等三角形的性质和角的互补关系得出GE＝HF，GE∥HF，则可得出结论．（2）先由平行四边形的性质及BD＝10，得出OB＝OD＝5，再根据AE＝CF、AE+CF＝EF及OA＝OC得出AE＝OE，从而可得EG是△ABO的中位线，利用中位线定理可得EG的长度．解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠GAE＝∠HCF，∵点G，H分别是AB，CD的中点，∴AG＝CH，∵AE＝CF，∴△AGE≌△CHF（SAS），∴GE＝HF，∠AEG＝∠CFH，∴∠GEF＝∠HFE，∴GE∥HF，又∵GE＝HF，∴四边形EGFH是平行四边形；（2）连接BD交AC于点O，如图：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵BD＝10，∴OB＝OD＝5，∵AE＝CF，OA＝OC，∴OE＝OF，∵AE+CF＝EF，∴2AE＝EF＝2OE，∴AE＝OE，又∵点G是AB的中点，∴EG是△ABO的中位线，∴EG=12∴EG的长为2.5．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及三角形的中位线定理等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．38．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OB，OD的中点，连接AE，AF，CE，CF．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若AB⊥AC，AB＝3，BC＝5．求BD的长．【分析】（1）由平行四边形的性质得OA＝OC，OB＝OD，再证OE＝OF，即可得出结论；（2）由勾股定理得AC＝4，则OA=12AC＝2，再由勾股定理求出OB（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵E，F分别是OB，OD的中点，∴OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形；（2）解：∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∴AC=B∴OA=12在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB=A∴BD＝2OB＝213．【点评】本题考查了平行四边形的平与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，由勾股定理求出OA、OB的长是解题的关键．二十．四边形综合题（共1小题）39．定义：若端点均在四边形边上的线段平分该四边形的面积，则我们称这条线段为该四边形的等积线．例：如图1，在▱ABCD中，连结AC，我们可以利用“夹在两条平行线间的垂线段相等”，结合“等底（同底）等高的两个三角形面积相等”来说明△ABC与△ADC的面积相等，即AC是▱ABCD的等积线．（1）请利用图1完成例的证明．（2）如图2，在四边形ABCD中，连结AC，BD．已知点D与BC上一点E的连线段DE是四边形ABCD的等积线，过点E作BD的平行线，交AC于点F，若AC＝6，求CF的长度．（3）如图3，在（2）的条件下，延长EF，交CD于点G．若FG＝EF，请在图中找出一条不同于DE的四边形ABCD的等积线，并说明理由．【分析】（1）证明△ABC≌△CDA（SSS）．得出S△ABC＝S△CDA．则可得出结论；（2）连接FB，FD．证明S四边形ABED=S△DEC=12S四边形ABCD．得出S四边形ABED＝S△ABD+S△EDB（3）连接AE，AG．证明四边形AECG是平行四边形．得出AE∥DC．则S△（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形．∴AD＝BC，AB＝CD．∵AC＝CA．∴△ABC≌△CDA（SSS）．∴S△ABC＝S△CDA．∴AC是▱ABCD的等积线．（2）解：如图2，连接FB，FD．∵EF∥BD．∴S△EDB＝S△FDB，∵DE是四边形ABCD的等积线．∴S四边形∴S四边形ABED＝S△ABD+S△EDB＝S△ABD+S△FDB=S∵S四边形ABFD＝S△AFD+S△AFB＝kS△ACD+kS△ACB＝kS四边形ABCD=1∴k=1∵AC＝6．∴AF=12AC∴CF＝AC﹣AF＝6﹣3＝3．（3）解：线段AC是四边形ABCD的等积线，理由如下：如图3，连接AE，AG．∵AF＝CF＝3，FG＝EF．∴四边形AECG是平行四边形．∴AE∥DC．∴S△∴S△DAC＝S△ABC．∴线段AC是四边形ABCD的等积线．【点评】本题是四形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．二十一．作图—应用与设计作图（共1小题）40．如图，在6×6的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，点A、B均为格点，请在所给的方格纸中画出符合要求的格点四边形．（1）在图1中画出一个▱ABCD，使边BC长为10（点C、D都在格点上）．（2）在图2中画出一个▱ABEF，使▱ABEF的面积为8（点E、F都在格点上）．【分析】（1）利用勾股定理以及平行四边形的判定画出图形（答案不唯一）；（2）构造底为4，高为2的平行四边形即可（答案不唯一）．解：（1）如图1中，四边形ABCD即为所求（答案不唯一）；（2）如图2中，四边形ABEF即为所求（答案不唯一）．【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．二十二．轴对称-最短路线问题（共1小题）41．如图，在等腰Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，BE平分∠DBC，M，N分别为射线BE，BC上的动点，若BD＝8，则CM+MN的最小值为4．【分析】如图，作N关于BE的对称点N′，则MN＝MN′，当C，M，N′三点共线时最短即CN′，当CN′⊥BF时最短，过点C作CF⊥BD，交BD的延长线于点F，即N′与F点重合时最短，过点D作DG⊥BC于点G，根据等面积法求得CF，即可求解．解：如图，作N关于BE的对称点N′，过点C作CF⊥BD，交BD的延长线于点F，过点D作DG⊥BC于点G，∴MN＝MN′，当C，M，N′三点共线时CM+MN最小即CN′，∵当CN′⊥BF时，CN′最短，∴CF即为所求，∵DG⊥BC，Rt△ABC是等腰直角三角形，∴△DGC是等腰直角三角形，∴DC=∵BD平分∠ABC，∴DA＝DG，∵AC＝AB，设AD＝a，则AB=在直角三角形ABD中，BD=8，由勾股定理得：BD2＝AD2+AB2，∴82解得a2∴BC=∵S△∴CF=(2=42＝4，故4．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，角平分线的性质，勾股定理，等腰直角三角形，作出辅助线是解题的关键．二十三．翻折变换（折叠问题）（共2小题）42．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，E是AB中点，F是BC上一点，沿着EF折叠得到△B′EF，若AB'＝2，则CF＝8±265【分析】取BC中点为D、连接ED，作AB′中点G，连接EG交BB′，交EF于O，根据勾股定理求出AB的长，由折叠性质以及等腰三角形的判定与性质得出E，O′，F共线，即O与O′重合，利用中位线性质，勾股定理得出一元二次方程(x解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，如图，取BC中点为D、连接ED，作AB′中点G，连接EG交BB′，交EF于O，由勾股定理得：AB=∵E为AB中点，∴AE＝BE＝5，由折叠可知：B′E＝BE＝AE＝5，∵点G是AB′中点，在△EAB′中有EG⊥AB′，且AG=在Rt△EGA中，由勾股定理得：EG=在△ABB′中，E为AB中点，G为AB′中点，∴BB′=2取BB′中点为O′，则EO′⊥BB′，∵BF＝B′F，∴FO′⊥BB′，∴E，O′，F共线，即O与O′重合，∴BO=在Rt△EOB中，由勾股定理得：EO=∵E为AB的中点，D为BC的中点，∴ED∥∵∠C＝90°，∴∠EDB＝∠EDF＝90°，在Rt△EDF中，设DF＝x，则BF＝4+x，由勾股定理得：EF=∴FO=在Rt△BOF中，由勾股定理得：FO2+BO2＝BF2，即(x整理得：5x2﹣24x+24＝0，解得：x1∴CF=故8±26【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，一元二次方程的几何应用，中位线的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握折叠的性质，准确作出辅助线是解答本题的关键．43．如图，在▱ABCD中，∠A＝60°，E是AD上一点，连接BE．将△ABE沿BE对折得到△A′BE，当点A′恰好落在边AD上时，A′D＝4（图甲），当点A′恰好落在边CD上时，A′D＝6（图乙），则AB＝38．【分析】设AB＝2x，进而根据翻折及∠A＝60°可知△ABA′是等边三角形，则可表示出AD＝2x+4，在图乙中，过点B作BF⊥CD于点E，进而分别表示出CE，A′F，再利用Rt△A′BF中勾股定理建立等量关系求出x的值即可得到AB的值．解：设AB＝2x，将△ABE沿BE对折得到△A′BE