2027届新高三数学热点复习利用导数研究不等式恒(能)成立问题

2027届新高三数学热点复习利用导数研究不等式恒(能)成立问题命题点一分离参数法解决不等式恒(能)成立问题例1：已知函数f(x)＝ex－ax－1，g(x)＝xlnx．若不等式f(x)－g(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．

跟踪训练已知函数f(x)＝eax－x.(1)求f(x)的单调区间；

(2)若∃x∈[－1，1]，使f(x)≥3成立，求a的取值范围．解析：f(x)≥3在[－1，1]有解，即当x∈[－1，1]时，f(x)max≥3，当a>0时，由(1)知函数在[－1，1]上的最大值在端点处取得．此时f(1)＝ea－1，f(－1)＝e－a＋1，所以ea－1≥3或e－a＋1≥3，得a≥ln4或

a≤－ln2，又a>0，所以a≤－ln2舍去，所以a≥ln4＝2ln2.当a≤0时，函数在[－1，1]上单调递减，那么最大值在x＝－1处取得．此时f(－1)＝e－a＋1，所以e－a＋1≥3，得a≤－ln2.综合两种情况，可得a的取值范围为a≤－ln2或a≥2ln2.

(2)若f(x)≥0恒成立，求a的值．

学霸笔记：在不等式恒成立问题中，如果不能分离参数或分离参数后的函数的最值比较难求，可以把含参不等式整理成f(x，a)>(<)0或f(x，a)≥(≤)0的形式，然后从研究函数的性质入手，通过讨论函数的单调性和极值，直接用参数表达函数的最值，然后根据题意，建立关于参数的不等式，解不等式即得参数的取值范围．(1)如果f(x，a)有最小值g(a)，则①f(x，a)>0恒成立⇔g(a)>0；②f(x，a)<0有解⇔g(a)<0.(2)如果f(x，a)有最大值g(a)，则①f(x，a)<0恒成立⇔g(a)<0；②f(x，a)>0有解⇔g(a)>0.

(2)当m>0时，若对于任意x1>0，总存在x2∈[－2，－1]，使得f(x1)≥g(x2)，求m的取值范围．

跟踪训练已知函数f(x)＝alnx－x(a∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)当a>0时，设g(x)＝x－lnx－1，若对于任意x1，x2∈(0，＋∞)，均有f(x1)<g(x2)，求实数a的取值范围．

故g(x)的极小值即为最小值，∴g(x)min＝g(1)＝0，∴alna－a<0，解得0<a<e.∴实数a的取值范围为(0，e)．

(2)当f(x)<2x恒成立时，求实数a的取值范围．

2．(15分)已知函数f(x)＝ex＋x2，g(x)＝xlnx＋(a＋1)x.(1)求曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程；解析：因为g(1)＝a＋1，g′(x)＝lnx＋a＋2，g′(1)＝a＋2，所以g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y－(a＋1)＝(a＋2)(x－1)，即(a＋2)x－y－1＝0.(2)若f(x)≥g(x)，求实数a的取值范围．

3．(15分)(2026·大连模拟)已知f(x)＝ax2－2lnx，x∈(0，e]，其中e是自然对数的底数．(1)讨论f(x)的单调性；

(2)当g(x)≥ax恒成立，求a的值．

所以函数h(x)在(－∞，ln(2a－1))上单调递减，在(ln(2a－1)，＋∞)上单调递增，则h(x)min＝h(ln(2a－1))＝2a－1＋(1－2a)ln(2a－1)－1，则2a－1＋(1－2a)ln(2a－1)－1≥0.令t＝2a－1(t>0)，则h(x)min＝2a－1＋(1－2a)ln(2a－1)－1＝t－tlnt－1.设m(t)＝t－tlnt－1，t>0，则m′(t)＝－lnt.令m′(t)>0，得0