中考数学一轮复习（培优篇）：三角形动点问题

中考数学一轮复习（培优篇）：三角形动点问题一、综合题1．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，动点D从点A出发以4cm/s速度向点C移动，同时动点E从C出发以3cm/s的速度向点B移动，设它们的运动时间为ts．（1）根据题意知：CE＝，CD＝；（用含t的代数式表示）（2）t为何值时，△CDE的面积等于四边形ABED的面积的13（3）点D、E运动时，DE的长可以是4cm吗？如果可以，请求出t的值，如果不可以，请说明理由．2．在△OAB中，O为坐标原点，横、纵轴的单位长度相同，A、B的坐标分别为（8，6），（16，0），点P沿OA边从点O开始向终点A运动，速度每秒1个单位，点Q沿BO边从B点开始向终点O运动，速度每秒2个单位，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动时间，当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动．求：（1）当t＝秒时PQ∥AB；（2）若△OPQ的面积为365（3）△OPQ与△OAB能否相似？若能，求出点P的坐标；若不能，试说明理由3．如图，在△ABC中，∠C=90°，点P在AC上运动，点D在AB上运动，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE.（1）判断DE与PD的位置关系，并说明理由；（2）若AC=3，BC=4，PA=1，求线段DE的长.4．如图，ΔABC中，∠C=90°，AC=3 cm，BC=4 cm，动点P从点B出发以2 cm/s的速度向点C移动，同时动点Q从点C出发以1 cm/s的速度向点A移动，设它们的运动时间为t s.（1）t为何值时，ΔCPQ的面积等于ΔABC面积的18（2）运动几秒时，ΔCPQ与ΔABC相似?（3）在运动过程中，PQ的长度能否为1 cm?试说明理由5．如图1，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s．以AQ、PQ为边作▱AQPD，连接DQ，交AB于点E．设运动的时间为t（单位：s）（0＜t≤4）．解答下列问题：（1）用含有t的代数式表示AE=．（2）如图2，当t为何值时，▱AQPD为菱形．（3）求运动过程中，▱AQPD的面积的最大值．6．我们定义：在等腰三角形中，腰与底的比值叫做等腰三角形的正度．如图1，在△ABC中，AB＝AC，ABBC已知：在△ABC中，AB＝AC，若D是△ABC边上的动点（D与A，B，C不重合）．（1）若∠A＝90°，则△ABC的正度为；（2）在图1，当点D在腰AB上（D与A、B不重合）时，请用尺规作出等腰△ACD，保留作图痕迹；若△ACD的正度是22（3）若∠A是钝角，如图2，△ABC的正度为357．已知：如图①，在Rt△ABC中，AB⊥AC，AB=6cm，BC=10cm，将△ABC绕AC中点旋转180°得到△CDA.如图②，再将△CDA沿AC的方向以1cm/s的速度平移得到△NDP；同时，点Q从点C出发，沿CB方向以2cm/s的速度运动，当点Q停止运动时，△NDP也停止平移，设运动时间为t(s)(0<t<5).解答下列问题.（1）当t为何值时，PQ//AB？（2）在运动过程中，t为何值时△PQC的面积最大？并求面积的最大值；（3）是否存在某一时刻t，使PQ⊥DQ？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由.8．如图，在等边△ABC中，AB＝9cm，点P从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，点Q从B点出发沿BA边向A点以5cm/s速度移动．Q两点同时出发，它们移动的时间为t秒钟．（1）你能用t表示BP和BQ的长度吗？请你表示出来．（2）请问几秒钟后，△PBQ为等边三角形？（3）若P、Q两点分别从C．B两点同时出发，并且都按顺时针方向沿AEC三边运动，请问经过几秒钟后点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？．9．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在y轴上，点B，C在x轴上，B(−4，0)，OA=OB，（1）求线段AC的长；（2）点P从C点出发沿射线CA以每秒2个单位长度的速度运动，过点A作AF⊥AP，点F在y轴的左侧，AF=AP，过点F作FE⊥y轴，垂足为E，设点P的运动时间为t秒，请用含t的式子表示EF的长；（3）在（2）的条件下，直线BP交y轴于点K，C(43，0)10．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=32，点D是斜边AB上一动点（点D与点A、B不重合），连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接AE，DE．（1）求△ADE的周长的最小值；（2）若CD=4，求AE的长度．11．在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），且a、b满足|a+b−4|+(2a+4)（1）求OA，OB长度；（2）在x轴上是否存在点C，使得三角形ABC的面积是12；若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P从点B出发沿着y轴运动（点P不与原点、B点重合）速度为每秒2个单位长度，连接AB、AP，当运动的时间t为几秒时，S△ABP12．如图，已知△ABC中，AB=AC=6cm，∠B=∠C，BC=4cm，点D为AB的中点.（1）如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动.①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则经过后，点P与点Q第一次在△ABC的边上相遇？（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程）13．有公共顶点A的△ABD，△ACE都是的等边三角形．（1）如图1，将△ACE绕顶点A旋转，当E，C，B共线时，求∠BCD的度数；（2）如图2，将△ACE绕顶点A旋转，当∠ACD=90°时，延长EC角BD于F，①求证：∠DCF=∠BEF；②写出线段BF与DF的数量关系，并说明理由．14．如图，在RtΔABC中，∠B=90°，BC=53，∠C=30°，点D从点C出发沿AC方向以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长度的速度向点B运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点D，E运动的时间是t秒(t>0)．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF（1）求AB、AC的长；（2）求证：AE=DF；（3）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．15．如图，在△ABC中，∠B=90∘，AB=12cm，BC=24cm，动点P从点A开始沿着边AB向点B以2cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边BC向点C以4cm/s的速度移动（不与点C重合）.若（1）当移动几秒时，△BPQ的面积为20cm（2）当移动几秒时，四边形APQC的面积为108cm（3）当移动几秒时，△BPQ与△ABC相似？16．如图，等腰Rt△AOB在平面直角坐标系xOy上，∠B=90°， OA=4．点C从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向运动，过点C作直线l⊥OA，直线l与射线OB相交于点N．（1）点B的坐标为；（2）点C的运动时间是t秒．①当2⩽t⩽4时，△AOB在直线l右侧部分的图形的面积为S，求S（用含t的式子表示）；②当t>0时，点M在直线l上且△ABM是以AB为底的等腰三角形，若CN=3

答案解析部分1．【答案】（1）3tcm；(8-4t)cm（2）解：∵△CDE的面积等于四边形ABED的面积的1∴△CDE的面积等于三角形ABC的面积的1∴1即3t(8−4t)=化简得：t解得t即当t为1时，△CDE的面积等于四边形ABED的面积的1（3）解：不可以，理由如下：若DE=4cm，则由勾股定理得：(3t)整理得：9Δ=此方程无实数根，故DE的长不可以是4cm．2．【答案】（1）（2）解：如图，过P作PC⊥OB于C，过A作AD⊥OB于D，则PC∥AD，∴△OPC∽△OAD，∴PCAD∴PC6∴PC＝35∵△OPQ的面积为365∴△OPQ的面积＝12OQ•PC＝12（16﹣2t）×35t＝﹣35t2解得t＝2或t＝6（3）解：能相似，理由：如图，∵△OPQ∽△OAB，∴∠OAB＝∠OPQ，∴PQ∥AB，由（1）知，t＝409∴OP＝409∵△OPQ∽△OAB，∴PCAD∵AD＝6，OA＝10，OD＝8，∴PC6∴OC＝329，PC＝8∴P点坐标是（329，8同时，当△OPQ∽△OBA时，∴OPOB∵OP＝t，OQ＝16﹣2t，∴t16∴OP＝t＝12821∵△OPQ∽△OAB，∴PCAD∵AD＝6，OA＝10，OD＝8，∴PC6∴OC＝512105，PC＝∴P'（512105，128P点的坐标是（329，83）或（5121053．【答案】（1）解：DE⊥DP，理由如下：∵PD=PA，∴∠A=∠PDA，∵EF是BD的垂直平分线，∴EB=ED，∴∠B=∠EDB，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠PDA+∠EDB=90°，∴∠PDE=180°-90°=90°，∴DE⊥DP；（2）解：连接PE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=4-x，∵AC=3，PA=PD=1，∴PC=AC−PA=3−1=2∵∠C=∠PDE=90°，∴PC2+CE2=PE2=PD2+DE2，∴22+（4-x）2=12+x2，解得：x=198则DE=194．【答案】（1）解：经过t秒后，PC=4−2t，CQ=t，由题意知，0<t<2，当ΔCPQ的面积等于ΔABC面积的18即12解得：t1=3所以经过32或12秒后，当ΔCPQ的面积等于ΔABC面积的（2）解：设经过t秒后两三角形相似，①若RtΔABC∼RtΔQPC，则ACBC=QCPC，即②若RtΔABC∼RtΔPQC，则PCQC=ACBC，即又0<t<2，满足题意，所以要使ΔCPQ与ΔCBA相似，运动的时间为65秒或16（3）解：∵∠C=90°，若PQ=1，则(4−2t)2∴5∵b2所以此方程无实数解，PQ的长度不能为1 cm.5．【答案】（1）5﹣t（2）解：如图2中，当▱AQPD是菱形时，DQ⊥AP，则COS∠BAC=AEAQ=AC解得：t=2513所以当t=2513（3）解：如图3中，设平行四边形AQPD的面积为S，作PM⊥AC于M，∵PM∥BC，∴△APM∽△ABC，∴APAB=PM∴PM=65∴S=AQ•PM=2t•65（5﹣t）=﹣125t∵﹣125∴当t=52时，S有最大值，最大值为15cm26．【答案】（1）2（2）解：∵△ACD的正度是22故作CD⊥AB于D点，如图，△ACD即为所求；∵△ACD是以AC为底的等腰直角三角形∴∠A=45°；（3）解：存在∵△ABC的正度为35∴ABBC＝3设：AB＝3x，BC＝5x，则AC＝3x，∵△ABC的周长为22，∴AB＋BC＋AC＝22，即：3x+5x+3x＝22，∴x＝2，∴AB＝3x＝6，BC＝5x＝10，AC＝3x＝6，分两种情况：①当AC＝CD＝6时，如图过点A作AE⊥BC于点E，∵AB＝AC，∴BE＝CE＝12∵CD＝6，∴DE＝CD−CE＝1，在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE＝62在Rt△AED中，由勾股定理得：AD＝A∴△ACD的正度＝ACAD②当AD＝CD时，如图由①可知：BE＝5，AE＝11，∵AD＝CD，∴DE＝CE−CD＝5−AD，在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2−DE2＝AE2，即：AD2−（5−AD）2＝11，解得：AD＝185∴△ACD的正度＝ADAC综上所述存在两个点D，使△ABD具有正度．△ABD的正度为3或357．【答案】（1）解：在Rt△ABC中，AC=B∵PQ//AB，∴PCAC∴8−t8∴t=40（2）解：过点P作PM⊥BC于M，∵△CPM∼△CBA，∴CPCB∴8−t10∴PM=245∴S△PQC∴S△PQC当t=4时，S△PQC有最大值，最大值为48（3）解：∵PQ⊥DQ，∴∠DQP=∠PMQ=90°，∵DP//BC，∴∠DPQ=∠PQM，∴△DQP∼△PMQ，∴PDPQ∴PQ∴PM∵CM=32−4t∴MQ=CM−CQ=32−14t∴(24−3t∴t=0（舍）或t=68∴当t=68418．【答案】（1）解：∵△ABC是等边三角形，∴BC=AB=9cm，∵点P的速度为2cm/s，时间为ts，∴CP=2t，则PB=BC-CP=（9-2t）cm；∵点Q的速度为5cm/s，时间为ts，∴BQ=5tcm；（2）若△PBQ为等边三角形，则有BQ=BP，即9-2t=5t，解得t=97所以当t=97（3）设ts时，Q与P第一次相遇，根据题意得：5t-2t=18，解得t=6，则6s时，两点第一次相遇．当t=6s时，P走过得路程为2×6=12cm，而9＜12＜18，即此时P在AB边上，则两点在AB上第一次相遇．9．【答案】（1）解：∵B(−4，0)，∴OA=OB=4，∵∠ACO=30°，∠AOB=90°，∴AC=2OA=8；（2）解：作PG⊥OA于G，当点P在线段CA上时，CP=2t，AP=8-2t，∵AF⊥AP，FE⊥y∴∠AEF=∠PGA=∠FAP=90°，∴∠EAF+∠PAG=∠PAG+∠APG=90°，∴∠EAF=∠APG，∵AF=AP，∴△AFE≌△PAG，∴EF=AG，∵∠ACO=30°，∴∠CAO=60°，∴∠APG=30°，∴EF=AG=1当点P在线段CA延长线上时，CP=2t，AP=2t-8，同理可得△AFE≌△PAG，EF=AG=（3）解：作PN⊥OB于N，如图，∵BK=AC，OA=OB，∠AOB=∠AOC=90°，∴Rt△BOK≌Rt△AOC，∴∠BKO=∠ACO=30°，OK=OC=43，∵∠CAO=∠PAK=60°，∴∠APK=∠BPC=90°，∴AP=1此时，点P在线段CA延长线上，∴2t−8=23t=3∵BC=OB+OC=43∴BP=1∵PN⊥OB，∵∠KBO=∠OAC=60°，∴∠BPN=30°，∴BN=1∴ON=OB−BN=3−3∵CP=AP+AC=23∴NP=1点P的坐标为（3−3，3如图，同理可知Rt△BOK≌Rt△AOC，∠CAO=∠PAK=60°，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=45°，∴∠ABP=∠BAP=75°，∴PA=PB，∴∠APB=∠ACO=30°，∴BC=PB=4+43∴AP=432t−8=43t=23同理可得，NP=12PC=23+6点P的坐标为（−23−6，综上，点P的坐标为（−23−6，23+6）或（10．【答案】（1）解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=32∴AB=2AC=6，∵∠ECD=∠ACB=90°，∴∠ACE=∠BCD，在△ACE与△BCD中，AC=BC∠ACE=∠BCD∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE=BD，∴△ADE的周长=AE+AD+DE=AB+DE，∴当DE最小时，△ADE的周长最小，过点C作CF⊥AB于点F，当CD⊥AB时，CD最短，等于3，此时DE=32，∴△ADE的周长的最小值是6+32（2）解：当点D在CF的右侧，∵CF=12∴DF=7，∴AE=BD=BF﹣DF=3﹣7；当点D在CF的左侧，同理可得AE=BD=3+7，综上所述：AE的长度为3﹣7或3+7．11．【答案】（1）解：∵|a+b−4|+(2a+4)2=0∴a+b−4=0，2a+4=0，解得：a=−2，∴A(−2，0)，B(0，6)，∴OA=2，（2）解：存在．设C(m则：S△ABC∴|m+2|=4，∴m+2=4或m+2=−4，解得：m=2或m=−6，∴C(2，0)（3）解：设P(0S△ABPS△AOP∵S△ABP∴|n−6|=3|n|，∴(n−6)2整理得：2n解得：n=−3或n=3当n=−3时：t=6+3当n=32时：∴当P移动2.25秒，此时P(0，32)或P移动4.5秒，此时12．【答案】（1）解：①全等，理由如下：∵t=1秒，∴BP=CQ=1×1=1厘米，∵AB=6cm，点D为AB的中点，∴BD=3cm.又∵PC=BC﹣BP，BC=4cm，∴PC=4﹣1=3cm，∴PC=BD.又∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴△BPD≌△CQP；②假设△BPD≌△CQP，∵vP≠vQ，∴BP≠CQ，又∵△BPD≌△CQP，∠B=∠C，则BP=CP=2，BD=CQ=3，∴点P，点Q运动的时间t=BP1∴vQ=CQt（2）24s；AC13．【答案】（1）解：∵△ABD，ACE都是等边三角形，∴∠DAB=∠CAE=∠E=∠ACE=60°，AD=AB，AC=AE∵∠DAC=∠DAB+∠BAC，∠BAE=∠CAE+∠BAC，∴∠DAC=∠BAE，在△DAC和△BAE中AD=AB∠DAC=∠BAE∴△DAC≌△BAE，∴∠ACD=∠E=60°，∵E，C，B共线，∴∠BCD=180°﹣∠ACD﹣∠ACE=60°；（2）①∵△ABD，ACE都是等边三角形，∴∠DAB=∠CAE=∠E=∠ACE=60°，AD=AB，AC=AE∵∠DAC=∠DAB﹣∠BAC，∠BAE=∠CAE﹣∠BAC，∴∠DAC=∠BAE，在△DAC和△BAE中AD=AB∠DAC=∠BAE∴△DAC≌△BAE，∴∠AEB=∠ACD=90°，∴∠BEC=∠AEB﹣∠AEC=90°﹣60°=30°，∵∠DCF=180°﹣∠ACD﹣∠ACE=30°，∴∠DCF=∠BEF；②DF=BF，理由：如图，在EF上取一点G，使BG=BF，∴∠GFB=∠FGB，∴∠DFC=∠BGE，由（1）知，△DAC≌△BAE，CD=EB，∠DCF=∠BEC，∴△DCF≌△BGE，∴DF=BG，∴DF=BF．14．【答案】（1）解：∵∠B=90°,∠C=30°，∴AB=12AC∵BC=53∴AB=5，AC=10（2）证明：∵DF⊥BC，∴∠DFC=90°．