2023-2024学年广东省深圳第二实验学校高一(下)期中数学试卷

2023-2024学年广东省深圳第二实验学校高一（下）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知(z+z)i=zA．2+i B．2﹣i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i2．（5分）如图，石磨是用于把米、麦、豆等粮食加工成粉、浆的一种机械，通常由两个圆石做成．磨是平面的两层，两层的接合处都有纹理，粮食从上方的孔进入两层中间，沿着纹理向外运移，在滚动过两层面时被磨碎，形成粉末．如果一个石磨近似看作两个完全相同的圆柱体拼合而成，每个圆柱体的底面圆的直径是高的2倍，若石磨的侧面积为64π，则圆柱底面圆的半径为（）A．4 B．2 C．8 D．63．（5分）已知水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图为矩形A'B'C'D'，已知A'B'＝6，B'C'＝3，则四边形ABCD的面积为（）A．62 B．122 C．2424．（5分）已知向量a→，b→是两个非零向量，且|a→|＝|b→|＝|a→A．5π6 B．2π3 C．π65．（5分）钝角△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a＝3，b＝2c，且9sinB﹣2sinC＝215，则△ABC的周长为（）A．9 B．152 C．6 D．6．（5分）如图，S﹣ABC是正三棱锥且侧棱长为a，两侧棱SA，SC的夹角为30°，E，F分别是SA，SC上的动点，则三角形BEF的周长的最小值为（）A．2a B．3a C．5a7．（5分）平面向量a→，b→满足|a→|=2，|b→A．1512a→ B．14a→8．（5分）“四叶回旋镖”可看作是由四个相同的直角梯形围成的图形，如图所示，AB＝2，CD＝1，∠A＝45°．点P在线段AB与线段BL上运动，则EH→A．[﹣4，6] B．[0，6] C．[0，8] D．[4，8]二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）已知复数z=3+2ii2024−i（i为趛数单位），复数A．在复平面内复数z所对应的点位于第一象限 B．z⃐C．z⋅zD．z（多选）10．（6分）已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，且m，n⊄α，m，n⊄β，给出下列四个论断：①α∥β；②m∥n；③m∥α；④n∥β．以其中三个论断为条件，剩余论断为结论组成四个命题，其中正确的命题是（）A．①②③⇒④ B．①③④⇒② C．①②④⇒③ D．②③④⇒①（多选）11．（6分）景德镇号称“千年瓷都”，因陶瓷而享誉全世界．景德镇陶瓷以白瓷著称，而白瓷素有“白如玉，明如镜，薄如纸，声如磐”的美誉，如图，某陶瓷展览会举办方计划在长方形空地ABCD上举办陶瓷展览会，已知AB＝120m，AD＝60m，E为边AB的中点．G，F分别为边AD，BC上的动点，∠GEF=2π3，举办方计划将△A．11003m2 B．12003m2 C．2100三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）在复平面内，O是原点，向量OA→对应的复数为5+3i，OB→与OA→关于y轴对称，则点B13．（5分）如图，在正三棱柱ABC﹣A′B′C′中，AB＝2，AA′＝3，则三棱锥B′﹣A′BC的体积为．14．（5分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的边分别对应a，b，c，若2ccosA＝b﹣c，则sin(B−C)2sinA的取值范围是四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）若复数z＝（m2+m﹣6）+（m2﹣m﹣2）i，当实数m为何值时：（1）z是实数；（2）z对应的点在第二象限．16．（15分）已知向量a→，b→满足|a→|=1，|b→（1）求(a（2）若(2a→−17．（15分）在①cosA=2c−a2b，②bcosC＝（2a﹣c）cos问题：在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知_____．（1）求B；（2）若△ABC的外接圆半径为2，且cosAcosC=−18，求a+注：若选择不同条件分别作答，则按第一个解答计分．18．（17分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，F为AB上的点，且AF＝2FB，E为PD中点．（1）证明：PB∥平面AEC；（2）在棱PC上是否存在一点G，使得FG∥平面AEC？若存在，求出CGGP19．（17分）已知O为坐标原点，对于函数f（x）＝asinx+bcosx，称向量OM→=（a，b）为函数f（x）的相伴特征向量，同时称函数f（x）为向量（1）设函数g(x)=sin(x+5π6)−sin(3π2−x)，试求（2）记向量ON→=（1，3）的相伴函数为f（x），求当f(x)=85且x∈（−π（3）已知A（﹣2，3），B（2，6），OT→=（−3，1）为h(x)=msin(x−π6)的相伴特征向量，φ(x)=h(x2−π3)，请问在y＝

2023-2024学年广东省深圳第二实验学校高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知(z+z)i=zA．2+i B．2﹣i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i【考点】复数的运算．【答案】C【分析】根据复数的概念及运算法则即可求解．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），则z=a−bi因为(z+z)i=z−1，所以2ai＝所以a−1=02a=−b，解得a=1所以z＝1﹣2i．故选：C．2．（5分）如图，石磨是用于把米、麦、豆等粮食加工成粉、浆的一种机械，通常由两个圆石做成．磨是平面的两层，两层的接合处都有纹理，粮食从上方的孔进入两层中间，沿着纹理向外运移，在滚动过两层面时被磨碎，形成粉末．如果一个石磨近似看作两个完全相同的圆柱体拼合而成，每个圆柱体的底面圆的直径是高的2倍，若石磨的侧面积为64π，则圆柱底面圆的半径为（）A．4 B．2 C．8 D．6【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的体积．【答案】A【分析】设圆柱底面圆的半径为r＞0，则圆柱的高为r，结合圆柱的侧面积公式运算求解．【解答】解：设圆柱底面圆的半径为r＞0，则圆柱的高为r，则石磨的侧面积为2×2πr×r＝64π，解得r＝4．故选：A．3．（5分）已知水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图为矩形A'B'C'D'，已知A'B'＝6，B'C'＝3，则四边形ABCD的面积为（）A．62 B．122 C．242【考点】斜二测法画直观图；平面图形的直观图．【答案】D【分析】根据题意，求出矩形A'B'C'D'的面积，由直观图面积与原图面积的关系分析可得答案．【解答】解：根据题意，如图：水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图为矩形A'B'C'D'，已知A'B'＝6，B'C'＝3，则矩形A'B'C'D'的面积S′＝6×3＝18，则四边形ABCD的面积S＝22S′＝362．故选：D．4．（5分）已知向量a→，b→是两个非零向量，且|a→|＝|b→|＝|a→A．5π6 B．2π3 C．π6【考点】数量积表示两个平面向量的夹角．【答案】B【分析】根据条件即可得出a→⋅b→=−a→【解答】解：∵|a∴b→∴a→∴cos＜a→，∴a→与b→的夹角为故选：B．5．（5分）钝角△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a＝3，b＝2c，且9sinB﹣2sinC＝215，则△ABC的周长为（）A．9 B．152 C．6 D．【考点】三角形中的几何计算；正弦定理．【答案】A【分析】由题意及正弦定理可得sinB＝2sinC，代入已知可得sinC的值，由钝角三角形，大边对大角，可得C为锐角，可得cosC的值，由余弦定理可得c边的大小，进而求出b边的大小，再由钝角三角形可确定b边的值，进而求出三角形的周长．【解答】解：因为b＝2c，a＝3，由正弦定理可得sinB＝2sinC，又因为9sinB﹣2sinC＝215，可得sinC=15因为b＞c，所以B＞C，可得C为锐角，所以cosC=7由余弦定理可得cosC=a2+b2−可得b＝4或3，因为该三角形为钝角三角形，所以a≠b，所以b＝4，c＝2，a＝3，即三角形的周长为4+3+2＝9，故选：A．6．（5分）如图，S﹣ABC是正三棱锥且侧棱长为a，两侧棱SA，SC的夹角为30°，E，F分别是SA，SC上的动点，则三角形BEF的周长的最小值为（）A．2a B．3a C．5a【考点】棱锥的结构特征；平面的基本性质及推论．【答案】A【分析】把正三棱锥沿SB剪开，并展开，形成三个全等的等腰三角形：△SBC、△SCA、△SAB′，连接BB′，交SC于F，交SA于E，则线段BB′就是△BEF的最小周长，易判断△B′SB为等腰直角三角形，由勾股定理可求BB′．【解答】解：把正三棱锥沿SB剪开，并展开，形成三个全等的等腰三角形：△SBC、△SCA、△SAB′，则∠B′SA＝∠BSC＝∠ASC＝30°，连接BB′，交SC于F，交SA于E，则线段BB′就是△BEF的最小周长，又SB＝SB′＝a，根据勾股定理，SB2+SB′2＝BB′2＝2a2，所以BB′=2a故选：A．7．（5分）平面向量a→，b→满足|a→|=2，|b→A．1512a→ B．14a→【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量的投影向量．【答案】C【分析】根据题意，由向量数量积的计算公式求出a→•b【解答】解：根据题意，|a→|=2，|即（a→+b→）2=a→2+b→2+2a→•b则b→在a→方向上的投影向量为故选：C．8．（5分）“四叶回旋镖”可看作是由四个相同的直角梯形围成的图形，如图所示，AB＝2，CD＝1，∠A＝45°．点P在线段AB与线段BL上运动，则EH→A．[﹣4，6] B．[0，6] C．[0，8] D．[4，8]【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【答案】C【分析】建立平面直角坐标系，标出A，F，E，H四个点的坐标，写出向量EH→，FP【解答】解：如图，以C为原点建立平面直角坐标系，易知A（﹣2，1），B（0，1），F（0，﹣1），E（﹣1，﹣2），H（1，0），L（1，2），当P在线段AB上运动，设P（x，1），其中﹣2≤x≤0，所以EH→则EH→因为﹣2≤x≤0，所以EH→当P在线段BL上运动，设P（x，y）（0≤x≤1），则BP→=(x，y−1)，BL则x＝y﹣1，故P（x，x+1）（0≤x≤1），FP→则EH→⋅FP→=4x+4综上，EH→故选：C．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）已知复数z=3+2ii2024−i（i为趛数单位），复数A．在复平面内复数z所对应的点位于第一象限 B．z⃐C．z⋅zD．z【考点】复数的运算；复数的代数表示法及其几何意义；共轭复数．【答案】AC【分析】通过复数中i2＝﹣1，对复数z进行化简，可判断A；通过共轭复数的定义得到z，可判断B；通过复数的乘除运算法则判断CD．【解答】解：∵i2＝﹣1，∴i2024＝1，∴z=3+2ii2024对于A，复数z=1+5i2在复平面内对应的点（12，5对于B，z=12对于C，z⋅z=（12+52i对于D，zz=1故选：AC．（多选）10．（6分）已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，且m，n⊄α，m，n⊄β，给出下列四个论断：①α∥β；②m∥n；③m∥α；④n∥β．以其中三个论断为条件，剩余论断为结论组成四个命题，其中正确的命题是（）A．①②③⇒④ B．①③④⇒② C．①②④⇒③ D．②③④⇒①【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【答案】AC【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得答案．【解答】解：m，n⊄α，m，n⊄β．对于A，由α∥β，m∥α，得m∥β，又m∥n，∴n∥β，故A正确；对于B，由α∥β，m∥α，n∥β，可得m∥n或m与n相交或m与n异面，故B错误；对于C，由α∥β，n∥β，得n∥α，又m∥n，则m∥α，故C正确；对于D，由m∥n，m∥α，n∥β，可得α∥β或α与β相交，故D错误．故选：AC．（多选）11．（6分）景德镇号称“千年瓷都”，因陶瓷而享誉全世界．景德镇陶瓷以白瓷著称，而白瓷素有“白如玉，明如镜，薄如纸，声如磐”的美誉，如图，某陶瓷展览会举办方计划在长方形空地ABCD上举办陶瓷展览会，已知AB＝120m，AD＝60m，E为边AB的中点．G，F分别为边AD，BC上的动点，∠GEF=2π3，举办方计划将△A．11003m2 B．12003m2 C．2100【考点】解三角形；三角形中的几何计算．【答案】BC【分析】设∠AEG＝α，则∠FEB=π3−α，由0≤α≤π4，0≤π3−α≤π【解答】解：设∠AEG＝α，则∠FEB=π由0≤α≤π4，0≤π易得GE=60cosα，则S=1800由π12≤α≤π4，得则S△EFG因为12003≈1200×1.732=2078.4，所以白瓷展览区的面积可能是12003m2，2100故选：BC．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）在复平面内，O是原点，向量OA→对应的复数为5+3i，OB→与OA→关于y轴对称，则点B对应的复数是﹣5+3【考点】由复平面中的点确定复数．【答案】﹣5+3i．【分析】由对称性结合复数的几何意义得出点B对应的复数．【解答】解：设向量OB→对应的复数为a+bi，（a，b∈R），对应复平面的坐标为（a，b因为向量OA→对应的复数为5+3i，所以OA因为OB→与OA→关于y轴对称，所以a＝﹣5，即向量OB→对应的复数为﹣5+3i，因为点O为坐标原点，所以点B对应的复数是﹣5+3i故答案为：﹣5+3i．13．（5分）如图，在正三棱柱ABC﹣A′B′C′中，AB＝2，AA′＝3，则三棱锥B′﹣A′BC的体积为3．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【答案】3．【分析】根据等体积转换法求解即可．【解答】解：因为正三棱柱ABC﹣A'B'C'，所以S△ABC则VB′﹣A′BC＝VABC﹣A′B′C′﹣VA′﹣ABC﹣VC﹣A′B′C′＝VABC﹣A′B′C′﹣2VA′﹣ABC＝3VA′﹣ABC﹣2VA′﹣ABC＝VA′﹣ABC=1故答案为：3．14．（5分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的边分别对应a，b，c，若2ccosA＝b﹣c，则sin(B−C)2sinA的取值范围是(0，1【考点】正弦定理．【答案】(0，1【分析】先对2ccosA＝b﹣c边角互换化简，得到A＝2C，再在锐角△ABC中，找到π3＜A＜π【解答】解：因为2ccosA＝b﹣c，由正弦定理得，2sinCcosA＝sinB﹣sinC，2sinCcosA＝sin（A+C）﹣sinC，化简得sin（A﹣C）＝sinC，在△ABC中，则A＝2C，则B=π−3所以锐角△ABC中，0＜A＜πsin(B−C)2sinA故答案为：(0，1四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）若复数z＝（m2+m﹣6）+（m2﹣m﹣2）i，当实数m为何值时：（1）z是实数；（2）z对应的点在第二象限．【考点】复数的代数表示法及其几何意义；虚数单位i、复数．【答案】（1）m＝﹣1或m＝2；（2）（﹣3，﹣1）．【分析】（1）根据已知条件，结合复数的分类，即可求解；（2）根据复数的几何意义，即可列不等式求解．【解答】解：（1）因为z＝（m2+m﹣6）+（m2﹣m﹣2）i，z是实数，则m2﹣m﹣2＝0，解得m＝﹣1或m＝2；（2）若z对应的点在第二象限，则m2+m−6＜0m即m的取值范围为（﹣3，﹣1）．16．（15分）已知向量a→，b→满足|a→|=1，|b→（1）求(a（2）若(2a→−【考点】平面向量数量积的性质及其运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【答案】（1）9；（2）12【分析】（1）由平面向量的数量积的运算律计算即可；（2）由(a→−【解答】解：（1）因为|a→|=1，|b→|=2，且所以(a（2）因为(a→−即2|所以2|因为|a→|=1，|b→|=2，所以2﹣417．（15分）在①cosA=2c−a2b，②bcosC＝（2a﹣c）cos问题：在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知_____．（1）求B；（2）若△ABC的外接圆半径为2，且cosAcosC=−18，求a+注：若选择不同条件分别作答，则按第一个解答计分．【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理．【答案】（1）π3（2）30．【分析】（1）若选①，由题意及正弦定理可得cosB的值，再由角B的范围，可得角B的大小；若选②，由正弦定理及两角和的正弦公式，可得cosB的值，再由角B的范围，可得角B的大小；（2）由正弦定理可得a，c的表达式，进而可得ac的值，再由余弦定理可得a+c的值．【解答】解：（1）若选①，由正弦定理可得2sinBcosA＝2sinC﹣sinA，在△ABC中，sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，所以2sinAcosB＝sinA，因为sinA≠0，可得cosB=12，而B∈（0，可得B=π若选②，因为bcosC＝（2a﹣c）cosB，由正弦定理可得sinBcosC＝2sinAcosB﹣sinCcosB，可得sinBcosC+sinCcosB＝2sinAcosB，即sin（B+C）＝2sinAcosB，在△ABC中，sin（B+C）＝sinA，且sinA≠0，可得cosB=12，而B∈（0，可得B=π（2）因为△ABC的外接圆半径为2，由正弦定理可得asinA=csinC可得b＝23，a＝4sinA，c＝4sinC，所以ac＝16sinAsinC，cosB＝﹣cos（A+C）＝﹣cosAcosC+sinAsinC，而cosAcosC=−1所以12=18+可得sinAsinC=3所以ac＝16×3由余弦定理可得：b2＝a2+c2﹣2accosB＝（a+c）2﹣2ac﹣2ac×1即12＝（a+c）2﹣3ac＝（a+c）2﹣3×6，可得a+c=3018．（17分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，F为AB上的点，且AF＝2FB，E为PD中点．（1）证明：PB∥平面AEC；（2）在棱PC上是否存在一点G，使得FG∥平面AEC？若存在，求出CGGP【考点】直线与平面平行．【答案】（1）证明过程见详解；（2）存在点G，且CGGP=2，使得FG∥平面【分析】（1）连接BD交AC于O，由题意可得EO∥PB，再由线面平行的判断定理可证得结论；（2）因为AF＝2FB，在棱PC上存在点G，且CGGP=2，由对应边成比例可得HF∥PB，由题意可证得平面HFG∥平面【解答】（1）证明：连BD交AC于O，因为底面ABCD为平行四边形，所以O为BD的中点，而E为PD的中点，所以E