2023-2024学年广东省云浮市罗定市高一(下)期中数学试卷

2023-2024学年广东省云浮市罗定市高一（下）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知复数z满足z（1+i）＝|1﹣i|，i为虚数单位，则z＝（）A．i B．22−22i 2．（5分）已知向量a→=(1，2)，b→=(1，−1)，c→A．114 B．−114 3．（5分）下列说法正确的是（）A．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 B．球的直径是连接球面上两点并且经过球心的线段 C．以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 D．用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台4．（5分）如图所示，点E为△ABC的边AC的中点，F为线段BE上靠近点B的三等分点，则AF→A．13BA→+C．−56BA5．（5分）如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形A'B'C'D'，已知A'B'＝4，C'D'＝2，则下列说法正确的是（）A．AB＝2 B．A′D′=22C．四边形ABCD的周长为4+22D．四边形ABCD的面积为66．（5分）已知平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，AB→⋅AD→=4，点PA．[﹣1，8） B．（0，8） C．[1，10） D．（0，10）7．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为BB1，DC的中点，则异面直线MN和BC1所成角的余弦值为（）A．36 B．34 C．338．（5分）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”，类比赵爽弦图，用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边△ABC，若EF＝2，sin∠ACF=3314A．8 B．7 C．6 D．5二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）A，B，C表示不同的点，n，l表示不同的直线，α，β表示不同的平面，下列说法错误的是（）A．若α∩β＝l，n∥α，n∥β，则n∥l B．若A，B∈l，A，B∉α，则l∥α C．若A，B∈α，A，B，C∈β，α∩β＝l，则C∈l D．若α∥β，l⊂α，n⊂β，则l∥n（多选）10．（6分）欧拉公式exi＝cosx+isinx是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，下列说法中正确的是（）A．e2i对应的点位于第二象限 B．eπi为纯虚数 C．exi3+iD．eπ3（多选）11．（6分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列四个命题中正确的命题是（）A．若acosA=bcosBB．若acosA＝bcosB，则△ABC一定是等腰三角形 C．若a2+b2﹣c2＞0，则△ABC一定是锐角三角形 D．若tanA+tanB+tanC＞0，则△ABC一定是锐角三角形三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）已知向量a→=（0，5），b→=（1，2），则a→13．（5分）如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1＝16．若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点．当底面ABC水平放置时，液面高为．14．（5分）已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，∠ABC=π3，∠ABC的角平分线交AC于点D，且BD=3，则a+c四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。15．（13分）已知平面向量a→（1）若c→⊥(2a→+（2）若a→与a→+λ16．（15分）如图是一个奖杯的直观图，它由球、长方体和正四棱台构成．已知球的半径为4cm，长方体的长、宽和高分别为8cm，6cm，18cm，正四棱台的上、下底面边长和高分别为11cm，15cm，5cm．（1）求下部分正四棱台的侧面积；（2）求奖杯的体积．（结果取整数，π取3）17．（15分）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝60°，E，F分别是边AB，BC上的点，且AE→=EB→，BF→=3FC（1）设AG→=tAF（2）求∠EGF的余弦值．18．（17分）如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD是矩形．（1）设M为OA上靠近A的三等分点，N为BC上靠近B的三等分点．求证：MN∥平面OCD；（2）设E是OD上靠近点D的一个三等分点，试问：在OD上是否存在一点F，使BF∥平面ACE成立？若存在，请予以证明；若不存在，说明理由．19．（17分）如图，已知|OA→|=1，|OB→|=2，OA→与OB→的夹角为2π3，点C是△ABO的外接圆优弧AB上的一个动点（含端点（1）求△ABO外接圆的直径2R；（2）试将|OC→|（3）设点M满足AM→=13AB→，若OC→=xOA

2023-2024学年广东省云浮市罗定市高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知复数z满足z（1+i）＝|1﹣i|，i为虚数单位，则z＝（）A．i B．22−22i 【考点】复数的运算；复数的模．【答案】B【分析】根据模长公式结合复数的四则运算求解．【解答】解：由题意可知：|1−i|=1由z(1+i)=|1−i|=2可得z=2故选：B．2．（5分）已知向量a→=(1，2)，b→=(1，−1)，c→A．114 B．−114 【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量的相等与共线．【答案】D【分析】根据已知条件，结合向量共线的性质，即可求解．【解答】解：b→=(1，−1)，则b→+λc→=a→a→与b则2（4λ+1）＝5λ﹣1，解得λ＝﹣1．故选：D．3．（5分）下列说法正确的是（）A．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 B．球的直径是连接球面上两点并且经过球心的线段 C．以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 D．用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的体积；命题的真假判断与应用；棱柱的结构特征．【答案】B【分析】根据几何体的结构特征逐项分析判断．【解答】解：对于A：虽然各侧面都是正方形，但底面不一定是正方形，所以该四棱柱不一定是正方体，故A错误；对于B：球的直径的定义即为“连接球面上两点并且经过球心的线段”，故B正确；对于C：以直角三角形的直角边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥，以直角三角形的斜边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是两个共底面的圆锥组成的几何体，故C错误；对于D：用一个平行于底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台，故D错误．故选：B．4．（5分）如图所示，点E为△ABC的边AC的中点，F为线段BE上靠近点B的三等分点，则AF→A．13BA→+C．−56BA【考点】平面向量的基本定理．【答案】C【分析】根据平面向量的线性运算结合图像将AF→用BA→、【解答】解：AF=1=1故选：C．5．（5分）如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形A'B'C'D'，已知A'B'＝4，C'D'＝2，则下列说法正确的是（）A．AB＝2 B．A′D′=22C．四边形ABCD的周长为4+22D．四边形ABCD的面积为6【考点】斜二测法画直观图；平面图形的直观图．【答案】D【分析】根据直观图与平面图的联系还原计算各选项即可．【解答】解：如图过D'作DE⊥O'B'，由等腰梯形A'B'C'D'可得：△A'D'E是等腰直角三角形，即A′D′=2A′E=1还原平面图为下图，即AB=4=2CD，AD=22，即A过C作CF⊥AB，由勾股定理得CB=23故四边形ABCD的周长为：4+2+22+23四边形ABCD的面积为：12×(4+2)×22故选：D．6．（5分）已知平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，AB→⋅AD→=4，点PA．[﹣1，8） B．（0，8） C．[1，10） D．（0，10）【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量的基本定理．【答案】A【分析】可设DP→=xAB→（0＜x＜1），CP→=(x−1)AB→，然后即可得出【解答】解：如图，设DP→=xDC→=x∴PA→=−AD→−DP→=−xAB∴PA→⋅PB→=(−xAB→−AD→∴−1≤PA∴PA→故选：A．7．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为BB1，DC的中点，则异面直线MN和BC1所成角的余弦值为（）A．36 B．34 C．33【考点】异面直线及其所成的角．【答案】A【分析】通过作辅助线把BC1平移到ME，得到∠NME为异面直线MN和BC1所成的角或其补角．在△NME中求出三边的长度，再用余弦定理即可得到∠NME的余弦值．【解答】解：如图，延长CB到点E，使得EB=12BC，连接ME由BE＝BM，得∠EMB＝∠MBC1＝45°，即ME∥BC1，所以∠NME为异面直线MN和BC1所成的角或其补角，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则ME=12+所以|cos∠NME|=|2+6−10故选：A．8．（5分）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”，类比赵爽弦图，用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边△ABC，若EF＝2，sin∠ACF=3314A．8 B．7 C．6 D．5【考点】三角形中的几何计算．【答案】B【分析】根据题意知△DEF为等边三角形，可求∠AFC＝120°，设AF＝x，可求CF＝x+2，利用同角三角函数基本关系式可求cos∠ACF的值，利用两角差的正弦公式可求sin∠CAF的值，在△ACF中，由正弦定理可得AC的值．【解答】解：由题意知，CF＝AD＝BE，CE＝AF＝BD，所以EF＝CF﹣EF，FD＝AD﹣AF，DE＝BE﹣BD，即EF＝FD＝DE，所以△DEF为等边三角形，所以∠EFD＝∠EDF＝60°，所以∠AFC＝180°﹣∠EFD＝120°，设AF＝x，则EF＝2，所以CF＝CE+EF＝x+2，因为sin∠ACF=3314，cos∠所以sin∠CAF＝sin（60°﹣∠ACF）=3在△ACF中，由正弦定理可得ACsin∠AFC=AF解得x＝3，AC＝7．故选：B．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）A，B，C表示不同的点，n，l表示不同的直线，α，β表示不同的平面，下列说法错误的是（）A．若α∩β＝l，n∥α，n∥β，则n∥l B．若A，B∈l，A，B∉α，则l∥α C．若A，B∈α，A，B，C∈β，α∩β＝l，则C∈l D．若α∥β，l⊂α，n⊂β，则l∥n【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【答案】BCD【分析】对于A，由线面平行的性质得n∥l；对于B，l∥α或l与α相交；对于C，A，点C不一定在平面α内，从而C∈l不正确；对于D、l与n可能平行，也可能异面．【解答】解：对于A，因为α∩β＝l，n∥α，n∥β，所以由线面平行的性质得n∥l，故A正确；对于B，因为A，B∈l，A，B∉α，所以l∥α或l与α相交，故B不正确；对于C，A，B∈α，A，B，C∈β，α∩β＝l，此时点C不一定在平面α内，所以C∈l不正确，故C不正确；对于D，由α∥β，l⊂α，n⊂β，则l与n可能平行，也可能异面，故D不正确．故选：BCD．（多选）10．（6分）欧拉公式exi＝cosx+isinx是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，下列说法中正确的是（）A．e2i对应的点位于第二象限 B．eπi为纯虚数 C．exi3+iD．eπ3【考点】复数的指数形式．【答案】ACD【分析】根据题意结合复数的相关概念与运算逐项分析判断．【解答】解：对于A：由题意可得：e2i＝cos2+isin2，则其对应的点为（cos2，sin2），则cos2＜0，sin2＞0，∴e2i对应的点位于第二象限，故A正确；对于B：由题意可得：eπi＝cosπ+isinπ＝﹣1为实数，故B错误；C：exi3+i=(cosx+isinx)(3−i)(3+i)(3则|exi3对于D：由题意可得：eπ则eπ3i的共轭复数为1故选：ACD．（多选）11．（6分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列四个命题中正确的命题是（）A．若acosA=bcosBB．若acosA＝bcosB，则△ABC一定是等腰三角形 C．若a2+b2﹣c2＞0，则△ABC一定是锐角三角形 D．若tanA+tanB+tanC＞0，则△ABC一定是锐角三角形【考点】三角形的形状判断；命题的真假判断与应用；正弦定理．【答案】AD【分析】由已知结合正弦定理及正切函数的性质判断A；由正弦定理结合三角形中的边角关系判断B；由余弦定理及三角形的内角和定理判断C；利用两角和与差的三角函数判断D．【解答】解：若acosA=bcosB=ccosC，则sinAcosA=sinBcosB=sinCcosC，即tanA＝tan若acosA＝bcosB，则由正弦定理得sin2A＝sin2B，则2A＝2B或2A+2B＝180°，即A＝B或A+B＝90°，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，故B错误；△ABC中，∵a2+b2﹣c2＞0，∴角C为锐角，但△ABC不一定是锐角三角形，故C错误．由于tanA+tanB＝tan（A+B）（1﹣tanAtanB）＝﹣tanC（1﹣tanAtanB），所以tanA+tanB+tanC＝tanAtanBtanC＞0，则△ABC一定是锐角三角形，故D正确；故选：AD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）已知向量a→=（0，5），b→=（1，2），则a→【考点】平面向量的投影向量．【答案】（2，4）．【分析】根据投影向量的定义计算即可．【解答】解：向量a→=（0，5），所以a→在b→的投影向量为|a→|cos＜故答案为：（2，4）．13．（5分）如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1＝16．若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点．当底面ABC水平放置时，液面高为12．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【答案】见试题解答内容【分析】根据给定条件利用柱体体积公式求出水的实际体积，再由两种情况的放置水的体积相同求解作答．【解答】解：设△ABC的面积为a，底面ABC水平放置时，液面高为h，侧面AA1B1B水平放置时，水的体积为V=3当底面ABC水平放置时，水的体积为V＝S△ABCh＝ah，于是ah＝12a，解得h＝12，所以当底面ABC水平放置时，液面高为12．故答案为：12．14．（5分）已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，∠ABC=π3，∠ABC的角平分线交AC于点D，且BD=3，则a+c【考点】三角形中的几何计算；正弦定理．【答案】见试题解答内容【分析】根据面积关系建立方程关系，可得ac＝a+c，可求a+c的最小值．【解答】解：由题意得：12acsinπ3=12a×3sin可得：ac＝a+c，∴a+c≤（a+c2）2，∴a+c当且仅当a＝c＝2时取等号．故答案为：4．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。15．（13分）已知平面向量a→（1）若c→⊥(2a→+（2）若a→与a→+λ【考点】平面向量数量积的性质及其运算；数量积表示两个平面向量的夹角；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【答案】见试题解答内容【分析】（1）可设c→=(x，y)，求出2a→+b→=(−1，2)，根据条件可得出（2）可求出a→+λb→=(1−3λ，2−2λ)，根据题意可得出：a→⋅(【解答】解：（1）设c→=(x，y)，2a∴c→∴x＝2y，且|c∴x2+y2＝4y2+y2＝5y2＝5，解得y＝±1，∴x=−2y=−1或x=2∴c→（2）a→∵a→与a∴a→⋅(a→+λ∴1−3λ+4−4λ＞02−2λ−2(1−3λ)≠0，解得λ＜57∴λ的取值范围为{λ|λ＜516．（15分）如图是一个奖杯的直观图，它由球、长方体和正四棱台构成．已知球的半径为4cm，长方体的长、宽和高分别为8cm，6cm，18cm，正四棱台的上、下底面边长和高分别为11cm，15cm，5cm．（1）求下部分正四棱台的侧面积；（2）求奖杯的体积．（结果取整数，π取3）【考点】棱台的侧面积和表面积．【答案】（1）5229（cm2（2）1972（cm3）．【分析】（1）正四棱台的侧面是全等的等腰梯形，求出斜高，利用梯形的面积公式求解即可；（2）分别求出球、长方体、正四棱台的体积即可．【解答】解：（1）因为正四棱台的上、下底面边长和高分别为11cm，15cm，5cm，则该四棱台的斜高为(15−11所以正四棱台的侧面积为4×12×（11+15）×29（2）因为球的半径为4cm，长方体的长、宽和高分别为8cm，6cm，18cm，正四棱台的上、下底面边长和高分别为11cm，15cm，5cm，所以球的体积为43长方体的体积为8×6×18＝864；正四棱台的体积为13×（112+152+1所以奖杯的体积为256π3+864+2555317．（15分）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝60°，E，F分别是边AB，BC上的点，且AE→=EB→，BF→=3FC（1）设AG→=tAF（2）求∠EGF的余弦值．【考点】平面向量的基本定理．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据条件可得出AG→=tAB→+（2）根据条件及余弦定理即可求出AF，DE的长度，根据AF→⋅DE→=(【解答】解：（1）∵AE→=EB∴AG→=tAF→=t（∵E，G，D三点共线，∴存在λ，使得AG→∴t=12λ（2）在△ABF中，∠B＝120°，AB＝4，BF＝3，由余弦定理得，AF2=16+9−2×4×3×(−在△ADE中，∠DAE＝60°，AD＝4，AE＝2，由余弦定理得，DE2=16+4−2×2×4×AF→∴cos∠EGF=AF18．（17分）如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD是矩形．（1）设M为OA上靠近A的三等分点，N为BC上靠近B的三等分点．求证：MN∥平面OCD；（2）设E是OD上靠近点D的一个三等分点，试问：在OD上是否存在一点F，使BF∥平面ACE成立？若存在，请予以证明；若不存在，说明理由．【考点】直线与平面平行．【答案】（1）证明过程见解答；（2）在OD上是存在OE中点F，使BF∥平面ACE成立．【分析】（1）法一：取AD上靠近A的三等分点G，连接MG，NG，推导出MG∥OD，从而得到MG∥平面OCD，同理，NG∥平面OCD，进而得到平面MNG∥平面OCD，由此能证明MN∥平面OCD．法二：延长AN交DC延长线于H，连OH，在△OAH中，证明MN∥OH，从而得到MN∥平面OCD．（2）取OE中点F，连BF，BD，使BD∩AC＝P，连PE．推导出PE∥BF，从而得到BF∥平面ACE，由此推导出在OD上是存在OE中点F，使BF∥平面ACE成立．【解答】解：（1）证法一：如图（1），取AD上靠近A的三等分点G，连接MG，NG，△AOD中，AM：MO＝1：2，AG：GD＝1：2，则MG∥OD，