2023-2024学年广西崇左市大新县民族高级中学高二(下)期末数学试卷

2023-2024学年广西崇左市大新县民族高级中学高二（下）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知z﹣（2﹣3i）＝﹣1+i，那么复数z等于（）A．1﹣2i B．1+4i C．﹣1﹣2i D．﹣1+4i2．（5分）集合M＝{x|﹣1＜x＜1}，N＝{x|0≤x＜2}，则M∩N＝（）A．{x|﹣1＜x＜2} B．{x|0≤x＜1} C．{x|0＜x＜1} D．{x|﹣1＜x＜0}3．（5分）已知a＞b＞0，则下列不等式成立的是（）A．a＞a+b2＞abC．a＞a+b2＞b＞4．（5分）若直线a与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a垂直的直线（）A．只有一条 B．无数条 C．是平面α内的所有直线 D．不存在5．（5分）已知a→=(1，2，−y)，b→A．x=13，y=1 B．x=12，y=−4 C．x=2，y=−6．（5分）某厂去年的产值记为1，计划在今后五年内每年的产值比上年增长10%，则从今年起到第五年，这个厂的总产值为（）A．1.14 B．1.15 C．10×（1.16﹣1） D．11×（1.15﹣1）7．（5分）已知Cn3=A．28 B．30 C．56 D．728．（5分）已知随机变量ξ～N（10，σ2），2P（8＜ξ＜10）＝3P（ξ＞12），则P（ξ＜8）＝（）A．0.5 B．0.4 C．0.3 D．0.2二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）如图图象中，表示函数关系y＝f（x）的有（）A． B． C． D．（多选）10．（6分）如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列说法中正确的序号是（）A．直线AF与直线DE相交 B．直线CN与直线DE平行 C．直线BM与直线DE是异面直线 D．直线CN与直线BM成60°角（多选）11．（6分）已知曲线x2A．m的取值范围为（4，16） B．若该椭圆的焦点在y轴上，则m∈（10，16） C．若m＝6，则该椭圆的焦距为42D．若椭圆的离心率为63，则m三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）两条平行直线4x+3y+3＝0与8x+6y﹣9＝0的距离是．13．（5分）不等式ax2+bx+c＜0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞），则不等式cx2+bx+a＞0的解集是．14．（5分）已知随机变量X的分布列为P（X＝i）=i2a（i＝1，2，3），则a＝四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）在△ABC中，已知A＝30°，B＝105°，a＝20，求c和S△ABC．16．（15分）如图，棱锥的底ABCD是一个矩形，AC与BD交于M，VM是棱锥的高，若VM＝4cm，AB＝4cm，VC＝5cm，求棱锥的体积．17．（15分）一种卫星接收天线的轴截面如图所示，卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，已知接收天线的口径（直径）为4.8m，深度为0.5m．（1）试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标．（2）为了增强卫星波束的接收，拟将接收天线的口径增大为5.2m，求此时星波束反射聚集点的坐标．18．（17分）某校为了解学生对食堂的满意程度，做了一次问卷调查，对三个年级进行分层抽样，共抽取40名同学进行询问打分，将最终得分按[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90]，分成6段，并得到如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中a的值，以及此次问卷调查分数的中位数；（2）若从打分区间在[60，70）的同学中随机抽出两位同学，求抽出的两位同学中至少有一位同学来自打分区间[65，70）的概率．19．（17分）已知数列{an}，{bn}都是等差数列，公差分别为d1，d2，数列{cn}满足cn＝an+2bn．（1）数列{cn}是否是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由；（2）若{an}，{bn}的公差都等于2，a1＝b1＝1，求数列{cn}的通项公式．

2023-2024学年广西崇左市大新县民族高级中学高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知z﹣（2﹣3i）＝﹣1+i，那么复数z等于（）A．1﹣2i B．1+4i C．﹣1﹣2i D．﹣1+4i【考点】复数的加、减运算及其几何意义．【答案】A【分析】利用复数的加减运算法则、直接求出z【解答】解：由已知z＝﹣1+i+（2﹣3i）＝1﹣2i故选：A．2．（5分）集合M＝{x|﹣1＜x＜1}，N＝{x|0≤x＜2}，则M∩N＝（）A．{x|﹣1＜x＜2} B．{x|0≤x＜1} C．{x|0＜x＜1} D．{x|﹣1＜x＜0}【考点】交集及其运算．【答案】B【分析】进行交集的运算即可．【解答】解：∵M＝{x|﹣1＜x＜1}，N＝{x|0≤x＜2}，∴M∩N＝{x|0≤x＜1}．故选：B．3．（5分）已知a＞b＞0，则下列不等式成立的是（）A．a＞a+b2＞abC．a＞a+b2＞b＞【考点】基本不等式及其应用．【答案】A【分析】本选择题利用直接法解决．由a＞b＞0易知a+b2＞ab，又作差得ab﹣b2＝b（a【解答】解：∵a＞b＞0易知a+b2又∵ab﹣b2＝b（a﹣b）＞0∴ab＞b2⇒故选：A．4．（5分）若直线a与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a垂直的直线（）A．只有一条 B．无数条 C．是平面α内的所有直线 D．不存在【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【答案】B【分析】若直线a与平面α不垂直，有三种情况：直线a∥平面α，直线a⊂平面α，直线a与平面α相交但不垂直，分别研究这三种况下，在平面α内与直线a垂直的直线的条数，能够得到结果．【解答】解：若直线a与平面α不垂直，当直线a∥平面α时，在平面α内有无数条直线与直线a是异面垂直直线；当直线a⊂平面α时，在平面α内有无数条平行直线与直线a相交且垂直；直线a与平面α相交但不垂直，在平面α内有无数条平行直线与直线a垂直．∴若直线a与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a垂直的直线有无数条．故选：B．5．（5分）已知a→=(1，2，−y)，b→A．x=13，y=1 B．x=12，y=−4 C．x=2，y=−【考点】空间向量的共线与共面．【答案】B【分析】根据已知条件分别求出a→+2b【解答】解：∵a→=(1，2，−y)∴a→+2b→=（1+2x，4，4﹣y），2∵(a∴1+2x2−x=故选：B．6．（5分）某厂去年的产值记为1，计划在今后五年内每年的产值比上年增长10%，则从今年起到第五年，这个厂的总产值为（）A．1.14 B．1.15 C．10×（1.16﹣1） D．11×（1.15﹣1）【考点】数列的应用；等比数列的前n项和．【答案】D【分析】依次列出每年的产值，构成数列，由于从今年起到第五年，利用等比数列的求和公式，可求出这个工厂的总产值．【解答】解：由题意，第一年要比去年产值增加10%，那么第一年产值就是1+10%，即1.1第二年又比第一年增加10%，所以第二年产值是（1+0.1）（1+0.1）＝（1+0.1）2，…依此类推，第五年产值是（1+0.1）5，所以从今年起到第五年，这个厂的总产值为（1+0.1）+（1+0.1）2+…+（1+0.1）5＝11×（1.15﹣1）故选：D．7．（5分）已知Cn3=A．28 B．30 C．56 D．72【考点】组合及组合数公式．【答案】C【分析】由组合数性质求出n，再用排列数公式求值．【解答】因为Cn所以由组合数性质得，n＝3+5＝8，所以An故选：C．8．（5分）已知随机变量ξ～N（10，σ2），2P（8＜ξ＜10）＝3P（ξ＞12），则P（ξ＜8）＝（）A．0.5 B．0.4 C．0.3 D．0.2【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【答案】D【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．【解答】解：随机变量ξ～N（10，σ2），则P（8＜ξ＜10）＝P（10＜ξ＜12），2P（8＜ξ＜10）＝3P（ξ＞12）＝3[12−（10＜ξ＜12）]=32−P（8＜ξ故P（ξ＜8）＝P（ξ＜10）﹣P（8＜ξ＜10）＝0.5﹣0.3＝0.2．故选：D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）如图图象中，表示函数关系y＝f（x）的有（）A． B． C． D．【考点】函数的概念及其构成要素．【答案】AD【分析】根据函数的概念判断即可．【解答】解：表示函数关系y＝f（x）的有A，D．B，C项的对应关系中，均出现了一个x对应两个y值的情况，不符合函数的定义，不是函数．故选：AD．（多选）10．（6分）如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列说法中正确的序号是（）A．直线AF与直线DE相交 B．直线CN与直线DE平行 C．直线BM与直线DE是异面直线 D．直线CN与直线BM成60°角【考点】表面展开图．【答案】CD【分析】A，B，C项，根据异面直线的定义判断即可；D项，∠ANC即为直线CN与直线BM所成角，由此即可得．【解答】解：如图，将正方体的平面展开图，复原为正方体，对于A，ED，AF不同在任何平面内，否则A，D，E，F四点共面，矛盾，故直线AF与直线DE是异面直线，错误；对于B，ED，CN不同在任何平面内，否则C，D，E，N四点共面，矛盾，故直线CN与直线DE是异面直线，错误；对于C，平面ADNE∥平面BCMF，DE⊂平面ADNE，BM⊂平面BCMF，故直线BM与直线DE不相交，连接AN，则BM∥AN，而AN，DE相交，故BM，DE不平行，否则BM∥DE，AN∥DE，不合题意，故直线BM与直线DE是异面直线，正确；对于D，连接AC，则△ANC为正三角形，则∠ANC＝60°，由于BM∥AN，则∠ANC即为直线CN与直线BM所成角，即直线CN与直线BM成60°角，正确．故选：CD．（多选）11．（6分）已知曲线x2A．m的取值范围为（4，16） B．若该椭圆的焦点在y轴上，则m∈（10，16） C．若m＝6，则该椭圆的焦距为42D．若椭圆的离心率为63，则m【考点】由方程表示椭圆求解椭圆的标准方程或参数．【答案】BC【分析】由方程表示椭圆可得m∈（4，10）∪（10，16）判断A，再根据其它各项描述及椭圆的性质判断正误即可．【解答】解：由题意16−m＞0m−4＞016−m≠m−4⇒m∈(4，10)∪(10，16)椭圆的焦点在y轴上，则m﹣4＞16﹣m＞0⇒10＜m＜16，B对；若m＝6，则x2故c=10−2=22，该椭圆的焦距为4若椭圆的离心率为63，则1−m−416−m可得m＝7或m＝13，D错．故选：BC．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）两条平行直线4x+3y+3＝0与8x+6y﹣9＝0的距离是．【考点】两条平行直线间的距离．【答案】见试题解答内容【分析】根据平行线间的距离公式求解即可．【解答】解：可将直线8x+6y﹣9＝0化为4x+3y−9所以两条平行直线间的距离为|3−(−9故答案为：3213．（5分）不等式ax2+bx+c＜0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞），则不等式cx2+bx+a＞0的解集是．【考点】一元二次不等式及其应用．【答案】见试题解答内容【分析】由已知得到ax2+bx+c＝0的两个根为﹣2和3，利用根与系数关系得到系数的比，变形后得到−bc，ac的值，由此求出方程cx2+bx+a＝0的两根，则不等式cx2【解答】解：∵不等式ax2+bx+c＜0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞），∴a＜0，且3，﹣2为方程ax2+bx+c＝0的两根．∴−b两式相比得bc=设方程cx2+bx+a＝0的两根分别为x1，x2（x1＜x2）．则x1+x2=−由ca=−6＜0，a＜0知∴cx2+bx+a＞0的解集是{x|x＜−12或x故答案为：{x|x＜−12或x14．（5分）已知随机变量X的分布列为P（X＝i）=i2a（i＝1，2，3），则a＝【考点】离散型随机变量及其分布列．【答案】见试题解答内容【分析】根据概率和为1，列出方程即可求出a的值．【解答】解：∵随机变量X的分布列为P（X＝i）=i2a，其中∴12a解得a＝3．故答案为：3．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）在△ABC中，已知A＝30°，B＝105°，a＝20，求c和S△ABC．【考点】正弦定理．【答案】见试题解答内容【分析】由已知利用三角形的内角和定理可求C的值，根据正弦定理可求c的值，进而利用三角形的面积公式即可求解．【解答】解：∵A＝30°，B＝105°，a＝20，∴C＝180°﹣A﹣B＝45°，∴由正弦定理asinA=csinC，可得c∴S△ABC=12acsinB=12×20×202×sin105°＝200216．（15分）如图，棱锥的底ABCD是一个矩形，AC与BD交于M，VM是棱锥的高，若VM＝4cm，AB＝4cm，VC＝5cm，求棱锥的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【答案】见试题解答内容【分析】直接求解底面面积与高，然后求解几何体的体积．【解答】解：由题意棱锥的底ABCD是一个矩形，AC与BD交于M，VM是棱锥的高，若VM＝4cm，AB＝4cm，VC＝5cm，可知，MC＝3，AC＝6，BC＝25，棱锥的底面面积为：25×4＝85所以棱锥的体积为：13×85×4=17．（15分）一种卫星接收天线的轴截面如图所示，卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，已知接收天线的口径（直径）为4.8m，深度为0.5m．（1）试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标．（2）为了增强卫星波束的接收，拟将接收天线的口径增大为5.2m，求此时星波束反射聚集点的坐标．【考点】直线与圆锥曲线的综合．【答案】见试题解答内容【分析】（1）建立坐标系，设出抛物线的标准方程y2＝2px（p＞0），代入点（0.5，2.4），解方程可得p，进而得到抛物线的方程，求得焦点的坐标；（2）设出抛物线的标准方程y2＝2mx（p＞0），代入点（0.5，2.4），解方程可得m，进而得到抛物线的方程，求得焦点的坐标．【解答】解：（1）以顶点为原点，焦点所在直线为x轴，建立直角坐标系xOy，设抛物线的方程为y2＝2px（p＞0），代入点（0.5，2.4），可得2.42＝2p•0.5，解得p＝5.76，即抛物线的方程为y2＝11.52x，焦点为（2.88，0）；（2）设抛物线的方程为y2＝2mx（m＞0），代入点（0.5，2.6），可得2.62＝2m•0.5，解得m＝6.76，即有抛物线的方程为y2＝13.52x，焦点为（3.38，0）．18．（17分）某校为了解学生对食堂的满意程度，做了一次问卷调查，对三个年级进行分层抽样，共抽取40名同学进行询问打分，将最终得分按[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90]，分成6段，并得到如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中a的值，以及此次问卷调查分数的中位数；（2）若从打分区间在[60，70）的同学中随机抽出两位同学，求抽出的两位同学中至少有一位同学来自打分区间[65，70）的概率．【考点】补全频率分布直方图．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由频率分布直方图中所有小矩形的面积和为1，求出a，由此能求出中位数．（2）打分区间在[60，65）的同学共有2人，分别记为A，B，打分区间在[65，70）的同学共有4人，分别记为a，b，c，d，从这6人中随机抽出2位同学，利用列举法能求出至少有一位同学来自打分区间[65，70）的概率．【解答】解：（1）频率