2023-2024学年河北省衡水市武强中学高一(下)期末数学试卷

2023-2024学年河北省衡水市武强中学高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）复数的共轭复数的虚部为（）A． B． C． D．2．（5分）一组数据为6，47，49，15，42，41，7，39，43，40，36，则这组数据的一个四分位数是15，则它是（）A．15%分位数 B．25%分位数 C．50%分位数 D．75%分位数3．（5分）如图为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是选项中的（）A． B． C． D．4．（5分）演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（）A．中位数 B．平均数 C．方差 D．极差5．（5分）已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的有（）（1）m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β（2）n∥m，n⊥α⇒m⊥α（3）α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n（4）m⊥α，m⊥n⇒n∥αA．0个 B．1个 C．2个 D．3个6．（5分）已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为，标准差为s，则（）A． B． C．＞4， D．＞4，7．（5分）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形的面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A． B． C． D．8．（5分）已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为（）A．64π B．48π C．36π D．32π二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）已知i为虚数单位，在复平面内，复数，以下说法正确的是（）A．复数z的虚部是 B．|z|＝1 C．复数z的共轭复数是＝i D．复数z的共轭复数对应的点位于第四象限（多选）10．（6分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝AA1＝2，∠ACB＝90°，D，E，F分别为AC，AA1，AB的中点．则下列结论正确的是（）A．AC1与EF相交 B．B1C1∥平面DEF C．EF与AC1所成的角为90° D．点B1到平面DEF的距离为（多选）11．（6分）某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种的参保客户进行抽样调查，得出如下统计图例，则以下四个选项正确的是（）A．54周岁以上的参保人数最少 B．18～29周岁人群参保总费用最少 C．丁险种更受参保人青睐 D．30周岁以上的参保人群约占参保人群的80%三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）将一钢球放入底面半径为3cm的圆柱形玻璃容器中，水面升高4cm，则钢球的半径是cm．13．（5分）i表示虚数单位，则i+i2+…+i2024＝．14．（5分）在一个容量为5的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为10，但墨水污损了两个数据，其中一个数据的十位数字1未污损，即9，10，11，1，那么这组数据的方差最大的时候被污损了两个数据分别是和．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知复数z1＝1+mi，z2＝2+3i（m∈R）．（1）若m＝﹣1，且（2﹣3i）z1+z2＝x+yi，求实数x，y的值；（2）若为纯虚数，且，求复数z的模．16．（15分）某电视台为宣传安徽，随机对安徽15～65岁的人群抽取了n人，回答问题“皖江城市带有哪几个城市？”统计结果如图表所示：组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率第1组[15，25）a0.5第2组[25，35）18x第3组[35，45）b0.9第4组[45，55）90.36第5组[55，65）3y（1）分别求出a，b，x，y的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组每组各抽取多少人？17．（15分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1．（1）证明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE＝A1E，AB＝3，求四棱锥E﹣BB1C1C的体积．18．（17分）某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（90分及以上为认知程度高），现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组（第一组：[20，25），第二组：[25，30），第三组：[30，35），第四组：[35，40），第五组：[40，45]），得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有5人．（1）求x；（2）求抽取的x人的年龄的50%分位数（结果保留整数）；（3）以下是参赛的10人的成绩：90，96，97，95，92，92，98，88，96，99，求这10人成绩的20%分位数和平均数，以这两个数据为依据，评价参赛人员对“一带一路”的认知程度，并谈谈你的感想．19．（17分）如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，二面角A﹣CD﹣F为60°，DE∥CF，CD⊥DE，AD＝2，DE＝DC＝3，CF＝6．（1）求证：BF∥平面ADE；（2）求直线AC与平面CDEF所成角的正弦值．

2023-2024学年河北省衡水市武强中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）复数的共轭复数的虚部为（）A． B． C． D．【考点】共轭复数；复数的运算．【答案】B【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵＝＝，∴复数的共轭复数为．∴复数的共轭复数的虚部为．故选：B．2．（5分）一组数据为6，47，49，15，42，41，7，39，43，40，36，则这组数据的一个四分位数是15，则它是（）A．15%分位数 B．25%分位数 C．50%分位数 D．75%分位数【考点】百分位数；用样本估计总体的集中趋势参数．【答案】B【分析】结合百分位数的定义，即可求解．【解答】解：将数据从小到大排序为：6，7，15，36，39，40，41，42，43，47，49，共11个，11×25%＝2.75，故15是第25%分位数．故选：B．3．（5分）如图为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是选项中的（）A． B． C． D．【考点】斜二测法画直观图．【答案】C【分析】观察直观图右边的边与纵轴平行，与x轴垂直，由直观图得出原图形上下两条边是不相等的，从而得出答案．【解答】解：设直观图中与x′轴和y′轴的交点分别为A′和B′，根据斜二测画法的规则在直角坐标系中先做出对应的A和B点，再由平行于x′轴的线在原图中平行于x轴，且长度不变，作出原图如图所示，可知是图C．故选：C．4．（5分）演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（）A．中位数 B．平均数 C．方差 D．极差【考点】用样本估计总体的集中趋势参数；用样本估计总体的离散程度参数．【答案】A【分析】根据题意，由数据的数字特征的定义，分析可得答案．【解答】解：根据题意，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分，7个有效评分与9个原始评分相比，最中间的一个数不变，即中位数不变，故选：A．5．（5分）已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的有（）（1）m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β（2）n∥m，n⊥α⇒m⊥α（3）α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n（4）m⊥α，m⊥n⇒n∥αA．0个 B．1个 C．2个 D．3个【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系．【答案】B【分析】由面面平行的判定定理，即可判断（1）；运用线面垂直的性质定理，即可判断（2）；由面面平行的定义和性质，即可判断（3）；由线面的位置关系，及线面垂直的性质即可判断（4）．【解答】解：（1）由m⊂α，n⊂α，且m∩n＝O，m∥β，n∥β⇒α∥β，故（1）错；（2）n∥m，n⊥α⇒m⊥α，由线面垂直的性质定理，可得（2）正确；（3）α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n或m，n异面，则（3）错；（4）m⊥α，m⊥n⇒n∥α或n⊂α，则（4）错．综上可得，只有（2）正确．故选：B．6．（5分）已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为，标准差为s，则（）A． B． C．＞4， D．＞4，【考点】用样本估计总体的离散程度参数；用样本估计总体的集中趋势参数．【答案】A【分析】利用平均数和方差公式计算求解．【解答】解：设7个数为a，b，c，d，e，f，g，则（a+b+c+d+e+f+g）＝4，[（a﹣4）2+（b﹣4）2+（c﹣4）2+（d﹣4）2+（e﹣4）2+（f﹣4）2+（g﹣4）2]＝2，∴a+b+c+d+e+f+g＝28，∴（a﹣4）2+（b﹣4）2+（c﹣4）2+（d﹣4）2+（e﹣4）2+（f﹣4）2+（g﹣4）2＝14，∴这8个数的平均数为：＝（a+b+c+d+e+f+g+4）＝（28+4）＝4，方差为s2＝[（a﹣4）2+（b﹣4）2+（c﹣4）2+（d﹣4）2+（e﹣4）2+（f﹣4）2+（g﹣4）2+（4﹣4）2]＝＜2，∴＝4，s．故选：A．7．（5分）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形的面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A． B． C． D．【考点】棱锥的结构特征．【答案】C【分析】设正四棱锥的高为h，底面正方形的边长为2a，斜高为m，利用正四棱锥中底面边长、高、斜高、侧棱长之间关系建立方程组，求出m和a的关系，即可计算得到答案．【解答】解：设正四棱锥的高为h，底面正方形的边长为2a，斜高为m，则有，即h2＝am①，又h2+a2＝m2②，由①②解得，，所以，则侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为．故选：C．8．（5分）已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为（）A．64π B．48π C．36π D．32π【考点】球的体积和表面积．【答案】A【分析】画出图形，利用已知条件求出OO1，然后求解球的半径，即可求解球的表面积．【解答】解：由题意可知图形如图：⊙O1的面积为4π，可得O1A＝2，则AO1＝ABsin60°，，∴AB＝BC＝AC＝OO1＝2，外接球的半径为：R＝＝4，球O的表面积：4×π×42＝64π．故选：A．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）已知i为虚数单位，在复平面内，复数，以下说法正确的是（）A．复数z的虚部是 B．|z|＝1 C．复数z的共轭复数是＝i D．复数z的共轭复数对应的点位于第四象限【考点】复数的运算．【答案】CD【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，对z化简，再结合复数的性质，即可求解．【解答】解：复数＝＝，复数z的虚部为，故A错误，|z|＝，故B错误，，故C正确，复数z的共轭复数对应的点（），位于第四象限，故D正确．故选：CD．（多选）10．（6分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝AA1＝2，∠ACB＝90°，D，E，F分别为AC，AA1，AB的中点．则下列结论正确的是（）A．AC1与EF相交 B．B1C1∥平面DEF C．EF与AC1所成的角为90° D．点B1到平面DEF的距离为【考点】点、线、面间的距离计算；棱柱的结构特征；异面直线及其所成的角；直线与平面平行．【答案】BCD【分析】利用异面直线判断A；利用线面平行判定定理判断B；利用向量法判断CD．【解答】解：对于A，EF∩平面ACC1A1＝E，AC1⊂平面ACC1A1，E∉AC1，∴AC1与EF是异面直线，故A错误；对于B，∵D，E，F分别为AC，AA1，AB的中点，∴DF∥BC，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC∥B1C1，∴DF∥B1C1，∵B1C1⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，∴B1C1∥平面DEF，故B正确；对于C，以C为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，E（2，0，1），F（1，1，0），A（2，0，0），C1（0，0，2），＝（﹣1，1，﹣1），＝（﹣2，0，2），＝0，∴EF⊥AC1，故C正确；对于D，D（1，0，0），B1（0，2，2），＝（﹣1，2，23），＝（1，0，1），设平面DEF的法向量为＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，0，﹣1），∴点B1到平面DEF的距离为d＝＝＝，故D正确．故选：BCD．（多选）11．（6分）某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种的参保客户进行抽样调查，得出如下统计图例，则以下四个选项正确的是（）A．54周岁以上的参保人数最少 B．18～29周岁人群参保总费用最少 C．丁险种更受参保人青睐 D．30周岁以上的参保人群约占参保人群的80%【考点】频率分布直方图；用样本估计总体；进行简单的合情推理．【答案】AC【分析】根据选项逐一对相应的统计图进行分析判断即可．【解答】解：对A：由扇形图可知，54周岁以上参保人数最少，故A正确；对B：由折线图可知，18～29周岁人群人均参保费用最少，但是由扇形图知参保人数并不是最少的，所以参保总费用不是最少，故B错误；对C：由柱状图可知，丁险种参保比例最高，故C正确；对D：由扇形图可知，30周岁以上的人群约占参保人群80%，故D错误．故选：AC．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）将一钢球放入底面半径为3cm的圆柱形玻璃容器中，水面升高4cm，则钢球的半径是3cm．【考点】球的体积和表面积．【答案】见试题解答内容【分析】求出球的体积，即可求出球的半径．【解答】解：水面升高4cm，则知钢球体积为V＝π×32×4＝36π即有πR3＝36π，∴R＝3cm．故答案为：3．13．（5分）i表示虚数单位，则i+i2+…+i2024＝0．【考点】虚数单位i、复数；复数的运算．【答案】0．【分析】根据已知条件，结合等比数列的前n项和公式，即可求解．【解答】解：i+i2+…+i2024＝．故答案为：0．14．（5分）在一个容量为5的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为10，但墨水污损了两个数据，其中一个数据的十位数字1未污损，即9，10，11，1，那么这组数据的方差最大的时候被污损了两个数据分别是19和1．【考点】用样本估计总体的离散程度参数．【答案】见试题解答内容【分析】设这组数据的最后2个分别是：10+x，y，得到x+y＝10，表示出S2，根据x的取值求出S2的最大值即可求出这组数据的方差最大的时候被污损了两个数据．【解答】解：设这组数据的最后2个分别是：10+x，y，则9+10+11+（10+x）+y＝50，得：x+y＝10，故y＝10﹣x，故S2＝[1+0+1+x2+（﹣x）2]＝+x2，当x最大取9时，S2最大是，∴这组数据的方差最大的时候被污损了两个数据分别是19，1．故答案为：19，1．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知复数z1＝1+mi，z2＝2+3i（m∈R）．（1）若m＝﹣1，且（2﹣3i）z1+z2＝x+yi，求实数x，y的值；（2）若为纯虚数，且，求复数z的模．【考点】共轭复数；复数的模；复数的运算．【答案】见试题解答内容【分析】（1）利用复数代数形式的四则运算化简，由复数相等的条件即可求解．（2）化简，利用复数为纯虚数求出m值，再利用求出复数的模即可．【解答】解：（1）若m＝﹣1，则z1＝1+mi＝1﹣i，∵（2﹣3i）z1+z2＝x+yi，∴1﹣2i＝x+yi，∴x＝1，y＝﹣2．（2）＝＝＝+i，∵为纯虚数，∴，∴m＝﹣，∴＝（1﹣i）﹣i（2﹣3i）＝﹣2﹣i，∴|z|＝＝．16．（15分）某电视台为宣传安徽，随机对安徽15～65岁的人群抽取了n人，回答问题“皖江城市带有哪几个城市？”统计结果如图表所示：组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率第1组[15，25）a0.5第2组[25，35）18x第3组[35，45）b0.9第4组[45，55）90.36第5组[55，65）3y（1）分别求出a，b，x，y的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组每组各抽取多少人？【考点】频率分布直方图；分层随机抽样．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由频率表中第4组数据求出第4组总人数，再由频率分布直方图求出样本容量n，从而求出a、b、x、y的值；（2）求出第2，3，4组回答正确的所有人数，利用分层抽样原理计算出每组分别抽取的人数．【解答】解：（1）由频率表中第4组数据知，第4组总人数为＝25，由频率分布直方图知n＝＝100，∴a＝100×0.01×10×0.5＝5，b＝100×0.03×10×0.9＝27，x＝＝＝0.9，y＝＝＝0.2．（2）第2，3，4组回答正确的共有18+27+9＝54人．∴利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：第2组：×6＝2人，第3组：×6＝3人，第4组：×6＝1人．17．（15分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1．（1）证明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE＝A1E，AB＝3，求四棱锥E﹣BB1C1C的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由线面垂直的性质可得B1C1⊥BE，结合BE⊥EC1利用线面垂直的判定定理可证明BE⊥平面EB1C1；（2）由条件可得AE＝AB＝3，然后得到E到平面BB1C1C的距离d＝3，在求四棱锥的体积即可．【解答】解：（1）证明：由长方体ABCD﹣A1B1C1D1，可知B1C1⊥平面ABB1A1，BE⊂平面ABB1A1，∴B1C1⊥BE，∵BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1，∴BE⊥平面EB1C1；（2）由（1）知∠BEB1＝90°，由题设可知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，∴∠AEB＝∠A1EB1＝45°，∴AE＝AB＝3，AA1＝2AE＝6，∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1∥平面BB1C1C，E∈AA1，AB⊥平面BB1C1C，∴E到平面BB1C1C的距离d＝AB＝3，∴四棱锥E﹣BB1C1C的体积V＝×3×6×3＝18．18．（17分）某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（90分及以上为认知程度高），现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组（第一组：[20，25），第二组：[25，30），第三组：[30，35），第四组：[35，40），第五组：[40，45]），得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有5人．（1）求x；（2）求抽取的x人的年龄的50%分位数（结果保留整数）；（3）以下是参赛的10人的成绩：90，96，97，95，92，92，98，88，96，99，求这10人成绩的20%分位数和平均数，以这两个数据为依据，评价参赛人员对“一带一路”的认知程度，并谈谈你的感想．【考点】频率分布直方图的应用．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据频率分布直方图求