建模问题及行程问题课件2025-2026学年湘教版八年级数学下册

八年级下册数学（湘教版）3.6一次函数的应用第3章一次函数第1课时

建模问题及行程问题情境导入

乌鸦喝水，是《伊索寓言》中一个有趣的寓言故事.故事梗概为：“一只口渴的乌鸦看到窄口瓶内有半瓶水，于是将小石子投入瓶中，使水面升高，从而喝到了水.”告诉人们遇到困难要积极想解决办法，认真思考才能让问题迎刃而解的道理.数学问题也一样哦.如果将乌鸦喝水的故事进行量化，你能判断乌鸦丢进多少颗石子，水能刚好在瓶口吗？说说你的做法！10cm9cm探究新知建模预测问题

现实生活或具体情境中的很多问题或现象都可以抽象成数学问题，并通过建立合适的数学模型来表示数量关系和变化规律，再求出结果并讨论结果的意义.

下面有一个实际问题，你能否利用已学的知识给予解决？1伸出一只手掌，把大拇指与小拇指尽量张开，测量两指指尖间的最大距离，这个距离简称为指尖距.假设指尖距与身高具有如下关系：指尖距

x(cm)192021身高

y(cm)151160169(1)身高

y与指尖距

x之间可用函数关系式刻画吗？如可以，其表达式是怎样的？(2)若李华的指距为22cm时，你能估计他的身高吗？+1+1+9+9因变量随自变量的变化是均匀的，所以身高y是指尖距x的一次函数待定系数法解：(1)设身高

y

与指尖距

x之间的一次函数表达式为

y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0).

19k+b=151，20k+b=160.解得

k＝9，b＝-20.于是

y＝9x-

20.故y＝9x-

20就是身高

y与指尖距

x之间的函数表达式.将

x＝19，y＝151与

x＝20，y＝160代人上式，得指尖距

x(cm)192021身高

y(cm)151160169(2)当

x=22时，

y=9×22-20=178.

因此，李华的身高大约是178cm.建立一次函数模型步骤：(1)观察数据，是否满足均匀变化；(2)建立一次函数模型，并由已知数据求出函数表达式；(3)进行检验，验证其他数据是否符合求得的函数表达式；(4)应用这个函数模型解决实际问题.归纳总结1.给某长方体游泳池注水，池深2m.假如注水的时长与水深具有如下关系：练一练（1）你能为注水的时长与水深之间的关系建立函数模型吗？（2）用求出的函数表达式分别估计注水2h、2.5h后的水深.+0.5+0.5+40+40水深与注水的时长之间的关系是一次函数y=80x+20.【课本P113练习第1题】利用一次函数解决行程问题2例1

已知甲、乙两地相距40km，小徐8∶00骑自行车由甲地去乙地，平均车速为8km/h；小李10∶00坐公共汽车也由甲地去乙地，平均车速为40km/h.设小徐所用的时间为

xh，小徐离甲地的距离为

y1km，小李离甲地的距离为

y2km.(1)分别写出

y1，

y2与

x

之间的函数解析式；找等量关系解(1)由“路程＝速度×时间”可知

y1＝8x，（0≤x≤5）.由于小李比小徐晚出发2h，因此小李所用时间为(x－2)h，从而

y2＝40(x－2)，（2≤x≤3）.12345816243240

y2＝40(x-2)

y1＝8x(2)在同一平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象，并指出谁先到达乙地.(2)将以上两个函数的图象画在同一平面直角坐标系中，如图所示.过点

M(0，40)

作射线

l与

x轴平行，它先与

y2＝40(x－2)相交，这表明小李先到达乙地.lM2.

小刚和小强在一条公路上由西向东行走，出发的时间相同.小强从A地出发，小刚从小强东边80m处出发，小刚、小强每分钟分别走40m，60m.（1）

分别写出小刚、小强离A地的距离

y（m）与行走时间

t

（min）之间的函数表达式.（2）

在同一平面直角坐标系中，分别画出上述两个函数的图象.（3）

根据图象回答：在出发后几分钟小强追上小刚？谁先到达与A地相距300m的B地？练一练

【课本P113练习第2题】找等量关系(2)将以上两个函数的图象画在同一个直角坐标系中，如图所示.（3）由图象知出发4min后小强追上小刚.小强先到达与A地相距300m的B地。l课堂练习1.我市制定的用水收费标准是生活用水费用为每吨1.54元，每月加卫生费9.5元，小明家5月份用水x吨，他家5月份应付费y（元），则y与x之间的关系式为________________.y=1.54x+9.52.某航空公司规定,旅客乘机所携带行李的质量x(kg)与其运费y(元)由如图所示的一次函数图象确定,那么旅客可携带的免费行李的最大质量为()A.20kgB.25kgC.28kgD.30kgA找等量关系待定系数法y=30x-600.3.如图，射线

OA、BA分别表示甲、乙两人骑自行车运动过程的一次函数的图象，图中

s、t分别表示行驶距离和时间，则这两人骑自行车的速度相差

km/h.解析：根据图象可得出：甲的速度为120÷5=24(km/h)，乙的速度为(120﹣4)÷5=23.2(km/h)，速度差为24-23.2=0.8(km/h).0.8B4.某公司到果园基地购买某种优质水果慰问医务工作者,购买量在3000千克以上(含3000千克),果园基地对此有两种销售方案.甲方案：每千克9元,由基地送货上门；乙方案：每千克8元,由顾客自己租车运回.已知该公司租车从基

地到公司的运输费为5000元.(1)分别写出该公司两种购买方案的费用y(元)与所购买的水果量x(千克)之间的函数表达式,并写

出自变量x的取值范围；(2)采用哪种购买方案费用少？并说明理由.分析画出两个一次函数图像,利用图像法选择方案思路2分y甲=y乙,y甲>y乙,y甲<y乙三种情形讨论,确定方案思路1y甲=9x(x≥3000)；y乙=8x+5000(x≥3000).解:(1)y甲=9x(x≥3000)；

y乙=8x+5000(x≥3000).(2)解法一：①当y甲=y乙时,有9x=8x+5000,解得x=5000.所以当x=5000时,两种方案费用一样；②当y甲<y乙时,有9x<8x+5000.所以当3000≤x<5000时,选择甲方案费用少；③当y甲>y乙时,有9x>8x+5000,解得x>5000.