2021湖南娄底数学试卷+答案+解析

33娄底市2021年初中毕业学业考试试题卷(满分:120分考试时间:120分钟)一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,满分36分,每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)123456789101112CBBCACBDADAD1.(2021湖南娄底,1,3分)2021的倒数是 ()A.-2021 B.2021 C.12021 D.-1.C根据倒数的定义可知2021的倒数是12021.故选C2.(2021湖南娄底,2,3分)下列式子正确的是 ()A.a3-a2=a B.(a2)3=a6C.a3·a2=a6 D.(a2)3=a52.Ba3与a2不是同类项,不能够合并,A错误;幂的乘方,底数不变指数相乘,(a2)3=a6,B正确,D错误;同底数幂相乘,底数不变指数相加,a3·a2=a5,C错误.3.(2021湖南娄底,3,3分)2021年5月19日,第三届阿里数学竞赛预选赛顺利结束,本届大赛在全球范围内吸引了约5万名数学爱好者参加.阿里数学竞赛旨在全球范围内引领开启关注数学、理解数学、欣赏数学、助力数学的科学风尚.5万用科学记数法表示为 ()A.0.5×105 B.5×104C.50×104 D.5×1053.B5万=50000=5×104.方法总结科学记数法的表示形式为a×10n,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.4.(2021湖南娄底,4,3分)一组数据17、10、5、8、5、15的中位数和众数分别是 ()A.5,5 B.8,5 C.9,5 D.10,54.C将这组数按从小到大的顺序排列为5、5、8、10、15、17,中位数为8和10的平均数9,众数为5.故选C.方法总结求一组数据的中位数时,先将该组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列,当数据个数为奇数时,中间的一个数即为这组数据的中位数,当数据的个数为偶数时,中间的两个数的平均数即为这组数据的中位数;众数为一组数据中出现次数最多的数据.5.(2021湖南娄底,5,3分)如图,点E、F在矩形ABCD的对角线BD所在的直线上,BE=DF,则四边形AECF是 ()A.平行四边形 B.矩形C.菱形 D.正方形5.A∵四边形ABCD为矩形,∴OB=OD,OA=OC,∵BE=DF,∴OB+BE=OD+DF,即OE=OF,∴四边形AECF是平行四边形.一题多解∵AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD,∴∠FDA=∠EBC,又∵AD=BC,BE=DF,∴△ADF≌△CBE(SAS),∴AF=EC,∠AFD=∠CEB,∴AF∥EC,∴四边形AECF为平行四边形.6.(2021湖南娄底,6,3分)如图,AB∥CD,点E、F在AC边上,已知∠CED=70°,∠BFC=130°,则∠B+∠D的度数为 ()A.40° B.50° C.60° D.70°6.C取ED,FB的交点为点G,过点G作平行于CD的直线MN,如下图:∵∠CED=70°,∠BFC=130°,∴∠EGF=∠BFC-∠CED=130°-70°=60°,∵MN∥CD∥AB,∴∠B=∠BGN,∠D=∠DGN,∴∠B+∠D=∠BGN+∠DGN=∠BGD,∵ED,BF相交于点G,∴∠EGF=∠BGD=60°,∴∠B+∠D=60°.故选C.7.(2021湖南娄底,7,3分)从背面朝上的分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、圆的四张形状、大小相同的卡片中,随机抽取一张,则所抽得的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率为 ()A.14 B.12 C.37.B等腰三角形是轴对称图形不是中心对称图形,平行四边形是中心对称图形不是轴对称图形,矩形既是中心对称图形又是轴对称图形,圆既是中心对称图形又是轴对称图形,4个卡片中有2个符合题意,故抽中的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率为128.(2021湖南娄底,8,3分)2、5、m是某三角形三边的长,则(m-3)2+(A.2m-10 B.10-2m C.10 D.48.D根据三角形的三边关系可知5-2<m<5+2,即3<m<7,故(m-=|m-3|+|m-7|=m-3+7-m=4.故选D.9.(2021湖南娄底,9,3分)如图,直线y=x+b和y=kx+4与x轴分别相交于点A(-4,0),点B(2,0),则x+b>0,kxA.-4<x<2 B.x<-4C.x>2 D.x<-4或x>29.A由题意可知:解不等式组x+b>0,kx+4>0,即是找出直线y=x+b和y=kx+4都位于x轴上方部分对应x的范围,而直线y=x+b和y=kx+4与x轴分别相交于点A(-4,0),点B(一题多解将点A(-4,0)代入y=x+b中,将点B(2,0)代入y=kx+4中,求出b=4,k=-2,再将b=4,k=-2代入不等式组x+b>0,kx+4>0中10.(2021湖南娄底,10,3分)如图,直角坐标系中,以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动,当☉A与直线l:y=512x只有一个公共点时,点A的坐标为 (A.(-12,0) B.(-13,0)C.(±12,0) D.(±13,0)10.D如下图所示,当☉A与直线l:y=512x只有一个公共点时,☉A与直线l相切,设切点为B,连接AB,过B点作BC∥OA,与y轴交于C设B点的坐标为x,∴OC=512|x|,BC=|x|在Rt△OBC中,OB=BC2=1312|x|又∵☉A的半径为5,∴AB=5,∵BC∥OA,∴∠AOB=OBC,又∵∠ABO=∠BCO=90°,∴△AOB∽△OBC,∴OABO=AB∴OA1312|∴OA=13,∵原点左右两侧都有相切的可能,∴点A的坐标为(±13,0).故选D.一题多解当☉A与直线l:y=512x只有一个公共点时,☉A与直线l相切,设切点为B,连接AB则∠ABO=90°,tan∠AOB=ABOB=5∵AB=5,∴OB=12,∴OA=AB2∵原点左右两侧都有相切的可能,∴A(±13,0).11.(2021湖南娄底,11,3分)根据反比例函数的性质、联系化学学科中的溶质质量分数的求法以及生活体验等,判定下列有关函数y=xa+x(a为常数且a>0,x>0)的性质表述中,正确的是 ①y随x的增大而增大;②y随x的增大而减小;③0<y<1;④0≤y≤1.A.①③ B.①④ C.②③ D.②④11.A∵y=xa+x=x+a-aa+∴aa+x随x的增大而减小,0<∴y=1-aa+x随x的增大而增大,0<1-故选A.12.(2021湖南娄底,12,3分)用数形结合等思想方法确定二次函数y=x2+2的图象与反比例函数y=2x的图象的交点P的横坐标x0所在的范围是 (A.0<x0≤14 B.14<x0C.12<x0≤34 D.34<12.D在同一个直角坐标系中画出两个函数的图象,如下图:由图知,12<x0<1当x0=34时,将其分别代入y1=x2+2与y2=2xy1=916+2=4116,y2=23∵y2-y1=83-4116=5∴此时反比例函数图象在二次函数图象的上方,∴34<x0<1故选D.二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,满分18分)13.(2021湖南娄底,13,3分)函数y=x-1的自变量x的取值范围是13.答案x≥1解析根据被开方数为非负数得x-1≥0,解得x≥1.14.(2021湖南娄底,14,3分)如图所示的扇形中,已知OA=20,AC=30,AB=40,则CD=.

14.答案100解析圆心角相同,弧长之比等于半径比.小扇形半径OA=20,大扇形半径OC=OA+AC=50,因为弧长之比等于半径之比等于2∶5,AB=40,所以CD=100.一题多解设扇形圆心角度数为n°,∵OA=20,AB=40,∴在扇形AOB中,AB=2π·OA·n360解得n=360π∵在扇形COD中,OC=OA+AC=20+30=50,∴CD=2π·OC·n360=2π×50×360π故答案为100.15.(2021湖南娄底,15,3分)如图,△ABC中,AB=AC=2,P是BC上任意一点,PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,若S△ABC=1,则PE+PF=.

15.答案1解析连接AP,则S△ABC=S△ABP+S△ACP=12AB×PE+12AC×PF=12×2×PE+12×2×PF=∵S△ABC=1,∴PE+PF=1.16.(2021湖南娄底,16,3分)已知t2-3t+1=0,则t+1t=16.答案3解析∵t2-3t+1=0,∴t≠0,方程左右两边同时除以t得,t-3+1t∴t+1t=3一题多解t+1t=t2t+1又∵t2-3t+1=0,∴t2+1=3t,则t+1t=t2+1t故答案为3.17.(2021湖南娄底,17,3分)高速公路上有一种标线叫纵向减速标线,外号叫鱼骨线,作用是提醒驾驶员在开车时减速慢行.如图,用平行四边形ABCD表示一个“鱼骨”,AB平行于车辆前行方向,BE⊥AB,∠CBE=α,过B作AD的垂线,垂足为A'(即A点的视觉错觉点),若sinα=0.05,AB=300mm,则AA'=mm.

17.答案15解析如题图所示,∵A'B⊥AD且四边形ABCD为平行四边形,∴A'B⊥BC,∴∠A'BC=∠ABC+∠A'BA=90°,又∵BE⊥AB,∴∠ABE=∠ABC+α=90°,∴∠A'BA=α,∴sin∠A'BA=sinα=AA'AB=0.又∵AB=300mm,∴AA'=AB·sin∠A'BA=300×0.05=15mm.故答案为15.18.(2021湖南娄底,18,3分)弧度是表示角度大小的一种单位,圆心角所对的弧长和半径相等时,这个角就是1弧度角,记作1rad.已知α=1rad,β=60°,则α与β的大小关系是αβ.

18.答案<解析根据弧度的定义,圆心角所对的弧长和半径相等时,这个角就是1弧度角,记作1rad,当β=60°时,易知β的两边与其所夹的弦构成的三角形为等边三角形,弦长等于半径,∴圆心角所对的弧长比半径长,∴α<β,故答案是<.三、解答题(本大题共2小题,每小题6分,共12分)19.(2021湖南娄底,19,6分)计算:(2021-π)0+12+1+12-119.解析(2021-π)0+12+1+12-=1+2-1(=1+2-1+2-2=2.20.(2021湖南娄底,20,6分)先化简,再求值:x-3x-1·1-2x-10x20.解析x-3=x-3=x-3=x-3=x-∵x≠1,x≠±3,∴取x=2,∴原式=x-1x+3=四、解答题(本大题共2小题,每小题8分,共16分)21.(2021湖南娄底,21,8分)“读书,点亮未来”,广泛的课外阅读是同学们搜集和汲取知识的一条重要途径.学校图书馆计划购进一批学生喜欢的图书,为了了解学生对“A文史类、B科普类、C生活类、D其他”的喜欢程度,随机抽取了部分学生进行问卷调查(每个学生只选其中一类),将所得数据进行分类统计,绘制了如下不完整的统计图表,请根据图中的信息,解答下列问题:频数频率A文史类50mB科普类900.45C生活类n0.20D其他200.10合计统计表条形统计图(1)本次调查的学生共人;

(2)m=,n=;

(3)补全条形统计图.21.解析(1)本次调查的学生共90÷0.45=200(人).(2)m=50÷200=0.25,n=200×0.2=40.(3)补全条形统计图如图所示:22.(2021湖南娄底,22,8分)我国航天事业捷报频传,天舟二号于2021年5月29日成功发射,震撼人心.当天舟二号从地面到达点A处时,在P处测得A点的仰角∠DPA为30°且A与P两点的距离为6千米,它沿铅垂线上升7.5秒后到达B处,此时在P处测得B点的仰角∠DPB为45°,求天舟二号从A处到B处的平均速度.(结果精确到1m/s,取3=1.732,2=1.414)22.解析根据在P处测得A点的仰角∠DPA为30°且A与P两点的距离为6千米知,在Rt△ADP中,AP=6千米,∠DPA=30°,∴AD=12AP=3(千米∴DP=AP2-AD2=33≈3×1.又由在P处测得B点的仰角∠DPB为45°,得Rt△BDP为等腰直角三角形,∴BD=DP,∴AB=BD-AD=2.196(千米),∴天舟二号从A处到B处的平均速度为21967.5≈293答:天舟二号从A处到B处的平均速度为293m/s.五、解答题(本大题共2小题,每小题9分,共18分)23.(2021湖南娄底,23,9分)为了庆祝中国共产党建党一百周年,某校举行“礼赞百年,奋斗有我”演讲比赛,准备购买甲、乙两种纪念品奖励在活动中表现优秀的学生.已知购买1个甲种纪念品和2个乙种纪念品共需20元;购买2个甲种纪念品和5个乙种纪念品共需45元.(1)求购买一个甲种纪念品和一个乙种纪念品各需多少元;(2)若要购买这两种纪念品共100个,投入资金不少于766元又不多于800元,问有多少种购买方案?并求出所花资金的最小值.23.解析(1)设购买甲种纪念品每个需要x元,乙种纪念品每个需要y元,根据题意得x+2y答:购买甲种纪念品每个需要10元,乙种纪念品每个需要5元.(2)设购买甲种纪念品m个,所花资金为w元,则购买乙种纪念品(100-m)个,∴w=10m+5(100-m)=5m+500,根据题意得5解得53.2≤m≤60.∵m为整数,∴m可取54、55、56、57、58、59、60.∴共有7种购买方案.∵5>0,∴w随m的增大而增大,∴当m=54时,w有最小值,最小值为770.∴所花资金的最小值为770元.思路分析(1)设购买甲种纪念品每个需要x元,乙种纪念品每个需要y元,根据“购买1个甲种纪念品和2个乙种纪念品共需20元;购买2个甲种纪念品和5个乙种纪念品共需45元”,即可得出关于x、y的二元一次方程组,解之即可得出结论.(2)设购买甲种纪念品m个,所花资金为w元,则购买乙种纪念品(100-m)个,根据总价=单价×数量,得到w关于m的函数解析式,结合进货资金不少于766元且不超过800元,即可得出关于m的一元一次不等式组,解之即可得出m的取值范围,再由m为整数即可得出各购买方案,利用一次函数的性质得出答案.24.(2021湖南娄底,24,9分)如图,点A在以BC为直径的☉O上,∠ABC的平分线与AC相交于点E,与☉O相交于点D,延长CA至M,连接BM,使得MB=ME,过点A作BM的平行线与CD的延长线交于点N.(1)求证:BM与☉O相切;(2)试给出AC、AD、CN之间的数量关系,并予以证明.24.解析(1)证明:∵MB=ME,BD是∠ABC的平分线,∴∠MBE=∠MEB,∠ABE=∠EBC,又∵BC为直径,∴∠BAC=90°,∴∠ABE+∠MEB=90°,∴∠EBC+∠MBE=∠MBC=90°,即BM与☉O相切.(2)AC2=AD·NC.证明:如图,∵∠ABE=∠EBC,∴AD=CD,∴AD=CD,∴∠DAC=∠DCA,△ADC为等腰三角形,∵∠BDC=90°,∴∠BDN=90°,∴∠N+∠NGD=90°,由(1)可得∠MBC=90°,∵NF∥BM,∴∠NFB=90°,又∵∠NGD=∠BGF,∴∠N=∠EBC=∠ABE=∠DCA=∠DAC,∴△NAC为等腰三角形,在△NAC和△ADC中,∠N=∠DAC,∠ACN=∠DCA,∴△ADC∽△NAC,∴DCAC=AC∴AC2=DC·NC,又∵AD=CD,∴AC2=AD·NC.六、综合题(本大题共2小题,每小题10分,共20分)25.(2021湖南娄底,25,10分)如图①,E、F是等腰Rt△ABC的斜边BC上的两动点,∠EAF=45°,CD⊥BC且CD=BE.(1)求证:△ABE≌△ACD;(2)求证:EF2=BE2+CF2;(3)如图②,作AH⊥BC,垂足为H,设∠EAH=α,∠FAH=β,不妨设AB=2,请利用(2)的结论证明:当α+β=45°时,tan(α+β)=tanα+tan图①图②25.证明(1)∵△ABC是等腰直角三角形,∴AB=AC,∠BAC=90°,∴∠ABC=∠ACB=45°,∵CD⊥BC,∴∠DCB=90°,∴∠DCA=90°-∠ACB=90°-45°=45°=∠ABE,在△ABE和△ACD中,AB∴△ABE≌△ACD(SAS).(2)∵△ABE≌△ACD,∴∠BAE=∠CAD,AE=AD,∵∠EAF=45°,∴∠BAE+∠FAC=90°-∠EAF=90°-45°=45°,∴∠FAD=∠FAC+∠CAD=∠FAC+∠BAE=45°=∠EAF,在△AEF和△ADF中,AE∴△AEF≌△ADF(SAS),∴EF=DF,在Rt△CDF中,根据勾股定理,得DF2=CD2+CF2,即EF2=BE2+CF2.(3)如图,将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACD,连接FD,则∠BAE=∠CAD,BE=CD,AE=AD,∵△ABC为等腰直角三角形,∴∠ACB=∠B=∠ACD=45°,∠DCF=∠DCA+∠ACF=45°+45°=90°,∵AB=2,∴AC=AB=2,在Rt△ABC中,由勾股定理得BC=AB2+A∵AH⊥BC,∴BH=CH=AH=12BC=1∴EF=EH+FH=AHtanα+AHtanβ=tanα+tanβ,BE=BH-EH=1-tanα,CF=CH-HF=1-tanβ,∵∠EAF=45°,∴∠BAE+∠CAF=90°-∠EAF=45°,∴∠DAF=∠DAC+∠CAF=∠BAE+∠CAF=45°=∠EAF,在△AEF和△ADF中,AE∴△AEF≌△ADF(SAS),∴EF=DF,在Rt△CDF中,DF2=CD2+CF2,∴EF2=BE2+CF2,∴(tanα+tanβ)2=(1-tanα)2+(1-tanβ)2,整理得2tanα·tanβ=1-2tan