2027届新高考数学热点突破复习解三角形应用举例

2027届新高考数学热点突破复习解三角形应用举例课标要求

会运用正弦定理、余弦定理等知识以及方法解决一些与测量和几何计

算有关的实际问题.测量中的几个有关术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线（两者在同一铅

垂面内）所成的角中，目标视线在水平

视线上方的角叫做

，目标视线

在水平视线下方的角叫做

⁠

方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到

目标方向线之间的夹角叫做

.方位角θ的范围是

⁠

仰角

俯角

方位角

0°≤θ＜360°

术语名称术语意义图形表示方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的

锐角，通常表达为北（南）偏东（西）α例：

坡角与坡比

目录/CONTENTS考点一测量距离问题01考点二测量高度问题02考点三测量角度问题03课时跟踪训练0401PART考点一测量距离问题

10解析：设炮弹第一次命中点为C，根据题意画出示意图，如图.

由题意知AC＝BC＝18公里，AB＝14公里，AM＝18公里，过点C作CD⊥AB，垂足为D，则D是AB的中

规律方法测量距离问题的类型及解法（1）类型：①两点间可视但一点不可达；②两点可视但都不可达；（2）解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个

三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.练1如图，设M，N为某海边相邻的两座山峰，到海平面的距离分别为100

米，50米.现欲在M，N之间架设高压电网，需计算M，N之间的距离.勘

测人员在海平面上选取一点，利用测角仪从P点测得的M，N点的仰角分

别为30°，45°，并从P点观测到M，N点的视角（即∠MPN）为45°，

则M，N之间的距离为

米.

02PART考点二测量高度问题

√

规律方法测量高度问题的三个注意点（1）要理解仰角、俯角、方向（位）角的概念；（2）在实际问题中，若遇到空间与平面（地面）同时研究的问题，最好

画两个图形，一个空间图形，一个平面图形；（3）注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题.练2如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路

北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600

m后到达B处，测得此山顶

在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝

m.

03PART考点三

测量角度问题

DA.30°B.45°C.90°D.60°

（2）如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C

对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100

m到达B处，又测得C对于山坡的

斜度为45°，若CD＝50

m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos

θ＝

（

C

）C

规律方法求解角度问题的三个注意事项（1）测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义；（2）求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值；（3）在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际

问题转化为可用数学方法解决的问题.解题过程中也要注意体会正、余弦

定理综合使用的优点.

解：如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上

一点，缉私艇的速度为每小时x海里，则BC＝0.5x，AC＝5，依题意，AB＝3，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°，

04PART课时跟踪检测（时间：60分钟，满分：92分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分]

1.

在相距2

km的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝

60°，则A，C两点之间的距离为（

）D.2

km1234567891011121314√

2.

一艘船航行到点A处时，测得灯塔C与其相距30海里，如图所示.随后

该船以20海里/小时的速度，沿直线向东南方向航行1小时后到达点B，测

得灯塔C在其北偏东25°方向，则sin∠ACB＝（

）√

12345678910111213143.

如图，在200

m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是

30°，60°，则塔高为（

）√1234567891011121314

12345678910111213144.

一艘船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在

一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯

塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是（

）A.5海里/小时C.10海里/小时√

12345678910111213145.

如图，两座相距60

m的建筑物AB，CD的高度分别为20

m，50

m，BD

为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于（

）A.30°B.45°C.60°D.75°√1234567891011121314

12345678910111213146.

〔多选〕如图，在海面上有两个观测点B，D，B在D的正北方向，距

离为2

km，在某天10：00观察到某航船在C处，此时测得∠CBD＝45°，

5分钟后该船行驶至A处，此时测得∠ABC＝30°，∠ADB＝60°，

∠ADC＝30°，则（

）A.

观测点B位于A处的北偏东75°方向√√√1234567891011121314

12345678910111213147.

如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距500

km.飞行员为了避开某

一区域的雷雨云层，从A点起飞以后，就沿与原来的飞行方向AB成12°角

的方向飞行，飞行到中途C点，再沿与原来的飞行方向AB成18°角的方向

继续飞行到终点B点.这样飞机的飞行路程比原来的路程500

km大约多飞

了

km.（sin

12°≈0.21，sin

18°≈0.31）20

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12345678910111213148.

台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30

千米内的地区为危险区，城市B在A的正东方向40千米处，则城市B处于

危险区的时间为

小时.

1

12345678910111213149.

〔一题多解〕落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色，滕王阁，江南三大名

楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》而名传千古，如图所示，在滕

王阁旁的水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为

30°，60°，45°，且AB＝BC＝75米，则滕王阁的高度OP

＝

米.

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（1）求△ACD的面积；

1234567891011121314（2）求A，B两点间的距离.

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11.

古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为

地图学提供了数学基础.现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高

度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C

两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧.若在B，C处分别测得球体

建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC＝100

m，则该球体建筑物的高度

约为（cos

10°≈0.985）（

）A.49.25

mB.50.76

mC.56.74

mD.58.60

m√1234567891011121314

1234567891011121314

A.

∠BCD，∠BDCB.

∠ACD，∠ADCC.

∠BCD，∠ACDD.

∠BCD，∠ADC√√√1234567891011121314

1234567891011121314

31234567891011121314