2025-2026月考试卷8年级（数学）三角形全等模型（解析版）

1 1 7 11 11 20 30 4212025·云南·模拟预测）如图，点D、C在线段AF上，AD=CF，AB=DE，BC=EF．求证：7B=7E．\AD+DC=CF+DC，∴∴AC=DF，\△ABC≌△DEF(SSS)，\LB=LE．223-24八年级上·湖北黄石·阶段练习）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AC=DF，BE=CF，AB=DE，求证：AB∥DE,AC∥DF.【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质以及平行线的判定，熟练掌握全等三先证明△ABC≌△DEF(SSS)，得到LB=LDEF,LACB=LF，进而得出结论.∵AC=DF，AB=DE，∴LB=LDEF,LACB=LF，∴AB∥DE，AC∥DF.为面积相等的两部分，且AB=4，则CF=【答案】(1)见解析（2）根据平移的性质得A,B,=CD=AB=4,再由EF将CDE分为面积相等的两部分得CF=DFCD=2（2）解：将△ABC沿射线AC方向平移得到ΔA,B,C,，且AB=【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及平移的性质，根据SSS证明△A424-25八年级下·江西赣州·期末1）计算：（2）如图，点C是线段AB的中点，LB=LACD,AD∥CE．求证：△ACD≌△CBE．【答案】（【答案】（1）02）见解析幂幂【分析】本题考查了含有指数的实数混合运算与全等三角形的证明，解题的关键是熟知【详解】解1）原式=2-3+1=0；\AC=CB，\LA=LBCE，\ΔACD≌ΔCBE(ASA)．524-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，LABC=LDEF，BC=EF，求证：LA=LD．得LA=LD．∴LA=LD．621-22八年级下·广西桂林·期中）如图，在△ABC中，D为BC的中点，DE丄AB，DF丄AC，点E、【详解】证明：丫DE丄AB，DFTAC，点E、F为垂足，\LBED=LCFD=90o，\△BED和△CFD均为直角三角形．\BD=CD．在Rt△BED和Rt△CFD中，\Rt△BED≌Rt△CFD(HL)．724-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，延长CB至点E，延长BC至点F，使BE=CF，连接AE、AF．求证：AD平分7EAF．【知识点】全等的性质和【知识点】全等的性质和SAS综合（SA【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是熟悉等腰腰三角形的性质得出BD=DC，AD丄BC，AD平分LBAC，再利用全等三角形的判定和性质证明即可．【详解】证明：∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，∴BD=DC，AD丄BC，AD平分LBAC，LABD=LACD，∴LABE=LACF，∴LBAE=LCAF，即LEAD=LFAD，即AD平分LEAF．824-25八年级下·河南平顶山·期中）如图，在△ABC中，AD是7BAC的平分线，DETAB于点E，DFTAC于点F．求证∶AD垂直平分EF．根据角平分线的性质得出DE=DF，证明出Rt△ADE≌Rt△ADF，得到AE=AF，利用到线段两端距离相【详解】证明：∵AD是7BAC的平分线，且DETAB，DFTAC，又∵AD=AD，∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，\AE=AF，∴AD垂直平分EF．924-25八年级下·陕西延安·期中）如图，BP是7ABC内部的一条射线，点D在BP上，连接AD、CD，AD=CD，过点P作PM丄AD，PN丄CD，M，N分别是垂足，且PM7ABC．【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定定理，熟练掌握角平先由角平分线的性质定理得到LADP=LCDP，再证明△ABD≌△CBD(SAS)，得到LABP=LCBP，即可\DP为LADC的角平分线，\LADP=LCDP，\LADB=LCDB，\LABP=LCBP，\BP平分LABC．102025·四川乐山·中考真题）如图，已知线段AC、BD相交于点E，AE=DE，BE=CE．求证：【详解】证明：∵线段AC、BD相交于点E，N、Q，且MS=PS，求证：△MNS≌△SQP．【知识点】垂线的定义理解、全等的性质和【分析】本题考查了垂直、三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．先根据垂直的定义可得LN=LSQP=LMSP=90°,再证出LM=LPSQ，然后根据AAS定理即可得证．∴LM+LMSN=90°=LPSQ+LMSN，∴LM=LPSQ，1224-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，DE∥AB，DE=AC，点D在AC上，LEAD=LCBA．\ÐADE=ÐBAC，\△DAE≌△ABC(SAS)，\ÐEAD=ÐCBA．1324-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，AC和BD相交于点O，CD∥AB，CD=AB，OE=OF．求证CE=AF．【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质．证明VAOB≌VCOD(AAS)，则AO=CO，利用线段的差即∴VAOB≌VCOD(AAS)∴AO-OF=CO-OE142025·广东广州·中考真题）如图，BA=BE，L1=L2，BC=BD．求证：△ABC纟△EBD．【分析】本题考查了全等三角形的判定，先证明LABC=LEBD，进而根据SAS即可证明△ABC纟△EBD．【详解】证明：丫L1=L2，：L1+LEBC=L2+LEBC，即LABC=LEBD，:△ABC纟△EBD(SAS)(2)如图：BF丄AE于F，BG丄CD于G，探究BF与BG的关系，并证明你的结论．【答案】【答案】(1)见解析在在Rt△CBD和Rt△EBA中，∴△ABE≌△DBC(SAS)；在Rt△BEF和Rt△BCG中，∴LEBF=LCBG，综上所述，BF与BG的关系为BF=BG且BF丄BG．中，AB=6，AC=8，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．证明：∵延长AD到点E，使DE=AD，LADC=LEDB(),（2）由（1）的结论，根据AD与AE之间的关系，探究得出AD的取值范围；【问题解决】【答案】（1【答案】（1）对顶角相等，SAS2）1<AD<73）AE=7【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、三角形三边关系及垂直平分线的（3）延长AD交于EC点F，证明△ABD≌△FCD(ASA)，根：（），AE2（3）延长AD交EC的延长线于点F，如图；∵AD是△ABC的中线，∴DE垂直平分AF，解决方法：如图①,延长AD到点E，使DE=AD，连接BE，得到△ADC≌△EDB，他用到的判定定理是 ；（用字母表示），可以求得BC边上的中线AD的取值范围是．【解决问题】定要多思考，做到举一反三，于是他又提出了一个新的问题：如图②,当AD平分LBAC时，若求S△ABC的值．【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线性质和三角形的面积公式，能根据（12）得（2）过D作DETAB于E，DFTAC于F，根据角平分线性质求出DE=DF，根据三角形面积公式求出：（\BE=AC，在△ABE中，AB-BE<AE<AB+BE，\AB-AC<2AD<AB+AC，：；（2）如图，过D作DETAB于E，DFTAC于F，:DE=DF，（3）丫AD=DE，:由（1）知：S△ABD:S△EBD=1:1，:S△ABD=10，丫AC=3，AB=5，AD平分LCAB，:由（2）知：S△ABD:S△ACD=AB:AC=5:3，:S△ACD=6，:S△ABC=10+6=16．【问题情境】课外数学社团开展活动时，辅导老师提出了如下问题：如图，ΔABC中，若AB=6，AC=4，点D为BC边上的中点，试求中线AD的取值范围．【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE=AD，【解决问题】（3）如图2，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，M是BC边的中点，已知AM平分LBAD，且【答案】（【答案】（1）A2）1<AD<53）2【知识点】确定第三边的取值范围、全等的性质和S（3）延长DM、AB，交于点F，证明△AMD≌△AMF(ASA)，得出MF=DM，AD=AF，由SAS证得（3）延长DM、AB，交于点F，∵AM平分LBAD，∴LDAM=LFAM，∴MF=DM，AD=AF.1924-25八年级上·辽宁辽阳·期中1）阅读理解：如图①,在四边形的中点，若AE是LBAD的平分线，试判断AB，AD，CD之间的等量关系．解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB丝△FEC，得到AB=CF，从而（2）如图②,在△ABC中，LB=90。，AB=1，AD是△ABC的中线，CE【答案】（1【答案】（1）AD=CD+AB2）4（1）先判断出△AEB≌△FEC)AAS(，得出AB=CF，得出7BAE=7DAE，进而得出7DAE=7CFE，AD=DF，即可得出结论；（2）证明△BDF≌△CDE)ASA(，则BF=CE=得AE的长；：（∴7BAE=7CFE，7B=7ECF，∴7BAE=7DAE，∴7DAE=7CFE，（2）如图2，延长ED，AB交于点F，∴AD是EF的垂直平分线，2024-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在△ABC中，D在BC上，AD平分LBAC，且BD=CD．求证：AB=AC．【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等角对等边，角平分线的定义，延长AD到EDE=DA，连接CE，可证明△ABD≌△ECD(SAS)得到CE=ABLBAD=LCAD，则LCAD=LE，据此可得证明AC=CE，则可证明AB=AC．【详解】证明：如图所示，延长AD到E，使得DE=DA，连接CE，∵AD平分LBAC，∴LBAD=LCAD，∴LCAD=LE，2124-25八年级上·辽宁盘锦·期中）如图，点C在线段BD上，LABD=LBDE=LACE=90o，BC=DE．(1)如图1，求证：AB+DE=BD；(2)如图2，连接AE，点M为AE中点．连BM，DM，分别交AC，CE于G．H，猜想BM与DM关系，(3)如图3，在（2）的条件下，连接GH；求证：GH∥BD．【答案】(1)见解析(2)BM=DM，BM丄DM，理由见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判（2）由“SAS”可证△ABM≌△CDM，可得7AMB=7CMD，BM=DM，再证明7BMD=90o即可；（3）由“ASA”可证△AMG≌△CMH，可得MG=MH，可求7MGH=45o=7MBD，可证GH∥BD．【详解】（1）证明：丫7ABD=7BDE=7ACE=90o，:7BCA+7ECD=90o=7BCA+7BAC，:7BAC=7ECD，:△ACB≌△CED(AAS)，:AB=CD，:AB+DE=BC+CD=BD；（2）解：BM=DM，BM丄DM，理由：如图，连接MC，:AC=CE，7BAC=7DCE．:AM=CM=ME，7CAE=7ACM=7ECM=45o，CMTAE，:7BAM=7MCD，:△ABM≌△CDM(SAS)，:7AMB=7CMD，BM=DM，:7AMB+7BMC=7BMC+7DMC=90o， :LBMD=90o， ∴BMTDM； :△BMD是等腰直角三角形， :7MBD=7MDB=45o．丫7AMC=7GMH=90o， :7AMG=7CMH，又丫AM=CM，LMAG=LMCH=45o， :△AMG≌△CMH(ASA)， :MG=MH， :7MGH=45o=7MBD， :GH∥BD．点D、E进行了探究，他发现线段DE、BD、CE之间也存在着类似的数量关系，请你直接写出这个发（3）如图3，已知△ABC，AH是BC边上的高，AH=1．过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，延长HA交EG于点I，若AI=2，请直接写出△AEG的面积．（4）如图4，在△ABC中，7BAC是钝角，AB=AC,LBAD>LCAE，LBDA=LAEC=LBAC，直线m与BC的延长线交于点F，若BC=2CF，△ABC的面积是12，请直接写出△A【答案】（【答案】（1）证明见解析（2）DE=BD-CE（3）2（4）6【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和（2）解：DE=BD-CE，理由如下：∴DE=AE-AD=BD-CE．在△EMI和△GNI中，则S△AEG=S△AEI+S△AGI+S△AGN-S△NGI△AEM+S△AGN△ABH+S△ACH=´BC.AH=´4´1=2．\S△BDA=S△AEC．如图所示，过点A作AM丄BC于M，则S△ABCBC.AM=12，S△ACFCF.AM．△ACF\△ABD与△CEF的面积之和为6．2324-25八年级上·江苏连云港·期中）如图1，在△ABC中，延长AC到D，使CD=AB，E是AD上方一点，且LA=LBCE=LD，连接BE．(1)线段BC与CE的大小关系是：BCCE（填“(2)如图2，若LACB=90o，将DE沿直线CD翻折得到DE,，连接BE,，BE,与CE交于F，若BE,∥ED，求证：F是BE,的中点；(3)如图3，若LACB=90o，AC=BC，将DE沿直线CD翻折得到DE,，连接BE,交CE于F，交CD于G，【答案】(1)【答案】(1)=由三线合一得F是BE,的中点；LBEM=LCED，由角的转化得到LBEC=LGED，最后证明△BCE≌△GDE，进而求得CG=CD-GD=m-n．【详解】（1）解：丫LABC+LA=LBCD，LBCE+LECD=LBCD，LA=LBCE，\LABC=LECD，\△ABC≌△DCE(ASA)，\BC=CE，（2）证明：丫LABC+LA=LBCD，LBCE+LECD=LBCD，LA=LBCE，\LABC=LECD，\△ABC≌△DCE(ASA)，丫将DE沿直线CD翻折得到DE,，（3）解：如图3，连EG，延长EG交BC于M，根据折叠的性质，则LDGE=LDGE,，丫LDGE=LCGM，LDGE,=LBGC，\LBGC=LCGM，\\△BGC≌△MGC(ASA)，\BC=CM，\BC=CE，LACB=LDEC=90o，∴LCBE=LCEB，LCEM=LCME，2\LBEM=LCED，\LBEM-LCEM=LCED-LCEM，\LBEC=LGED，\LEDC=LA=45o，\LECD=LEDC，CE=DE，\CG=CD-GD=m-n．【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角腰三角形三线合一，其中能够利用全等三角形的性质与翻折性E【答案】2cm2524-25八年级下·广西贺州·期末）“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的【模型呈现】于点E，请直接写出AD、BE与DE之间的数量关系；【模型应用】②如图3，延长BE，交AC于点F，求EF的长度．25【答案】（1）AD+BE=DE2）①7，②CF222【详解】解1）AD、BE与DE之间满足的数量关系为：AD+BE=DE；\L1+L2=90o，\LD=LBEC=90o，\L2+L3=90o，\L3=L1，\△ACD≌△CBE(AAS)，\DE=CD-CE=12-5=7；②设EF=x，在Rt△BCE中，BC2=CE2+BE2=52+122=169在Rt△BCF中，CF2=BF2-BC2=(12+x)2-169在Rt△CEF中，CF2=CE2+EF2=52+x2\52+x2=(12+x)2-169，解得xAB=AD，LBAD=120O，LB=LADC=90O，点E，F分别是BC，CD上的点，且LEAF=60O，连接EF，探究线段BE，EF，DF之间的数量关系．(1)探究发现：小明同学的方法是延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE丝△ADG，再证：；且LEAFLBAD，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由．(3)尝试应用：如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，LB+LADC=180o，E、F分别是边BC，CD延长线上的点，且LEAFLBAD，请探究线段BE，EF，DF具有怎样的数量关系，并证明．【答案】(1)EF=BE+FD(3)EF=BE-FD，证明见解析【分析】（1）延长FD到点G．使DG=BE．连接AG，利用全等三角形的性质解决问题即可；（2）延长CB至M，使BM=DF，连接AM．证明△ABM丝△ADF，由全等三角形的性质AF=AM，L2=L3．△AME丝△AFE，由全等三角形的性质得出EF=ME，即EF=BE+BM，则可得出（3）在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．证明△ABG丝△ADF．由全等三角形的性质得出LBAG=LDAF，AG=AF．证明△AEG丝△AEF，由全等三角形的性质得出结论．【详解】（1）解：EF=BE+FD．延长FD到点G．使DG=BE．连接AG，∴△ABE丝△ADG(SAS)．∴LBAE+LDAF=LDAG+LDAF=LEAF=60o．又∵AF=AF，∴EF=BE+FD．故答案为：EF=BE+FD；（2）解：（1）中的结论EF=BE+FD仍然成立．证明：如图②中，延长CB至M，使BM=DF，连接AM．∴L1=LD，在△ABM与△ADF中，∴AF=AM，L2=L3．∴L3+L4=LEAF，即LMAE=LEAF．在△AME与△AFE中，∴EF=ME，即EF=BE+BM，∴EF=BE+DF；（3）解：结论：EF=BE-FD．证明：如图③中，在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．∴LB=LADF．∴LBAG=LDAF，AG=AF．∴LGAE=LEAF．∵AE=AE，∵EG=BE-BG，∴EF=BE-FD．【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是2724-25八年级上·福建泉州·期末）如图，在四边形BD=5cm，BC=4cm，(1)求AD的长；(2)点E从点A出发以每秒2cm速度沿着射线AB运动，设运动时间为t秒，点F在射线BC上，且①如图1，若点E在线段AB上，判断线段AE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．②在整个运动过程中，求△BEF的周长（结果可用含t的式子表示）．(2)①它们的关系为EF=AE+CF．证明见解析；②当0<t<2秒时△BEF周长为8cm，当t=2时，△BEF不存在；当t>2秒时，△BEF周长为4tcm【分析】本题考查了全等三角形的综合问题，勾股定理的应用，正确理解题△EDG≌△EDF(SAS)，即可求解；②依题意得AE=2t，记△BEF的周长l=BE+EF+BF，则Rt△ABD≌Rt△CBD(HL)，故AB=BC=4（I）当0<t<2秒时，点E在线段AB上，点F在BC上，由①知l=BE+EF+BF=BE+EG+BF=BE+(AE+AG)+BF=AB+BC=8(cm)，II）当t=2时，点E与点B重合，△BEF不存在；III）当t>2时，点E在AB延长线上，点F在BC延长线上，如图2，在AB上取点G，\AD=CD=3(cm)；（2）解：①它们的关系为EF=AE+CF．理\LGAD=90o=LBCD又丫AG=CF，AD=CD\△GAD≌△FCD(SAS)\DG=DF，L1=L2，丫LEDFLADC，\LEDF=L2+L3=L1+L3=LEDG又丫DG=DF，DE=DE\△EDG≌△EDF(SAS)\EF=EG=EA+AG=AE+CF即EF=AE+CF②依题意得AE=2t，记△BEF的周长l=BE+EF+BF，\Rt△ABD≌Rt△CBD(HL)，\AB=BC=4（I）当0<t<2秒时，点E在线段AB上，点F在BC上，由①知l=BE+EF+BF=BE+EG+BF=BE+(AE+AG)+BF=BE+(AE+CF)+BF=AB+II）当t=2时，点E与点B重合，△BEF不存在.III）当t>2时，点E在AB延长线上，点F在BC延长线上，\EG=EF\l=BE+BF+EF=BE+(BC+CF)+EG=BE+(AB+AG)+EG综上所述，当0<t<2秒时△BEF周长为8cm，当t=2时，△BEF不存在.当t>2秒时，△BEF周长为4tcm．∠EAF＝60°,探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点.______如图2，在新修的小区中，有块四边形绿化ABCD，四周修有小径BC，CD上各修一凉亭E，F，在凉亭E与F之间有1LEAF=LBAD，BE＝10米，DF＝15米，试求两凉亭之间的距离EF．12【答案】问题背景：【答案】问题背景：EF＝BE＋FD；实际应用：两凉亭之【分析】（1）根据△ABE≌△ADG可得【详解】解：问题背景：∵∠ADC=90°,∠ADC+∠ADG=180°,∵∠EAF=60°,∠BAD=120°,故答案为：EF=BE+DF；∵∠B+∠ADC=180°,∠ADH+∠ADC）．【点睛】本题主要考查的是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质等知2921-22八年级上·浙江绍兴·期中）问题情境在等边△ABC的两边AB，AC上分别有两点M，N，点D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°,∠BDC=22【答案】（1）302）MN＝BM+NC3）MN＝BM+NC，证明见解析4）3BDM=∠CDN＝30°;（2）由（1）得DM＝2BM，可得结论归纳证明：先证△DBM≌△DCE（HL得DM＝DE，∠BDM=∠CDE，再证△MDN≌△EDN（SAS得MN＝NE，可得结论MN＝BM+CN；过线段之间的转化即可得到MN＝BM+NC；∴∠DBC=∠DCB＝30°,∴∠ABC=∠ACB＝60°,∴∠DBM=∠DCN＝90°,∴∠MDB=∠NDC＝30°,（2）由（1）得：DM＝2BM，DM＝MN，R∴∠ABC=∠ACB＝60°,∴∠DBC=∠DCB＝30°,∴∠MBD=∠NCD＝90°.∴∠MBD=∠ECD＝90°,∴DM＝DE，∠MDB=∠EDC，∵∠MDN＝60°,∠BDC＝120°,∴∠EDN=∠NDC+∠EDC=∠MDB+∠NDC＝60°,∴∠EDN=∠MDN，又∵又∵DN＝DN，（4）解：由（12）得：MN＝BM+NC，23【点睛】此题考查了等边三角形的性质的，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键3021-22九年级上·广东江门·阶段练习）如△ABD绕点A旋转，得到△ACD,，连接D,E．(1)当∠BAC＝120°,∠DAE＝60°时，求证：DE＝D,E；(2)当DE＝D,E时，∠DAE与∠BAC有怎样的数量关系？请写出，并说明理由．【答案】【答案】(1)见解析【分析】（1）根据旋转的性质可得AD＝AD,，∠CAD,=∠BAD，然后求出∠D,AE＝60°,从而得到∠DAE=∠D,AE，再利用“边角边”证明△ADE和△AD,E全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；（2）根据旋转的性质可得AD＝AD,，再利用“边边边”证明△ADE和△AD,E全等，然后根据全等三角形对应角相等求出∠DAE=∠D,AE，然后求出∠BAD+∠CAE=∠DAE，从而得解；（3）求出∠D,CE＝90°,然后根据等腰直角三角形斜边等于直角边的2倍可得D,E＝2CD,，再根据旋【详解】（1）证明：∵△ABD绕点A旋转得到△ACD,，∴AD＝AD,，∠CAD,=∠BAD，∵∠BAC＝120°,∠DAE＝60°,∴∠D,AE=∠CAD,+∠CAE=∠BAD+∠CAE=∠BAC-∠DAE＝120°-60°=60°,∴∠DAE=∠D,AE，在△ADE和△AD,E中，∴△ADE≌△AD,E（SAS∴DE＝D,E；（2）解：∠DAE=∠BAC．理由如下：在△ADE和△AD,E中，∴∠DAE=∠D,AE，∴∠BAD+∠CAE=∠CAD’+∠CAE=∠D’AE=∠DAE，∴∠B=∠ACB=∠ACD,＝45°,∴∠D,CE＝45°+45°=90°,∴D,E＝2CD,，由（2）DE＝D,E，∴BD＝CD,，【点睛】本题考查了几何变换的综合题，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟记旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小找出三E在同一条直线上，连接CE，容易发现：线段BD，CE之间的数量关系为;②LBEC的度数为．【探究发现】（2）如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，LBAC=LDAE=90o，点B，D，E在同一条直线上，连接CE．试探究线段BE，CE，DE之间的数量关系及LBEC的度数，并说明理由．【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质（3）过点A作AF丄AE交BE于点F，由(2)知△ABF≌△ACE，根据全等三角形的性质可得∴LBAC-LDAC=LDAE-LDAC，在△ABD和△ACE中∴△ABD≌△ACE(SAS)，∵LBAC=LDAE=90o，∴LBAC-LDAC=LDAE-LDAC，在△ABD和△ACE中∴△ABD≌△ACE(SAS)，(3)如图所示，过点A作AF丄AE交BE于点F，∴LABO=LECO∴LBAO-LFAO=LEAF-LFAO∴LBAF=LCAE在△ABF和△ACE中在Rt△AEF中，AF2+AE2=EF2，3224-25八年级下·江西吉安·期中）如线上，连接BE．(1)求证：AD=BE；CM丄DE于点M，连接BE．试判断线段DM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)【答案】(1)见解析(3)AE=BE+2DM，见解析【分析】（1）利用等边三角形性质证明△ACD∴LAEB=LCEB-LCED=60o．（3）解：AE=BE+2DM．∴DE=2DM，【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形3324-25八年级上·辽宁阜新·期中）如图，在△ABC中，AC=BC，LACB=90o，若E是AB延长线上一点，连接CE，以CE为腰作等腰直角△CED，且LD(1)求证：BD=AE(2)试说明AE2+BE2=2CE2(3)把点E是AB延长线上一点改成点E是直线AB上一点，其它条件不变，连接AD，若【答案】(1)【答案】(1)详见解析【知识点】求一个数的算术平方根、全等的性质和SAS【分析】（1）根据等腰直角△CED得出CD=CE，LDCE=90o，结合LACB=90o可证LACE=LBCD，然后根据“SAS”证明△ACE≌△BCD即可得出AD=BE；（2）由（1）知△ACE≌△BCD，则LAEC=LBDC，由LDCE=90o可得LBDC+LBDE+LCED=LAEC+LBDE+LCED=90o，可知LDBE=90o，由勾股定理可得DE2=BD2+BE2=AE2+BE2，CD2+CE2=2CE2=DE2，即可得证；（3）分四种情况：①当点E在AB的延长线上，且等腰直角△CDE在CE上方时，②当点E在AB的延长线在BA的延长线上，且等腰直角△CDE在CE下方时，结合全等三角形的又∵LACB=90o，则LACB+LBCE=LBCE+LDCE，∴LACE=LBCD，即LBDC+LBDE+LCED=LAEC+LBDE+LCED=90o，由勾股定理可得：DE2=BD2+BE2222；22①当点E在AB的延长线上，且等腰直角△CDE在CE上方时，连接BD，），②当点E在AB的延长线上，且等腰直角△CDE在CE下方时，连接AD，∴LACD=LBCE，又∵AC=BC，CD=CE，∴LADC=LBEC，又∵LCDE+LCED=90o，即LCDE+LBEC+LBED=LCDE+LADC+LBED=90o，∴LDAE=90o，则AD2+AE2=AD2+(AB+BE)2=AD2+(2+AD)2=DE2，即AD2+③当点E在BA的延长线上，且等腰直角△CDE在CE上方时，连接AD，同理，可得△ACD≌△BCE(SAS)，AD=BE，LDAE=90o，则AD2+AE2=AD2+(AD-2)2=2CE2，即AD2+解得：AD=3，负值舍去；④当点E在BA的延长线上，且等腰直角△CDE在CE下方时，连接BD，同理，可得△ACE≌△BCD(SAS)，AE=BD，LDBE=90o，则则DE2=2CD2=BD2+BE2=BD2+(AB+AE)2=BD2+(AB+BD)2，解得：BD=1，接CE，则LACE的度数为．断LACE的度数及线BD,CD,DE之间的数量关系，并说明理由．【答案】（【答案】（1）60o2）LACE=45o，DE2=BD2+CD2，理由见解析3）cm22得LDCE=90o，再利用勾股定理即可得到结论；（3）如图，延长CB至点E，使BE=DC，由LBAD=LBCD=90o，则LABC+LADC=180o，可得LABE=LADC，进而可证△ABE≌△ADC(SAS)，推出LCAE=90o，再根据图形面积之间的关系可得结果．∴AB=AC，AD=AE，LBAC=LDAE=LB=60o，∴LBAC-LDAC=LDAE-LDAC，∴LBAD=LCAE，（2）LACE=45o，DE2=BD2+CD2，理由如下：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，LBAC=LDAE=90o∴AB=AC，AD=AE，LB=LACB=45o，∴LBAC-LDAC=LDAE-LDAC，∴LBAD=LCAE，∴LDCE=LACE+LACB=90o，∴LABC+LADC=360o-90o-90o=180o∵LABC+LABE=180o∴LABE=LADC，3524-25八年级上·江苏连云港·阶段练习1）【课本再现】苏科版数学八年级上册第第10题：如图1，△ABC和△CDE都是等边三角下结论：①AP=BQ；②PQ∥AE；③△PCQ是等边三角形；④OB=OE．恒成立的结论有()（3）【深入探究】如图3，若A、C、E不在一条直线上．其他条件不变，LAOE是否是定值？若是，请（4）【拓展应用】如图4，△ABC和△CDE是以LACB和LDCE为直角的等腰直角三角形，AC=8，CE=6，连接AE、BD，判断AE2+BD2的值是否为定值？若是，请直接写出定值；若不是，请说明理由．【答案】（1【答案】（1）AD=BE，见解析（3）是，LAOE=120o（4）是，AE2+BD2=200（2）证明△ACP≌△BCQ(ASA)，得AP=BQ，可判定①成立，CP=CQ，又LBCQ=60o，可得△CPQ是等边三角形，可判定③成立；LCPQ=60o，则LCPQ=LACB=60o，可得PQ∥AE，可判定②成立；由于LAMO=LBMC，则∴LAOB=LACB=60o，即可求得LAOE=120o．（4）连接AD交BC于N，连接BE交AC于M，交AD，由等腰直角三我性质与勾股定理求得AB2=AC2+BC2=128，DE2=CE2+CD2=72，再证明△ACD≌△BCE(SAS)，得LCAD=LCBE，从而求得LEOD=LAOB=LACB=90o，由勾股定理得AO2+OB2=AB2=128，OE2+OD2=DE2=72，AE2=OA2+OE2，BD2=OB2+OD2，即可由AE2+BD2=OA2+OE2+OB2+OD2求解．【详解】解1）AD=BE，\CA=CB，CD=CE，LACB=LDCE=60o．∴LACB+LBCD=LDCE+LBCD\LACD=LBCE．\△ACD≌△BCE(SAS)．\AD=BE．∴LBCQ=180o-LACB-LDCE=60o，∴LACP=LBCQ，∴LCAP=LCBQ又∵AC=BC∵LBCQ=60o∴LCPQ=60o∴LCPQ=LACB=60o（3）设BE交AC于M，如图3，由（1）知：LCAD=LCBE∵LCAD+LAMO+LAOB=LCBE+LBMC+LACB=180o，LAMO=LBMC，（4）是，AE2+BD2=200。理由：连接AD交BC于N，连接BE交AC于M，交AD，如图4，∵△ABC和△CDE是以LACB和LDCE为直角的等腰直角三角形，∴BC=AC=8，EC=CD=6，LACB=LBCE=90o，∴LACB+LACE=LDCE+LACB，即LACD=LBCE，∴7CAD=7CBE，∵7AMO+7MAO+7AOM=7BMC+7CBE+7NCB=180o，又∵7AMO=7BMC，∴7EOD=7AOB=7ACB=90o，∴AO2+OB2=AB2=128，OE2+OD2=DE2=72，∴AE2=OA2+OE2，BD2=OB2+OD2，【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等判定与性质，勾股定理，三角形内角和与外角的性质，熟练掌握“手拉手3624-25八年级上·江西宜春·期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延相等，从而解决问题．依据上述材料，解答下列问题：如图1，在△ABC中，AD平分LBAC，交BC于点D，且7B=27C，求证：AB+BD=AC．(1)为了证明结论“AB+BD=AC”，小亮在AC上截取AE，使得AE=AB，连接DE，解答了这个问题，请按；（高，AD=10，EB=2，求AB的长．【答案】(1)【答案】(1)见解析【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、全等三角形综合【分析】（1）在AC上截取AE，使得AE=AB，连接DE，根据角平分线的定义得出7BAD=7DAC，利用SAS证明△ABD≌△AED，从而可得7B=7AED，BD=DE，再利用三角形外角的性质可得7AED=7C+7EDC，从而可得7C=7EDC，推出DE=CE，进而得出BD=EC，即可得证；（2）在AE上截取AF=AD，连接CF，由三角形内角和定理可得7DAC=30o，证明△DAC≌△FAC)SAS(得出LAFC=LD=110o，再证明△CEF≌△CEB(AAS)得出EF=BE，求出BF=2BE=4，即可得解．【详解】（1）证明：在AC上截取AE，使得AE=AB，连接DE，丫AD平分LBAC，丫AD=AD，\LB=LAED，BD=DE，∵LB=2LC，\LAED=2LC，\LAED=LC+LEDC，\LC=LEDC，\DE=CE，\BD=EC，丫AE+EC=AC，\AB+BD=AC；（2）解：在AE上截取AF=AD，连接CF，∴LDAC=180o-LD-LACD=30o，\LFAC=LBAD-LDAC=30o，\LDAC=LFAC=30o，\△DAC≌△FAC(SAS)，\LAFC=LD=110o，\LCFE=180o-LAFC=70o，\LB=180o-LACB-LFAC=70o，\LB=LCFE，\CE=CE，\EF=BE，\BF=2BE=4，【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形内角和及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助3724-25八年级上·山西阳泉·期末）综合与实践其他几何图形．具体来说，截长是指在一条较长的线段上截取一段，使其长度等于某短则是将一条较短的线段延长，使其长度等于某一条较长的线【解决问题】如图①,在△ABC中，AD平分7BAC，交BC于点D，且LB=2LC．求证：AB+BD=AC．【方法应用】接DE，解答了这个问题．请按照小亮的思路将证明过程补充完整．丫AD平分7BAC，\LBAD=LDAC，\LB=LAED，BD=DE．丫LB=2LC，\LAED=2LC．\LAED=LC+LEDC，\LEDC=LC，\-②-，（-③-）\BD=CE，\AB+BD=AE+EC=AC．(2)请利用“截长补短”法，解决如下问题：如图③,在四边形ABCD中，已知LBAD=60o，(2)12【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、（1）首先根据角平分线的定义可得LBAD=LDAC，利用“SAS”证明可得LB=LAED，BD=DE，结合LB=2LC易得LAED=2LC，结合三角形外角的性质即可证明△DCE为（2）在AE上截取AF=AD，连接CF，利用“SAS”△DAC≌△FAC，由全等三角形的性质可得EF=BE，即有BF=2BE，然后结合题意求解即可．【详解】（1）为了证明结论“AB+BD=AC”，小亮采用了“截长”的方法，如图②,在AC上截取AE，使得AE=AB，连接DE，解答了这个问题．请按照小亮的思路将证明过程补充完整．丫AD平分LBAC，\LBAD=LDAC，AB=AE,LBAD=LDAC,AD=AD，\△ABD≌△AED(SAS)，\LB=LAED，BD=DE，丫LB=2LC，\LAED=2LC，\LAED=LC+LEDC，\LEDC=LC，\DE=CE（等角对等边\BD=CE，\AB+BD=AE+EC=AC．（2）在AE上截取AF=AD，连接CF，\LDAC=LFAC=30o，\LAFC=LD=110o，\LB=LCFE，\EF=BE，\BF=2BE，\AB=AF+BF=12．3824-25八年级上·山东聊城·期中）【阅读材料】补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．当题目中【问题解决】（1）如图①,在△ABC中，LACB=2LB，LC=90o，AD为LBAC的角平分线，在AB上截取AE=AC，连接DE．请写出线段AB，AC，CD之间的数量关系并说明理由；【拓展延伸】（2）如图②,在△ABC中，LACB=2LB，LC≠90o，AD为LBAC的角平分线．请判断线段AB，AC，（3）如图③,在△ABC中，LACB=2LB，LACB≠90o，当AD为LBAC的补角的角平分线时2）中AB，AC，CD之间存在的数量关系是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段AB，AC，CD之间的新数量关系，不必说明理由．CD=AB+AC．【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、求得EB=CD，据此即可得到AB=AC+CD；（2）在AB上截取AF=AC，连接FD，证明△FAD≌△CAD(SAS)，推出FD=CD，LAFD=LACB，同（3）在BA的延长线上取一点G，使AG=AC，连接DG，证明△GAD≌△CAD(SAS)，同理可证明CD=AB+AC．【详解】解1）AB=AC+CD，理由：如图①,在AB上截取AE=AC，连接DE，\LEAD=LCAD，\ED=CD，LAED=LC=90o，\LBED=90o，丫LACB=2LB=90o，\LB=45o，\LEDB=LB=45o，\ED=EB，\EB=CD，\AB=AE+EB=AC+CD；（2）AB=AC+CD，理由：如图②,在AB上截取AF=AC，连接FD，丫AD平分LBAC，\LFAD=LCAD，\FD=CD，LAFD=LACB，丫LAFD=LB+LFDB，LACB=2LB，\LB+LFDB=2LB，\LFDB=LB，\FD=FB，\FB=CD，\AB=AF+FB=AC+CD；（3）不成立，新数量关系为：CD=AB+AC，理由：如图③,在BA的延长线上取一点G，使AG=AC，连接DG，：LGAD=LCAD，:△GAD≌△CAD(SAS)，：LAGD=180o-LB-LGDB，LACD=180o-LACB，：180o-LB-LGDB=180o-LACB，：LB+LGDB=2LB，：LGDB=LB，3923-24八年级上·辽宁盘锦·期末）【问题初探】在解决“如图1，在△ABC中，AD丄BC于D，若CD=DB+AB，求证：LB=2LC”时，有两名同学给出了①如图2，小芳从条件入手，采用“截长补短”法，在DC上截取DE=BD，连接AE，从而解决问题．②如图3，小亮从结论出发，作AC的垂直平分线交DC于点E，连接AE，从【迁移应用】；（【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形全等的判定与性质，理解题意做出辅助（1）在DC上截取ED=BD，可得AD是BE的垂直平分线即可求证；【详解】证明：（1）在DC上截取ED=BD，连接AE，∵BD=DE，ADTBE，∴AB=AE，∴7ABE=7AEB，∴7EAC=7C，∴7AEB=7EAC+7C=27C，∴7B=27C，（2）在线段ED上截取EP=CE，连接GP，∵ABTCD，∴7CEF=7GEP=90°,∵EF=EG，CE=EP，∵7FCD=27CDG，∴7EPG=27CDG，∵7EPG=7GPD+7D，∴7GPD=7D， 4023-24八年级上·辽宁大连·期末）【问题情境】交l于点D，连接AD．证明：DA+DC=DB．【探究合作】小红：除已知所给相等的边和角之外，我们小组还推理得到7ADB=7EDB=60o；再证明BF=CD；小亮：要证明BF=CD，观察图形选取“证明这两条线段所在连接CG，再确定一个三角形作为目标构造与之全等的三角形证明．【推理证明】（2）根据第一小组同学们的解题思路，任选一种方法证明DA+DC=DB．【反思提升】相等的问题”，这就将新问题转化为我们熟悉的E，求CD+BE的最小值．（3）如图，7ABC=30o，BC=6，点D是LABCE，求CD+BE的最小值．21【答案】（1）见解析2）证明见解析（3）CD+BE的最小值是312【知识点】全等三角形综合问题、含30度角的直角三角形【分析】（1）对称的性质得到DA=DE，BA=BE，LA=LDEB，LADB=LEDB，LEBD=LABD，推（2）采用小明的方法：连接AC，易得△ABC是等边三角形，证明△CDG是等边三角形，推出（3）过点C作CH丄BA交BA于点H，交LABC的平分线于点D，垂直平分线推出LEDB=LCBD，进而得到DE∥BC，根据含30度角的直角三角形，得到DHDEBE，进而得到CDBE=CD+DH，进而得到当C,D,H三点共线时，CD+BE取得最小值为CH的长，进一步求∴DA=DE，BA=BE，LA=LDEB，LADB=LEDB，LEBD=LABD，设LABD=a，则LEBD=LABD=a∵LBEC=LEDB+LEBD∴LEDB=LBEC-LEBD=60o+a-a=60o（2）连接AC．∴LACB=LDCG，1（3）过点C作CH丄BA交BA于点H，交LABC的平分12∴LEDB=LEBD∵BD平分LABC∴DE∥BC∴LHED-LABC=30o当当C、D、H三点共线时CD+BE最短，此时CDBE=CHBC在Rt△BCH中，7HBC=30o2【点睛】本题考查轴对称的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角14121-22八年级上·河北沧州·期中）【阅读】在证明线段和差问题时，经常采用截长补短法，再利用全短法：延长较短两条线段中的一条，使得与较长线段相等，证明延长的那一段【应用】把两个全等的直角三角形的斜边重合，7CAD=7CBD=9点作7MDN，交边AC、BC于M、N．(1)若7ACD=30o，7MDN=60o，证明：AM+BN=MN；经过思考，小红得到了这样的解题思路：利用补短法，延长CB到点E，使BE=AM，连接DE，先证明△DAM≌△DBE，再证明△MDN≌△EDN，即(2)当7ACD+7MDN=90o时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？（直接写出你的结论，不用证 (2)AM+BN=MN(3)BN-AM=MN，证明见解析 【分析】（1）根据题意得AD=BD，延长CB到E，使BE=AM，连接DE，利用全等三角形的判定得出△DAM≌△DBE(SAS)，△MDN≌△E（3）在CB截取BE=AM，连接DE，利用全等三角形的判定得出△DAM≌△DBE(SAS)，△MDN≌△EDN(SAS)再根据全等三角形的性质结合图形即可得出结【详解】（1）证明：根据题意得：AD=BD，延长CB到E，使BE=AM，连接DE∴LA=LEBD=90o，在△DAM和△DBE中∴△DAM≌△DBE(SAS)，∴LBDE=LMDA，DM=DE，∵LMDN=LADC=60o，∴LADM=LNDC，∴LBDE=LNDC，∵LNDC+LNDB=60o∴LBDE+LNDB=LNDE=60o∴LMDN=LNDE，在△MDN和△EDN中∵NE=BE+BN=AM+BN，∴AM+BN=MN．∴AM+BN=MN；（3）BN-AM=MN，证明：在CB截取BE=AM，连接DE，∴LB=LDAM=90°,在△DAM和△DBE中∴LBDE=LADM，DM=DE，∵LCDA+LACD=90°,LMDN+LACD=90°,∴LMDN=LCDA，∴LMDN-LADN=LCDA-LADN，即LMDA=LCDN，∴LBDE=LCDN，∵LADC=LBDC∴LADC-LCDN=LBDC-LBDE即LNDA=LEDC∴LNDA+LMDA=LEDC+LCDN即LMDN=LEDN，在△MDN和△EDN中∴△MDN≌△EDN(SAS)，∵NE=BN-BE=BN-AM，∴BN-AM=MN．【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，理解题意，作出相应辅助线，找出各角124-25八年级上·浙江宁波·期中）已知LB=LC,L1=L2,AD=AE，求证：BD=CE．【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，先根据L1=L2，求出LCAE=LBAD，再根据AAS证明【详解】证明：丫L1=L2，：L1+LBAE=L2+LBAE，即LCAE=LBAD，\BD=CE．224-25八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，在△ABC中，LC=90o，AD是7BAC的平分线，DETAB于E，F在AC上，BD=DF，试证明：(1)CF=EB．(2)AB=AF+2EB．【答案】(1)见解析（1）先证明△ADC≌△ADE得到CD=ED，再证明Rt△CDF≌Rt△EDB即可证明CF=EB；∴LDAC=LDAE，∵DETAB，∴LACD=LAED=90o，又∵AD=AD，∴△ADC≌△ADE(AAS)，又∵BD=DF，LDEB=LC=90o，∵AB=AE+BE，∴AB=AF+CF+BE=AF+2BE．324-25八年级上·湖南益阳·期中）如图，已知7A=7D，AB=DE，AF=CD，BC=EF．求证：BC∥EF提示：连接BF、CE、CF）【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，连接BF、CE、CF，证明△ABF≌△DEC)SAS(得到BF=CE，再证明△BCF≌△EFC)SSS(得到7BCF=7EFC，据此可证明BC∥EF．【详解】证明：如图所示，连接BF、CE、CF，∵7A=7D，AB=DE，AF=CD，∴7BCF=7EFC，∴BC∥EF．424-25八年级上·宁夏固原·期中）如图，ADTAE,ABTAC,AD=AE,AB=AC．求证：7C=7B．LCAB+LCAD=LDAE+LCAD，即LBAD=LCAE，再根据SAS判定△ABD和△ACE全等，根据全等三∴LC=LB．524-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）已AB于点E，BD丄CF于点D，AF丄CF．求证：BD=AF+DF．【知识点】全等的性质和【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者A【分析】本题考查同角的余角相等，全等三角形的判定及性质，掌握全等三角形的判∴LDBC=LFCA．624-25八年级上·浙江金华·阶段练习）已知，在四边形ABCD中，AB=AD，LB+LD=180o，E、F分别是BC、CD边上的点．且LEAFLBAD．探究线段BE、EF、DF的数量关系．延长EB到点G，使BG=DF，连接AG，请你补全小宁的解题思路：先证明ΔABG≌；再证明(2)如图②,在四边形ABCD中，AB=AD，LB+LD=180o，E、F分别是边BC、CD上的点，且LEAFLBAD1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；(3)在四边形ABCD中，AB=AD，LB+LD=180o，E、F分别是BC、CD所在直线上的点，且LEAFLBAD．请直接写出BF、EF、DF线段之间的数量关系． (3)EF=BE-FD或EF=FD-BE或EF=BE+FD； 先证明△ABG≌△ADF；再证明△AEG≌△AEF；即可得出线段BE、EF、FD之间的数量关系是 EF=BE+FD，故答案为：△ADF，△AEF，EF=BE+FD； 如图②,延长EG到点G，使BG=DF，连接AG，∵LABC+LD=180O，LABG+LABC=180∴LD=LABG，∴△ABG≌△ADF(SAS)，∴AG=AF，∠BAG=∠DAF，∴LBAG+LBAF=LDAF+LBAF，∴LGAF=LBAD，∴LGAE=LEAF，在△AEG与△AEF中，（3）解：EF=BE-FD或EF=FD-BE或EF=BE+FD，理由如下：①EF=BE-FD，如图：在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG，：LB=LADF:△ABG纟△ADF(SAS)：AG=AF，LBAG=LDAF，：LBAG+LGAD=LDAF+LGAD，：LGAF=LBAD，丫LEAFLBAD，：LGAE=LEAF，在△AEG与△AEF中，:△AEG纟△AEF(SAS)，：EF=EG，丫EG=BE-BG，：EF=BE-FD；②EF=FD-BE，如图，在DF上截取DH=BE，∴EF=FH=FD-DH=FD-BE；③由（1）、（2）可知，EF=BE+FD；④如图，点E在BC延长线上，点F在DC延长线上，此时线段BE、EF、FD之间并无直接数量