2025-2026月考试卷8年级（数学）三角形常见经典模型（专项训练）（解析版）

A字模型AB。oC121OBDBDAPPC∠1=∠3+∠5①,∠2=∠4+/ l1E/ l1ACBDCBBAαααAαααDCE12024八年级上·全国·专题练习）如图，7A=60o的四边形纸片，剪去这个60o角后，得到一个五边形，则71+72的度数为()71=7A+7NMA，72=7A+7MNA，再根据三角形内角和为180度即可求解．【详解】解：由图可知，71和72是△MNA的两个外角，:71=7A+7NMA，72=7A+7MNA，:71+72=7A+7NMA+7NMA+7A，故选：C．数为() 顶角相等可得L1=7a=50o，再根据三角形外角的性质即可解题．又∵L1=7a=50o，故选：C．324-25八年级上·湖北恩施·期中）小瑜在公园路边她发现了一处被茂密植被遮住的正多边形花坛．如图，为了得出边数，她将正多边形的两边延长交于点P，测量出7P=36o，则可得出正多边形的边数n=．【分析】本题考查正多边形的外角和公式及三角形内角和公式，根据【分析】本题考查正多边形的外角和公式及三角形内角和公式，根据7P=36o，求出7PAB+7PBA，结合故答案为：5．故答案为：5．424-25八年级上·浙江台州·期中）你留意过吗？如图1，硬币上出现的这个多边形是正九边形．现请你：．质．熟练掌握以上知识点是解题的关键．b，c满足的数量关系．:A1A2=A2A3，:7A2A1A3=7A2A3A1:7BA1A3=7BA3A1=60O，:A1B=A3B=A1A3，:A1A9=A4A3，:BA9=BA4，:△BA9A4是等边三角形，:A4A9=BA9，:c=a+b．524-25八年级上·广西南宁·期中）【问题呈现】小明在学习了三角形有这样一个问题：如图①,L1与L2分别为△ABC的两个外角，则L1+L2=180O+LA．【推理证明】∵L1与L2分别为△ABC的两个外角，∴L1=LA+，L2=LA+，（1）如图②,在△ABC纸片中剪去△AED，得到四边形BCDE，若L1=130O，则L2-LA的大小为度．（2）如图③,在△ABC中，BP、CP分别为外角LDBC、LECB的平分线，则LP与LA的数量关系，（3）如图④,在四边形ABCD中，BP、CP分别为外角LEBC、LFCB的平分线，若LA+LD=230O，求LP的度数．；（【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形外角性质，三角键．（2）由角平分线的定义得LPBC，∠PCB，再由三角形内角和定理得出LP=180O【拓展提升】（3）延长BA、CD交于点M，先求LM，再把LM=50O代入LP=90OLM即可求解．【详解】证明：【推理证明】∵L1与L2分别为△ABC的两个外角，∴L1=LA+L4，L2=LA+L3，∴L1+L2=LA+L3+L4+LA．故答案为：L4；L3；LA+L3+L4+LA；∴LM=LBAD+LADC-180o=2624-25八年级上·河北保定·期末）某工人加工一个机器零件（数准.标准要求是：LEFD=120o，且LA、LB、LE保持不变.为了达到标准，工人在保持LE不变情况下，应将图中LD（填“增大”或“减小”）度，横线处应分别填()A．减小；15B．增大；15【分析】延长EF到H与CD交于H，先利用对顶角的性质求出7DCE=60O，然后根据三角形外角的性质得到LDHE=LE+LDCE=100O，LDFE=LD+LDHF，由此求解即可．【详解】解：如图，延长EF到H与CD交于H，∵7DCE=7ACB=180O-7A-7B=60O，∵LDFE=LD+LDHF，∴LD从35°减小到20°,减小了15°,故选：A．7C=7D=72O，则7A+7B=．本题连接CD，根据多边形的内角和公式可得五边形CDEFG的内角和，进而得出7DCG+7CDE，由可得LADC+LBCD的度数，然后即可求解．∴LCDE+LDCG=540o-(LE+LF+LG)=540o-108o´3=216o，∴7BCG=7ADE=72°,∴LADC+LBCD=LCDE+LDCG-(LBCG+LADE)=216o-72o´2=72o，∴7A+7B=7ADC+7BCD=72°,824-25八年级上·山西吕梁·期中）如图，数学活动课上，小李同学分别延长△ABC和△DEF的边，AC、DF的延长线交于点H，BC、EF延长线交于点G，测得LG=122o,LH=82o，则LA+LB+LD+LE=．【分析】此题考查四边形的内角和，三角形外角性质，关键是根据三角【分析】此题考查四边形的内角和，三角形外角性质，关键是根据三角形外角性质得出LA+LB=LACG解答．根据三角形外角性质得出LA+LB=LACG，进而利用四边形的内角和解答即可．【详解】解：由三角形外角性质可知：LA+L:LACG+LDFG=360o-156o=204o， :7A+7B+7D+7E=204°,故答案为：204．924-25七年级下·福建泉州·期末）如图1是常见的“8字型”平面图形，设AB,CD的交点为O，根角形的内角和”等相关几何知识，易证得7A+7D=7C+7B这个重要数学结论．(1)【模型求解】如图2，线段EF位于四边形ABCD内部，连结BE,CF交于点O，运用上述结论，求出7A+7ABE+7DCF+7D+7E+7F的度数；(2)【构造模型】如图3是常见的“五角星”平面图形，求出7A+7B+7C+7D+7E的角度之和（要求：用两）．7A+7B+7C+7D+7E+7F+7G+7H+7M+7N的角度之和．【详解】（1）解：（1）由“8字型”可知，7E+7F=7EBC+7FCB，:7A+7ABE+7DCF+7D+7E+7F=7A+7ABE+7DCF+7D+7EBC+7FCB\ÐA+ÐACE+ÐB+ÐE+ADB=180°,（3）如图4，延长DA，GN于点P，延长BM，EH于点Q，延长NG，CF于点S，延长HE，AD于点T，延长FC，MB于点R，\ÐPAN+ÐPNA=180°-ÐP，\ÐDAN+ÐGNA=180°-ÐPAN+180°-ÐPNA=180°+ÐP，\ÐDAN+ÐGNA+ÐBMH+ÐEHM+ÐCFG+ÐFGN+ÐHED+ÐADE+ÐFCB+ÐCBM=180°´5+ÐP+ÐQ+ÐS+ÐT+ÐR1024-25八年级上·重庆·期中）如图，若LA=33o，那么LA+LB+LC+LD+LE=()【分析】本题考查了三角形内角和定理，由三角形内角和定理可得LB+LC=LA+L2，LD+LE=LA+L1，L1+L2+LA=180o，再结合题意求解即可，熟练掌握三角形内角和定理是解此题的关键．,由三角形内角和定理可得：LB+LC=LA+L2，LD+LE=LA+L1，L1+L2+LA=180o，∴LA+LB+LC+LD+LE=LA+LA+L1+LA+L2=2LA+(L1+L2+LA)=2×33o+180o=246o，故选：C．1124-25八年级上·广西桂林·期中）如图，五角星的顶点分别是A，B，C，D，LA+LB+LC+LD+LE=． ∵71=7A+7D,72=7B+7E，7C+71+72=180°,∴7A+7B+7C+7D+7E=180°;1224-25八年级上·山东德州·阶段练习）如图，7A+7B+7C+7D+7E+7F的度数为．丫丫7D+7A=7DFE+7AEF，【分析】本题考查了四边形内角和定理，三角形内角和定理．由7D+7A=7DFE+7AEF，推出7A+7B+7C+7D+7AEC+7BFD=7B+7C+7BFE+7CEF，即可得到答案．:7A+7B+7C+7D+7AEC+7BFD=7B+7C+7BFE+7CEF=360°.132024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，线段AD,FC,EB两两相交，连接AB,CD,EF，则7A+7B+7C+7D+7E+7F的度数为．角性质得7A+7B=7BMQ,7C+7D=7DQF,7E+7F=7FNM，再利用三角形的外角和定理即可得解．【详解】解：丫7A+7B=7BMQ,7C+7D=7DQF,7E+7F=7FNM，:7A+7B+7C+7D+7E+7F=7BMQ+7DQF+7FNM=360°,142024八年级上·全国·专题练习）如图，7A+7B+7C+7D+7E+7F+7G+7H=．【分析】本题考查了三角形的外角性质和多边形外角和等于7A+7B+7C+7D+7E+7F+7G+7H转化为7BNP+7DPQ+7FQM+7HMN是解题的关键．根据三角形的外角性质可得7BNP=7A+7B，7DPQ=7C+7D，7FQM=7B+7F，7HMN=7G+7H，再根据多边形的外角和定理即可求解．【详解】解：由图形可知：7BNP=7A+7B，7DPQ=7C+7D，7FQM=7B+7F，7HMN=7G+7H，丫7BNP+7DPQ+7FQM+7HMN=360°,:7A+7B+7C+7D+7B+7F+7G+7H=7BNP+7DPQ+7FQM+7HMN=360°.1524-25八年级上·山西朔州·期中）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则71+72的度数为()LADC=L1+LABC+L2，从而即可求解．【详解】解：如图，延长CD交AB于E，∵LAED=LABC+L2，LADC=L1+LAED，∴LADC=L1+LABC+L2，即90o=L1+30o+L2∴L1+L2=60o，故选：C．1624-25八年级上·吉林长春·期中）如图，BD是LABC的角平分线，ADTBD，垂足为D，7DAC=23o，7C=38o，则【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质．延长AD交BC于点E，证明△ABD≌△EBD(ASA)，推出LBAD=LBEA，利用三角形的外角性质计算即可求解．【详解】解：延长AD交BC于点E，∵BD是LABC的角平分线，AD丄BD，∴LBAD=LBEA，故答案为：61．1724-25八年级上·重庆九龙坡·期中）如图，在折纸活动中，王强做了一张△ABC纸片，点D，E分别是AB，AC上的点，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A1重合，且LA1DB=90o，若LA=50o，则LCEA1等于．翻折变换的性质是解决此题的关键．∵△ABC沿着DE折叠压平，A与A1重合，∴LA1DE=LADE，1824-25八年级上·河南许昌·期中）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，LA与L1+L2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是().A．A．LA=L1+L2B．2LA=L1+L2C．3LA=2L1+L2D．3LA=2(L1+L2)故选：B．N沿MN翻折得到△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则LB=．线平行，同位角相等求出LBMF，LBNF，再根据翻折的性质求出LBMN和LBNM，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．∵△BMN沿MN翻折得△FMN，∴LBMNLBMFo=50o，LBNM=LBNF=´70o=35o，在△BMN中，LB=180o-(LBMN+LBNM)2024-25八年级上·广东湛江·阶段练习）如图，已知△ABC中，LA=65o，将LB、LC按照如图所示折叠，若LADB,=35o，则L1+L2+L3=()角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和利用三角形的内角和定理的推论，先用LB表示出L3，再利用邻补角和四边形的内角和定理用LC表示出L1+L2，最后再利用三角形的内角和定理求出L1+L2+L3．【详解】解：由折叠知LB=LB,,LC=LC,．丫L3=LB+L4,L4=LADB,+LB,，:L3=LB+LADB,+LB,=2LB+35o，丫L1+L2=180o-LCGC,+180o-LCFC,=360o-(LCFC,+LCGC,)，LCFC,+LCGC,=360o-LC,-LC=360o-2LC，:L1+L2=360o-(LCFC,+LCGC,)=360o-(360o-2LC)=2LC，:L1+L2+L3=2LC+2LB+35o=2(LC+LB)+35o故选：D．2124-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，点E，F分别在△ABC边AB和AC上，连接EF，将△ABC沿着直线EF折叠，使得点A与点A,重合，连接A,B，A,C，A,B平分LABC，A,C平分LACB．解答本题的关键．（2）设LA,EB=a,LA,FC=β,则a+β=xO，求出LEA,FxO,LEA,B=180O-L1-a,LFA,C=180O-L3-β,根据LEA,F+LEA,B+LBA,C+LFA,C=360O可得结论．:LABC+LACB=180O-LA=130O又A,B平分LABC，A,C平分LACB，（2）解：设LA,EB=a,LA,FC=β,则a+β=xO，由折叠得，LAEF=LA,EF,LAFE=LA,FE,而LEA,B=180O-a-L1,LFA,C=180O-β-L3,∵L1=L2,L3=L4,∴LEA,B=180O-a-L2,LFA,C=180O-β-L4,2224-25八年级上·河南驻马店·期末）数学活动课上，小明运用已有的研究经验，对“在VABC的内部有一点D，分别连接BD和CD．”所形成的图形展开研究．(1)如图1，若ÐBDC=120°,ÐABD=30°,ÐACD=40°,求ÐA的(2)如图2，BD和CD分别平分ÐABC和ÐACB．①若ÐBDC=110°,求ÐA的度数；(3)如图3，BD和CD分别平分ÐABC和ÐACB，将ÐA沿EF折叠，点A恰好落在D点处，若ÐBDC=115°,请直接写出Ð1+Ð2的度数．(2)①ÐA=40°②ÐA=2a-180°键.（1）根据三角形内角和定理求出ÐDBC+ÐDCB=60°,得从而得到ÐA=180°-ÐABC-ÐACB=50°;（2）①根据题意得到ÐDBC+ÐDCB=70°,得到ÐABC+ÐACB=140°,从而得到ÐA=180°-ÐABC-ÐACB=40°;②根据题意得到ÐDBC+ÐDCB=180°-a，得到ÐABC+ÐACB=2(180°-a)，从而得到ÐA=180°-(ÐABC+ÐACB)=2a-180°;LDEF=LAEF,LDFE=LDEF，求出LAED+LAFD=2(LAEF+LAFE)=260O，即可求得:LDBC+LDCB=180O-LBDC=60O，:LABC+LACB=130O，:LA=180O-LABC-LACB=50O；:LDBC+LDCB=180O-LBDC=70O，:LABC+LACB=2(LDBC+LDCB)=140O，:LA=180O-LABC-LACB=40O；②丫LBDC=a，:LDBC+LDCB=180O-LBDC=180O-a，丫BD和CD分别平分ÐABC和ÐACB，:LABC+LACB=2(LDBC+LDCB)=2(180O-a)，:LA=180O-(LABC+LACB)=2a-180O；:LDBC+LDCB=180O-LBDC=65O，丫BD和CD分别平分ÐABC和ÐACB，:LABC+LACB=2(LDBC+LDCB)=130O，:LA=180O-LABC-LACB=50O，:LAEF+LAFE=180O-LA=130O，丫ÐA沿EF折叠，点A恰好落在D点处，:LDEF=LAEF,LDFE=LDEF，再根据同角的余角相等，得到LA=LDCE，即可．2三角形的性质可得出LBDE=LCFD，进而根据等量代换以及三角形内角和定理即可得出答案．【详解】解：AB=AC，LA=a，∴LBDE=LCFD，故答案为:90O-1a．22524-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，在△ABC中，AB=AC，点D为线段BC上一动点（不与点B，C重合连接AD，作LADE=LB=40O，DE交线段AC于点E．下列结论：①LDEC=LBDA；②若AD=DE，则BD=CE；③当DE丄AC时，则D为BC中点；④当△ADE为等腰三角形时，）．形的三线合一、三角形内角和以及外角和即可得证；④根据等论，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．\LBAD=LCDE．\\LB=LC．\LB=LC=40o，由①知：LDEC=LBDA．③∵D为BC中点，AB=AC，\AD丄BC，\LADC=90o，\LDEC=90o，\LAED>40o，\LADE≠LAED，\AE=DE或AD=DE，2624-25八年级上·河南南阳·期中）综合与探究．速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线BD上运动．它们运动的时间为t(s)（当点P运动结）．(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1时，△ACP与VBPQ是否全等，并判断此时线段PC(2)如图②,若“AC丄AB，BD丄AB”改为“ÐCAB=ÐDBA”，点Q的运动速度为xcm/s，其他条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与VBPQ全等，请直接写出相应的x的值．21215分别求解即可．\BP=7cm，\BP=AC，\△ACP≌△BPQ(SAS)．\ÐC=ÐBPQ．:LCPQ=90O，:PC丄PQ．综上，当△ACP与△BPQ全等时，x的值为3或21．52724-25八年级上·辽宁鞍山·期中1）如图①,点E在正方形ABCD的边BC上，BF丄AE于点F，DG⊥AE于点G，直接写出DG，BF，GF三者的关系（2）如图②,点B、C分别在ÐMAN的边AM、AN上，点E、F在ÐMAN内部的射线AD上，L1、L2分别是.△ABE、△CAF的外角．已知AB=AC，L1=L2=LBAC，求证：△ABE≌△CAF．（3）如图③,在等腰三角形ABC中，AB=AC，AB>BC．点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，L1=L2=LBAC．若△ABC的面积为9，则△ABE与△CDF的面积之和为；（；（（1）根据正方形的性质得AD=AB，LABC=LC=LADC=LBAD=90o，根据垂直的定义和三角形的内角和得LDAG=ABF，再证△ABF≌△DAG，根据全等三角形的性质及等量代换即可得出结论；（2）先根据邻补角的定义可得LAEB=LCFA，再根据三角形的外角性质、等量代换可得LABE=LCAF，（3）先根据三角形的面积公式求出△ACD的面积，再根据三角形全等的性质可得△ABE与△CAF的面积相等，由此即可得．在△ABF和△DAG中∴△ABF≌△DAG，:180o-L1=180o-L2，即LAEB=LCFA，由三角形的外角性质得：L1=LABE+LBAE，丫L1=LBAC，:LBAC=LABE+LBAE，:LABE=LCAF，在△ABE和△CAF中，:△ABE≌△CAF(AAS)；:△ACD的面积等于△ABC的面积的2，3:△ACD的面积为x9=6，:△ABE与△CAF的面积相等，即S△ABE=S△CAF，即△ABE与△CDF的面积之和为6，故答案为：6．AD11B4CCC4FBEDA1 1 1 1 1 1①+②得2LP=LB+LD，1则LP=(LB+LD))2则LO2824-25八年级上·辽宁鞍山·期中）直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动．如图，已知AE，BE分别是LBAO和LABO的角平分线，点A，B在运动的过程中，LAEB度数为()题关键．:7BAO+7ABO=90o，丫AE，BE分别是LBAO和LABO的角平分线， 故选：B．LBOn-1C=（用含n的代数式表示）．n角和等于180O得出LABC+LACB，再根据n等分的定义求出LOn-1BC+LOn-1CB的度数，在△On-1BC中， n-1B和On-1C分别是LABC,LACB的n等分线，\\LBOn-1C=180O-(LOn-1BC+LOn-1CB)n3024-25八年级上·陕西西安·阶段练习1）如图①,BD平分ÐABC，CD平分ÐACB，试确定ÐA和ÐD的数量关系；（2）如图②,在△ABC中，BE、BF把ÐABC三等分，CE、CF把ÐACB三等分，试猜想ÐA和ÐE的（3）在图②的基础上把△ABC变成四边形MNCB，如图③,BE、BF把LMBC三等分，CE、CF把LNCB三等分，请直接写出LF和LM+LN的数量关系． ∴LABC+LACB=180O-LA， ∵BD平分ÐABC，CD平分ÐACB， ∴LABC+LACB=180O-LA， ∵BE、BF把ÐABC三等分，CE、CF把ÐACB三等分， ∴LMBC+LNCB=360O-(LM+LN)， ∵BE、BF把LMBC三等分，CE、CF把LNCB三等分，3124-25八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，已知LMON=60O，A，B两点同时从点O出发，点A沿射线ON运动，点B沿射线OM运动，点C为△ABO三条内角平分线交点，连接BC，AC．(1)当LOAB=70O时，求ÐACB的度数；(2)点A，B在运动的过程中，ÐACB的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明(3)连接OC并延长，与LABM的角平分线交于点P，在△BCP中，如果有一个角是另一个角的2倍，直接写出LBAO的度数．(2)ÐACB的度数不变，LACB=120。（1）先根据三角形的内角和定理求出LABO的角度，再根据角的定义平分线得到LBACLOAB=35O，LABCLABO，最后根据三角形内角和定理即可解答；理由：∵LMON=60o，∴LACB=180o-LBAC-LABC∵LMON=60o，∵BP平分LABM，∵OC平分LMON，∴LBCP=LCB-LACP=120ox，④若LCBP=2LBCP，则，解得：x=93224-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在△ABC中，LB=42O，△ABC的外角ÐDAC和LACF的平分线交于点E，则LAEC=．ADCE，则∠ACB=．等η,理解并掌握以上知识点是解答本题的关键．本题先根据三角形外角性质可得LDAC+LACF=(LB+LACB)+(LB+LBAC)，可求出7DAC+7ACF的度数，接下来根据角平分线的定义，在△AEC中利用三角形内角和定理可以求得ÐAEC的度数．然后根据角平分线性质和平行线性质可得7BAC=7ACE=7FCE，即得到LACB=180O-2LBAC，再根据三角形内角和得到LACB=180O-LBAC-LB，两个式子联立即可求出ÐACB的度数．【详解】解：∵ÐDAC和LACF是△ABC的外角，∴LDAC+LACF=(LB+LACB)+(LB+LBAC)，∴7DAC+7ACF=222°,∵三角形的外角ÐDAC和LACF的平分线交于点E，∴LACE=LFCE=LBAC，∵LACF=LACE+LFCE，∴LACF=2LBAC，∴LACB=180°-LACF=180°-2LBAC，∵在△ABC中，LBAC=180O-LACB-LB，3324-25八年级上·河北邢台·期中）如图，D，E分别是边AC，AB上两点，EF平分LBED，DF平分LCDE．(3)写出ÐB，ÐC与LF之间的数量关系，并说明理由． (3)LB+LC=2LF，见解析 \LB+LC=LAED+LADE，丫EF平分LBED，DF平分LEDC， \LB+LC=LAED+LADE，丫EF平分LBED，DF平分LEDC， \LB+LC=LAED+LADE，丫EF平分LBED，DF平分LEDC，3424-25八年级上·山东青岛·期末1）如图1，若LA=50O，BF平分LPBC，CF平分LQCB，则（2）如图1，若LA=a，LCBFLPBC，LBCFLBCQ，则LBFC=_________（用含a的式子表（3）如图1，若LA=a，LCBFLPBC，LBCFLBCQ，则LBFC=________（用含a，n的式子（4）如图2，若LA=a，LB=β,LPCFLPCD，LQDFLQDC，则LDFC=________（用含a，）．3n入即可求出ÐBFC的度数；三角形的内角和定理可得入即可求出ÐBFC；LA=a代入即可求出ÐBFC； 【详解】解1）丫BF平分LPBC，CF平分LQCB， \LBFC=180°-(LCBF+LBCF)\LBFC=180O-(LCBF+LBCF)3\LBFC=180O-(LCBF+LBCF)=180o-LA+(180o-LA)n\LDFC=180o-(LCDF+LDCF)计算，列代数式等知识点，熟练掌握三角形的内角和外角及多边形的内角和问题是解题的关键．3524-25八年级上·四川成都·期末）如图，点E是△ABC的外角LCBD内部一点，满足7CAB=37EAB，7CBD=37EBD．若7C=42o，则ÐE的度数是．7EAB=x，7EBD=y，根据7CAB=37EAB，7CBD=37EBD，得7CAB=3x，7CBD=3y，根据外角【详解】解：设【详解】解：设7EAB=x，7EBD=y，∵∵7CAB=37EAB，7CBD=37EBD，∵∵7EBD=7EAB+7E，7CBD=7CAB+7C，∴∴y=x+7E①,3y=3x+7C②,3624-25八年级上·山西晋中·期末）如图，在△ABC中，7A=64o，ÐABC和7ACD的平分线交于点A1，得7A1；7A1BC和7A1CD的平分线交于点A2得7A2；7A2BC和7A2CD的平分线交于点A3，……则7A202522025和三角形外角性质得出7A1和ÐA的关系，进而求出7A2与ÐA的关系，找出规律，得到7An与ÐA的关系 ……220253724-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，△ABC中，LA=LACB，CP平分ÐACB，BD，CD分④LD=90OLA；⑤PD∥AC．其中正确的结论是（直接填写序号）．2LPBG=LA+2LPCB，LPBG=LP+LPCB，可判断②,根据外角性质与角平分线定义，结合三角形内角和LBCD+LCBDLBCFLCBE=90OLA可判断④,利用等腰三角形性质与外角性质，可得立，可判断③,根据LDBC=LA=LACB，利用平行线判定定理可判断⑤.∵∵BD平分LCBE，LCBE=LABH，∴∴BP平分LABH，∴∴LPBH=LBCP+LP，∵∵LA+2LPCB=2LPBH，∴∴LA+2LPCB=2LBCP+2LP，∴∴LA=2LP，即：即：LPLA，故②正确；∴∴LEBD=LD，∵∵LACB=LA，CD平分LBCF，而而△ABC中，LA=LACB，∵∵BD、CD分别是△ABC的两个外角LEBC、LFCB的平分线，∴LEBD=LDBC，LBCD=LDCF，∴LA-2(LDBC+LDCB)=-180O，∵LEBC=LA+LACB，LA=LACB，∴LEBD=LA，判定，掌握三角形内角与外角平分线定义，等腰三角形性质，三角形外角性质，三角形定是解题关键．3824-25八年级上·山东德州·期中）如图．在△ABC中，BO，CO分别平分ÐABC，ÐACB，且交于点O，CE为外角LACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，则以下结论：①LA=2LE；②LBOC=90O+LE；③点O在ÐBAC的角平分线上；④LECDLA+LOCB；⑤若点O到BC的距离是2，△ABC的周长是12，则△ABC的面积是24．一定成立的是．键在于对角平分线的性质以及三角形外角性质知识点熟练掌握．根据角平分线的性质以及三角形外角性质，即ÐOCA+ÐACE=90°,则运用三角形外角性质得ÐBOC=90°+ÐE，因为BO，CO分别平分ÐABC，ÐACB，且三角形的三条角平分线会交于一点，所以点O在ÐBAC的角平分线上；结合三角形外角性质以及角平分线的性质得ÐECDA+ÐOBC，根据角平分线线的性质定理，结合S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC即可判断．【详解】解：丫CE为外角ÐACD的角平分线，BO平分ÐABC，\∠DCEACD，ÐDBE=ÐABC，\ÐE=ÐDCE-ÐDBE则ÐOCA+ÐACE故②是正确的．丫BO，CO分别平分ÐABC，ÐACB，故③是正确的．∵7ACD=7BAC+7ABC，丫CE平分7ACD，丫BE平分ÐABC，∵BO，CO分别平分ÐABC，ÐACB，∴点O到BC的距离=点O到AC的距离=点O到AB的距离=2，3924-25八年级上·广东湛江·阶段练习）【问题发现】在某课上，数学张老师引导大家探究角平分线的（1）数学课代表发现在图1中，若ÐABC与ÐACB的平分线交于点P，则ÐBPC与ÐA之间存在一定数【问题探究】（2）如图2，在（1）的条件下，作△ABC的外角7CBM，7BCN的平分线交于点Q，试说明LQ+LBPC=180O．①请说明ÐE与ÐA之间的数量关系．②当ÐE与LQ两锐角存在2倍的数量关系时，直接写出ÐA的度数．【答案】（1）【答案】（1）LBPC=90OLA2）证明见解析3）①LELA，②ÐA的度数为60O或120O【分析】本题考查了角平分线的定义．三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角不相邻的两个内角的和是解题的关键．（1）先根据角平分线的性质得出LPBC=1LABC，LBCP=1LACB，在有三角形内角和定理得出（2）先根据角平分线的性质得出LCBQLCBM，LBCQLBCN，再由三角形的外角的性质即可得出（3）①先根据角平分线的性质得LPBCLABC，LCBQLCBM，再根据三角形的内角和定理得出然后分、和LE=2LQLQ=2LE两种情况讨论即可得出结论；\\LBPC=180O-LPBC-LBCP，\LBPC=180O（2）证明：（2）证明：丫BQ，CQ分别是LCBM，LBCN的平分线，丫LCBM=LA+LACB，LBCN=LA+LABC，（3）解：①丫BP是ÐABC的平分线，BQ是LCBM的平分线，\LPBCLABC，LCBQ=LCBM，\LE+LQ=90O，②延长BC至点F，丫CQ是△ABC的外角LBCN的平分线，\CE是△ABC的外角LACF的平分线，\LACF=2LECF，丫BE是ÐABC的平分线，\LABC=2LEBC丫LECF=LEBC+LE\2LECF=2LEBC+2LE，即LACF=LABC+2LE，\Ð\ÐA=2ÐE即ÐEA，丫丫BP是ÐABC的平分线，BQ是ÐCBM的平分线，\\ÐPBCABC，ÐCBQ=ÐCBM， 在在△QBE中ÐEBQ=90°,ÐQ与ÐE都是锐角，\Ð\ÐE=30°,\Ð\ÐA=60°,\Ð\ÐE=60°,\Ð\ÐA=120°,4024-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，AB和CD相交于点O，ÐC=ÐCOA，ÐBDC=ÐBOD，AP，DP分别平分ÐCAO和ÐBDC，若ÐC+ÐP+ÐB=144°,则ÐC=°.LC=LCOA=LBDC=LBOD，设LC=x，则LCOA=LBDC=LBOD=x，由三角形的内角和定理得的外角性质得LP=LOED-LPAE，即可求解；能熟练利用三角形的内角和定理进行求解是解题的关键．丫LC=LCOA，ÐBDC=ÐBOD，:LC=LCOA=LBDC=LBOD，设LC=x，则LCOA=LBDC=LBOD=x，:LOAC=180O-2LC丫AP，DP分别平分LCAO和LBDC，:LOED=180O-LBOD-LODE:LP=LOED-LPAE :LC=84O，4124-25八年级上·安徽安庆·期中1）生活中处处需要和谐，几何学也如此，如图1所示的图形我们称之为“和谐8字形”，则ÐA、ÐB、ÐC（2）在图2中ÐDAB和LBCD的平分线AP和CP相交于P点，交叉形成了多个“和谐8字形”，若 【答案】LA+LD=LC+LB40O/40度 题的关键． （1）利用三角形的内角和定理表示出LAOD与ÐBOC，再根据对顶角相等可得LAOD=LBOC，然后整理即可得解； （2）根据（1）的关系式求出LOCB-LOAD，L1+LD=L3+LP，然后利用“8字形”的关系式结合角平分线列式整理即可得解； 又∵LAOD=LBOC， :LA+LD=LB+LC； :LOCB-LOAD=4O，丫AP、CP分别是ÐDAB和LBCD的角平分线，故答案为：（1）LA+LD=LB+LC，（2）40O(1)求证：7A+7C=7B+7D；(2)如图②,若ÐCAB和7BDC的平分线AP和DP相交于点P，与CD、AB分别交于点M，N．①观察图②,写出另外两组“八字图形”中与（1）类似的结论：；②若7B=100°,7C=120°,求ÐP的度数；③根据②的结果直接写出ÐB，ÐC，ÐP之间的关系（不需要证明）．(2)①7CAM+7C=7PDM+7P(答案不唯一)；②7P=110°;③27P=7B+7C质等知识，理解并掌握三角形外角的定义和性质是解题关键．②由（1）结论可得在△AMC和△DMP中，7C+7CAM=7P+7PDM，在△BDN和△PAN中，7B+7BDN=7P+7PAN，两式相加再由角平分线的定义即可解答；③根据角平分线的定义可得71=72，Ð3=Ð4，在△AMC和△DMP中，可有7C+71=7P+73，即7C-7P=7P+73-71，同理在△BDN和△PAN中，可有7B=7P+72-74，7B+7C=7P+72-74+7P+73-71=27P，即可获得答案．【详解】（1）证明：在△AOC中，7A+7C=18在△BOD中，7B+7D=180°-7BOD，∴7A+7C=7B+7D；（2）解：①以线段AC为边的“8字型”有：△ACM和△PDM，△故答案为：7CAM+7C=7PDM+7P；②∵在△AMC和△DMP中，7C+7CAM=7P+7PDM，在△BDN和△PAN中，7B+7BDN=7P+7PAN，∴7C+7CAM+7B+7BDN=7P+7PDM+7P+7PAN，∵PA平分ÐBAC，PD平分7BDC，∴7CAM=7PAN，7BDN=7PDM，∴7C+7B=27P，即120°+10③ÐB、ÐC、ÐP之间的关系为27P=7B+7C．∵AP和DP分别平分ÐCAB和7BDC，∴71=72，Ð3=Ð4，在△AMC和△DMP中，7C+71=7P+73，∴7C-7P=7P+73-71，7B+74=7P+72，∴7B=7P+72-74，∴7B+7C=7P+72-74+7P+73-71=27P，∴ÐB、ÐC、ÐP之间的关系为27P=7B+7C．“八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．探索一：如图1，在八字型中，探索ÐA、ÐB、ÐC、ÐD之间的数量关系为探索二：如图2，若ÐB=36°,ÐD=14°,求ÐP的度数为；探索三：如图3，CP、AG分别平分ÐBCE、ÐFAD，AG反向延长线交CP于点P，则ÐP、ÐB、ÐD应用一：如图4，延长BM、CN，交于点A，在四边形MNCB中，设ÐM=a，ÐN=β,a+β>180°,四边形的内角ÐMBC与外角ÐNCD的角平分线BP，CP相交于点P，则ÐA=（用含有a和β的应用二：如图5，在四边形MNCB中，设ÐM=a，ÐN=β,a+β<180°,四边形的内角ÐMBC与外角ÐNCD．（拓展一：如图6，若设ÐC=x，ÐB=y，ÐCAP=1拓展二：如图7，AP平分ÐBAD，CP平分ÐBCD的邻补角ÐBCE，猜想ÐP与ÐB、ÐD的关系，直接【答案】探索【答案】探索一：ÐA+ÐB=ÐC+ÐD，探索二：25°；探索三：ÐP应用一：a+β-180°,a+β-180O；应用二：180O-a-β；拓展一：7P=2x+y；拓展二：27P-7B-解题关键．探索二：根据角平分线的定义可得7BAP=7DAP，7BCP=7DCP，结合（1）的结论可得27P=7B+7D，再代入计算可求解；应用一：如图4，延长BM，CN，交于点A，利用三角形内角和定理可得7A=a+β-180O应用二：如图5，延长MB、NC，交于点A，设T是CB的延长线上一点，R是BC延长线上一点，利用应拓展一：运用探索一的结论可得：7P+7PAB=7B+7PDB，LP+LCDP=LC+LCAP，7B+7CDB=7C+7CAB，再结合已知条件即可求得答案；拓展二：运用探索一的结论及角平分线定义即可求得:7A+7B=7C+7D，故答案为7A+7B=7C+7D；:71=72，L3=L4，由（1）可得：71+7B=73+7P，72+7P=74+7D，:7B-7P=7P-7D，即27P=7B+7D，:7P=25O，探索三：由①7D+271=7B+273，由②27B+273=27P+271，①+②得：7D+27B+271+273=7B+273+27P+2717D+27B=27P+7B．故答案为：LP．\LAMN=180O-a，LANM=180O-β,\LA=180O-(LAMN+LANM)=180O-(180O-a+180O-β)=a+β-180O；丫BP、CP分别平分LABC、LACB，丫LPCD=LP+LPBC，2应用二：如图5，延长MB、NC，交于点，设T是CB的延长线上一点，R是BC延长线上一点，丫LM=a，LN=β,a+β<180O，\LA=180O-a-β,丫BP平分LMBC，CP平分LNCR，\BP平分LABT，CP平分LACB，由应用一得：LPLA2LP+LPAB=LB+LPDB,LP+LCDP=LC+LCAP,LB+LCDB=LC+LCAB，丫LC=x，LB=y，LCAPLCAB，LCDP=LCDB，\LCDB-LCAB=LC-LB=x-y，丫AP平分ÐBAD，CP平分ÐBCD的邻②´2得：③2ÐP+ÐBAD=2ÐD+180°+ÐBCD，③-①,得：2ÐP-ÐB=ÐD+180°,\2ÐP-ÐB-ÐD=180°,故答案为：2ÐP-ÐB-ÐD=180°.4424-25八年级上·安徽亳州·期中）如图，BE是ÐABD的角平分线，CF是ÐACD的角平分线，BE与CF交于点G，角ÐBDC=150°,ÐBGC=112.5°,则ÐA的度数为()连接BC，根据题意得到LDBC+LDCB=180o-LBDC=30o，LGBC+LGCB=180o-LBGC=67.5o，进而得出LGBD+LGCD=(LGBC+LGCB)-(LDBC+LDCB)=37.5o，得到LABC+LACB=2(LGBD+LGCD)+(LDBC+LDCB)=105o，根据三角形内角和定理计算即可得到答案．BE是LABD的角平分线，CF是LACD的角平分线，\LDBC+LDCB=180o-LBDC=30o，\LGBC+LGCB=180o-LBGC=67.5o，\LGBD+LGCD=(LGBC+LGCB)-(LDBC+LDCB)=37.5o，\LABC+LACB=2(LGBD+LGCD)+(LDBC+LDCB)=105o，\LA=180o-(LABC+LACB)=75o，(1)观察图①,说明ÐBOC与ÐA,ÐB,ÐC之间的数量关系；①如图②,把一块三角尺XYZ放置在VABC上，使三角尺的两条直角边XY，XZ恰好经过点B,C，若ÐA=40°,则ÐABX+ÐACX=②如图③,DC平分ÐADB,EC平分ÐAEB，若ÐDAE=40°,ÐDBE=130°,求ÐDCE的度数；③如图④,ÐABC=100°,ÐDEF=130°,求ÐA+ÐC+ÐD+ÐF的度数．(2)①50°②85°③230°【分析】（1）连接AO并延长到点G，利用三角形的外角和（2）①根据题意，得ÐX=90°,结合前面的结论，得ÐX=90°=ÐABX+ÐACX+ÐA根据ÐA=40°,计算ÐABX+ÐACX即可．②根据题意，DC平分ÐADB,EC平分ÐAEB，得ÐADC=ÐBDC,ÐAEC=ÐBECÐDAE=40°,ÐDBE=130°,求ÐDCE的度数即可．③连接AD，两次运用结论，再求和计算即可．本题考查了三角形外角性质，直角三角形的性质，角的平分线，熟练掌握外角性质，灵解题的关键．【详解】（1）解：ÐBOC与ÐBAC,ÐB,ÐC之间的数量关系为：连接AO并延长到点G，根据题意，得7BOG=7B+7BAO,7COG=7C+7CAO，∵LBOC=7BOG+7COG，∴LBOC=7B+7C+7BAC．（2）解：①根据题意，得7X=90°,结合前面的结论，得LX=90°=7ABX+7ACX+7A，∵7A=40°,∴7ABX+7ACX=LX-7A=50°,②解：根据题意，DC平分7ADB,EC平分7AEB，∴7ADC=7BDC,7AEC=7BEC③连接AD，根据题意，得7ABC=7C+7CDA+7DAB，7DEF=7F+7FAD+7ADE，∴7ABC+7DEF=7F+7FAD+7ADE+7C+7CDA+7DAB，∴7ABC+7DEF=7F+7C+7BAF+7CDE， ∴7F+7C+7BAF+7CDE=230O．如图①所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样的图形叫做“规形图”，7BDC叫“规（1）观察“规形图”，试探究规角7BDC与7BAC、7B、7C之间的数量关系，并说明理由；（i）如图②,在△ABC中，7ABC、7ACB的平分线交于点P，若7A=50O，则7P=度，若7A=a，则（3）如图④,在△ABC中，LABC的平分线与△ABC的外角7ACM的平分线交于点P，过点C作CHTBP（4）如图⑤,在△ABC中，7ABC=60O，点I为△ABC三条内角平分线交点，连接AI、CI、BI．延长 BI，与△ABC的外角7ACM的角平分线交于点P，与AC交于点Q．在△CPI中，如果有一个角是另一个角的2倍，直接写出LBAC的度数为．【答案】（1）LBDC=LA+LB+LC，理由见解析2（1）连接AD并延长至点F，根据外角的性质，可得LBDF=LBAD+LB，LCDF=LC+LCAD，再求解LCBP+LBCP=65o，在△BCP中，LBCP+LCBP+LP=180o，可得LP=180o-(LBCP+LCBP)，再求解即可；当LA=a时，按照同样的方法求解即可；（ii）先求出LABP+LACP=LBPC-LBAC=130o-40o=90o，再由角平分线的定义可得（3）先求得LACM=LABC+LA，再由外角的性质可得LMCP=LPBC+LP，即：LMCALABC+LP，（4）分为LICP=2LCIP，LICP=2LP，LCIP=2LP，30o+LBCI=LBAC，LP=2LCIP，这四种情况求解即可．【详解】解：（1）如图①,连接AD并延长至点F，根据外角的性质，可得LBDF=LBAD+LB，LCDF=LC+LCAD，又∵LBDC=LBDF+LCDF，LBAC=LBAD+LCAD，∴LBDC=LBAC+LB+LC；∵LABC，LACB的角平分线交于点P，∴LP=180O-(LBCP+LCBP)，∵LABC，LACB的角平分线交于点P，∴LP=180O-(LBCP+LCBP)，2（ii）由（1），可得LBPC=LBAC+LABP+LACP，LBDC=LBAC+LABD+LACD，又∵BD平分LABP，CD平分LACP，∴LACM=LABC+LA，即LACM-LABC=80o，∴LMCP=LPBC+LP，即：LMCALABC+LP，（4）如图⑤,由前面结论易得②LICP=2LP，:LP=45o，④LP=2LCIP，不存在∴在△BCP中有一个角是另一个角的2倍时，LBAC为90o或64724-25八年级上·浙江杭州·开学考试1）如图1，在△ABC中，LABC和LACB的平分线交于点O，求LBOC与LA的关系，请说明理由．（2）如图2，在△ABC中，内角LABC的平分线和外角LACD的平分线交于点O，请直接写出LBOC与LBAC的关系，不必说明理由．（3）如图3，AP，BP分别平分LCAD，LCBD，求LP与（LC+LD）的关系，请说明理由．（4）如图4，AP，BP分别平分LCAM，LCBD，请直接写出LP与LC，LD的关系，不必说明理由． 弄清角之间的关系成为解题的关键．（1）由三角形内角和定理可得ÐABC+ÐACB=180°-ÐA，再根据角平分线的定义可得ÐOBCABC、质可得ÐAEB=ÐD+ÐDAP=ÐDBP+ÐP，进而得到CADCBD=ÐP-ÐD；同理可得CADCBD=ÐC-ÐP，再根据等量代换即可解ÐPBE+ÐCAE，再结合ÐAED=ÐBEP，运用等量代换即可解答．∵在△BOC中，ÐBOC+ÐOBC+ÐOCB=∵ÐAEB是VADE和△BEP的外角，∴ÐAEB=ÐD+ÐDAP=ÐD∵ÐAFB是VBCF和△AFP的外角，∴ÐC-ÐP=ÐP-ÐD，∴ÐP+ÐPBE=ÐD+ÐDAE，∴ÐP+ÐPBE=ÐD+180°-ÐEAM=ÐD+180°-ÐCAE，4823-24七年级下·河南南阳·期末）综合与实践(1)观察发现：如图1，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE内点A,的位置．则LA、LA,DC、LA,EB之间的数量关系为：；(2)探究迁移：如图2，若将（1）中“点A落在四边形BCDE内点A,的位置”变为“点A落在四边形BCDE外点A,的位置”，其他条件不变．请写出LA、LA,DC、LA,EB之间的数量关系，并说明理由；(3)拓展应用：如图3，四边形纸片ABCD，LC=90o，AB与CD不平行，将四边形纸片ABCD沿EF折叠成图3的形状，点A落在点A,处，点D落在点D,处，若LD,EC=115o，LA,F【答