考研数学三（填空题）专项练习试卷36

考研数学三（填空题）专项练习试卷36

一、填空题（本题共20题，每题1.0分，共20分。）

1

标准答案：了

知识点解析：

=lim(x•*7-,.lim[x*•(—■--)

'6x•l6x

11i

663°

100-

4=220

2、设.345」A*是A的伴随矩阵，则

1/1000'

1/51/50

标准答案：3/102/51/2.

知识点解析：由式2.2.2.1：(A*)r=(A，)*=A/|A|和|A|=10,即得

ri/iooo-

•尸

(A7A="=1/51/50.

A1U

13/102/51/2J

3、微分方程y”+4y=4x—8的通解为.

标准答案：y=C।cos2x+C2sin2x+x—2

知识点解析：微分方程两个特征值为Q=-2i,七=2i,则微分方程的通解为y=

C1cos2x+C?sin2x+x-2.

£

4、设随机变量x概率分布为P{X=k}=&!(k=O,1,2,...),则E(X2)=o

标准答案：2

yyg=i=>c=e-\

知识点解析：由概率密度的性质育4P{X二k)=l,有“配即

P{X=k}=^!k=0,1,2,…，为参数为1的泊松分布，则有E(X)=1,D(X)=1,故

E(X2)=D(X)+E2(X)=2O

5、设f(x)连续，则和X同：仆汕间=

2x

标准答案：sin[f0f(u)du]

_d

知识点解析：H[sin26f(u)du]d1是形如H(p⑴出形式的变上限积分，由五

d

[Jo\p(t)dt]=(p(x)知，＜^r[fox(sin2foIf(u)du)dt]=sin2[foxf(u)du].

6、一工人同时独立制造三个零件，第k个零件不合格的概率为A+l(k=l,2,3),

以随机变量X表示三个零件中不合格的零件个数，则P(X=2)=.

标准答案：4

知识点解析：令Ak二{第k个零件不合格}(k=1,2,3),_

则PCX=2)=PEAAC+PIAI苞A31+P(A|AZA?)

=7XTXT4-2-xTxT+TxTxT-T

7、若三阶实对称矩阵A的特征值是1,5,5,则秩r(5E—A)=.

标准答案：1.

知识点解析：实对称矩阵必可相似对角化，因而入=5必有两个线性无关的特征向

量，所以齐次方程组(5E—A)x=0的基础解系由两个线性无关的解向量所构成，从

而秩r(5E—A)=3—2=l.

2120

/001\/«iat卬\/010\

1°1°…砸。。

1

8、100cQC.'oor=_______.

仇b2b3

标准答案:

/O㈠

000]=E12,

知识点解析：101因为Ei「」Eij,所以Eij2二E,

于是

产Kic2c3

o|=E13b、b2by=(优力2b、

y

13c?a।a9Ui

V-5-

9、级数I3的和为.

9

标准答案：4

E『

知识点解析：令S(X)=(冈〈I)，那么有

S(x)=(£>")'=(一)'=7T」下,

(1-X)

10、设A、B均为三阶矩阵，E是三阶单位矩阵,已知AB=2A+3B,A=

90-6-

0150.

-0021」，则(B—2E)-,=

10-T

020

标准答案：L003」

知识点解析：利用已知条件AB=2A+3B,通过移、添加项构造出B—2E,于是有

AB—2A—3B+6E=6E,贝ij有(A—3E)(B—2E)=6E。从而B—2E)-1=

10-1

*-3E)=020

o

L003」

II、连续函数f(x)满足f(x)=3foxf(x—t)dt+2,则f(x)=.

标准答案：2e3x

f*jr-r-«fO

知识点解析：由J。"""",d")=R)Xf(u)du得f(x)=3.f()Xf(u)du+2,

两边对x求导得「(x)—3f(x)=0,解得f(x)—Ce—Idx二ce3x,取x=0得f(0)=2,则

C=2,故f(x)=2e3x.

12、设Xi，X2，…，Xioo相互独立且在区间[一1,1]上同服从均匀分布，则由中

100

心极限定理P(毕Y后L.

标准答案：0.8413

100

令[7=2乂,则E(U)=0,D(U)=100X得=苧，

100

100ln

则P(毕,《为=尸金

0(1)=0.8413.

后

知识点解析:

13、设a,0,yi,”，了3都是4维列向量，且IAI=Ia,yi，丫2，Y3I=4,IBI

=I[3,2yi，3y2，Y3I=21，则IA+BI=.

标准答案：180

知识点解析：因A+B=(a+P，3yi，4y2，2*)，故IA+BI=Ia+p,3yi，4y2，

273I=24Ia,yi,72»Y3I+24I[3,yi,72»73=24IAI+4IBI=180.

14、一阶线性差分方程2yt+1+8yt=5tet的通解为yt=.

标准答案："一少’[盖‘一屋%c为任意常数

知识点解析•：先解一阶线性齐次差分方程2yt+]+8yL0.对应的特征方程为

2r+8=0,特征根r=4,所以对应的齐次方程的通解为Yt=C(-4)(,C为任意常

数.再设该非齐次线性差分方程的一个特解为y/=(Ai+B)』，于是

l+1l

yt+1*=[A(t+1)+B]e=[Aet+e(A+B)]e,代入原给的一阶线性非齐次差分方程，得

2[Aet+e(A+B)]et+8(At+B)el=5tet,比较两边同类项，得2Ae+8A=5,

八=5§=一味

2e(A+B)+8B=0.所以一泊彳?一两前'通解yi=Yi+y/即为所填.

15、已知随机变量X|,X2,…，Xn相互独立，且都服从标准正态分布，Yi=Xi,

"则Yi服从—分布,参数为一。

0,州

标准答案：正态;n

J,

flTlH

知识点解析：1

Yi—Y2=X!—X2+102所以

YI—Y2为多个相互独立正态变量和，且服从正态分布。又E(Yi—Y2)=0,D

(几++(/I-】)?+H-2=2〃+1

7,2n

(Yi—Y2)=77，故Y1—Y2〜

16、从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事

件是相互独立的，且遇到红灯的概率为亍.设X表示途中遇到红灯的次数，贝！

E(x)=.

标准答案："5

如口”&厂〜8(3々).则E(X)=3x4=4-

知识点解析：显然\5，55

17、设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次命中目标的概率为0.4,

则X2的数学期望E(X2)=。

标准答案：18.4

知识点解析：根据题意可知，X服从n=10,p=0.4的二项分布，因此有E(X)

=np=4,D(X)=np(1—p)=2.4,因此E(X2)=D(X)+E2(X)=18.4。

18、设n维向量a=(a,0,…，0,a)T,a<0,E足n阶单位矩阵，A=E-aaT,

B=E+l/aaaT.其中A的逆矩阵为B,则a=.

标准答案：-1

知识点解析：按可逆定义，有AB=E,即(E-aaT)(E+l/aaaT)=E+l/aaaT-aaT