考研数学二（填空题）模拟试卷113

考研数学二(填空题)模拟试卷113

一、填空题(本题共25题，每题1.0分，共25分。)

1、如果0=(1,2,t)T可以由ai=(2,1,I),,。2二(—*1，2,7)，,(X3=(1，—*1，

47线性表示，贝八的值是__________o

标准答案：5

知识点解析：。可以由向量组ai，a2,a3线性表示的充分必要条件是非齐次线性方

程组xiai+x2a2+X3Q3=B有解，对该方程组的增广矩阵作初等行变换得

2-11：r12-1：21”12-1：2'12-12'

11

I2-1；2—>2-11il—♦0-53i-3—>0-53-3

-17-4'-17-4：/--05-3：t—2-000t-5-

,而方程组有解的充分必要条件是系数矩阵与增广矩阵有相同的秩，因此I一

5=0,即t=5o

1000-

-2300

0-450

2、设A」00-67-,E为4阶单位矩阵，且B=(E+A)」(E・A),贝U(E+B)・

1一_■

标准答案：2E

知识点解析：暂无解析

3、已知方程组LIaL。」无解，则a=

标准答案：一1.

知识点3析：本题考查非齐次线性方程组无解的充分必要条件.所涉及的知识点

是AmxnX=b无解=r(A)M(Ab)和用初等变换求矩阵的秩.设方程组的系数矩阵与增

广矩阵分别为A和B,对它们施以初等行变换

211*

-Ia1

0(a-3)(a+l)a-3.由此知,当a二一

1时，r(A)=2,r(B)=3,方程组无解.

4、微分方程xy，+y=0满足初始条件y(l)=2的特解为

2

Y=-1

标准答案：4

知识点解析：原方程可化为(xy)，=O,积分得xy=C,代入初始条件得C=2,故所求

2

y=­

特解为xy=2,即1

\一1一dx

5、J7x(14-x)=

标准答案：2arctanG+C

知识点解析：

[/—,/~=21—7=------d(7x)=2arctan>/x+C.

JVx(l+x)J277(1+x)Jl+(7?)2

I\/2x-x2dx

6、&=。

TT

标准答案：4

知识点解析:令x—1二sint,则

2

(-J1.X-xdx=(，1一(%-I)，dx=(cos)d,=--0

limIe*sinnxdx

7、…为=o

标准答案：0

知识点解析：令In=JeXsinnxdx=一eXsinnx+nfeXcosnxdx=一eXsinnx一ne

ncosnx+sirm%

..........................*e

X2

cosnx—nIno所以k="+1+Co则

limfeTsinmk=lim(-野§号+或皿^，)

JOR-\〃-+]Q/

=1加(-变力+sin%・i+n\=0。

'n+1n+1/

标准答案:

yx

u==——

知识点解析：设“＞则z=ux,所以

更=匹・辿+更・亚=/力_力1eg”•工

dxdudxdvdx\x'J

=+吗=(2产・_L(_1+1户)。

'HyI\xJy\xf因此

=y(ln2-1)og

dx(1.2)xl—l

9、三阶常系数线性齐次微分方程y…一2/+y，—2y=0的通解为y=。

标准答案：C1e2x+C2Cosx+C3sinx

知识点解析：微分方程对应的特征方程为二一2入2+入一2=0。解上述方程可得其

特征值为2,±i,于是其中一组特解为「X,cosx,sinx。因此通解为

y=C\e"+C2cosx+C3sinx0

1I1

r=23X

10、在xOy平面上，平面曲线方程49d则平面曲线与X轴的交点坐

标是O

标准答案：(2,0),(3,0)

111

y=23x

知识点解析：曲线49,与X轴(即y=0)的交点为方程组

1

y23X\11

4923/

L

y=0的解，行列式i49x:为范德蒙德行列式，即有

1

y=23X

2232

=(3—2)(x-2)(x-3)=0,解得x=2或3,故曲线与x轴的交点

坐标为(2,0),(3,0)oS

—一+工

标准答案：22

知识点解析：改变积分次序得

1"/e=jd>J；

，da?y3evdy

y%Td(y2)=J\e-tdz

0

1-L/e-r

一■—

22

2e-犷

7+

0T

12、微分方程y"一2y=x2+e2，l的待定系数法确定的特解形式(不必求出系数)是

标准答案：y*=x(Ax24-Bx4-C)+Dxe2x

知识点解析:特征方程为r2—2r=0,特征根为门=0,理=2.对fi=x?+LQ=0是

特征根，所以y「二x(Ax2+Bx+C).对f2=e?x,入2=2也是特征根，故有

y2*=Dxe2x.从而y*如上.

13、微分方程y”-7y=(x—的待定系数法确定的特解形式(系数的值不必求出)

是.

标准答案：y*=x(Ax2+Bx+C)

知识点解析•：原方程对应齐次方程的特征方程为F—7r=0,特征根口=7,「2=0.而

f(x)=x2-2x+l,入=0是特征根,所以特解如上所答.

■123

000

0010

L

14、已知n阶矩阵A二0001」,则底一A尸.

标准答案：1

123

0100

00I0

L

知识点解析：因为A?—A=A(A—E),且矩阵A=o00可逆，所以

r(A2—A)=r(A—E),而r(A—E)=l,所以KA2—A)=l°

15、设丫=丫(%)过原点，在原点处的切线平行于直线y=2%+l,又丫=丫(%)满足微分

方程y〃-6y，+9y=e",则y(»=.

标准答案：

知识点解析：由题意得y(0)=0,y<0)=2,y"—6y，+9y=e3"的特征方程为好一

6入+9=0,特征值为入1=心=3,令y〃-6y，+9y=e3'的特解为yo(»=a/e3Z代

22

入得a=2,故通解为y=(Ci+C2)e3%+2造3乙由y(())=o,丫0户？得0=0,

2

C2=2,则y(%)=2%e3z+2£©3匕

16、设政)可导，且卜廿⑴+9泪]出一1,则取)=.

标准答案：£*

知识点解析：由Jo"f(%)+%f(")]dt=1得Joif(x)dt+df(%t)d(%t)=I,整理得f(Z)+

Jo"(u)du=l,两边对无求导得？(%)+故)=0,解得f(%)=CeF,因为f(0)=l,所以

c=i,故

■11r

4=201

17、设L-1】0」，A*是A的伴随矩阵，则A*x=0的通解是______o

TT

标准答案：k|(l,2,~l)+k2(h0,1),ki，k2为任意常数

知识点解析：IAI=0,且r(A)=2,所以r(A*)=l,则由n—r(A")=2可知，A+x=0

的基础解系含有两个线性无关的解向量，其通解形式为kini+k2n2。又因为

A*A=IAIE=O,所以矩阵A的列向量是A*x=0的解，故通解是k«,2,一

TT

l)+k2(b0,1),k],k2为任意常数。

12-2'

4/3

18、设A为三阶非零矩阵，B=13-1

1,且AB=0,则A1=0的通解是

标准答案：ci(l,4,3)1+c2(—2,3,1),，C|,C2任意.

知识点解析：由AB=0得r(A)+r(B)S3.显然r(B巨2,r(A)>0,因而r(A)=l,n

一r(A)=2.又AB=0说明B的每个到向量都是AX=0的解，取它的1,3两列作

T

为基础解系，得AX=0的通解ci(l,4,3)+C2(-2,3,1产，CI，C2任意.

-121-

-2-3a；

19、已知矩阵A=L00-1」有两个线性无关的特征向量，则&=

*

标准答案:-1.

知识点解析：暂无解析

20、A是3阶矩阵，它的特征值互不相等，并且IAI=0,则r(A)=.

标准答案：2.

知识点解析：A的特征值互不相等，因此相似于对角矩阵，并且对角线上的元素就

是A的特征值，为3个互不相等数.其中有一个为0(因为［A|=0),则r(A)=

2.

21、J/（l+/）--------+

标准答案「止+F…T+C

」-1

I丁（】*2）'=1二-J冷也

一也=—,一1+占）也

?111

,=—?+c-arctan/+C=-丁方+arctan-

知识点解析：33x3xx

22、设三阶矩阵A的特征值为人|=-1,"一一9”号，其对应的特征向量为四,

a2，a3，令P=(2a3-3ai-a2)，则pJ(A"+2E)P=

4

1

标准答案：。

2

一1

知识点解析：P*,(