考研数学（数学三）模拟试卷462

考研数学(数学三)模拟试卷462

一、选择题(本题共8题，每题7.0分，共8分。)

[Z/(x-C)也1

[・_

1、设f(x)连续，且，吧—P则().

A、x=0为极大值点

B、x=0为极小值点

C、(0,f(0))为拐点

D、x=0不是极值点，(0,f(0))也不是拐点

标准答案：B

知识点解析：

由Jtf(jcr)dz=xJf(u)d«-J得

Jrfj(u)dw-uf(u)d«J/(u)du

J0J0

=lim-'------------l-i-m-----------：----

/一。j?’X一。4x

mlim于是.

14X-oXOJr-o因为f(x)

连续，所以f(0)=0,再由极限保号性，存在3>0,当0VIxIV3时，f(x)>

0=f(0),即x=0为f(x)的极小值点，应选B.

"+1

曲线v=e--------

1】的渐近线条数为().

2A.3条

2条

B.U1条

>O条

标准答案:A

知识点解析：

I丁211

1而)=8.所以曲线y无水平渐近线；

L—X-1

因为limy=8,所以j=0为曲线y=e；三-十；的铅直渐近线，又因为limy=8,

4r…*X-1L1

所以N=1为曲线>=f的铅直渐近线；

因为lim?=lime"-,=1x)=lim(e^--JT)=2,

JT-x，—yX-X，-8X-*OC\x-1/

所以曲线的斜渐近线为y=x+2,故曲线有3条渐近线，选A.

3、下列命题正确的是

CO<30

(A)若收敛，则收敛

w-l

no

(B)设％>0且5VI,则2a.收敛

。・T-\

80°

(C)若+七.)收敛.则»>・收敛

・,I

(D)设a.>04>0,且MV口，若W>,收敛•则»”收敛

().冷明……

A、

B、

C、

D、

标准答案：D

知识点解析：方法一：

z与二收敛•但£>：=火，发散-A不对1

-14n—I.-i«

*Co

取心=一，上=一一〈1，但2。.发散，B不对,

nann4-1£

8'8

取显然2(azi+QG收敛.但发散，c不对，应选D.

--1―1方法

二：

由V巴匚得包HV包♦即也｝单调递减，又名>0,则lim—存在，设lim—=A.

・«**<*>CL

0a.a-ia.a.■->«»anW

当A>o时与S>.的敛散性相同，若£>.收敛，则£x收敛；

••IR-i,T—I

当A=0.即lim包=0,取£=1,存在N>0,当〃AN时，

，-8a.

A88

--0VI,即0V6,V。“•由比较审敛法,当2%收敛时，».收敛,应选D.

应选D.

f(x♦>>)-1

lim=4,

寸_]

4、设f(x,y)在(0,0)处连续，且二:J则().

A、f(x,y)在(0,0)处不可偏导

B、f(x,y)在(0,0)处可偏导但不可微

C、fx(0,0)=ry(0,0)=4且f(x,y)在(0,0)处可微分

D、fx(0,0)=fy(0,0)：0且f(x,y)在(0,0)处可微分

标准答案：D

知识点解析:

由limT=4得/(0.0)=1,因为-]〜工’+寸.所以

lim■二=4•从而/生=4+a,其中a为当(1,>)-*(0,0)时的无穷

。

,l一0x+YVx41y

小，于是-/(x,^)-/(0,0)=0X*+0Xy+o(/r'+_y2)，故在(0,0)处可微，

且旦(0,0)■/；((),0)・0,选D・

5、设A为三阶矩阵,

,为非齐次线性方程组AX=(o)的解，

TV则().

A、当，2时,r(A)=l

B、当¥2时,r(A)=2

C、当匚2时，r(A)=l

D、当t=2时，r(A)=2

标准答案：A

a一口)

知识点解析：方法一:当厚2时2为AX=0的两个

线性无关的解，从而3—r(A)R,r(A)W,又由A#O得r(A巨1,即r(A)=l,应选

A、2

2

B、5

12

c、T

D、1

标准答案：c

知识点解析：

——V_v/v_X

X〜N(l,l),Xs—X〜N(0,5),-----------N(O.l),——-------〜X?⑴，

V55

令S2=4t；(X,-X",由军~犬⑶得！〜/(3),

3w44

一品一卷

且生至宅独立.于是———F(U3),

34,小

io(V—V)2io

即?•上三々〜F(],3),故应选C.

515

二、填空题(本题共6题，每题L0分，共6分。)

..x-sin(sinj-)

hm-----：--------

9x-o(siaz)

标准答案：3

JC—sin(sirtz)..x-sinx...sinx-sin(sinr)

lim丁.=hm—~3-+hm---------

l。(sinx)LO(sinx)(siru)

...x-siar..x—sinx..1-cosx1

由hmt.x3hm)h”Q2c

X-M>(sinx)Jr-0x*一。3JT0

sirtr-sin(sirur),uu"f..t~sin/1

hm,.-hm,-.

»-«(S1OT)1。

,..x-sim(sinj：)1

故fhm----：---73-------.

知识点解析：LO(sinx)3

10、

设F(“,v)一阶连续可偏导，且由尸弓弓卜0确定z为的隐函数，则1言+3^=，

标准答案:

F(—,^-)=0

知识点解析：Z)两边对X求偏导得

疑彳产——NF；

z2'/打一°，解得%―-出

(£,2.)=0两边对y求偏导得

F'zz'

一引•千+H・=^=o,解得券=瞽下

zz工巳+"

M打।?zxzF{yzF[

故工石+y%=辐+,E+zk3包=z.

oo

s(-1)"

〃〃

11、“7(+l)2”

工-3ye1-31n—

标准合茶：2

知识点解析：

oo

s(-1)-(一1产

*,

--In(.n+1)2°n(n4-l)2-

8■+»R■+18a+l8・+l

令SGr)=X7工^,收敛域为1-1,口6(工)=2-?——-=S'——SJ，

…〃(〃+1)n(n-r1)匕n+1

00-*18T.

X------xS—=—xlnd-x)(—1VI),

»»in«-in-

2------«r=-ln(l—1)—z(—l&zVI),

..I〃+1・■In

~_.«+i

S(x)=5/-7—r-rr=J4-(1-x)ln(1—x)*

Hn(n+1)

当工=1时,=)八=1•

7T)w(«41)

lx4-(1—x)ln(1—x)»—1&a:V1,

所以SG)=

11«X=1»

(一】)・

于是z=~2S(-y)=1-3ln

■-1F+1)2"'乙，乙

Bl2

2xy=+)

12、设y=y(x)由J，确定，则曲线y=y(x)在x=0对应的点处的切线

为•

标准答案：y=2x+l

1

「♦…e-r#dt=d(£—N)==「1Jdz,

知识点解析：J*J，JQ令x=0得

2xy=fe，ch两边对z求导得2y+2/半=©-'"・字*,

Joarar

将z=0»y=1代入得学"

y=.l.ar故所求的

切线方程为y—l=2x,即y=2x+l.

00\

10,

0—2若A〜B,则

y-------------------------

标准答案：6

知识点解析：由A〜B得lr(A尸【r(B),即x—3=0,于是x=3.显然A,B的特征值

为耳=入2=1，入3=—2,因为A〜B且B为对角矩阵，所以A可对角化，从而r(E—

I510力得一

由E-A-[-]—2-y+6

z

A)=I,一3-y°0H°'00

14、设X〜N(0,1),Y〜N(0,4)且X,Y相互独立,则P{max(X,Y)>

0)=.

标准答案：彳

知识点解析：因为X〜N(0,1),Y〜N(0,4),

所以p<x>o}=p(xco}=y,p(y>o}=p<y<o)=

于是P{max(X,y)>0>=l-P{max(X,y)0>=1-P{X<0,Y0)

1Q

=i-p{x<o}-P{y<o}=i-4=4.

三、解答题(本题共8题，每题7.0分，共8分。)

15、设2°),过L_L一点作切线，求切线与抛物线所围成

面积的最小值.

标准答案：首先求切线与坐标轴围成的面积

设6L,过点M的L的切线方程为：X+yY=l.

4

44

令y=0,得x=一，切线与z轴的交点为P（一,0）；

XX

令X=0,得Y=L,切线与y轴交点为Q(O,L),

yy

切线与椭圆圉成的图形面积为S(x,>)--3-

»2其次求最优解

方法一：设F(x,y,A)=^xy4-A(^-4-y2-1)♦

4

令=yx+?=0，

F'y=x+2A>=0,

F'A=—+/-1=o,

4

)1

由。=2=〃-i=o,得久=-1。=1舍去)，

12A

x=72

代人①，得,二与，再代入③，得v&•，于是最小面积为S=2-，.

4

方法二：由①，②，得y=-4-x，［=-22》,

2x==72,

两式相除，得俨1=%或y=5,代人③，得1观

X"彳'

于是最小面积为S=2一。

乙

JC=2cos/

(0<

!y=sint2sin2r2

当，=：时所围成的面积的最小,且最小值为S=2一

4/

知识点解析：暂无解析

16、已知Un(X)满足Un(X)=Un(X)+xn/eX(n=l,2,...),

<x>

且求级数的和函数.

n«-(

标准答案：Un(X)=Un(X)+xn1即y，一丫=p解得

y=ex(c+jx…dr)

即y=/(。+三)，因此“.(工)=/(。+工).

wn

p1T***

由£=〃.(1)=e(C+—)知，C=0,于是u.(x)=——

nnn

下面求级数的和:令SG)=£>«)=£­

Hrzln

co1r.8,

则S'(i)=+^-)=S(z)+Zz"7e'=8(x)4-^—

即5'(z)-S(z)=J—

由一阶非齐次线性微分方程公式知SG)=/(c+J占&)

R

令z=0,得0=5(0)=C，因此级数»,(£)的和SQ)=-c，ln(l一工)(一1&工V1).

知识点解析：暂无解析

17.设f(x)EC[a,b],在(a,b)内二阶可导.⑴若f(a)=O,f(b)<O,f+(a)>0.证明：

存在眄a,b),使得他)『©+叫圻0.(U)若/Q)=""=Jj(-一0'证

明：存在昨(a,b),使药俨(m=f(n).

标准答案：⑴因为f'+(a)>0,所以存在cW(a,b),使得f(c)>f(a)=O,因为f(c)f(b)

<0,所以存在xo€(c,b),使得f(xo)=O.因为f(a)=f(xo)=O,由罗尔定理，存在

xjG(a,xo),使得f'(xi)=0.令(p(x尸f(x)f'(x),由(p(a)=(p(xi)=O,根据罗尔定

2

理，存在眄a,xi)C(a,b),使得(p‘R)=0.而(p'(x)=f(x)f*'(x)+f'(x),所以

9,F(jr)=ff(/)drv,

f@f支)+f'熊)=0.(口)令L因为F(a)=F(b)=0,所以由罗尔定

理，存在ce(a,b),使得F'(c尸0,即f(c)=O.令h(x尸e、f(x),由

h(a)=h(c)=h(b)=O,根据罗尔定理,存在&E(a,c),々6(c,b),使得h'&)=h'

(§2)=0,则h’(x)=ex[f(x)+f,(x)],所以熊i)+f'e)=0,f&)+f'&)=0,再令

G(x)=eX[f(x)+f,(x)],由G©)=G&)=0,根据罗尔定理，存在昨(&,々)U(a,

b),使得G'(1])=0,而G，(x)=e-Xf(X)—⑥)]且e—声o,所以史(n)=f(n)・

知识点解析•：暂无解析

18、设抛物线产x2与它的两条相互垂直的切线所围成的平面图形的面积为S,其

中一条切线与抛物线相切于点A(a,a2)(a>0).⑴求S=S(a)的表达式；(H)当a取

何值时，面积S(a)最小？

标准答案：⑴设另一个句点为(xo,x()2),则抛物线y=x2的两条切线分别为

L]：y=2ax—a~,L2：y=2x()x-xo-

因为LJ.G，所以孙=一上，两条切线的交点为孙=土等,”=而。・/.「5及

4aL

抛物线》=1’所围成的面积为

lzz2

S(a)=J[x-(2xox—XQ)]dx+j\_x—(2ax-a)Jdx

中卡•

(II)令S'(Q)=Xa+\)(1—*)=0,得a=1,因为当a6(0,.)时,S'(a)V0.当

a>J时，S'(a)>0,所以当a=9时,面积S(a)取最小值.

知识点解析：暂无解析

19、求级数2・(〃+1)九的收敛域及和函数.

标准答案:

由阈利=4得暮级数的收敛半径为R=2.

当”=±2时•因为4篝1=2”忌而收敛,所以收敛域为［-2,。

广。+18

，则SCr)=Xa-£

2'(n+l)n・・】/〃，■!2F〃+1)

7f

2"(n4-1)

(工

34-f>|CfiII

则Si(n)=ZTT-=zZ-----=-xln(l-^-)(一24iV2).

・・i"Z

=-21n(l-y)-x(-2Cx<2).

oo

乂当N=2时,S(2)=X

(2—>r)ln(l-5)+工，-24上V2,

所以S(x)

1r=2.

知识点解析：暂无解析

20、设A为三阶实对称矩阵，若存在正交矩阵Q,使得

r10°\rl\

QTAQ=I0—10),又a=(一］］

o0V1且A*a=a,⑴求正交矩阵Q；(II)求矩

阵A.

标准答案：⑴显然A的特征值为入］=兀2=—1，九3=2,A=的特征值为|ii=N2=-2,

内=1.因为a为A*的属于特征值以=1的特征向量，所以a是A的属于特征值

九3二2的特征向量，令a=a3.令A的属于特征值入］=入2=—1的特征向量为

X11

《=z2，

因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，所以一X］一

X2+X3=0,则A的属于特征值X|=X2=-1的线性无关的特征向量为

—

再令】二!1

r1-一

闵。•则Q=

V26行

-1

76

73

I—10一1

(U)由Q，AQ=0-1，得A=Q0

'000

知识点解析•：暂无解析

=

21、某流水线上产品不合格的概率为"=而'各产品合格与否相互独立，当检测到

不合格产品时即停机检查.设从开始生产到停机检查生产的产品数为X,求E(X)

及D(X).

标准答案：X的分布律为P{X=k}=(I—p)k_1p(k=l,

2,♦・•)•

E(X)=2>P(X=A)=ZO(1-P)''=PZ>(1户)I.

▲=1H*T

oo

令S(z)=XA/T,

♦-1

则SG)=(寻)=({7)'=己7,故

E(.X)=p^k(l—p)*1—pS(l—p)=—=10,

*-iP

888

E(X')=Z/P(X=n=2>?P(l—p)i=;>2公(1一夕)i，

*—14-