考研数学三(线性代数)模拟试卷41(题后含答案及解析)

考研数学三(线性代数)模拟试卷41(题后含答案及解析)

题型有：1.选择题2.填空题3.解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1.行列式I1

A.(ad—bc)2

B.一(ad—bc)2

C.a2d2—b2c2

D.b2c2—a2d2

正确答案：B

解析：解1按第1列展开，得所求行列式D等于=-ad(ad-

bc)+bc(ad—bc)=—(ad—bc)2解2先互换D的2、3两行，得再通

过相邻列的互换将第1列移至第3歹U，得本题主要考查计算行列式的展开法

则，具体的计算方法可有多利L解2的第2步利用了分块对角行列式的计算方

法.知识模块：线性代数

2.设对方阵A施行初等初换得到方程

B.且IAIK0,贝[]

A.必有IBI=IA|.

B.必有IB|WIA|.

C.必有IB|HO.

D.IBI=0或IBIWO依赖于所作初等变换.

正确答案：C涉及知识点：线性代数

填空题

3.设4阶矩阵A=[c1Bl3233J,B=[a2BlB263],其中a1,a

2,Bl,P2,B3均为4维列向量，且已知行列式IA|=4,IB|=1,则行列

式IA+B|=.

正确答案：IA+B|=|a1+a22P12P2233I=8(Ial31B2B

3|+|a2Bl8233I)=8(IAI+IBI)=8(4+1)=40涉及知识点：线

性代数

4.设矩阵，I为3阶单位矩阵，则(A—21)-1=.

正确答案：涉及知识点：线性代数

5.

正确答案：，可利用分块对角矩阵求逆的方法.涉及知识点：线性代

6.已知a=(l,2,3),,矩阵A=aTB,n为正整数，则An=.

正确答案：An=(aT3)(aTP)•••(aT3)(aTP)=aT(PT)-(BT)B=a

T3n-1P=3n-1aTP=3n-l涉及知识点：线性代数

7.设3阶方阵A、B满足关系式A-1BA=6A+BA,其中，则B二.

正确答案：B=(A-1-*E)-16AA-1=6(A-1一E)-l=6涉及知识点：线性

代数

8.设，B为3阶非零矩阵，且AB=O,则1=.

正确答案：在条件下必有IA|=0(否则IA|WO,则A可逆，用A-I左乘

AB=O两端，得B=0,这与BWO矛盾)，=>t=-3.涉及知识点：线性代

数

9.设矩阵A满足A2+A—4E=0,贝U(A—E)-l=.

正确答案：0=A2+A—4E—(A—E)(A+2E)—2E,=>(A—E)(A+2E)=2E,=>(A

-E)涉及知识点：线性代数

10.设A为n阶方阵，且IA|=aW0,则IA*I=.

正确答案：由AA*=|A|E两端取行列式，得IAIIA*I=IAIn,

=>IA*|=IAIn-l=an-l.涉及知识点：线性代数

II.设A为n阶非零方阵，flIA|=0,则IA*|.

正确答案：必有IA*=0,否则IA*I#0,则A*可逆，用(A*)-l右乘AA*二

IA|E=0两端，得A=0,这与AWO矛盾.涉及知识点：线性代数

解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

设向量组al,a2,J3线性相关，向量组a2,a3,a4线性无关，问：

12.a|能否由(i2,a3线性表示?证明你的结论.

正确答案：能.由a2,a3线性无关，而al,a2,Q3线性相关即可证

明.涉及知识点：线性代数

13.a4能否由al,a2,a3线性表示?证明你的结论.

正确答案：不能.否则，a4能由al,a2,a3线性表示，由(1)知al能

由a2,。3线性表示，=>a4能由a2,。3线性表示，这与a2,a3,。4线

性无关矛盾.涉及知识点：线性代数

14.设A是n阶矩阵，若存在正整数k,使线性方程组AkX=O有解向量□,

且Ak-laNO,证明：向量组a,4a,…，AAk-1Q线性无关.

正确答案：设有一组数入0,入1,…，入k-1使入0a+A1Aa+…+Ak-mAk-1

a=0,两端左乘Ak-1,由于Ak+ma=0(m=0,1,2,=>XOAk-1a=0,又

Ak-laWO,=>X0=0,同理可证入匚…=入k-l=0,故a,Aa,…，Ak-1线性

无关.涉及知识点：线性代数

已知3阶矩阵A与3维向量x,使得向量组x,Ax,A2x线性无关.且满足

A3x=3Ax一2A2x.

15.记矩阵P=[x,Ax,A2x],求3阶矩阵B,使人=「13「-1；

正确答案：AP二A[xAxA2x]=[AxA2xA3xJ=[AxA2x3Ax—2A2x]

其中，使AP=PB,或A=PBP-1涉及知识点：线性代数

16.计算行列式IA+EI.

正确答案：由(1)有A=PBP-1=>A+E=P(B+E)P-1=>IA+EI=IB+EI=一

4.涉及知识点：线性代数

17.设向量组(I)：aI,a2,…，ar线性无关，且(I河由(H)：81,

B2,…，Bs线性表示.证明：在(II)中至少存在一个向量Bj,使得向量组Bj,

a2,…，ar线性无关.

正确答案：用反证法.否则对(II)中每个向量Bj,向量组Bj,a2,-ar,

都线性相关=>1^可由(12,i,ar线性表出二>(II)可由a2,…，ar线性表出

=>(1)可由。2,…，。「线性表出=>。1可由。2,…，ar线性表出，这与(I)

线性无关矛盾.涉及知识点：线性代数

18.设n个n维列向量al.a2,….Qn线性无关.P为n阶方阵，讦明：

向量组Pa1,Pa2,…，Pan线性无关IPIW0.

正确答案：向量组Pci,Pa2,…，PQn线性无关行列式Pa1Pa2…Pa

n|WOIP||a1a2…anIWO(注意由条件有行列式Ia1a2…anIWO)

IPIWO.涉及知识点：线性代数

19.设向量B可由向量组al,。2,…，an线性表示，证明：表示唯一

的充分必要条件是向量组11，a2,…，an线性无关.

正确答案：由条件有kla1+k2a2+…+knan=P…①.必要性.设表示唯一,

若入la1+入2a2+・・・+Anan=>・@,①与②两端分别相加，得(kl+、l)a

2+(k2+入2)a2+…+(kn+入n)an=B…③，由表示唯一,比较①与③，得kj=kj+

入2,…，n)=>入j=O(j=l,2,…，n),=>01,□2,…，an线性无关.充

分性：设Ql,a2,…，cn线性无关，若还有sia1+s2a2+・・,+snan=B…④,

①一④，得(kl一sl)a1+Ik2—s2)a2+…+(kn—sn)a4=0,由al,a2,…，

an线性无关，得kj=sj(j=l,2,…，n),即④式必为①式.故表示唯一.涉

及知识点：线性代数

20.设向量组。1=(1,1,1,3)T,a2=(—1,一3,5,1)T,a3=(3,2,

一1,n+2)T.a4=(-2,-6,10,a)T.(1)a为何值时，该向量组线性

无关?并在此时将向量。二(4,1,6,10)丁用。］,。2,。3,<14线性表出；(2)

«为何值时，该向量组线性相关?并在此时求出它的秩和一个极大无关组.

正确答案：对矩阵A=［a1a2a3a4Ia］作初等行变换，化为阶

梯形：(1)当aX2时，矩阵A=［ala2a3a4］的秩为4,即向量

组al,a2,a3,a4线性无关.此时设xla1+x2a2+x3a3+x4a4=a,解得

(xl,x2,x3,x4)=,即有(2)当a=2时，向量组al,a2,a3,a4线

性相关，此时该向量组的秩为3,{a1,a2,。3}(或{。1,a3,a4})为其一

个极大无关组.涉及知识点：线性代数

21.已知向量组(I)：P1=(0,1,-1)T,P2(a,2,1)T,P2=(6,

1,0)T与向量组(H)：a1=(1,2,一3)T,a2=(3,0,1)T,a3=(9,

6,一7)T具有相同的秩，且B2可由向量组(H)线性表示，求a、b的值.

正确答案：al,a2是向量组(II)的一个极大无关组，(II)的秩为2,故(I)

的秩为2.故(【)线性相关，从而行列式IB1B2B3|二O,由此解得a=3b.又

B3可由(II)线性表示，从而B3可由al,a2线性表示，所以向量组al,02,

B3线性相关，于是，行列式Ia|a233I=0,解之得b=5,所以a=15,

b=5.涉及知识点：线性代数

22.己知ai=(ail,ai2…，ain)T(i=l,2,…，r,rVn)是n维实向量，

且al,a2…，ar线性无关.已知B=(bl,b2,…，bn)T是线性方程组的

非零解向量.试判断向量组。2,…，ar,B的线性柑关性.

正确答案：由题设条件有BTai=0(i=l,2,…，r).设kla1+…+krar+kr+1

3=0(*)两端左乘BT,得kr+lBTB=O,又FWO,=>BTB=〃B〃2

>0,故kr+l=O代入(*)式，得kla1+…+krar=0,又al,…，ar>线性无

关，所以有kl=…二kr=O,因此a1,…，ar,B线性无关.涉