职高难的数列题目及答案

职高难的数列题目及答案一、数列基础题（共30分）1.等差数列基础题（共10分）（1）在等差数列{an}中，已知a1=3，d=2，求a10的值（2分）（2）已知等差数列的前三项分别为5，8，11，求这个数列的通项公式an（3分）（3）在等差数列{an}中，a3=7，a7=19，求a1和d的值（3分）（4）已知等差数列{an}中，a1=2，a10=23，求这个数列的公差d（2分）2.等比数列基础题（共10分）（1）在等比数列{an}中，a1=2，q=3，求a5的值（2分）（2）已知等比数列的前三项分别为4，8，16，求这个数列的通项公式an（3分）（3）在等比数列{an}中，a2=6，a5=48，求a1和q的值（3分）（4）已知等比数列{an}中，a1=3，a6=96，求这个数列的公比q（2分）3.特殊数列基础题（共10分）（1）求1，3，6，10，15，...的第10项（2分）（2）求数列1，4，9，16，25，...的通项公式（2分）（3）求斐波那契数列1，1，2，3，5，8，...的第10项（3分）（4）已知数列{an}满足an+1=an+2n，且a1=1，求a5的值（3分）二、数列进阶题（共40分）1.等差数列进阶题（共15分）（1）在等差数列{an}中，已知a1+a2+a3=12，a2+a3+a4=18，求a1和d的值（3分）（2）已知等差数列{an}中，S5=25，S10=100，求a1和d的值（4分）（3）在等差数列{an}中，已知a3+a7=20，a5+a9=32，求a1和d的值（4分）（4）已知等差数列{an}中，S10=210，S20=780，求a1和d的值（4分）2.等比数列进阶题（共15分）（1）在等比数列{an}中，已知a1+a2+a3=14，a2+a3+a4=28，求a1和q的值（3分）（2）已知等比数列{an}中，S3=14，S6=126，求a1和q的值（4分）（3）在等比数列{an}中，已知a3·a5=36，a4·a6=144，求a1和q的值（4分）（4）已知等比数列{an}中，S5=121，S10=1331，求a1和q的值（4分）3.数列综合应用题（共10分）（1）已知数列{an}满足an+1=2an+3，且a1=1，求an的通项公式（3分）（2）已知数列{an}满足an+1=an+2n，且a1=1，求an的通项公式（3分）（3）已知数列{an}满足an+1=3an-2，且a1=2，求an的通项公式（4分）三、数列难题（共50分）1.复杂数列问题（共20分）（1）已知数列{an}满足an+1=an^2+an，且a1=1，求a5的值（3分）（2）已知数列{an}满足an+1=2an+3^n，且a1=1，求an的通项公式（5分）（3）已知数列{an}满足an+1=3an+2^n，且a1=1，求an的通项公式（6分）（4）已知数列{an}满足an+1=an+2n-1，且a1=1，求an的通项公式（6分）2.数列极限问题（共15分）（1）求等比数列1/2，1/4，1/8，...的和（3分）（2）求数列1/2，2/3，3/4，4/5，...的极限（3分）（3）求数列1，1/2，1/4，1/8，...的和（3分）（4）已知数列{an}的通项公式为an=(2n+1)/(n^2+1)，求lim(n→∞)an的值（6分）3.数列证明题（共15分）（1）证明等差数列的前n项和公式Sn=n(a1+an)/2（5分）（2）证明等比数列的前n项和公式Sn=a1(1-q^n)/(1-q)（q≠1）（5分）（3）已知数列{an}满足a1=1，an+1=an+2n，证明an=n^2-n+1（5分）四、数列应用题（共30分）1.数列在实际问题中的应用（共10分）（1）某工厂第一年生产100件产品，以后每年比前一年多生产20件，求第5年的产量（3分）（2）某人第一年存入银行1000元，以后每年比前一年多存200元，求第10年的存款金额（3分）（3）某公司第一年盈利50万元，以后每年比前一年多盈利10万元，求前5年的总盈利（4分）2.数列在经济学中的应用（共10分）（1）某银行推出一项存款业务，年利率为5%，按复利计算，求存入10000元，5年后的本息和（3分）（2）某企业投资100万元，每年可获得20%的回报率，求5年后的总投资回报（3分）（3）某商品价格为100元，每年降价10%，求3年后的价格（4分）3.数列在工程学中的应用（共10分）（1）某建筑工程第一层高度为3米，以后每层比下一层高0.1米，共10层，求总高度（3分）（2）某桥梁工程第一段长度为50米，以后每段比前一段长5米，共8段，求总长度（3分）（3）某机械加工厂第一周生产零件100个，以后每周比前一周多生产10个，求10周的总产量（4分）五、综合题（共50分）1.数列综合计算题（共20分）（1）已知数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=3an+1-2an(n≥1)，求a5的值（4分）（2）已知数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=an+1+2an(n≥1)，求a6的值（4分）（3）已知数列{an}满足a1=1，a2=1，an+2=an+1+an(n≥1)，求a10的值（4分）（4）已知数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=4an+1-3an(n≥1)，求a8的值（8分）2.数列综合应用题（共15分）（1）某公司第一年盈利100万元，以后每年比前一年多盈利20%，求5年后的盈利额（3分）（2）某城市第一年人口为100万人，以后每年比前一年增加5万人，求10年后的人口（3分）（3）某工厂第一年生产产品1000件，以后每年比前一年多生产15%，求5年后的年产量（4分）（4）某学校第一年招收学生800人，以后每年比前一年多招收100人，求8年后的招生人数（5分）3.数列综合证明题（共15分）（1）已知数列{an}满足a1=1，an+1=an+2(n≥1)，证明an=2n-1（5分）（2）已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an(n≥1)，证明an=2^(n-1)（5分）（3）已知数列{an}满足a1=1，a2=3，an+2=2an+1+an(n≥1)，证明an=2^n-1（5分）答案及解析一、数列基础题1.等差数列基础题（1）解：等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d所以a10=a1+(10-1)d=3+9×2=3+18=21答案：21（2）解：等差数列的公差d=8-5=3通项公式为an=a1+(n-1)d=5+(n-1)×3=5+3n-3=3n+2答案：an=3n+2（3）解：根据等差数列的性质，a3=a1+2d，a7=a1+6d所以a1+2d=7，a1+6d=19解得：4d=12，d=3，a1=1答案：a1=1，d=3（4）解：等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d所以a10=a1+9d=2+9d=23解得：9d=21，d=7/3答案：d=7/32.等比数列基础题（1）解：等比数列的通项公式为an=a1×q^(n-1)所以a5=a1×q^4=2×3^4=2×81=162答案：162（2）解：等比数列的公比q=8/4=2通项公式为an=a1×q^(n-1)=4×2^(n-1)答案：an=4×2^(n-1)（3）解：根据等比数列的性质，a2=a1×q，a5=a1×q^4所以a1×q=6，a1×q^4=48两式相除得：q^3=8，q=2代入a1×2=6，得a1=3答案：a1=3，q=2（4）解：等比数列的通项公式为an=a1×q^(n-1)所以a6=a1×q^5=3×q^5=96解得：q^5=32，q=2答案：q=23.特殊数列基础题（1）解：观察数列1，3，6，10，15，...可以发现，每一项等于前一项加上递增的自然数即：1=1，3=1+2，6=3+3，10=6+4，15=10+5，...所以第10项=第9项+10第9项=第8项+9第8项=第7项+8...第2项=第1项+2因此，第10项=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55答案：55（2）解：观察数列1，4，9，16，25，...可以发现，每一项等于项数的平方即：1=1^2，4=2^2，9=3^2，16=4^2，25=5^2，...所以通项公式为an=n^2答案：an=n^2（3）解：斐波那契数列的定义是：a1=1，a2=1，an=an-1+an-2（n≥3）所以：a1=1a2=1a3=a2+a1=1+1=2a4=a3+a2=2+1=3a5=a4+a3=3+2=5a6=a5+a4=5+3=8a7=a6+a5=8+5=13a8=a7+a6=13+8=21a9=a8+a7=21+13=34a10=a9+a8=34+21=55答案：55（4）解：已知an+1=an+2n，且a1=1所以：a2=a1+2×1=1+2=3a3=a2+2×2=3+4=7a4=a3+2×3=7+6=13a5=a4+2×4=13+8=21答案：21二、数列进阶题1.等差数列进阶题（1）解：在等差数列{an}中，a1+a2+a3=3a2=12，所以a2=4a2+a3+a4=3a3=18，所以a3=6因为a2=a1+d=4，a3=a1+2d=6解得：d=2，a1=2答案：a1=2，d=2（2）解：等差数列前n项和公式为Sn=n(a1+an)/2=n[2a1+(n-1)d]/2所以S5=5[2a1+4d]/2=5(a1+2d)=25，即a1+2d=5S10=10[2a1+9d]/2=5(2a1+9d)=100，即2a1+9d=20解得：d=2，a1=1答案：a1=1，d=2（3）解：在等差数列{an}中，a3=a1+2d，a7=a1+6d所以a3+a7=2a1+8d=20a5=a1+4d，a9=a1+8d所以a5+a9=2a1+12d=32解得：d=3，a1=2答案：a1=2，d=3（4）解：等差数列前n项和公式为Sn=n(a1+an)/2=n[2a1+(n-1)d]/2所以S10=10[2a1+9d]/2=5(2a1+9d)=210，即2a1+9d=42S20=20[2a1+19d]/2=10(2a1+19d)=780，即2a1+19d=78解得：d=4，a1=3答案：a1=3，d=42.等比数列进阶题（1）解：在等比数列{an}中，a1+a2+a3=a1(1+q+q^2)=14a2+a3+a4=a1q(1+q+q^2)=28两式相除得：q=2代入a1(1+2+4)=14，得a1=2答案：a1=2，q=2（2）解：等比数列前n项和公式为Sn=a1(1-q^n)/(1-q)（q≠1）所以S3=a1(1-q^3)/(1-q)=14S6=a1(1-q^6)/(1-q)=126两式相除得：(1-q^6)/(1-q^3)=9即1+q^3=9，q^3=8，q=2代入a1(1-8)/(1-2)=14，得a1=2答案：a1=2，q=2（3）解：在等比数列{an}中，a3=a1q^2，a5=a1q^4所以a3·a5=a1^2q^6=36a4=a1q^3，a6=a1q^5所以a4·a6=a1^2q^8=144两式相除得：q^2=4，q=2或q=-2当q=2时，a1^2×2^6=36，a1^2=36/64=9/16，a1=3/4或a1=-3/4当q=-2时，a1^2×(-2)^6=36，a1^2=36/64=9/16，a1=3/4或a1=-3/4答案：a1=±3/4，q=±2（4）解：等比数列前n项和公式为Sn=a1(1-q^n)/(1-q)（q≠1）所以S5=a1(1-q^5)/(1-q)=121S10=a1(1-q^10)/(1-q)=1331两式相除得：(1-q^10)/(1-q^5)=11即1+q^5=11，q^5=10，q=10^(1/5)代入a1(1-10)/(1-10^(1/5))=121，得a1=11答案：a1=11，q=10^(1/5)3.数列综合应用题（1）解：已知数列{an}满足an+1=2an+3，且a1=1这是一个一阶线性递推关系，可以设an=b·2^n+c代入递推关系：b·2^(n+1)+c=2(b·2^n+c)+3整理得：2b·2^n+c=2b·2^n+2c+3所以c=2c+3，解得c=-3又a1=1，所以b·2^1-3=1，解得b=2因此an=2·2^n-3=2^(n+1)-3答案：an=2^(n+1)-3（2）解：已知数列{an}满足an+1=an+2n，且a1=1这是一个递推关系，可以展开：a2=a1+2×1a3=a2+2×2=a1+2×1+2×2a4=a3+2×3=a1+2×1+2×2+2×3...an=a1+2(1+2+3+...+(n-1))因为1+2+3+...+(n-1)=n(n-1)/2所以an=1+2×n(n-1)/2=1+n(n-1)=n^2-n+1答案：an=n^2-n+1（3）解：已知数列{an}满足an+1=3an-2，且a1=2这是一个一阶线性递推关系，可以设an=b·3^n+c代入递推关系：b·3^(n+1)+c=3(b·3^n+c)-2整理得：3b·3^n+c=3b·3^n+3c-2所以c=3c-2，解得c=1又a1=2，所以b·3^1+1=2，解得b=1/3因此an=(1/3)·3^n+1=3^(n-1)+1答案：an=3^(n-1)+1三、数列难题1.复杂数列问题（1）解：已知数列{an}满足an+1=an^2+an，且a1=1所以：a2=a1^2+a1=1^2+1=2a3=a2^2+a2=2^2+2=6a4=a3^2+a3=6^2+6=42a5=a4^2+a4=42^2+42=1764+42=1806答案：1806（2）解：已知数列{an}满足an+1=2an+3^n，且a1=1这是一个非齐次线性递推关系，先求齐次解：an+1=2an的通解为an=C·2^n再求特解，设an=A·3^n，代入递推关系：A·3^(n+1)=2A·3^n+3^n整理得：3A·3^n=2A·3^n+3^n所以A=3^n/(3^n-2A·3^n)，这显然不对正确的方法是设an=A·3^n，代入递推关系：A·3^(n+1)=2A·3^n+3^n整理得：3A·3^n=2A·3^n+3^n所以3A=2A+1，解得A=1因此通解为an=C·2^n+3^n又a1=1，所以C·2^1+3^1=1，解得C=-1因此an=-2^n+3^n=3^n-2^n答案：an=3^n-2^n（3）解：已知数列{an}满足an+1=3an+2^n，且a1=1这是一个非齐次线性递推关系，先求齐次解：an+1=3an的通解为an=C·3^n再求特解，设an=A·2^n，代入递推关系：A·2^(n+1)=3A·2^n+2^n整理得：2A·2^n=3A·2^n+2^n所以2A=3A+1，解得A=-1因此通解为an=C·3^n-2^n又a1=1，所以C·3^1-2^1=1，解得C=1因此an=3^n-2^n答案：an=3^n-2^n（4）解：已知数列{an}满足an+1=an+2n-1，且a1=1这是一个递推关系，可以展开：a2=a1+2×1-1a3=a2+2×2-1=a1+2×1-1+2×2-1a4=a3+2×3-1=a1+2×1-1+2×2-1+2×3-1...an=a1+(2×1-1)+(2×2-1)+(2×3-1)+...+[2×(n-1)-1]=1+2(1+2+3+...+(n-1))-(n-1)=1+2×n(n-1)/2-(n-1)=1+n(n-1)-(n-1)=1+n^2-n-n+1=n^2-2n+2答案：an=n^2-2n+22.数列极限问题（1）解：等比数列1/2，1/4，1/8，...是一个公比q=1/2的等比数列当|q|<1时，无穷等比数列的和为S=a1/(1-q)所以S=(1/2)/(1-1/2)=(1/2)/(1/2)=1答案：1（2）解：数列1/2，2/3，3/4，4/5，...的通项公式为an=n/(n+1)所以lim(n→∞)an=lim(n→∞)n/(n+1)=lim(n→∞)1/(1+1/n)=1/1=1答案：1（3）解：数列1，1/2，1/4，1/8，...是一个首项a1=1，公比q=1/2的等比数列当|q|<1时，无穷等比数列的和为S=a1/(1-q)所以S=1/(1-1/2)=1/(1/2)=2答案：2（4）解：数列{an}的通项公式为an=(2n+1)/(n^2+1)所以lim(n→∞)an=lim(n→∞)(2n+1)/(n^2+1)分子分母同时除以n^2：=lim(n→∞)(2/n+1/n^2)/(1+1/n^2)=(0+0)/(1+0)=0/1=0答案：03.数列证明题（1）证明：等差数列的前n项和Sn=a1+a2+...+an将数列倒序排列：Sn=an+an-1+...+a1两式相加：2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+...+(an+a1)因为a1+an=a2+an-1=...=an+a1所以2Sn=n(a1+an)因此Sn=n(a1+an)/2得证。（2）证明：等比数列的前n项和Sn=a1+a2+...+an=a1+a1q+a1q^2+...+a1q^(n-1)两边乘以q：qSn=a1q+a1q^2+...+a1q^n两式相减：Sn-qSn=a1-a1q^n所以Sn(1-q)=a1(1-q^n)因此Sn=a1(1-q^n)/(1-q)（q≠1）得证。（3）证明：已知数列{an}满足a1=1，an+1=an+2n（n≥1）用数学归纳法证明an=n^2-n+1当n=1时，a1=1=1^2-1+1=1，成立假设当n=k时成立，即ak=k^2-k+1当n=k+1时，ak+1=ak+2k=(k^2-k+1)+2k=k^2+k+1=(k+1)^2-(k+1)+1，成立因此，对所有正整数n，an=n^2-n+1成立得证。四、数列应用题1.数列在实际问题中的应用（1）解：这是一个等差数列问题，a1=100，d=20所以第5年的产量a5=a1+(5-1)d=100+4×20=100+80=180答案：180件（2）解：这是一个等差数列问题，a1=1000，d=200所以第10年的存款金额a10=a1+(10-1)d=1000+9×200=1000+1800=2800答案：2800元（3）解：这是一个等差数列求和问题，a1=50，d=10前5年的总盈利S5=5(a1+a5)/2a5=a1+4d=50+4×10=90所以S5=5(50+90)/2=5×140/2=5×70=350答案：350万元2.数列在经济学中的应用（1）解：这是一个等比数列问题，a1=10000，q=1+5%=1.055年后的本息和a5=a1×q^4=10000×1.05^4计算得：1.05^2=1.1025，1.05^4=1.1025^2=1.21550625所以a5=10000×1.21550625=12155.0625≈12155.06答案：12155.06元（2）解：这是一个等比数列问题，a1=100，q=1+20%=1.25年后的总投资回报a5=a1×q^4=100×1.2^4计算得：1.2^2=1.44，1.2^4=1.44^2=2.0736所以a5=100×2.0736=207.36答案：207.36万元（3）解：这是一个等比数列问题，a1=100，q=1-10%=0.93年后的价格a3=a1×q^2=100×0.9^2=100×0.81=81答案：81元3.数列在工程学中的应用（1）解：这是一个等差数列求和问题，a1=3，d=0.1，n=10总高度S10=10(a1+a10)/2a10=a1+9d=3+9×0.1=3+0.9=3.9所以S10=10(3+3.9)/2=10×6.9/2=10×3.45=34.5答案：34.5米（2）解：这是一个等差数列求和问题，a1=50，d=5，n=8总长度S8=8(a1+a8)/2a8=a1+7d=50+7×5=50+35=85所以S8=8(50+85)/2=8×135/2=8×67.5=540答案：540米（3）解：这是一个等差数列求和问题，a1=100，d=10，n=1010周的总产量S10=10(a1+a10)/2a10=a1+9d=100+9×10=100+90=190所以S10=10(100+190)/2=10×290/2=10×145=1450答案：1450个五、综合题1.数列综合计算题（1）解：已知数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=3an+1-2an(n≥1)这是一个二阶线性递推关系，特征方程为r^2-3r+2=0解得：r=1或r=2所以通解为an=A·1^n+B·2^n=A+B·2^n又a1=1，所以A+B·2^1=1，即A+2B=1a2=2，所以A+B·2^2=2，即A+4B=2解得：B=1/2，A=0因此an=(1/2)·2^n=2^(n-1)所以a5=2^(5-1)=2^4=16答案：16（2）解：已知数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=an+1+2an(n≥1)这是一个二阶线性递推关系，特征方程为r^2-r-2=0解得：r=2或r=-1所以通解为an=A·2^n+B·(-1)^n又a1=1，所以A·2^1+B·(-1)^1=1，即2A-B=1a2=2，所以A·2^2+B·(-1)^2=2，即4A+B=2解得：A=1/2，B=0因此an=(1/2)·2^n=2^(n-1)所以a6=2^(6-1)=2^5=32答案：32（3）解：已知数列{an}满足a1=1，a2=1，an+2=an+1+an(n≥1)这是斐波那契数列，特征方程为r^2-r-1=0解得：r=(1±√5)/2所以通解为an=A·((1+√5)/2)^n+B·((1-√5)/2)^n又a1=1，所以A·((1+√5)/2)+B·((1-√5)/2)=1a2=1，所以A·((1+√5)/2)^2+B·((1-√5)/2)^2=1解得：A=1/√5，B=-1/√5因此an=(1/√5)·((1+√5)/2)^n-(1/√5)·((1-√5)/2)^n所以a10=(1/√5)·((1+√5)/2)^10-(1/√5)·((1-√5)/2)^10计算得：a10=55答案：55（4）解：已知数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=4an+1-3an(n≥1)这是一个二阶线性递推关系，特征方程为r^2-4r+3=0解得：r=1或r=3所以通解为an=A·1^n+B·3^n=A+B·3^n又a1=1，所以A+B·3^1=1，即A+3B=1a2=2，所以A+B·3^2=2，即A+9B=2解得：B=1/8，A=5/8因此an=5/8+(1/8)·3^n所以a8=5/8+(1/8)·3^8=5/8+(1/8)·6561=5/8+6561/8=6566/8=820.75答案：820.752.数列综合应用题（1）解：这是一个等比数列问题，a1=100，q=1+20%=1.25年后的盈利额a5=a1×q^4=100×1.2^4计算得：1.2^2=1.44，1.2^4=1.44^2=2.0736所以a5=100×2.0736=207.36答案：207.36万元（2）解：这是一个等差数列问题，a1=100，d=510年后的人口a10=a1+(10-1)d=100+9×5=100+45=145答案：145万人（3）解：这是一个等比数列问题，a1=1000，q=1+15%=1.155年后的年产量a5=a1×q^4=1000×1.15^4计算得：1.15^2=1.3225，1.15^4=1.3225^2≈1.74900625所以a5=1000×1.74900625≈1749.01答案：1749.01件（4）解：这是一个等差数列问题，a1=800，d=1008年后的招生人数a8=a1+(8-1)d=800+7×100=800+700=1500答案：1500人3.数列综合证明题（1）证明：已知数列{an}满足a1=1，an+1=an+2(n≥1)这是一个递推关系，可以展开：a2=a1+2a3=a2+2=a1+2+2a4=a3+2=a1+2+2+2...an=a1+2(n-1)=1+2(n-1)=2n-1得证。（2）证明：已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an(n≥1)这是一个递推关系，可以展开：a2=2a1=2×1=2a3=2a2=2×2=4a4=2a3=2×4=8...an=2an-1=2×2an-2=...=2^(n-1)×a1=2^(n-1)×1=2^(n-1)得证。（3）证明：已知数列{an}满足a1=1，a2=3，an+2=2an+1+an(n≥1)这是一个二阶线性递推关系，特征方程为r^2-2r-1=0解得：r=1±√2所以通解为an=A·(1+√2)^n+B·(1-√2)^n又a1=1，所以A·(1+√2)+B·(1-√2)=1a2=3，所以A·(1+√2)^2+B·(1-√2)^2=3解得：A=1/2，B=1/2因此an=(1/2)·(1+√2)^n+(1/2)·(1-√2)^n要证明an=2^n-1，即证明(1/2)·(1+√2)^n+(1/2)·(1-√2)^n=2^n-1当n=1时，(1/2)·(1+√2)+(1/2)·(1-√2)=(1/2+√2/2)+(1/2-√2/2)=1=2^1-1，成立当n=2时，(1/2)·(1+√2)^2+(1/2)·(1-√2)^2=(1/2)·(1+2√2+2)+(1/2)·(