考研数学三（填空题）专项练习试卷15

考研数学三(填空题)专项练习试卷15

一、填空题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)

•上

sin(x-£/市

1、sin2xln(l—x)=

__

标准答案：一？

知识点解析：

sin(x-t)2dtsinu2(-du)=sint?du,则

oJo

sin(x-Z)2drsinuzdu

Jo2

lim1]•sinx=1

sin2xln(l—x)31^-~r

2、设f(a)=l,f(a)=2.则…L/(a)

标准答案：e2

知识点解析：暂无解析

3、设n维向量a=(a,0....»0>a)T>a<0>E足n阶单位矩阵，A=E-aar»

B=E+l/aaaT.其中A的逆矩阵为B,则a=.

标准答案：-1

知识点解析：按可逆定义，有AB=E,BP(E-aar)(E+1/aaaT)=E+1/aaaT-aaT-

l/aaaTaaT.由于aTa=2a2,而。户是秩为1的矩阵.

4、设随机变量X服从(0,2)上的均匀分布，则随机变量Y=X?在(0,4)内的概率密

度fy(Y)=。

\

标准答案：45

知识点解析：首先求出在(0,4)上Y的分布函数F、(y)。当0<yV4时，有

FY(y尸P{YWY}=P{x2gy户联八X&6\=。*⑴也==乐故

fY(y尸FY(y)=4方

1而—脸二2

5、设f(x)在x=0处连续，且…arcsirur'则曲线f(x)在点

(0,f(0))处的切线方程为o

2.

标准答案：7v=—3x+1

,,1~•y)।I-cosx=CysinZ—%‘」~1""父2

知识点解析：当X—>0时，arcslnx—x〜6'220由极限的

运算法则可得2

..!/(幻一1](I—cosx)..[，(%)”2&「/(x)-]0

lim口/--------1=hm-----:-------=3x------=2,

Iarcsinx-x*-o133x..

6从而1rff

Dm

(x)=1。又因为f(x)在x=0处连续，所以f(0)=Yf(x)=1。根据导数的定

f，(0)=1加包中==2

义可得I”一°7x3所以曲线f(x)在点(0,f

Y=L+1。

(0))处的切线方程为3

6、若Jf(x)dx=F(x)+C且x=at+b(aR0),则Jf(t)dt=.

标准答案：F⑴+C,其中C为任意常数

知识点解析：因F'(x)=f(x),故F'⑴=f(t),于是jRt)出=F6+C.

7、设随机变量X与一X服从同一均匀分布U[a,b],已知X的概率密度f(x)的平

方f2(x)也是概率密度，则b=.

标准答案：2

知识点解析：若X〜U[a,b|,则一X—U[—b,-a],由X与一X同分布可知户

一b,即X〜ULb,b].于是有

/(«)-府-6…M/2⑺“亲.-bwxwb,

°*其他，°-其他♦由题设f2(x)也是概率

=(：/"世=0撷"===八5

密度，则由

|sin?/dz

】im^—

8、…r

标准答案：7

知识点解析：此极限属0型，用洛必达法则.-IM3

9、将JoidyJ()yf(x2+y2)dx化为极坐标下的累次积分为o

xJ_

标准答案4ddf(p2)pgo

知识点解析：如图1—4—9所示，则有Jo】dyJoyf(x2+y2)dx」广fdo'户f(p2)pdpo

10、已知总体X服从正态分布NQi,a2),Xi，X2，…，X2n是取自总体X容量为

°y=c£(x2,-k)2

2n的简单随机样本，当G2未知时，-为『无偏估计，则

C=,D(Y)=.

L24

标准答案：2fin

知识点解析：依据E(Y)=/求得C,为此需要先求出X2i—X2i.i分布.由于X：一

22

NQ,『)，且相互独立,故X2i—X2M〜N(0,2a),E(X2j—X2i.1)=D(X2i—X2i.

22

i)+[E(X2i—X2i-i)]=2a那么有

E(Y)=。士凤儿-X&.J=Cn2a2=/

解得C=；.

2n

又因为殳#」~N(O,1)且相互独立，则~N(Q.

2

Y=C・21・£(，霓」-了=2CaWtD(W)=2n.

214.24

故。(Y)=4C•aD(W)=4彳・a・2〃=T.

11、微分方程yy”-2(yN=0的通解为.

y

标准答案：尸C或者=Cix+C2.

"idp

V—P-7-9

知识点解析：令y'=p,得d.y代入原方程得

如需一或比dp

石

则°=o,或斐-2p=o.

d

yy当P=o

当黑一?。=0时，。=。遇।>'=c12,即*=GJ.

由要=cy,得与=。由,从而-L=c”+c?,

时，y=C；<try、所以原

__L

方程的通解为y=C或者>=Cix+C2.

12、设随机变量X,Y相互独立，D(X)=4D(Y),令U=3X+2Y,V=3X—2Y,则

puv=-

£

标准答案：手・

知识点解析：Cov(U,V)=Cov(3X+2Y,3X—2Y)=9Cov(X,X)—4Cov(Y,

Y)=9D(X)—4D(Y)=32D(Y)由X,Y独立,得

D(U尸D(3X+2Y)=9D(X)+4D(Y)=40D(Y),D(V)=D(3X-2Y)一

9D(X)+4D(Y)=40D(Y),所以

Cov(U,V)32D(y)£

化“一yD(U)v/DGO_y40D(Y)•/40D(Y)5,

EYh至

13、设二维随机变量(X,Y)的分布列为(如下)。其中a,p未知，但已知

则a=，P=,EX=，E(XY)=

2

1/61/91/18

1/3a8

a=¥，6=?EX=3，E(XZ)=桨

标准答案：9939

知识点解析：

1・4+4+[+J+a+S，得<»+8=；，又"I""EY=1X(』+w)+2X(w+a)+3X(-

0100uo03yio

+夕=春+2(»+3⑶得2a+^=1•，联立解得a=40=-1■，故得E¥=1X(/+4+土)+2X4

**yy

+4+4)=4•瓜XY)=1X1X4+1X2XI+1X3X心+2X1X4+2X2X4+2X3X4~

yy3□9itsjs9

25

14、二次型f(xi，X2,X3)=(a1xi+a2X2+a3X3)2的矩阵是

a\a2

a2a3

标准答案:・aI。3。2。3

知识点解析：f(Xi，X2，

X3)=ai-xiz+a2-X22+a32X3"+2a।Q2X।xz2+2aI33x1X3+2a2a3x2x3，二次型矩阵A=

a\a2

a2a3

.(21Clj。2。3

「/(f)dz

limJ°

x-0x2Jf(t)dt

15.设f(x)一阶连续可导，且f(0)=0,f(0)/0,则

标准答案：1

知识点解析:

o/(x2)~/(0)

fQydt

呵^——lim产-在△虫一=lim---------------------

x2j/(r)drL02/J+彳2/(1)I/end/一、，小

2hj_f(工)—/(0)

x2x

因为lim=,(O),lim这二@=/(0),

一。XL。x

lim=1Um£<£)=±lim-=1/(0).

*7ILx-*0X4x-»OX/

[fQ)dr2fz(0)

所吗?方河:=舄*丽=L

-2I1'

1-21

16、设A,B是三阶矩阵，满足AB=A—B,其中B」II-2-1,则

|A+E|=o

L

标准答案：16

知识点解析：由题设，AB二A—B,则(A+E)(E—B)=E,因此

-13-I

-1-13

17、设x为三维单位列向量，E为三阶单位矩阵，则矩阵E—xxT的秩为

标准答案：2

知识点解析：由题设知，矩xxT的特征值为0,0,1,故E—xxT的特征值为1,

1，0o又由于实对称矩阵是可相似对角化的，故它的秩等于它非零特征值的个数,

即r(E-XXT)=2O

，0<x<h

其他，其中。>0为未知参

数，又设X],X2,…，Xn是X的一组样r本值，则参数0的最大似然估计值为

(S,nX«)

标准答案：

知识点解析：似然函数为