考研数学三(概率统计)试卷9

考研数学三（概率统计）-试卷9

（总分:66.00,做题时间：90分钟）

一、选择题（总题数：3,分数：6.00）

1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）

解析:

2.对事件A,B,已知0VP(A)VLP(B)>0,P(B|A)=P(B□。则:

(分数:2.00)

A.P(A|B)=P(IB)

B.P(AIB)#P(B)

C.P(AB)=P(A)P(B)J

D.P(AB)XP(A)P(B)

解析:解析：由P（B|由化简知应选（C）.

3.设随机变量X和Y相互独立，其概率分布为则下列式r正确的是:

（分数：2.00）

A.X=Y

B.P（X=Y）=0

D.P{X=Y}=1

解析：解析：

二、填空题（总题数：8,分数：16.00）

4.对事件A,B,已知则P(A)=1,P(B)=2。

（分数：2.00）

填空项1：（正确答案：正确答案:[*])

解析：解析：_____

5.对事件A、B,匕知=0.8,P（B）=0.3,则P（A）=1,P(AB)=2,

（分数：2.00）

填空项1:（正确答案：正确答案：0.45：0.2；0.45：0.25：0.1；0.9）

解析：解札口

6.设两两独立的三事件A,B,C满足条件:

（分数：2.00）

填空项1:（正确答案：正确答案：x）

解析：解析:

7.设在3次独立试验中，事件A出现的概率均相等且A至少出现一次的概率则在1次试验中,

A出现的概率为1。

(分数：2.00)

填空项1：(正确答案：正确答案：[*])

解析：解析：设1次试验中A出现的概率为p,则I析｛A至少出现1次｝=1一P｛A出现。次)=1一C

3°.p°.(1—P)=1—一p3),故p」-I

8.设甲、乙两人独立地射击同一目标，其命中率分别为0.6和0.5.则已命中的目标是被甲射中的概率

为lo

(分数：2.00)

填空项1：(正确答案：正确答案：[*])

解析：解析：记人=｛甲击中目标｝,B=｛乙击中目标｝,C=｛目标被击中｝,则P(C)=P(AUB)=P(A)+P⑻一

P(AB)=0.6+0.5—0.6X0.5=0.8,所求概率为P(A|C)=____,.\P(AC)=P(A)=0.6,故P(A|C)=

9.设则A,B,C都不发生的概率为lo

(分数：2.00)

填空项1:(正确答案：正确答案：[*])

解析：解析:_____1=1-[P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)]_____

n

0WP(ABC)WP(AB)=0,可得P(ABC)=0)故应填

10.连续型随机变量取任何给定实数值的概率都等于1。

(分数：2.00)

填空项1：(正确答案：正确答案：0)

解析：解析：这是连续型随机变量的一个结论。

1L设随机变最X的分希函数为匚iwx的概率分布为k

(分数：2.00)

填空项1：(正确答案：正确答案：[*])

解析：解析：F(x)为一阶梯状函数，则X可能取的值为FG)的跳法点：一1,1,3.P(X=-1)=F(-1)

-F(-1—0)=0.4P(X=1)=F(1)-F(1-0)=0.8—0.4=0.4P(X=3)=F(3)-F(3-0)=1—0.8=0.2

二、解答题(总题数：21,分数：44.00)

12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

解析：

13.从6双不同的手套中任取4只，求(1)恰有一双配对的概率；⑵至少有2只可配成一双的概率。

(分数：2.00)

正确答案：(正确答案：匚]分子的思路：从6双手套中任取一双(即题目要求的配对的一双)有C6।

种取法：剩下的2只必取自于2双中，从剩下的5双中取2双，有Cj种取法：设这两双是八一a与B

一b,然后从A—a中任取1（有C2,种取法），从B-b中任取1（也有C3种取法），根据乘法原则相

2

乘即可。分子也可是Cs'.X10~5）,关于C°।解释同上，然后从剩下的10只手套中任取2只（有

2

C10种取法），再减去这2只为同一双的5种可能（因题目为“恰一双配对"）。□

分子无非是加

上“取的4只恰为2双”这•情形，即加上C820)

解析：

14.某城市共有N辆汽车，车牌号码从1到、。行一人将他所遇到的该城市的n辆汽车的车牌号码（可能有

重复的号码）全部抄卜来，假设每辆汽车被遇到的机会相同，求抄到的最大号码正好是k（lWkWN）的概

率。

（分数：2.00）

匚］;相当于一个有放回的袋中摸球模型。第1个号有N种可能，第2个号也

正确答案：（正确答案:

有N种可能（可以与第1个号直复），余类推，共有N”种取法，比即分母。若问的是：“最大号码不超过

k的概率”，那么分子应为：第1个号有k种取法，第2个号也有k种取法，余类推，n种取法。同

理，“最大号码不超过k-l的概率”的分子应为6一1）”,二者相减，即为“最大号码正好是k的概

率”的分子（注意这时k必须要取到）。）

解析：

15.一袋中装有N—1只黑球及1只白球，每次从袋中随机地取出一球，并换人一只黑球，这样继续下

去、问笫k次取出的是黑球的概率是多少？

（分数：2.00）

正确答案：（正确答案:□

解析：

16.将n个同样的盒子和n只同样的小球分别编号为1,2,…，n。把这n只小球随机地投入n个盒子

中，每个盒子中投入一只小球。问至少有一只小球的编号与盒子的编号相同的概率是多少？

（分数：2.00）

正确答案：（正确答案:□

解析：

17.在线段AB上，有一点C介于A,B之间，线段AC长为a,线段CB长为b,且a>b.在线段AC上任取

一点X,在线段CB上任取一点Y,求长度为AX,XY,YB线段可构成三角形的概率。

（分数：2.00）

正确答案：（正确答案：如图-建立坐标系（提示：定长为a+b的线段AB分成3段时，3段长能构成三角

形等价于各段长小于总长的一半,请思考）3段长为x、/-X及a+b—y（x、y分别为点X、Y的

坐标），而（x,y）可能取的值为图2中的矩形，现耍月，与电形相交为图2中阴影部分G,矩形面枳

（即Q的测度）为ab,而G的面积（测度）>)

解析：

18.对目标进行三次独立炮击。第一次命中率为0.4,第二次命中率为0.5,第三次命中率为0.7.目

标中一弹而被击毁的概率为0.2,中两弹被击毁的概率为0.6,中三弹被击毁的概率为0.8.（1）求目

标被击毁的概率；（2）已知目标被击毁，求目标中两弹的概率。

（分数：2.00）

正确答案：（正确答案：（1）记A।=（第i次射击时击中目标）（i=l,2,3）,B=｛目标被击毁｝,则

解析：

19.在随机地抛掷两枚均匀骰子的独立重复试验中，求两枚骰了•点数和为5的结果出现在它们的点数和为

7的结果之前的概率。

（分数：2.00）

正确答案：（正确答案:□

解析：

20.乒乓球比赛采用5局3胜制，甲、乙两人在比赛中，各局甲胜的概率为0.6,且前2局皆为甲胜。求

甲最终赢得比赛胜利的概率。

（分数：2.00）

正确答案：（正确答案：记A[=｛第i局甲胜｝,i=3,4,5.所求概率为P（AsUA,UA5）

-0.43=0.936.）

解析：

21.设袋中有7红6白13个球，现从中随机取5个球，分（1）不放问；（2）放回两种情形下，写出这5个球

为3红2白的概率（写出计算式即可）。

（分数：2.00）

正确答案：（正确答案:Q当于做了5次独立重复试验，每次只有2个结果：摸红

,而问的

是：“‘摸红球’发生3次的概率”，属贝努里概型。）

解析：

22.乒乓球盒中有15个球，其中有9只新球和6只旧球。第一次比赛时任取3只使用，用后放回（新球使

用一次就成旧球）。第二次比赛时也任取3只球，求此3只球均为新球的概率（写出计算式即可）。

（分数：2.00）

正确答案：（正确答案：记A[=｛第1次取的3只球中有i只新球），B=｛第2次取的3只球均为新球],则

J32111233J

P（A,）=（CGCH-b：C9C6+CeC9C7+C9C«）o）

解析：

23.3架飞机（其中有1架长机和2槊僚机）去执行轰炸任务，途中要过一个敌方的高炮阵地。各机通过高

炮阵地的概率均为0.8,通过后轰炸成功的概率均为0.3,各机间相互独立，但只有长机通过高炮阵地

才有可能轰炸成功。求最终轰炸成功的概率。

（分数：2.00）

正确答案：（正确答案：设长机为A,另2架僚机分别为B、C,记A,=｛A通过高炮阵地），B।=｛B通过

高炮阵地），C,=｛C通过高炮阵地｝,A=｛A轰炸成功｝,D=（最终轰炸成功｝,山题意□得

□

解析：

24.已知随机变是X的概率分布为P｛X=l｝=0.2,P（X-2）=0.3,P｛X=3）=O.5.试写出其分布函数

F（x）。

（分数：2.00）

正确答案:(正确答案：F(X)=P{X£x}0当xVl时,E(x)=O当1&XV2时,F(z)—P{X—1}-0.2当

2WxV3时,F(x)=P{X=l)+P{X=2)=0.2+0.3=0.5当xN3时,

F(x)=P{X=D+P{X=2)+P{X=3)=0.2+0.3+0.5=1故_____)

解析：

25.设随机变量X在区闻(1,2)上服从均匀分布，试求随机变量y=c的概率密度f(y)o

(分数：2.00)

正确答案：(正确答案：X的概率密度为:一而Y的分布函数I：(y)=P{yWy)=P{eWy)。由X的

取值范围,可见当YW0时，Fr(y)=0,.*.f(y)=F*丫(y)=0：口得口

解析：

26.设随机变量X的分布函数口

(分数：2.00)

止确答案：(止确答案:

解析:解析口

27.设随机变量X在[2,5]上服从均匀分布，现在对X进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于3

的概率。

(分数：2.00)

正确答案:(正确答案：由题总，X的概率密度为:□

解析：

一电子仪器由两个部件构成，以X和Y分别表示两个部件的寿命1单位：干小时)，已知X和Y的联合分布

函数为：1―I(分数：4.00)

(1).问X和Y是否独立?(分数:2.00)

正确答案：(正确答案：关于X的边缘分布函数为I____I同理，关于Y的边缘分布函数为I_____敢里

xNO,y'O时，Fx(x).Fy(y)=(l-c血”)。一°血*)刁一0°加一°也"一©-°-5l,，w=F(x,

2t

y)而当xUO或yUO时，Fx(K).F,(y)=O=F(x,y)故.一(x,y)GRt均1fF*(x)F、

(y)=F(x,y),.・・X和Y独立。)

解析：

(2)•求两个部件的寿命都超过100小时的概率。(分数：2.00)

正确答案：(正确答案：:X与Y独立，故P(X>100,Y>1OO)=P(X>1OO)P(Y>1OO)=[1—Fx(100j][l

5X,W5X100,w

-FY(100)]=e.ee-)

解析：

28.对某地抽样调态的结果表明，考生的外语成绩(百分制)近似服从正态分布，平均成绩为72分，95分

以1_的占考生总数的2.3%,试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率。表中中(x)是标准

正态分布函数。

（分数：2.00）

正确答案：（正确答案：设该地考生的外语成绩为X,由题意，I_____b

解析：

29.一辆汽车沿一街道行驶，要过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红

或绿相互独立，且红、绿两种信号显示的时间相等。以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个

数，求X的概率分布。

（分数：2.00）

正确答案：（正确答案：由题意，X