考研数学（数学一）模拟试卷417

考研数学（数学一）模拟试卷417

一、选择题（本题共8题，每题7.0分，共8分。）

设1而0叩5=1,则=()

A、co

B、0

C、6

D、一6

标准答案：D

lim--=1=>x-sinx-F/(x)~x<=>/(x)->-x*+sinx

X

o

知识点解析:

7---1rrrs.in--1-r»x>l.

fCr）yi）工一]

2、设a是实数，O*f（x）在点x=l处可导，则a的取值范

围（）

A、aV—1

B、—l<a<0

C、0<a<l

D、a>l

标准答案：A

/i⑴=!im⑴=limr京.”E-35•

知识点解析：由导数定义知：一♦*-11+0-1）”一1当

,]

a+l<0,即aV—1时，（x—1）一（㈤）为无穷小，9口为有界变量，故当一

1时，f+（l）=O,f-（l）=O»故?⑴=0.

3、在下列微分方程中，以y=©+x）ex+c2e2x©,C2是任意常数）为通解的是（）

A、y"+y'—2y=5ex

B、y”+y'—2y=3ex

C、y"一y'—2y=—5。x

D、y"一y'-2y=—3e

标准答案：D

知识点解析：y=(ci+z)ex+C2e2x=ciex+C2e2x+xex.从而由齐次微分方程的解结

构可得大，=-*1,X]=2,y*=xex,即y"—y，—2y=0,再将y*代入上式可得(D)项

正确.

4、已知曲面x=4—X?—y?上点p处的切平面平行于平面2x+2y+x=l,则点P坐

标为()

A、(1,一1,2)

B、(1,1,2)

C、(一1,I,2)

D、(一1,一1,2)

标准答案：B

知识点解析:设P点的坐标为(xo,yo,z()),则点P处的切平面为2x()(x—

2xo_2_1

xo)+2yo(y—yo)+(z—zo)=O当且仅当221时一，该切平面与2x+2y+z=l平行,

故选(B).

5、设向量组a,0,丫线性无手，向量组a,p,6线性相关，则()

A、a不可由0,y,£线性表示

B、&可由a,p,y线性表示

C、[3不可由a,y,3线性表示

D、3不可由a,p,y线性表示

标准答案：B

知识点解析：a,dy线性无关=r(a,P»y)=3：a,[3,3线性相关=r(a,0,6)<

3,从而6可由a,p线性表示，则B可由a,p,丫线性表示.

6、以下矩阵可相似对角化的个数为()

1211[121](11112

(1)030(2)010(3)222(4)245(5)A：xl.IA|<0

00o|1003.333357

A、2个

B、3个

C、4个

D、5个

标准答案：C

121

010

知识点解析：（1）有3个不同的特征值，可对角化；（2）0031的特征值为

111

222

1，3,入=1为二重根，但其只有一个特征向量，从而不能对角化；（3）卜33的

秩为1,从而特征根为6,0,0,入=0为二重根，其有两个线性无关的特征向量，

从而可对角化：（4）为实对称矩阵，则可对角化：（5）A2X2，IA|<0,显然有两个不

同的特征值，也可对角化；综上所述，可对角化的矩阵有4个.

7、设随机变量X与Y相互独立，且都在（0,a）上服从均匀分布，则随机变量

Z=max{X,Y）的概率密度为（）

桨OVzVa,(-(1一康),0VzVa.

(A)/(z)=-a(B)/(z)=<a\

0.其他，、0,其他；

「0・z4O,0,z&O,

（打•。。〈人

(C)/(之)=j一（1-~j・0VzVa・

1・i1.

A、

B、

C、

D、

标准答案：A

知识点解析：

（0,N40,

1C一一

X,y独立同分布，X〜=1a=>■/）=<?•0<x<a.

0.其他“、

先求Z=max(X,Y)的分布函数.

Fz(z)=P(Z&z}=P(max(X.Y)&z}

=P{X4Z,Y&Z}=F(Z,2)=FX(Z)•FY(2).

0,z&O,

学,0VzVa,

从而Fz(z)=Fx(z)・Fy(z)={,0VzVa,=>/(z)='。

0,其他

1,

知识点解析：

由题意知

]im匚-土守卬sinx—,

L。X

运用洛必达法则Jim匕空竿主吟=0,从而

r-*0OX

1-a-6=0.①

对上式继续运用洛必达法则，得

.•asinx-1-26sin2x八

hm------------=0,

1rOX

所以a+46=0.②

由①②解得a=

JJ

1

11、设‘-3一1,则严)=.

(—119*-1r____1___________1____

标准答案：,L(2z-l)-+«(2工+D・T

知识点解析：

--------，在x=2兀处收敛于.

标准答案：-2~，L

lim/(x)+limf(工)

知识占f衍析在工=冥处收敛于二——六-------二.

?ZS八从"522由于f(x)的周期为

2兀，且在点x=0处连续，故在x=2兀处收敛于f(2兀户f(0)=i.

123

A=221

13、设1343),B=A1,则B的伴随矩阵B*的所有元素之和等于

■

围

标准答案：2・

B-=|B|A=I4T=TA-y—

知识点解析：2故B*的所有元素之和为2

14、设X〜B(n,p),若(n+l)p不是整数，则当P{X=k)最大时，k=.

标准答案：(n+l)p.

知识点解析：设X〜B(n,p),则使P{X=k)达到最大的忌称为二项分布的最可能

(〃十Dp和(打+Dp—1,(〃+Dp是整数.

卜0-v

值，记为ko且I储+】"，其他•

三、解答题(本题共9题，每题L0分，共9分。)

15、设f(x)在x=0处二阶可导，又il-cosz'(I)求r(0)与F(o)；

「"(炉―/)市

(U)求lim^-------g----------.

L。X

标准答案：

(I)由lim]/("—=A知.=A,即lim"于'=

1-cosxl。12LOxL

22

f(r}/(0)4-/(0)jr-F^yp^x4-o(x).

又]而”=lim----------------------与----------=4.

x-01…xZ

则/(0)=0,/(0)=0,/(0)=A.

(Il)|</(£—J)dr=—J/(x2—tl)d(x2—z2)■**J|f-1-1-/(u)d«

则

知识点解析：暂无解析

16、设f（x）在［1,3］上连续，在（1,3）内可导，试证：存在。qG（l,3）,使得

3

nf©=iof（n）.

/（e）=ion3）.

标准答案：要证存在jnai，3）使/「化尸10?01），即要证』由拉

格朗日中值定理知区由柯西中值定理知由①式知f（3）—f（D=2「（&）,由②式知

f（3）—f（i）=则,故矿r（9=ior（n）,其中。昨（1，3）.

知识点解析：暂无解析

17、设f(x),g(x)具有二阶连续导数，且

[y2f(x)+2yex+2yg(x)]dx+2[yg(x)+f(x)]dy=0,其中L为平面.上任意简单闭曲线.(I)

求f(x)和g(x),其中f(O)=g(O)=O；(II)计算沿任一条曲线从点(0,0)到点(I,1)的积

分I.

延=返

标准答案：(I)由力3工知，s[gXx)-f(x)]+f(x)-g(x)-ex=0,

则

f(x)—g(x)=e,,

从而有/(r)-g(x)=ez,

g(x)=Cie,+oc'+

zxx

/(x)=g(x)=4-y)e-c2c~^+yxe.

/(x)=-^(ei-e•工e*»g(x>——e-x)4-1-xex.

(U)/=+2ye，+2wGO]djr+2[：宓a)十=0,则曲线积分与路

径无关.

I=J：2[yg(l)+/(D]dy=2/(1)+g(l)

=*-十).

知识点解析：暂无解析

18、(I)求级数的和函数；<n)12g3+2«).

标准答案:

80OO8

（I）s（x）=Z/d=储—i）x"+2皿"

8OO

nx

=（〃-D%T+工2i

・7"I

7（步）"+"（步）’

7（占）”+工（士），=（-i,D.

（D）四（l+/+3+“,+W）i+£W=l+S（/）=7.

知识点解析：暂无解析

19、设函数y=y(x)在(一8,+oo)内具有二阶导数,且y5#),x=x(y)是y=y(x)的反函

普+(<y+sinz)(半)=0

数.(1)试将X=X(y)所满足的微分方程打\力,变换为y=y(x)满

3

足的微分方程：(2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0,y<0尸2的解.

/i、cLr1

⑴丁=r,

dyy

=T*一，'将以上两式代入原方程得y”一

标准答案:

y=sinx.(2)特征方程为p2—1=0,p=±l.非齐次方程待定特解为

y*=Acosx+Bsinx.代入y"-y=sinx得，A=0,则非齐次方程通解为由

y(0)=0,y，(0尸可得ci=l,C2=—1.则所求特解为

知识点解析：暂无解析

20、已知A=(a］，。2，口3，04)是4阶矩阵，ai,口2，cu是4维列向量，若方程

TT

组Ax邛的通解是k(l,一2,4,0)+(l,2,2,1),又B=g,a2,ai，。一

04)，求方程组Bx=ai—a2的通解.

标准答案：由方程组Ax邛的通解是k(l,一2,4,O)T+(1,2,2,l)T,得4一

1

-2

=0.

4

r(A)=1,即r(A)=3；(ai»az，a3，cq)1°J即a[—2a2+4a3=0.①且(ai，

1

2

23

a2»a3，04)a

知识点解析：暂无解析

21、设齐次线性方程组(2E—A)x=0有通解x=k&=k{—1,1,1)1k是任意常数，

T

其中A是二次型f(xi，X2，X3)=XAX对应的矩阵，且r(A)=l.(I)求方程组Ax=0

的通解.(11)求二次型£a1，X2，X3).

标准答案：(I)A是二次型的对应矩阵，故AT=A,由(2E—A)x=0有通解

x=k^T=k(-1,1,1)T,知A有特征值入i=2,且A的对应于入1=2的特征向量为

虻(一1,1,1)二由于r(A)=l,故知入=0是A的二重特征值.Ax=0的非零解向

量即是A的对应于X=0的特征向量.设12=入3=0所对应的特

-1111[-11

P=G《4)=110为可逆矩阵，且P7=]1-1，则

•i

10112

4

工2卬

知识点解析：暂无解析

\y-101

X\

-1a00.2

00.1b0.2

100.1c

其中a,b,c为常数，且X的

数学期望E(X尸一0.2.P{Y<0|X<0)=0.5.记Z=X+Y.(I)求a,b,c的值;

(U^Z=X+Y的概率分布；(I^)求概率P{X=Z}.

标准答案：(I)利用概率分布的规范性得到a+0.2+0.1+6+0.2+0.l+c=l,即

a+b+c=0.4①利用(X,Y)的概率分布得到X的边缘概率分布为

X-101

Pa4-0.26+0.3c+0.1

E(X)=-<a40.2)4c40.l-c-a-0.1=-0・