2026年全国普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026年全国普通高等学校招生全国统一考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.(1−3i)2A.−8+6i B.−8−6i C.8+6i D.8−6i2.已知向量a，b满足|a+b|=1，|aA.12 B.14 C.−13.已知集合A={0,1,3,6,9}，B={x|x=x}，则A∩B=A.{0,1} B.{3,6} C.{0,1,9} D.{0,3,9}4.双曲线C:x2a2−y2bA.y=±32x B.y=±43x5.梭台上下底面均为有一个内角是60∘的菱形，且上下底面边长分别为2和3，该棱台的高为3，则该棱台体积为(

)A.1912 B.196 C.1946.甲、乙、丙、丁等8人分成A，B两技术小组，要求每组4人，且甲乙必须在同一组，丙丁不能在同一组，共有多少分配方案(

)A.10 B.12 C.16 D.247.已知α为第二象限角，且3sin2αcosα=8sinA.34 B.32 C.128.已知f(x)为定义在R上的偶函数，且f(x)+f(x−2)=0，当x∈[32,3]时，f(x)=xA.a=−2，b=−3 B.a=−2，b=3

C.a=−4，b=−3 D.a=−4，b=3二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知⊙O:x2+y2=1A.点A的坐标为(−3,−4)

B.k=9时，⊙A与x轴相切

C.当k=−11时，⊙A与⊙O相切

D.当⊙O与⊙A相交时，两交点所在直线的方程是6x+8y−k−2=010.等比数列an的公比q≠1，a1>0，2a3=a2A.q=−12 B.Sn>2a11.已知抛物线E:y2=8x，斜率为k(k>0)的直线l过点(−1,0)，△ABC为等边三角形，A在抛物线E上，B，C在l上，则A.抛物线准线方程为x=−2

B.l与抛物线E无交点时，k>2

C.若l与E相交于唯一点B，则抛物线焦点在直线AB上

D.k=2时，△ABC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知Sn为等差数列an前n项的和，若a1=−1，a4=513.若函数f(x)=2x+2−x−m有两个零点，则14.球O的体积为43π，A，B，C，D四点均在球O的球面上，△ABC为等边三角形，DA=DB=DC=2.则四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

某工厂抽取一批电子元件检测,记录第一次出现故障的时间(天),绘制成如下的频率分布直方图:

(1)求第一四分位数和中位数;(2)p为首次故障时间小于365天的概率估计值.(i)求p;(ii)工厂向某用户销售100件电子元件,X为这100件产品首次出现故障小于365天的件数,则X~B(100,p​​​​​​​),求E(X),D(X).16.(本小题15分)

三棱锥A−BCD中，E在BD上，AE⊥CE，AE⊥DE，CD⊥AD．

(1)证明：CD⊥AB;(2)若DE=2，BE=1，AE=2，CD=23，求AD17.(本小题15分)在△ABC中，已知cosB=34(1)证明：△ABC为钝角三角形;

(2)若△ABC面积为74，求△ABC18.(本小题17分)已知椭圆E:x2a2+(1)求椭圆E的离心率;(2)设点A(x0,y0)在椭圆E上且y0≠0，过A作连接BM，AO，两直线交于点P，点P的轨迹记为M．(i)求轨迹M的方程;(ii)当t取何值时，轨迹M存在对称中心?并将该曲线平移得到曲线M′，使坐标原点O为M′的对称中心，判断M′是什么曲线?19.(本小题17分)已知函数f(x)=xex+ax+b，曲线y=f(x)在点(0,f(0))(1)求a，b;(2)

当x>0时，

f(x+m)−f(x)>m，求m的取值范围;(3)

当x>0时，

f(x+k)+f(k−x)>2f(k)，求k的最小值。

参考答案1.B

2.C

3.A

4.B

5.D

6.C

7.C

8.D

9.BC

10.ACD

11.ABD

12.24

13.(2,+∞)

14.515.解析:(1)第一四分位数即为25百分位数,由图可知第一四分位数在[355,365]之间,设第一四分位数为x,得x−355365−355=0.25−0.10.3−0.1,解得x=362.5,同理,中位数位于[375,385],

设中位数为y,得​​​​​​​y−375385−375=0.5−0.450.7−0.45,解得y=377,所以第一四分位数为(2)(i)由频率分布直方图可知,365左侧柱状图形的面积之和为0.3,用频率估计概率得p=0.3.(ii)由(i)得p=0.3,则X∽B(100,0.3),由二项分布的性质E(X)=np,D(X)=np(1-p)可得E(X)=100×0.3=30,D(X)=100×0.3×0.7=21.

16.解析：(1)因为AE⊥CE，AE⊥DE，

又CE⊂平面BCD，DE⊂平面BCD，且CE∩DE=E，

所以AE⊥平面BCD，

因为CD⊂平面BCD，

所以AE⊥CD，

又因为CD⊥AD，AE、AD⊂平面ABD且AE∩AD=A，

所以CD⊥平面ABD，

因为AB⊂平面ABD，

所以CD⊥AB．(2)过D作DH⊥平面ABC，连接DH，

则∠DAH即为直线AD与平面ABC所成角，其正弦值为sin∠DAH=DHAD，

因为AE⊥DE，且DE=2，AE=2，所以AD=6，

由体积公式知VD−ABC=13S△ABC⋅DH，

等体积转换得VD−ABC=VA−DBC，即13S△ABC⋅DH=13S△DBC⋅AE，

由(1)中得CD⊥平面ABD，

所以CD⊥BD，

则S由AB=3，BC=21，AC=AE2+CE2=32得AC⊥AB，

则S△ABC=12AB⋅AC=

17.解：(1)由cos所以cos2B+sinAsinC=1得cos所以A或C为钝角，即证△ABC为钝角三角形．(2)由cosB=34得sinB=由正弦定理asinA=bsinB=csinC

得ac=sinA所以△ABC周长为a+b+c=3+

18.(1)解析：过焦点且垂直于x轴的弦所在直线为x=c，代入椭圆得c2a2所以弦长为2a=2⇒a=(2)解析：(i)由(1)知椭圆E:x由A(x0,y0)，得B(0,y0)设P(x,y)，则kOP联立 ① ②得x0=txt−x，y0=tyt−x.所以轨迹M的方程为：x22(ii)将方程展开，得(1当t=2时，方程为当t≠2时，曲线有对称中心令x′=x−2t2−t2，y′=y，则平移后曲线若0<t<2，则(2−若t>2，则(t综上，t>0且t≠2时，轨迹M平移后，0<t<2时，M′为双曲线;t>

19.(1)

求a,b的值已知函数f(x)=xef根据导数的几何意义，曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线斜率等于f′由切线方程y=−2x+1可知，切线斜率为f′(t)=(t+1)et−3又因为切点(0,f(0))在切线上，将x=0代入切线方程得y=1，即f(0)=1。代入f(x)得：f(0)=0⋅e0+a⋅(2)

求m的取值范围由

(1)

得f(x)=xe当x>0时，不等式(x+m)展开并化简：(x+m)ex+m−3x−3m+1−xe令g(x)=(x+m)ex+m−xex−4m，对g(x)求导得：g①

当m≥0时将g′g′(x)>0

因为x>0，m≥0，所以因此g(x)在(0,+∞)上由函数的连续性可知：g(x)>limx→0+g(x)=g(0)=mem(em−4)≥0

结合m≥0，得e(注：m=0时g(x)=0，不满足严格大于，故排除)②

当m<将g(x)变形为：g(x)=xex(em−1)+mex+m−4m

因为m<0因此存在足够大的x使得g(x)<综上，m的取值范围为

[2(3)

求k的最小值令D(x)=f(k+x)+f(k−x)−2f(k)，题目要求x>0时对D(x)求导得：D′(x)显然D(0)=f(k)+f(k)−2f(k)=0，D′由

(1)

得f′f″(t)=(t+2)et

f‴(t)=(t+3)et>0(∀t①

必要性证明(k≥−2)假设k<−D″(0)=f″(k)+f″(k)=2因此D′(x)>0在(0,δ)上严格递减，又D′进而D(x)在(0,δ)上严格递减，D(x)<因此k≥−2。②

充分性证明(k≥−2时满足条件)因为f″(t)