河南省南阳市2025-2026学年高一数学上学期开学考试含解析

河南省南阳市2025-2026学年高一上学期开学考试

数学试题

一、单选题

1．已知集合M2,1,0,1,2，Nxx2x60，则MN（）

A．2,1,0,1B．0,1,2C．2D．2

xy1

2．方程组的解集是（）

22

xy9

A．5,4B．5,4C．5,4D．5,4

14

3．已知正实数x,y满足xy1，则的最小值是（）

xy

A．7B．8C．9D．10

2x1

4．不等式1的解集为（）

x1

A．1,2B．1,2C．1,2D．1,2

5．如果x，y是实数，那么“|xy||x||y|”是“xy0”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

6．在R上定义的运算:abab2ab，则满足x(x2)0的实数x的取值范围为（）

A．0,2B．2,1C．(,2)(1,)D．(1,2)

21

7．已知x>0，y>0，且+=1，若x2ym22m恒成立，则实数m的取值范围是（）

xy

A．(-∞,-2]∪[4,+∞)B．(-∞,-4)∪[2,+∞)

C．(-2,4)D．(-4,2)

m

8．在弹性限度内，弹簧拉伸的距离与所挂物体的质量成正比，即d，其中d是距离（单位cm），m是

k

质量（单位g），k是弹簧系数（单位g/cm）．弹簧系数分别为k1，k2的两个弹簧串联时，得到的弹簧系数k

111

满足，并联时得到的弹簧系数k满足kk1k2．已知物体质量为20g，当两个弹簧串联时拉伸距

kk1k2

离为1cm，则并联时弹簧拉伸的最大距离为（）

11

A．cmB．cmC．1cmD．2cm

42

二、多选题

9．关于x的不等式x2a2x2a0的解集中恰有两个整数，则实数a的取值范围可能是（）

A．1a0B．4a5

C．1a0D．4a5

10．下列说法正确的是（）

A．已知集合=24<0，且，则集合A的真子集个数是7

B．“a1”�是“�方∣�程−x2xa0�有∈一�个正根和一个负根”的必要不充分条件

C．“x1”是“x25x60”的必要不充分条件

D．设a,bR，则“a0”是“ab0”的必要不充分条件

三、填空题

11．不等式x12x0的解集为．

12．命题“xR,x20”的否定是．

13．某商场销售某种商品的经验表明，该产品生产总成本C与产量qqN*的函数关系式为C1004q，

1

销售单价p与产量q的函数关系式为p25q.要使每件产品的平均利润最大，则产量q等

16

于.

四、解答题

14．已知集合Axxt1xt0,Bxx1

(1)当t2时，求AB；

(2)若ABB，求实数t的值．

15．设全集UR，集合Ax|a3x2a1，Bx|1x5，其中aR．

(1)若“xA”是“xB”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围；

ð

(2)若命题“xA，使得xRB”是真命题，求实数a的取值范围．

16．已知不等式ax23x64的解集为xx1或xb．

(1)求a，b；

(2)解关于x的不等式ax2(acb)xbc0．

17．某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3m，底面

积为12m2，且背面靠墙的长方体形状的保管员室．由于此保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工

程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150

元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元．设屋子的左右两侧墙的长度均为xm2x6．

(1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？

900a(1x）

(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造亮标，其给出的整体报价为元a0．若无论左右两面

x

墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围．

题号12345678910

答案CDCDBBDAABBD

1．C

方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N，即可根据交集的运算解出．

方法二：将集合M中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．

【详解】方法一：因为Nxx2x60,23,，而M2,1,0,1,2，

所以MN2．

故选：C．

方法二：因为M2,1,0,1,2，将2,1,0,1,2代入不等式x2x60，只有2使不等式成立，所以

MN2．

故选：C．

2．D

解出方程组的解，然后用集合表示.

【详解】因为x2y29xyxy，将xy1代入得，得xy9.

xyxy2x10，解得x5.代入得y4.

xy1

所以方程组22的解集5,4.

xy9

故选：D.

3．C

利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.

【详解】正实数x,y满足xy1，

1414y4xy4x

由基本不等式得，xy14529，

xyxyxyxy

y4x12

当且仅当，即x,y时，等号成立.

xy33

故选：C

4．D

【解析】利用分式不等式的解法求解即可.

2x1

【详解】解：1，

x1

2x1

即10，

x1

x2

即0，

x1

x10

等价于(x1)(x2)0，

解得：1x2，

即原不等式的解集为：1,2.

故选：D.

5．B

将两个条件相互推导，根据能否推导的情况判断出充分、必要条件．

【详解】当y0时，满足|xy||x||y|，而xy0，则充分性不成立；

当xy0时，若x0,y0，则xy0，

所以|xy|xyxy，而|x||y|xy，则|xy||x||y|；

若x0,y0，则xy0，

所以|xy|xy，而|x||y|xy，则|xy||x||y|，则必要性成立．

所以“|xy||x||y|”是“xy0”的必要不充分条件．

故选：B

6．B

根据规定的新定义运算法则化简不等式x(x2)0，然后直接求解一元二次不等式就可以得到正确答案

【详解】根据给出在R上定义运算

x(x2)x(x2)2x(x2)x2x2(x2)(x1)，

由x(x2)0得(x2)(x1)0，解之得2<x<1，

故该不等式的解集是(2,1)．

故选：B

7．D

【解析】由已知条件，利用基本不等式求得x2y8，再由x2ym22m恒成立，可得m22m8，从

而可求出m的取值范围

21

【详解】解：因为1，x>0，y>0，

xy

214yx4yx4yx

所以x2y(x2y)4428，当且仅当时，取等号，

xyxyxyxy

因为x2ym22m恒成立，

所以m22m8，解得4m2，

故选：D

8．A

【解析】先利用串联列关系20k1k2k1k2，结合基本不等式求得k1k2最小值，再利用并联关系得到

kk1k2最小时求得弹簧拉伸的最大距离即可.

【详解】依题意设两个弹簧的弹簧系数分别为k1，k2，串联时弹簧系数为k，并联时弹簧系数为k.

mm20111111kk

两个弹簧串联时，由d知，k20，则即12，

kd1kk1k220k1k2k1k2

2

k1k2

即20kkkk，故k1k280，当且仅当k1k240时等号成立，

12124

mm

两个弹簧并联时，kk1k2，拉伸距离d，要是d最大，则需kk1k2最小，而k1k240

kk1k2

m201

时kk80，故此时d最大，为dcm.

12mink804

故选：A.

9．AB

根据a与2的大小，求得不等式的解，分析其中恰有2个整数的情形即可求解.

【详解】不等式x2(a2)x2a0化为(x2)(xa)0，

当a2时，不等式解为ax2，

不等式解集中恰有两个整数，则这两个整数为0,1，则1a0；

当a2时，不等式无解，不符合；

当a2时，不等式解为2xa，

不等式解集中恰有两个整数，则这两个整数为3,4，则4a5.

综上，满足题意的实数a的取值范围可能是1a0或4a5.

故选：AB

10．BD

对A，化简集合A，利用公式2n1计算；对B,C,D，利用充分、必要条件的定义逐项分析判断即可.

【详解】对于A：集合=24<0，且=|2<<2,=0,1，

所以集合A的真子集个�数为�2∣�2−13，A错误�；∈��−��∈�

=<0

对于B：若“方程2有一个正根和一个负根”,则12<0，

xxa0=14>0

���

2⇒�

所以“a1”是“方程xxa0有一个正根和一个负根”�的必−要不�充分条件.B正确；

对于C：解x25x60，得x1或x6，

所以“x1”是“x25x60”的充分不必要条件.C错误；

对于D：若ab0，则a0且b0，

所以“a0”是“ab0”的必要不充分条件.D正确.

故选：BD.

11．1,2

根据一元二次不等式的解法进行求解即可.

【详解】由x12x0x1x201x2，

所以原不等式的解集为1,2，

故答案为：1,2

12．xR,x20

直接根据题意，写出命题的否定即可.

【详解】命题xR,x20的否定是xR,x20.

故答案为：xR,x20.

13．40

【解析】根据题意把平均利润的表达式求出来，结合基本不等式进行求解.

1

【详解】由题意得，销售收入Rpq25qq2，

16

1

利润LRC21qq2100，

16

Lq100

每件商品的平均利润为fq21，

q16q

q100q100

因为5，当且仅当，即q40时，取到最小值，此时fq取到最大值；

16q16q

所以要使每件产品的平均利润最大，则产量q40.

14．(1)x2x3

(2)1,

【详解】（1）由题意得Axtxt1x2x3，

所以ABx2x3.

（2）因为ABB，所以AB，则t1，

所以t1,.

15．(1)(3,4]；

(2)(2,)．

（1）根据条件可知BA，列不等式，即可求解；

ð

（2）首先求当ARB时a的取值范围，再求其补集.

【详解】（1）Bx|1x5，

“xA”是“xB”的必要而不充分条件，

BA

a32a1

a31，解得3a4，

2a15

即实数a的取值范围为(3,4]；

ðð

（2）若命题“xA，使得xRB”是假命题，则ARB，

ðB{x∣x1

Bx1x5，R或x5}，

①当A时，a32a1，解得a2，

a32a1

②当A时，则a31，无解，

2a15

即命题为假命题时，实数a的取值范围为(,2]，

命题为真命题时，实数a的取值范围为(2,)．

16．(1)a1，b2

(2)答案见解析

（1）根据不等式的解集，结合根与系数的关系列出方程即可得到结果.

（2）由题意得到不等式对应的方程的两根，然后根据两根的大小讨论即可得到结果.

【详解】（1）因为不等式ax23x64的解集为xx1或xb，

2

所以x11与x2b是方程ax3x20的两个实数根，且b1．

3

1b

aa1

由根与系数的关系，得，解得；

2b2

1b

a

（2）原不等式化为：x2(c2)x2c0，即(x2)(xc)0，

①当c2时，不等式的解集为x2xc，②当c2时，不等式的解集为xcx2

③当c2时，不等式的解集为．

17．(1)当左右两面墙的长度为4m时，甲工程队报价最低

(2)0a12

【详解】解：（1）因为屋子的左右两侧墙的长度均为xm(2x6)，底面积为12m2，所以屋子的前面墙的

12

长度为m(2x6)．