考点48 离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的均值与方差

考点48离散型随机变量及其分布列、离散型随

机变量的均值与方差

一、选择题

1.（2018•浙江高考T7）设0<p<l,随机变量<的分布列是

012

1

P匕P

T22

则当夕在（0,1）内增大时，（）

A.D（C减小B.〃（f）增大

C.〃（f）先减小后增大D.〃（f）先增大后减小

【命题意图】考查期望与方差的性质.

【解析】选D.由分布列可知£（"=OX¥+1X；+2X罗所以方差

队C巾谓）飞争（1*），.2*）\自夕2+吟所以〃（C是关于p的二次

函数，开口向下，所以D（C先增大后减小.

二、解答题

2.（本小题12分）（2018•北京高考理科・T17）电影公司随机收集了电影的有

关数据，经分类整理得到下表：

电影类型第一类第一类第三类第四类第五类第六类

电影部数14050300200800510

好评率0.40.20.150,250.20.1

好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.

⑴从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四

类电影的概率.

⑵从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的

概率.

⑶假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用

“久二1”表示第4类电影得到人们喜欢，“九二0”表示第A类电影没有得到

人们喜欢（上1,2,3,4,5,6）.写出方差DW\、D心,DD葭DD，“怛大小

关系.

【命题意图】考查统计与概率知识中的古典概型，事件的运算，以及方差的计

算，意在考查，培养学生的实际应用能力、逻辑推理能力，体现了数学抽象、

数学建模、数学运算、数据分析的数学素养.

【解析】（1）由表知，电影公司收集的电影部数为140+50+300+200+

800+510=2000,

获得好评的第四类电影部数为200X0.25=50,

所以所求概率为'0.025.

（2）记“从第四类电影中随机选取的1部获得好评”为事件4记“从第五类

电影中随机选取的1部获得好评”为事件民则事件“从第四类电影和第五

类电影中各随机选取1部，恰有1部获得好评”可表示为而+初

由表知，〃（力）=0.25,尸（而=0.2,所有电影是否获得好评相互独立，

所以尸（④二1一尸（⑷=0.75,尸（初二1一尸（£）二0.8,

P（而+9）"（而）+尸（9）"（⑷尸®+＜（彳）P（酚=0.25X0.8+0.75X0.2=0.35,

即所求概率为0.35.

⑶由表及已知，尸（f尸1）=0.4,2（＜1=0）=1-0,4=0.6,

〃（6二1）二尸（f尸1）=0.4,巴6=0）=〃（4尸0）=0.6,

所以少f尸1X0.4+0*0.6=0.4,统产0.4,

D，尸儆-(EfJ2=0.4-0.42=0.24.

2

同理，〃f2=々tIE<2)2=0.2-0.2=0.16,

3)2=0.15-0.152=0.1275,

Df〃布-(£g“)JO.25-0.252=0.1875.

Df5二用-(Ef5)2=0.2-0.22=0.16,

Df6二"J-(£f6)2=0.1-0,「=0.09,

所以D；6<D"D%D，<D，<D-.

3.(本小题13分)(2018•北京高考文科•T17)

电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表:

电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类

电影部数14050300200800510

好评率0.40.20.150.250.20.1

好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.

⑴从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四

类电影的概率.

⑵随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率.

⑶电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好

评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类

电影的好评率增加0.1,哪类电影的好评率减少0.1,使得获得好评的电影总

部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）

【命题意图】考查统计与概率知识中的古典概型、事件的运算、以及方差的

计算，意在考查、培养学生的实际应用能力、逻辑推理能力，体现了数学抽象、

数学建模、数学运算、数据分析的数学素养.

【解析】(1)由表知，电影公司收集的电影部数为140+50+300+200

+800+510=2000,

获得好评的第四类电影部数为200X0.25=50,

所以所求概率为空:0.025.

2OM

⑵方法一：记“随机选取的1部电影没有获得好评”为事件4

由表知，没有获得好评的电影部数为

140X(1-0.4)+50X(1-0.2)+300X(1-0.15)+200X(1-0.25)+800X(1-0.2)

+510X(1-0.1)=1628,

所以〃(用二需=0-814,

即所求概率为0.814.

方法二：记“随机选取的1部电影获得好评”为事件4则“随机选取的1部

电影没有获得好评”为事件无

由表知，获得好评的电影部数为140X0.4+50X0.2+300X0.15+200X0.25

+800X0.2+510X0.1=372,

所以^)=2=0.186,

所以夕(勖:1-2(4)=0.814,

即所求概率为0814.

⑶由表及已知，第五类电影的好评率增加0.1,第二类电影的好评率减少

0.1,符合要求.

4.(本小题满分13分)(2018•天津高考理科・T16)已知某单位甲、乙、丙三

个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，

进行睡眠时间的调查.

(/)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？

(〃)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取

3人做进一步的身体检查.

(/)用丫表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与

数学期望；

(方)设/为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”,

求事件/发生的概率.

【命题意怪I］本小题主要考查随机抽样、离散型随机变量的分布列与数学期

望、互斥事件的概率加法公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际

问题的能力.

【解析】(/)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3：2：2,由于

采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中

分别抽取3人，2人，2人.

(〃)(，)随机变量1的所有可能取值为0,1,2,3.

*右⑶二嗒(公0,1,2,3).

所以，随机变量乃的分布列为

0123

112184

P

35353535

随机变量才的数学期望£(A)=0X1X^+2X^+3X

(//)设事件8为“抽